廣東惠州2021高三數(shù)學(xué)三?？荚囋囶}含答案解析

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廣東惠州2021高三數(shù)學(xué)三模考試試題含答案解析

惠州市2021屆高三第三次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

I.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息填寫

在答題卡上.

2.作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的

答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.

3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，作圖題可先用鉛筆作答，答案必須寫在答題

卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分S分，共40分.

在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯(cuò)得0分.

1.設(shè)集合A={7,0,1,2},集合B={MH2y8},則AHB=（）.

A.{-1,1）B.{0,1,2}C?{123}D.{1,2；團(tuán)

2.已知復(fù)數(shù)2=牛應(yīng)（其中，為虛數(shù)單位），則:在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

V3+/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知正方形力6。的邊長為2,￡為8C的中點(diǎn)，則荏,防=（）.

A.-2B.0C.yD.2

4.2020年4月30日，我國的5G信號(hào)首次覆蓋了海拔超過8000米的珠穆朗瑪峰峰頂和北

坡登山路線。為了保證中國登山隊(duì)測量珠峰高程的順利直播，現(xiàn)從甲、乙、丙、丁這4

名技術(shù)人員中隨機(jī)安排3人分別去往北坡登山路線中標(biāo)記為I、II、”的3個(gè)崎嶇路段

進(jìn)行信號(hào)檢測,若甲沒有安排去往標(biāo)記為I的崎嶇路段,則不同的安排方法共有（）.

A.12種B.18種C.24種D.6種

5.若雙曲線E：■=1（0>/>>0）的一條漸近線被圓（廠2）*=4所截得的弦長為

2石，則雙曲線￡的離心率是（）.

旦2石

…卓B.G

3

6.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副

''弦圖'后人稱其為'?趙爽弦圖右圖是在，,趙爽弦

圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)，數(shù)學(xué)風(fēng)車”，其中正方形

力3CD內(nèi)部為“趙爽弦圖”，正方形48CQ外部四個(gè)

陰影部分的三角形稱為??風(fēng)葉”.現(xiàn)從該??數(shù)學(xué)風(fēng)車”

的8個(gè)頂點(diǎn)中任取2個(gè)頂點(diǎn)，則2個(gè)頂點(diǎn)取自同一

片“風(fēng)葉”的概率為（）.

7.若函數(shù)/（x%sin（2葉夕）（心0,Os?Kg）的部分圖象如下圖所示，則下列敘述正確的是

A.函數(shù)九r）的圖象可由尸Xsin2丫的圖象向左平移/個(gè)單位得到

6

B.函數(shù)貢X）的圖象關(guān)于直線尸2對稱

C.（-^,0）是函數(shù)?。﹫D象的一個(gè)對稱中心

D.函數(shù)加）在區(qū)間上單調(diào)遞增

8.已知0=22,，/>=2.1:,c=In2.1\則。力,c的大小關(guān)系為（）.

C.b>a>cD.c>b>a

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分S分，共20分.

在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2

分，有選錯(cuò)的得0分.

2

9.無窮等差數(shù)列5｝的前〃項(xiàng)和為￡,若，〃>0,</<0,則下列結(jié)論正確的有（）.

A.數(shù)列單調(diào)遞減B.數(shù)列以｝有最大值

C.數(shù)列61單調(diào)遞減D.數(shù)列6｝有最大值

10.已知拋物線C:y=加3>0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,過點(diǎn)廠的直線與拋物線交于RO

兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的有（）.

A.拋物線。的準(zhǔn)線方程為尸TB.線段也長度的最小值為4

C.D.OPOQ^-3

II.如圖所示，在長方體488-48。"，若AB=BC,E、F分

別是/8、8G的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的有（）.

A.EF工BB\B.EFJ.平面BDDB

C.￡尸與GO所成的角為45。巨）D.￡7為平面48C。

12.函數(shù)?。槎x在/?上的奇函數(shù)，當(dāng).6）時(shí)，府尸心（.1）,下列結(jié)論正確的有（）.

A.當(dāng)內(nèi)0時(shí)，/（x）=e*（.vH）

B.函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)

C.若2,則方程/（<）=，〃在xX）上有解

D.Vxpx2eR,)/(x2)二/g)|<2恒成立

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分。

13.已知cos（乙+。尸,則cos（—-o）=___.

636

14.設(shè)隨機(jī)變量t服從正態(tài)分布MLa2）,若P（f<2）=0.8,則打0<￥<2尸_.

15.寫出一個(gè)包含有I，1的偶函數(shù)/（."=.

16.在空間中，定義,?點(diǎn)到幾何圖形的距離'為：這個(gè)點(diǎn)到幾何圖形上各點(diǎn)距離中的最小值.現(xiàn)

有邊長為2的正方形/出8,則到定點(diǎn)力距離為1的點(diǎn)圍成的幾何體的體積為；

該正方形48。區(qū)域（包括邊界以及內(nèi)部的點(diǎn)）記為C,則到Q距黑等于1的點(diǎn)所圍成

的幾何體的體積為.

3

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分10分）

已知數(shù)列仇，）的前〃項(xiàng)和為S”，滿足&=勿“-2.

（1）求數(shù)列｛務(wù)｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和兀.

18.（本小題滿分12分）

在中，內(nèi)角/、B、C的對邊分別為。、b、c,已知片:，A/15C的面積為班，

22

且tanJ+tan^=百（tanJtan^-l）.

（1）求角。的大??；

⑵求療6的值.

19.（本小題滿分12分）

華為手機(jī)作為全球手機(jī)銷量第二位，一直深受消費(fèi)者喜歡.惠州某學(xué)校學(xué)習(xí)小組為了研

究手機(jī)用戶購買新手機(jī)時(shí)選擇華為品牌是否與年齡有關(guān)系，于是隨機(jī)調(diào)查100個(gè)2020年購

買新手機(jī)的人，得到如下不完整的列聯(lián)表.定義用戶年齡30歲以下為'?年輕用戶”，30歲以

上為??非年輕用戶二

購買華為購買其他品牌總計(jì)

年輕用戶28

非年輕用戶2460

總計(jì)100

（1）請將列聯(lián)表填充完整，并判斷是否至少有90%的把握認(rèn)為購買手機(jī)時(shí)選擇華為與年齡

有關(guān)？

⑵若從購買華為手機(jī)用戶中采取分層抽樣的方法抽出9人，再從中隨機(jī)抽取3人，其中

年輕用戶的人數(shù)記為X求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：K2=________幽二忖______

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

戶（。。）0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

20.（本小題滿分12分）

已知邊長為3的正方體/18S48GD（如圖），現(xiàn)用一個(gè)平面〃截該正方體，平面a與

棱.44、AB、8C分別交于點(diǎn)E、F、G.若小E=2EA,AF=2FB,CG=2GB.

（1）求面a與面，8CZ）所成銳二面角的余弦值;

（2）請?jiān)诖痤}卷的第2個(gè)圖中作出截面〃與正方體

各面的交線，用字母標(biāo)識(shí)出交線與棱的交點(diǎn).

21.（本小題滿分12分）

已知橢圓C：I+4=l（a>6>0）的離心率為立，左右頂點(diǎn)分別為人B,右焦點(diǎn)

h22

為G尸為橢圓上異于48的動(dòng)點(diǎn)，且A4P行面積的最大值為1+3.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)直線/仍與y軸交于M點(diǎn)，過點(diǎn)力作8尸的

平行線交J軸與點(diǎn)N,試探究是否存在定點(diǎn)0

使得以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)Q.

22.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)./（X）=Inx—x+sinx+a.

（1）求/（幻的導(dǎo)函數(shù)㈤在（0m）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑵求證:當(dāng)一［1,3］時(shí),/（工）有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn).

5

數(shù)學(xué)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.

題號(hào)12345678

答案BDABDACC

I.懈析】由函數(shù)j，=2,單調(diào)遞增,不等式?*<2<2)解得Outw3,即集合8={x100xw3},

則力fl8={0,1,2}.故選：B.

2.廨析】因?yàn)?y=1盧嗅3=①="，所以口手一事，

V3+?(V3+I)X(V3-I)4222

-V3I-

二對應(yīng)點(diǎn)為(苛,-?),所以:在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D.

3.廨析】由題意，以4B,4。邊建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)4(0,0),8(2,0),0(0,2),

邊8c的中點(diǎn)E(2,1),貝IJ鹿=(2,1).麗=(-2,2),.?.公?麗=-2x2+lx2=-2.故

選：A.

4.【解析】分類，若甲沒參加，則從剩下的三人選派去3個(gè)地方，任意安排有W種；若甲

參加，甲只能從II和川種任選一處安排，再從剩下的三人中選派2人在余下兩個(gè)地方,

有C；?團(tuán)。所以共有不同的安排方法為：N=4；+C；/；=18種，故選：B.

5.廨析】取E的一條漸近線歷-卬旬，因?yàn)間=府=F(/為弦長，R為圓半徑，d為圓

心到直線的距離)，其中/=2jJ,R=2,d=7O==叁，所以4-縹=3,所以

力?+〃cc

C2=4h2=4c2-4a2,所以3/=4/,所以e2=。，所以e=￥，故選：D.

3J

6.廨析】從“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)頂點(diǎn)的基本事件有C：=28種，其中這兩個(gè)

頂點(diǎn)取自同一片,?風(fēng)葉”的基本事件有4C；=12種，故所求概率尸=^|=5.故選：A.

6

5〃,01,..0=2sin(2xyy+(p),

7.【解析】由圖可知，<=2,?.函數(shù)/(幻經(jīng)過點(diǎn)

5/r,,r□□?5〃ir\ni、fl

:.—+(p=kn、keZ,BP^=K/T----,k€Z,v0<=l,e=一?

6626

函數(shù)/(x)=2sin(2.r+3

對于A.)=2sin2v的圖象向左平移:個(gè)單位得到

6

>>=2sin2(x+—)=2sin(2x+—)^f(x),即A節(jié)吳.

63

對于B,令2x+2=g+A”,AeZ,則x=j+g,4eZ,不存在A使其對稱軸為

6262

8.【解析】構(gòu)造函數(shù)/(1)=/,g(x)=2，，如圖所示，在xw(2,4)時(shí)，/>2"即

/(2.1)>g(2.1),所以2.1?>2?」>2:=4Jn2.l4=4ln12.1v41nle=4,則/>>〃>%

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9101112

全部正確ABDBCDABDABD

9.蹄析】根據(jù)等差數(shù)列定義可得4"-4="<0,所以數(shù)列加力單調(diào)遞減，A正確;

由數(shù)列;4；單調(diào)遞減，可知數(shù)列｛%｝有最大值以s,故B正確；

由口>0,*0,可知等差數(shù)列數(shù)列;先正后負(fù)，所以數(shù)列｛S.：先增再減，有最大值,

C不正確，D正確.故選：ABD

7

10.廨析】焦點(diǎn)廠到準(zhǔn)線的距離為小2所以拋物線。的焦點(diǎn)為(I,0),準(zhǔn)線方程為L1,

則選項(xiàng)A錯(cuò)誤：當(dāng)P0垂直于工軸時(shí)長度最小，此時(shí)P(1,2),0(1,-2),所以|也|=4,

則選項(xiàng)B正確；設(shè)P(XI,y),Q(X2,y2)t直線P0的方程為尸網(wǎng)葉1,聯(lián)立消去

y可得42)rH=O,消去.v可得『4〃)-4=0,所以xi+x：=4M+2,.W士=4〃，y】產(chǎn)=4,

SM>0=；IOFII必-%1=gx1X,(乂+必)2-4乂%=；XV16/n:+I622,

當(dāng)m=0時(shí)成立，則選項(xiàng)C正確；又A-iX2=l,y\產(chǎn)=-4,所以O(shè)P-OQ=x1x2+yty2=-3,

則選項(xiàng)D正確；故選：BCD.

11.廨析】連接48、4G、40,則￡為48的中點(diǎn)，

對于A選項(xiàng)，1平面481G2，4Gu平面481Gq,

..叫[E、夕分別為/石、8。的中點(diǎn)，貝IJE"〃,

EF1BBy,A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，?.四邊形44G。為正方形，則4GlBR,又???4于1BB、,

BQ\CBB[=4Gl平面皿餌：EF//AC".EF1憫8。0心,

B邇

對于C選項(xiàng)，易知A4Go為等邊三角形,則乙4￡。=60\vEF//4G，則即與GD

所成的角為4￡O=6(T,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，:EFII4G,EF<t平面481G%,力￡u平面A^BXCXD[,

???EFII平面,D選項(xiàng)正確。故選：ABD.

12.廨析】對于A.函數(shù)危)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，30,

f(x)=-f(-x)=-ex(-x-1)=ex(x+1),A正確；

對于B.當(dāng)x>0時(shí)，*(1)=0,解得日，x<0時(shí),/(x)=e*(x+l)=0,

解得A=l,又./(0尸0,所以/*)有±1和0三個(gè)零點(diǎn)，B正確；

對于C.當(dāng)一《0時(shí),危尸e*(x+l),rw=ex(x+l),當(dāng)m2時(shí)，八刈<0,/(、)遞減

-XrOW,八*)>0,.而)遞增,「.尸2時(shí)，/(x)極小值=/(-2)=-整=_g,x->(r時(shí),

8

f(x)-?-l,x-?0,j'(x)TI,由/(2是奇函數(shù)，.r=2時(shí)，/(X)極大值=/(2)=p-,

<0)=0,/(x)的值域是(-1,I),若"<1時(shí)，方程./(X)F在xX)時(shí)無解，C錯(cuò)誤；

對于D.由C的討論知-1</(刈<1,因此對任意的實(shí)數(shù)小4有-1研比1,

-2<fix>)-A.nXZ,即|f(x,)-f(x2)K2.D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4，J施，每小題5分，共20分，其中16題第一個(gè)空3分，第二個(gè)空2分。

13.―；14.0.6；

15.e'+e\e"G)、|ln(e，)|、///―)『……；

""(xvO)、

“416

16.—n>o8+—n

33

13.嘛析】cos(--a)=cos[/r-(-?+a)]=-cos(y+a)=故答案為：-

666J,

14?【解析】正態(tài)分布曲線關(guān)于直線Al對稱，

則尸(0<f<2)=2P(1<2)=2[P(f<2)-p?<l)]=2x(0.8-0.5)=0.6.

15.【解析】本題為結(jié)論開放題，只要能寫出滿足條件的函數(shù)解析式都可以給分,

【注意】：，-尸、9).|"|不滿足條件.

16.【解析】(1)與定點(diǎn)力距離等于1的點(diǎn)所圍成的幾何

體是一個(gè)半徑為1的球，所以其體積為

(2)分析可知，到Q距離等于1的點(diǎn)所圍成的幾何體是

I個(gè)正方體(棱長為2)、4個(gè)半圓柱(高為2,底面半

徑為1)以及4個(gè)四分之一球(半徑為1)所圍成的

幾何體，所以其體積為：

1I4416

2x2x2+4x—l-x2+4x—x—；rxp=8+4;rhr————/8

24333

416

故答案為：；不8+與〃.

9

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)

廨析】(1)當(dāng)"=1時(shí)，q=，=2q-2,得q=2................1分

當(dāng)">2時(shí)，由己知S“=la.-2可得5,.,=la.A-2.............2分

所以S“-S“_]=2a”-2a“i,即=2a“-2a,得%=2a-].......3分

數(shù)列｛a.｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)q=2,公比g=2.................4分

：”eN*時(shí)，a“=2?2"'=2"

數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式為a,=2"............................5分

⑵廨法D設(shè)"="?〃"="-2",

所以7；=1x2+2x22+3x2'+…+”-2".....................6分

2。=1x2'+2x2’+3x2"+…+("-】)-2"..............7分

2(2

兩式相減得：-T=2+22+25+-+2"=1-^n-2'+1……8分

1-2

=。-")?2"'-2...........................9分

.-.7；=(/1-1)-2*'+2...................................10分

睇法2】設(shè)4=小""="-2",

所以7；=1x2+2x22+3x2'+-+n-2".....................6分

=2+2[2-2l+3-22--+n-2"-1]

=2+2((1+1).2'+(l+2)-22-+(l+n-l)-2"

=2+2(2'+22-+2"-']+2[\-2,+2-22-+(n-l)-2"']......7分

2(

7；=2+21~^U2[T,-n-2"]..........................9分

化簡得乙=("-?2-"+2................................10分

10

18.(本小題滿分12分)

嘛析】瞬法I】(l)tan(4+8)=lan」+tanZ.......................................................1分

1-tan/I-tanB

將己知tan/+tan8=石(tan/?tan8—1)代入上式得lan(4+B)=-VJ,2分

且/I、B、C為A48('內(nèi)角，0</+8v”,.................................................3分

所以4+8=g.................................................................................................4分

因?yàn)?J+B+C=”.............................................................................................5分

所以C=g........................................................................................................6分

?5、+i,,c、tanAtanB.八

嘛法2】tan(/l+^)=-...................................................................................................1分

1-tanJ-tanB

將己知tan4+tan8=V3(tan彳?tan8-1)代入上式得tan(/I+8)=-V3,2分

且/、B、C為內(nèi)角，從而C=/r-(/+8)...................................3分

所以tanC=VJ.................................................................................................4分

0<C</r.......................................................................................................5分

得C=g............................................................................................................6分

蹄法3］因?yàn)楫?dāng)tan4?tan8-1=0時(shí)不滿足條件，所以tan小tan8-1#0........1分

由tan4+tanB=V3(tan14?lan8-1)得.11"+由8=,

I-tan/?tan8

即tan(4+8)=一6..........................................................................................2分

且4、B、C為A48C內(nèi)角，從而C=〃-(/+8),..................................3分

所以tanC=VJ..................................................................................................4分

0<C</r.......................................................................................................5分

得C=g............................................................................................................6分

(2)【解法1】由1K.=；"sinC,得挈=；"sing..........................................7分

所以=6..................................................................................................................8分

又由余弦定理cost?=..........................................................................9分

n

(a+b)2-lab-c2

得.....................................................................................10分

cos—=2^b~~

101

將己知代人可得(a+6)2=.....................................................................................11分

4

因?yàn)閍+b>0,所以a+b=U..................................................................................12分

2

廨法2】由3叱=」必sinC,得舉=L"sinX............................................7分

2223

所以ab=6...①，...............................................8分

又由余弦定理cosC=Q+窯廠............................................................................9分

7?

得/+〃=上……②...................................10分

4

聯(lián)立?^得或L3.............................................................................II分

6=4-2

所以。+6=?...............................................................................................12分

2

19.（本小題滿分12分）

廨析】⑴列聯(lián)表為:

購買華為購買其他品牌總計(jì)

年輕用戶122840

非年輕用戶243660

總計(jì)3664100

....................................1分【任何一個(gè)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，本得分點(diǎn)不得分】

假設(shè)移動(dòng)支付與年齡無關(guān)，則8'=幽蟾標(biāo)鬻變

,2分

25

=243分

=1.042.....................................................................4分

1.042<2.706...........................................................................................................................5分

所以沒有把握認(rèn)為購買手機(jī)時(shí)選擇華為與年齡有關(guān)..............................6分

12

(2)由9x^=3,9x^=6,即年輕用戶抽取3人，非年輕用戶抽取6人.......7分

3636

所以X所有可能的取值為0,I,2,3.................................................................8分

p,y6C；C：5c?15

P(X=0)=-^-=-(P(X=l)=-q-=—,

p(X=2)=與&=之，P(X=3)=筆，……9分【任何一個(gè)正確可得I分】

514%84

所以X的分布列為：

X0123

51531

P

2\2884

..............10分

【注本得分點(diǎn)為有列表且數(shù)據(jù)全部正確】

所以/(XbOx^+lx"+ZxN+Bx-i-

.................................................11分

Zl281484

=1

所以X的數(shù)學(xué)期望值為1.......................................................................................12分

20.(本小題滿分12分)

廨析】(1)嘛法1](幾何法)

過/作/41R7,連接￡/7.......................................

由三垂線定理知無..............

由二面角的定義可知，4EHA為面〃與面ABCD

所成銳二面角的平面角。......................3分月與一)年

正方形的邊長為3,則力〃=2,

由M.為等腰直角三角形得AH=E.....................4分

4E=1,EH=

則』+⑻=退......................5分

所以cosNEHA=理=小=半........

..................6分

EHG3

綜上，面。與面.48CD所成銳二面角的余弦值為坐

-..............................7分

【注：無此步驟本得分點(diǎn)不得分】

13

懈法2](向量法)

以D4,DC,0A分別為xj,z,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系D-xyz..........I分

?：AB=3,則/尸=2,AE=\,CG=2

由E(3,0J),尸(3,2,0),G(2,3.O)

則FE=(0,-2,1),FE=(-1,1.0).........................................2分

—m,FE=0[―2y+z=0

設(shè)〃J=(x,y,z)為平面ER7的一個(gè)法向量，則｛______，即(……3分

mFG=Ql-x+y=0

令”1,則x=l,z=2..面￡AG的一個(gè)法向量蔡=(1,1,2)...............4分

面.48co的一個(gè)法向量n=(0,0,1)5分

綜上，面。與面48CO所成銳二面角的余弦值為乎..........................7分

⑵

.....................12分

【評分說明1]作圖結(jié)果中，標(biāo)識(shí)R約為三等分點(diǎn)可得2分，標(biāo)識(shí)P、約為六等分點(diǎn)可得2分,

交線全部正確得1分。點(diǎn)和線的位置允許有少量偏差(不扣分)。標(biāo)識(shí)的字母可自由定義，

不重復(fù)即可.

【評分說明2]d位置在D點(diǎn)到DDi中點(diǎn)之間或DD.線段外則定義為位置嚴(yán)重錯(cuò)誤(須扣分),

P4位置在C.點(diǎn)到CG中點(diǎn)之間或CC.線段外則定義為位置嚴(yán)重錯(cuò)誤(須扣分).

【評分說明3】作圖結(jié)果為與正確解答類似的五邊形，至少可得3分.

【評分說明4】作圖結(jié)果為非五邊形，至多可得2分.

【注釋I］作圖步驟：

步驟1：延長GF,交直線DA于點(diǎn)Pi,

步驟2：延長FG,交直線DC于點(diǎn)8,

步驟3：延長PE交直線DD于點(diǎn)％,

步驟4：連結(jié)P：P，,交直線CU于點(diǎn)兒

步驟5：連結(jié)P’G.

【注釋2】位置說明：

如圖所示，截面。與正方體各面的5條交線分別為EE、FG、G乙、P*P、、P、E,

面面力=面面48。。=月G,面面A8CC=G乙，

面面CCQ-64，面面/?。。=勺￡，

且DP、=5肛域D\D=6PQJ,CR=2PQ(或GC=3〃C).

21.（本小題滿分12分）

嘛析】（I）由題意知，當(dāng)。在?「軸時(shí)，八4程面積最大,I分

所以;（a+c）b=1+坐①...................................2分

又e=￡=乎②................................................3分

a/

敷?得"=2,b=l,c=6.................................................................4分

所以橢圓C的方程為?+/=1............................................................5分

⑵設(shè)戶（%,%）,其中乂,#0,則人”=等2，*”=抬，

所以直線AP的方程為V=遂5+2）............................................................6分

令…?得”符即何（°鎧）.....................................7分

又ANUBP,所以直線/N的方程為r=—(x+2),

Ao/

15

令x=0,得？=第，即、(°，的)....................................8分

所以，以肋V為直徑的圓的方程為：

/+1-第1尸第)=0........................................9分

又第I”第)*+人普"招=。

且〃(.%/(.)在橢圓上，所以務(wù)+?。?1,

代入方程整理得圓的方程為x2+/+^-y-l=O...................10分

ZO

令J，=o,則*=±1,..............................................11分

所以存在點(diǎn)。(土1,0),使得以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)Q.................12分

22.(本小題滿分12分)

嘛析】(1)因?yàn)榘嘶?1111一》+$桁.1+。，所以r(x)=L-l+cosx.........1分

X

設(shè)g(x)=/'(x)=，-l+cosx,

,

當(dāng).iw(0,〃)時(shí)，g(x)=-sinx--!?<0,所以/'(x)在(0,〃)上單調(diào)遞減，

.................2分

即當(dāng)xw(0,〃)時(shí)，存在/((}/'(1)v°.................4分

【注：無此步驟本得分點(diǎn)不得分】

且J=/'(x)的圖象連續(xù)，所以/'(')在(0,〃)上有且僅有I個(gè)零點(diǎn).

...............5分

16

(2)廨法1】由己知“e[13],/(x)定義域?yàn)?0.+8),

且由(1)可知存在％e后,?，使/'(%)=0,

①由⑴知，當(dāng)xe(0,x。)時(shí)，/,(x)>0,/卜)在(0,%)上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，/,(x)<0,/(x)在(.％,”)上單調(diào)遞減,

所以/(x)在(0.”)上存在唯一的極大值點(diǎn)<x?<.............................6分

所以/(%)>=^+1+?>2-^->0,

因?yàn)?(x0)<0,所以/(x)在(