高中數(shù)學(xué)公式總結(jié)課件人教版

高中數(shù)學(xué)概念總結(jié)

一.函數(shù)

1.若集合A中有n（〃eN）個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為二，所有非空真子

集的個數(shù)是數(shù)-2。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸方程是x=,頂點坐標是

2a

'b4QC—、

——，-------O用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時，解析式的設(shè)法有三種形式，即

、2。4〃,

/（x）=ax2+bx+c（一般式），/（冗）=。（工一七）?（工一九2）（零點式）和

f（x）=a（x-fn）2+一（頂點式）。

m

2.募函數(shù)y=x；,當(dāng)n為正奇數(shù)，m為正偶數(shù)，m<n時，其大致圖象是

3.函數(shù),=卜2一58+6|的大致圖象是

由圖象知，函數(shù)的值域是［0,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是［2,2.5井口［3,+8),單調(diào)遞

減區(qū)間是(—8,2］和［2.5,3］。

二.三角函數(shù)

1.以角a的頂點為坐標原點，始邊為x軸正半軸建立直角坐標系，在角。的終邊上任取一

個異于原點的點P(x,y)，點P到原點的距離記為r,則sina=—,cosa=—，tga=—，

rrx

xrr

ctga=—,seca=—,esca=一。

上士上

2.同角三角函數(shù)的關(guān)系中，平方關(guān)系是：sin,a+cos)a=1,1+=sec?a,

1+c吆2a=esc2a；

倒數(shù)關(guān)系是：tga-ctga=1,sinacsca=1,cosa?seca=1；

cosa

相除關(guān)系是：fga=受吧ct2a=-----

cosasina

3.誘導(dǎo)公式可用十個字概括為：奇變偶不變，符號看象限。如：sin(70=-cosa,

/15冗、/八、

ctg(2—a)=rg。，tg(37r-a)--tgao

4.函數(shù)y=Asin(6tir+*)+3(其中A>0,。〉0)的最大值是A+8,最小值是B-A,

周期是T=2,頻率是/=色，相位是以+夕，初相是0；其圖象的對稱軸是直

(D2%---------——

7T

線曲+/=上乃+,(女eZ),凡是該圖象與直線y=8的交點都是該圖象的對稱中心。

5.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

7T7T

y=sinx的遞增區(qū)間是2k兀一巴,2k九+巴(kwZ),遞減區(qū)間是

22

2憶萬+',2&萬+辛(ZwZ)；y=cosx的遞增區(qū)間是［2%)一萬,2&乃］(&GZ),遞減區(qū)

間是\2k7r,2k7U+4](女￡Z),y=tgx的遞增區(qū)間是[攵乃一女;r+])(Z￡Z),

y="gx的遞減區(qū)間是依力k兀+兀)(keZ)。

6.sin(a±')=sinacos(3±cosasinf3

cos(a±fi)=cosacos/?+sinasin(3

tga±tgP

tg(a±/3)=

1+tga-tg^

7.二倍角公式是：sin2a=2sina-cosa

cos2fz=cos2cr-sin2tz=2cos2a-1=l-2sin2a

tgc2a=-2tJga—。

1一火一

8.三倍角公式是：sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos，a-3cosa

a(1-cos<z1-cosasina

tg—=±J----------=-----------=-----------

2V14-coscrsina1+cosa

10.升累公式是：1+cosa=2cos2&l1-cosa=2csi?n2—0

22

11.降幕公式是：sin?a=匕堊也21+cos2a

cos~a=------------o

22

，a12a,a

、2tg3iTg22g5

12.萬能公式：sina二--------cosa=tga=.........-

12a,2ai2a

+%31+fg2一吆2

13.sin(a4-^)sin(a-^)=sin2a-sin20，

cos(a+^)cos(a-y^)=cos2(7-sin20=cos2/7-sin2a。

14.4sindfsin(60°-<z)sin(60°+a)=sin3a；

4cosacos(60°-a)cos(60°+a)=cos3a；

fgWg(600-a)fg(60°+a)=吆3a。

15.ctga-tga=2ctg2a。

16.sin18°=~-o

4

17.特殊角的三角函數(shù)值:

7C冗717C3萬

a071

47~2

\_V2

sina0V3i0-1

22T

V2

cosa1V30-10

T22

tga0V31不存在0不存在

~TV3

V3

ctga不存在V310不存在0

18.正弦定理是（其中R表示三角形的外接圓半徑）：—=—=-^=2/?

sinAsinBsinC

19.由余弦定理第一形式，b2=a2+c2-2accosB

2

〃2+r_//

由余弦定理第二形式，cosB=-------

2ac

20.AABC的面積用S表示，外接圓半徑用R表示，內(nèi)切圓半徑用r表示，半周長用p表

示則：

@S=—a-h,-；@S--Z?csinA=???；

2"2

abc

③S=2改sinAsinBsinC；?S-----

4R

⑤S=1p(p-a)(p-b)(p-c)；⑥S=pr

21.三角學(xué)中的射影定理：在4ABC中，b^a-cosC+c-cosA,-

22.在△ABC中，A<8=sinA<sinB,…

23.在aABC中：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

A+BCA+B.CA+BC

sin=cos—cos-----=sin—tg-ctg—

2222

fgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC

24.積化和差公式：

①sina?cos=~[sin(a+/?)+sin(a-〃)],

②cosa?sin0=g[sin(a+/?)-sin(a-/?)],

③cosa-cos￡=；[cos(a+〃)+cos(a-/?)],

④sina?sin夕=—g[cos(a+夕)-cos(a一4)]。

25.和差化積公式：

①sinx+siny=2sin~~~~,cos~~^~，

②sinx-siny=2cos%+?sin~~~，

-/x+yx-y

③cosx+cosy=2cos—^-cos—/,

.x+y.x-y

(4)cosx-cosy=-2sin-----sin-----。

22

三、反三角函數(shù)

1.y=arcsinx的定義域是[-1,1],值域是[一奇函數(shù)，增函數(shù)；

y=arccosx的定義域是[?1,1],值域是[0,乃J,非奇非偶，減函數(shù);

y=arcfgx的定義域是R,值域是（一、,/），奇函數(shù)，增函數(shù);

y=arccfgx的定義域是R,值域是（0,乃），非奇非偶，減函數(shù)。

2.當(dāng)xw[-1,1]時,sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x；

sin(arccosx)=vl-x2,cos(arcsinx)=

arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)=冗一arccosx

,7C

arcsinx+arccosx=—

2

對任意的xeR,有.：

tg(arctgx)=x,ctg(arcctgx)=x

arctg(-x)=-arctgx9arcctg(-x)=冗一arcctgx

71

arctgx+arcctgx=—

當(dāng)x。0時，有：tg(arcctgx)=—,ctg(arctgx)=—。

xx

3.最簡三角方程的解集：

\a\>1時,sinx=Q的解集為。；

時W1時,sinx=〃的解集為卜卜=〃萬+(—1)〃.arcsina,〃￡z}

\a\>1時,cosx=〃的解集為°；

\a\<1時,cosx=a的解集為卜,=2n^±arccosa,nez}

a￡R，方程氏x=a的解集為1|x=n7r+arctga,neZ)；

asR,方程。gx=Q的解集為國x=〃乃+arcctga，neZ}o

四、不等式

1.若n為正奇數(shù)，由a<b可推出a"<b"嗎？（能）

若n為正偶數(shù)呢？（僅當(dāng)a、b均為非負數(shù)時才能）

2.同向不等式能相減，相除嗎（不能）

能相加嗎？（能）

能相乘嗎？（能，但有條件）

3.兩個正數(shù)的均值不等式是："石

2

三個正數(shù)的均值不等式是：

3

4-〃

n個正數(shù)的均值不等式是：&a---n---+-?-?-?-+-―可i---口--------…-----明----

4.兩個正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù).幾何平均數(shù).算術(shù)平均數(shù).均方根之間的關(guān)系是

5.雙向不等式是：卜同+同

左邊在ab<0(>0)時取得等號，右邊在ab>0(<0)時取得等號。

五、數(shù)列

1.等差數(shù)列的通項公式是%=4+(〃—l)d,前n項和公式是：S“=〃(/+%)

—....'---------2

=??,+;〃("-Y)do

2.等比數(shù)列的通項公式是an=,

(4=1)

前n項和公式是：S“=(q(l—q")

Ii-q

3.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛4｝的公比q滿足時，limS“=S='k。一般地，如果無窮數(shù)列｛”“｝

〃T001-q

的前n項和的極限limS“存在，就把這個極限稱為這個數(shù)列的各項和(或所有項的和),

8

用S表示，即S=limS“。

M—>00

4.若m.n.p.qeN,且m+〃=p+q,那么：當(dāng)數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列時，有

am+an=ap+aq；當(dāng)數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列時，有&?,,%=%q。

5.等差數(shù)列｛aJ中，若Sn=10,S2n=30,貝|JS3“=?

6.等比數(shù)列｛%｝中，若Sn=10,S2n=30,則Sjn=7();

六、復(fù)數(shù)

1.7怎樣計算？(先求n被4除所得的余數(shù)，嚴+「=〃)

2.G]=—，+，3八g=一_L一j是1的兩個虛立方根，并且：

122222

3312211

69|==10二"co2=g--=(Or---=

幼一(02

=a）2a）2=co{叼+g=-1

3.復(fù)數(shù)集內(nèi)的三角形不等式是：同一匕|4|芍±Z2Klz||+匕|，其中左邊在復(fù)數(shù)“Z2

對應(yīng)的向量共線且反向（同向）時取等號,右邊在復(fù)數(shù)Z1.z?對應(yīng)的向量共線且同向（反

向）時取等號。

4.棣莫佛定理是：［“cosO+isin。）］"=r"（cos"6+isin〃e）（〃eZ）

5.若非零復(fù)數(shù)z=r（cose+isina）,則z的n次方根有n_個，即：

〃廠2kvr+a2攵%+a

z=Vr（cos-------+1sin-------）（k=0,1,2,…,n-i）

knn

它們在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在分布上有什么特殊關(guān)系？

七、都位于圓心在原點，半徑為我的圓上，并且把這個圓n等分。

I.若|zj=2,Z2=3（cos；+isin?）,Z|，復(fù)數(shù)z1.z?對應(yīng)的點分別是A.B,則△AOB（0

為坐標原點）的面積是Lx2x6xsin￡=3j）。

23

3.復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的幾個基本軌跡：

①argz=6（6為實常數(shù)）一軌跡為一條射線。

②arg（z-z（））=。（4（）是復(fù)常數(shù)，。是實常數(shù)）一"軌跡為?條射線。

③=r（r是正的常數(shù)）一?軌跡是一個圓。

@|z-zj=|z-z2|（zPZ2是復(fù)常數(shù)）一軌跡是一條直線。

⑤|z-zJ+|z—Z2|=2a（Z1、Z2是復(fù)常數(shù)，a是正的常數(shù)）.軌跡有三種可能情形：

a）當(dāng)2a>憶-百時，軌跡為橢圓；b）當(dāng)2a=匕-Z2I時，軌跡為一?條線段；c）當(dāng)

2a<-Zzl時,，軌跡不存在。

⑥卜-zj-|z-z2||=2a（4是正的常數(shù)）7軌跡有三種可能情形：a）當(dāng)2a<|z,-z2|

時，軌跡為雙曲線；b）當(dāng)2。=憶一馬|時，軌跡為兩條射線；c）當(dāng)2。>憶時，軌跡

不存在。

八、排列組合.二項式定理

1.加法原理.乘法原理各適用于什么情形？有什么特點？

加法分類，類類獨立；乘法分步，步步相關(guān)。

771

2.排列數(shù)公式是：—1)…(〃一機+1)=———；

(“一⑼！

排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：P：

組合數(shù)公式是：——星——；

lx2x???xm—m)!

組合數(shù)性質(zhì)：C；：=C：'+C：T=C?,

￡『2"rC；=nC^

r=0

C；+CMC[+…+C：=C：：；

3.二項式定理：(a+與"=C°a"+C\an-'b+C；an-2b2+???+C^b:+???+C；',bn-

項展開式的通項公式：7川=G；"f(r=0,1,2…，n)

九、解析幾何

1.沙爾公式：|A8|=4—a

2.數(shù)軸上兩點間距離公式：[4/=|4一必|

22

3.直角坐標平面內(nèi)的兩點間距離公式：\PtP2\=7(xl-x2)+(yl-y2)

4.若點P分有向線段朋成定比入，則入="?

PP]

5.若點尸](匹，弘)，P2(x2,y2)9P(x,y),點P分有向線段尸建2成定比入，則：入

_x-xt_y-yt

工2-1力-y，

_%)+AX2

1+2

y+狗2

y

1+2

若45，/)，B(x2,y2)9C(x3,y3)，則△ABC的重心G的坐標是

演+*2+與％+乃+%)

6.求直線斜率的定義式為1<=吆1,兩點式為k=X-M。

x2-芭

7.直線方程的幾種形式：

點斜式：y-y0=k(x-xQ),斜截式：y=kx+b

兩點式：2s2i_=Zz^_,截距式：土+工=i

y2f9一為ab

一般式：Ax++C=0

經(jīng)過兩條直線卜Ax+^y+G=。和4：AzX+Jy+C2=。的交點的直線系

力程是：A/+gy+G+丸(+§2,+。2)=0

8.直線/正y=匕x+如/2：y=k2x+h2,則從直線到直線4的角。滿足：

直線乙與，2的夾角0滿足：次。=與&

l+k*

直線/］：4/+為丁+孰=0，，2：41+82y+。2=0,則從直線/1到直線4的角。滿

足：火g=叁二^

4A，2+B]B-)

45—Afi)

直線與乙的夾角。滿足：tgO2

A.^A.2+B[B2

9.點玖//。)到直線/：九￥+6)，+。=0的距離:

|Ax()+By。+C|

VA2+B

10.兩條平行直線4：Ax+By+C1=0,/2：Ax+By+C2=0距離是

JA2+B-

11.圓的標準方程是：（x-a）2+（y-4=「2

圓的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）

u,、叱D~+E~—A-Fx,,,i-BrDE）

其中>半徑zEr----------------，網(wǎng)心坐標ZE-------?-------

2（22）

思考：方程+DY+Ey+尸=0在+后2-4尸=0和O?+后2-4尸<o時

各表示怎樣的圖形？

12.若/（項,％）,B（x2,y2）,則以線段AB為直徑的圓的方程是

（x--）（一——2）+（—-—）（1一為）=。

經(jīng)過兩個圓

x~+y2+x+E[y+尸]—0?x~+j'~+D-,x+E,y+F2=0

的交點的圓系方程是：

x"+y~+O[X+￡'[y+K+4（x~+y~+D-）x+E-,y+F?）—0

經(jīng)過直線/：Ax+By+C=0與圓/+/+Dv+Ey+R=0的交點的圓系方程

是：x2+y2+Dx+Ey+F+A（Ax+By+C）=Q

13.圓/+/=〃的以尸（與，打）為切點的切線方程是

2

xox+yoy=r

一般地，曲線Ax2+C），2—Dr+Ey+F=0的以點p（x0,打）為切點的切線方程是：

Axox+Cyo〉—。?三包+后?上+生+尸=0。例如，拋物線/=4x的以點P（l,2）為

切點的切線方程是：2y=4、土干，即：y=x+l。

注意：這個結(jié)論只能用來做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按照求切線方程的

常規(guī)過程去做。

14.研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法有兩種，即：

①判別式法：△>（）,=0,<0,等價于宜線叮圓相交.相切.相離；

②考查圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系：距離大于半徑.等丁?半徑.小于半徑,

等價于直線與圓相離.相切.相交。

15.拋物線標準方程的四種形式是：y"=2px,y2=-2px,

22

x=2py,x=-2py0

16.拋物線/=2px的焦點坐標是：準線方程是：x=-g

若點P（Xo，y0）是拋物線V=2px上一點，則該點到拋物線的焦點的距離（稱為

焦半徑）是：過該拋物線的焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦（稱為通徑）

的長是：2p。

2222

17.橢圓標準方程的兩種形式是：三+==1和=+[=1

a2b2a2b2

（a>/?>0）o

222

18.橢圓5+27=1僅>/?>0）的焦點坐標是（±小0）,準線方程是工=±幺，離心率是

ah------------c

C2b2

22

e=-,通徑的長是二一。其中=a-bo

aa

22

19.若點尸（與，打）是橢圓++==1（a>b>0）上一點，F(xiàn)1、F2是其左.右焦點，則點

h

P的焦半徑的長是|產(chǎn)片|=a+ex。和[PF2]=Q-e%o。

2222

20.雙曲線標準方程的兩種形式是：三-勺=1和與-0=1

a2b-a2b2

（a>0,b>0）o

x2y2a2c

21.雙曲線與一與二1的焦點坐標是（土cQ）,準線方程是x=±J,離心率是。=上，

crb"------ca

2b2Yy2

通徑的長是」L漸近線方程是J=0O其中C2=Q2+/?2。

aa~

22.與雙曲線A=1共漸近線的雙曲線系方程是與一斗=/l(/lN0)。與雙曲線

a2b2a2h2

2222

二-5=1共焦點的雙曲線系方程是-------2一=1。

a2b2a?+卜b?-k

23.若直線y=h+b與圓錐曲線交于兩點A(x),yi),B(x2,yi),則弦長為

|A'="1+42)區(qū)―/)2；

若直線x=+f與圓錐曲線交于兩點A(xpyi),B(X2，y2)，則弦長為

|AB|=J(l+-2)(弘一力了。

24.圓錐曲線的焦參數(shù)D的幾何意義是焦點到準線的距離，對于橢圓和雙曲線都有:p=—。

C

25.平移坐標軸，使新坐標系的原點。'在原坐標系下的坐標是(h,k),希P在原坐標系

下的坐標是(x,y),在新坐標系下的坐標是(￡,<)，則x'=x-/z,y'=y-k.

十、極坐標.參數(shù)方程

1.經(jīng)過點外(Xo，y0)的直線參數(shù)方程的一般形式是：+從。是參數(shù))。

2.若直線/經(jīng)過點庶(%,%)，傾斜角為a,則直線參數(shù)方程的標準形式是：

X-X,,+/COS6Za---

°。是參數(shù))。其中點P對應(yīng)的參數(shù)t的幾何意義是：有向線段P°P的

y=y0+/sina

數(shù)量。

若點P”P2.P是直線/上的點，它們在上述參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別是小G才口，則:

,舄=人—胃|；當(dāng)點p分有向線段而成定比丸時，//+”；當(dāng)點p是線段P|P2

_______________14-/1

的中點時，，=上上

x=〃+rcosa

3.圓心在點。(%b),半徑為廠的圓的參數(shù)方程是：<、@是參數(shù))。

y=b+廠sina

4.若以直角坐標系的原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點P的極坐標為（2,6）,

直角坐標為（x,y）,則x=pcos。，y=psinO,p-yjx2+y2,tgO--?

x

5.經(jīng)過極點，傾斜角為a的直線的極坐標方程是：，=。或6?=乃+?,

經(jīng)過點（。,0）,且垂直于極軸的直線的極坐標方程是：pcos0=a,

經(jīng)過點（a,1）且平行于極軸的直線的極坐標方程是：Psin。=a,

經(jīng)過點（P0，/）且傾斜角為a的直線的極坐標方程是：

psin（6-a）=p0sin（e（j—a）。

6.圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標方程是°=廠；

圓心在點（a,0）,半徑為a的圓的極坐標方程是p-2acos0；

圓心在點（a,|）,半徑為a的圓的極坐標方程是夕=2asin。；

圓心在點（a，/），半徑為r的圓的極坐標方程是P1+P：一2所°cos?9-/）=/。

7.若點M（0],4）.N（p2,2）,則[MN1=Jp；+區(qū)一2/?1/?2cos（優(yōu)一%）。

H■■一、立體幾何

q'

1.求二面角的射影公式是cos。=幺，其中各個符號的含義是：S是二面角的一個面內(nèi)圖

S

形F的面積，S'是圖形F在二面角的另一個面內(nèi)的射影，。是二面角的大小。

2.若直線/在平面a內(nèi)的射影是直線直線m是平面a內(nèi)經(jīng)過/的斜足的--條直線，I與

/'所成的角為仇，廠與m所成的角為/，/與m所成的角為9,則這三個角之間的關(guān)

系是cos。=cos。1?cos01o

3.體積公式：

2

柱體：V=S-hf圓柱體：V=7Tr-ho

斜棱柱體積：V=S'?/（其中,S'是直截面面積，/是側(cè)棱長）；

錐體：v^-s-h,圓錐體：v^-7rr2-h.

33

臺體：v=g.〃（s+jss+s，）,