2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 平面向量 3 從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量 3.2 平面向量基本定理（教師用書(shū)）教案 北師大版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章平面向量3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量3.2平面向量基本定理（教師用書(shū)）教案北師大版必修4學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來(lái)自于2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章平面向量，第3節(jié)從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量，具體為3.2平面向量基本定理。本節(jié)課的主要內(nèi)容包括：

1.平面向量基本定理的表述和理解；

2.向量的數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則和性質(zhì)；

3.運(yùn)用平面向量基本定理解決實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)重點(diǎn)為平面向量基本定理的理解和數(shù)乘運(yùn)算的規(guī)則，教學(xué)難點(diǎn)為平面向量基本定理的應(yīng)用。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要體現(xiàn)在邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算三個(gè)方面。

1.邏輯推理：通過(guò)學(xué)習(xí)平面向量基本定理，使學(xué)生能夠理解和運(yùn)用邏輯推理的方法，從而提高他們的邏輯思維能力。

2.數(shù)學(xué)建模：在運(yùn)用平面向量基本定理解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型的能力，提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過(guò)對(duì)數(shù)乘向量運(yùn)算的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握數(shù)乘運(yùn)算的規(guī)則和性質(zhì)，提高他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

同時(shí)，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作、自主探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高他們的獨(dú)立思考能力和問(wèn)題解決能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生應(yīng)已掌握初中階段的向量知識(shí)，如向量的定義、向量的加減法、向量的模等。此外，學(xué)生還應(yīng)具備一定的函數(shù)知識(shí)，如函數(shù)的定義、函數(shù)的圖像等，以便能夠理解向量與函數(shù)之間的關(guān)系。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面，興趣各異，有的對(duì)理論感興趣，有的擅長(zhǎng)運(yùn)算。在本節(jié)課中，可以通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入平面向量基本定理，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在能力方面，學(xué)生應(yīng)具備一定的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生或喜歡自主探究，或喜歡合作交流，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，采取相應(yīng)的教學(xué)策略。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)平面向量基本定理時(shí)，學(xué)生可能對(duì)向量的數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則和性質(zhì)理解不清，導(dǎo)致在實(shí)際問(wèn)題中運(yùn)用不當(dāng)。此外，學(xué)生可能對(duì)如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型感到困惑。針對(duì)這些困難，教師應(yīng)給予耐心指導(dǎo)，通過(guò)講解、示范和練習(xí)，幫助學(xué)生掌握平面向量基本定理，并能夠運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中。同時(shí)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，提供不同難度的教學(xué)資源，以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體投影儀、計(jì)算機(jī)、白板、黑板、粉筆、向量模型教具等。

2.課程平臺(tái)：學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)、數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)平臺(tái)。

3.信息化資源：平面向量基本定理相關(guān)教學(xué)視頻、PPT課件、練習(xí)題庫(kù)、網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源等。

4.教學(xué)手段：講解法、示范法、練習(xí)法、小組合作探究、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)等。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是《平面向量基本定理》這一章節(jié)。在開(kāi)始之前，我想先問(wèn)大家一個(gè)問(wèn)題：“你們?cè)谌粘Ｉ钪惺欠裼龅竭^(guò)需要描述物體運(yùn)動(dòng)速度和方向的情況？”（舉例說(shuō)明）這個(gè)問(wèn)題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索平面向量基本定理的奧秘。

二、新課講授（用時(shí)10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解平面向量的基本概念。平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭頭表示。它廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域，用以描述物體運(yùn)動(dòng)的速度和方向。

2.案例分析：接下來(lái)，我們來(lái)看一個(gè)具體的案例。這個(gè)案例展示了平面向量在物理學(xué)中的應(yīng)用，以及它如何幫助我們解決問(wèn)題。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過(guò)程中，我會(huì)特別強(qiáng)調(diào)平面向量基本定理和數(shù)乘向量的這兩個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于數(shù)乘向量的難點(diǎn)部分，我會(huì)通過(guò)舉例和比較來(lái)幫助大家理解。

三、實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個(gè)與平面向量相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

2.實(shí)驗(yàn)操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)操作。這個(gè)操作將演示平面向量基本原理。

3.成果展示：每個(gè)小組將向全班展示他們的討論成果和實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“平面向量在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這一主題展開(kāi)討論。他們將被鼓勵(lì)提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過(guò)程中，我將作為一個(gè)引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題并解決問(wèn)題。我會(huì)提出一些開(kāi)放性的問(wèn)題來(lái)啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個(gè)小組將選擇一名代表來(lái)分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了平面向量基本定理的基本概念、重要性和應(yīng)用。同時(shí)，我們也通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)和小組討論加深了對(duì)平面向量的理解。我希望大家能夠掌握這些知識(shí)點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問(wèn)或不明白的地方，請(qǐng)隨時(shí)向我提問(wèn)。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）平面向量基本定理在工程中的應(yīng)用案例：橋梁設(shè)計(jì)、建筑物的受力分析等。

（2）平面向量基本定理在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用：圖形學(xué)中的向量運(yùn)算、計(jì)算機(jī)動(dòng)畫中的運(yùn)動(dòng)軌跡等。

（3）平面向量基本定理在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的向量運(yùn)算、醫(yī)學(xué)影像處理中的向量分析等。

（4）平面向量基本定理在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：市場(chǎng)需求分析、供需平衡的向量表示等。

2.拓展建議：

（1）讓學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)，思考平面向量基本定理在日常生活中的應(yīng)用，例如自行車運(yùn)動(dòng)、足球運(yùn)動(dòng)等。

（2）組織學(xué)生進(jìn)行小研究，探討平面向量基本定理在其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物醫(yī)學(xué)等。

（3）引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，查找平面向量基本定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用案例，并進(jìn)行交流分享。

（4）鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽、研究性學(xué)習(xí)等活動(dòng)，提高他們?cè)谄矫嫦蛄炕径ɡ矸矫娴膽?yīng)用能力。

（5）建議學(xué)生在課后閱讀數(shù)學(xué)原著、雜志文章等，深入了解平面向量基本定理的發(fā)展歷程和前沿研究。

（6）推薦學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件或在線工具，進(jìn)行平面向量的繪制、運(yùn)算和分析，提高他們的實(shí)踐能力。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面向量基本定理，理解了向量的數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則和性質(zhì)。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決，我們知道了平面向量基本定理在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用。希望大家能夠深刻理解并掌握這些知識(shí)點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.填空題：

（1）平面向量基本定理表述中，____是平面向量的數(shù)乘運(yùn)算，____是向量相等的條件。

（2）已知向量a=(3,2)和向量b=(1,-1)，求向量a乘以4后的結(jié)果是____。

2.選擇題：

（1）已知平面向量a和b，且|a|=|b|，則下列結(jié)論正確的是____：

A.a和b一定相等

B.a和b的方向一定相同

C.a和b的模一定相等

D.a和b的方向一定相反

3.解答題：

（1）已知向量a=(x,y)和向量b=(m,n)，且向量a與向量b平行，求證：x/m=y/n。

（2）一個(gè)物體在二維平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓，其速度向量v=(v_x,v_y)的大小保持不變。假設(shè)物體在t時(shí)刻的位移向量為s=(s_x,s_y)，求證：向量v垂直于向量s。

答案與解析：

1.填空題：

（1）數(shù)乘運(yùn)算；向量相等的條件。

（2）向量a乘以4后的結(jié)果是(12,8)。

2.選擇題：

（1）C.a和b的模一定相等。

3.解答題：

（1）證明：由于向量a與向量b平行，所以它們的方向相同，即存在一個(gè)實(shí)數(shù)k使得a=k*b。由于向量a=(x,y)和向量b=(m,n)，所以有x/m=y/n。

（2）證明：由于向量v垂直于向量s，所以它們的方向垂直，即向量v與向量s的點(diǎn)積為0。由于向量v=(v_x,v_y)的大小保持不變，所以向量v的模的平方等于v_x^2+v_y^2保持不變。而向量s=(s_x,s_y)的模的平方等于s_x^2+s_y^2也保持不變。因此，有v_x^2+v_y^2=s_x^2+s_y^2。由于向量v與向量s的點(diǎn)積為0，所以v_x*s_x+v_y*s_y=0。將v_x^2+v_y^2=s_x^2+s_y^2代入，得到s_x^2+s_y^2=0。由于s_x^2≥0和s_y^2≥0，所以只有當(dāng)s_x=0且s_y=0時(shí)，上述等式成立。即向量v垂直于向量s。教學(xué)反思與總結(jié)在今天的高中數(shù)學(xué)課上，我教授了平面向量基本定理的相關(guān)知識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中，我嘗試了多種教學(xué)方法和策略，希望能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，提高他們的理解能力和應(yīng)用能力。

在導(dǎo)入新課時(shí)，我通過(guò)提問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生思考平面向量在實(shí)際生活中的應(yīng)用，同學(xué)們積極參與，課堂氣氛較為活躍。在講授新課內(nèi)容時(shí)，我采用了講解和示范相結(jié)合的方式，盡量讓學(xué)生通過(guò)直觀的例子來(lái)理解平面向量基本定理。在實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了分組討論和實(shí)驗(yàn)操作，讓學(xué)生能夠?qū)⒗碚撝R(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。

在教學(xué)過(guò)程中，我意識(shí)到需要進(jìn)一步改進(jìn)的地方。首先，在講解平面向量基本定理時(shí)，我應(yīng)該更加注重?cái)?shù)乘向量運(yùn)算的規(guī)則和性質(zhì)的講解，通過(guò)更多的例題和練習(xí)來(lái)幫助學(xué)生鞏固這一知識(shí)點(diǎn)。其次，在實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)，我應(yīng)該給予學(xué)生更多的指導(dǎo)，幫助他們將理論知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，提高他們的問(wèn)題解決能力。最后，我還需要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求提供差異化的教學(xué)資源和支持。典型例題講解例題1：已知向量a=(3,2)，向量b=(-1,4)，求向量a和向量b的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果。

答案：向量a乘以2后的結(jié)果是(6,4)，向量b乘以3后的結(jié)果是(-3,12)。

例題2：已知向量c=(x,y)，向量d=(2,3)，求向量c和向量d的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果。

答案：向量c乘以4后的結(jié)果是(4x,4y)，向量d乘以-2后的結(jié)果是(-4,-6)。

例題3：已知向量e=(1,2)，向量f=(3,-4)，求向量e和向量f的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果。

答案：向量e乘以-2后的結(jié)果是(-2,-4)，向量f乘以1后的結(jié)果是(3,-4)。

例題4：已知向量g=(a,b)，向量h=(c,d)，求向量g和向量h的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果。

答案：向量g乘以e后的結(jié)果是(ae,be)，向量h乘以f后的結(jié)果是(ac,ad)。

例題5：已知向量i=(x,y)，向量j=(m,n)，求向量i和向量j的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果。

答案：向量i乘以k后的結(jié)果是(xk,yk)，向量j乘以l后的結(jié)果是(ml,nl)。板書(shū)設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：平面向量