人教版中考模擬測試《數(shù)學(xué)卷》含答案解析

人教版數(shù)學(xué)中考綜合模擬檢測試題

學(xué)校班級姓名成績

一、選擇題

1.下列各數(shù)中最大的負(fù)數(shù)是（）

11

A.—B.---C.-1D.-3

32

2.某種計算機(jī)完成一次基本運(yùn)算的時間約為1納秒（ns）,已知1納秒=0.000000001秒，該計算機(jī)完成15

次基本運(yùn)算，所用時間用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.5x10-9秒B.15xi（）-9秒C.1.5XKT8秒D.15xi（f8秒

3.如圖，點(diǎn)。在上，OE平分OFYOE,ZD=110°,則（）

4.小明同學(xué)做了下面四道計算題：①（J）、/；②（r-y）2=f_2^+y2；?（x+y）（j;-x）=/-x2；

④其中正確的個數(shù)是，）

A.4B.3C.2D.1

5.關(guān)于x的一元二次方程/一蛆+加一2=0的根的情況是（）

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.m不確定，所以無法判斷

6.一個兒何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的主視圖和左視圖，那么組成該幾何體所需小正方

主視圖左視圖

A.5B.6C.7D.8

7.如果一組數(shù)據(jù)6、7、X、9、5的平均數(shù)是2x,那么這組數(shù)據(jù)的方差為（)

A.4B.3C.2D.1

8.如圖，在R/A48c中，N3=90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交A3、AC于點(diǎn)。,后，再

分別以點(diǎn)D、E為圓心,大于-DE為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊BC于點(diǎn)BG=1,AC=4,

2

則AACG的面積是（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

9.如圖1,已知在四邊形ABCD中，AB//CD,NB=90°,AC=AD,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B-AfD-C

的方向以1個單位/秒的速度勻速運(yùn)動，整個運(yùn)動過程中，4BCP的面積S與運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系

如圖2所示，則AD的長為（）

A.5B.734C.8D.2G

10.我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，軸，已知點(diǎn)B（4,

3）,D（2,6）,固定A、B兩點(diǎn)，拖動CD邊向右下方平行移動，使平行四邊形ABCD的面積變?yōu)樵瓉淼?,

則變換后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)次的坐標(biāo)為（）

A.(2后3)B.(2后6)C.(V3,4)D.(2A/3,4)

二、填空題

11.計算：+萬°

12.婷婷和她媽媽玩猜拳游戲.規(guī)定每人每次至少要出一個手指，兩人出拳手指數(shù)之和為偶數(shù)時婷婷獲

勝.那么，婷婷獲勝的概率為.

13.如圖，在A48c中，NB4c=90°,/8=36°,也是邊8（：上的中線，將AACD沿AO折疊，使點(diǎn)C落

在點(diǎn)F處，DF交AB于點(diǎn)E,則

14.如圖，已知在矩形ABCD中，A8=4,以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧￡）石，交AB于點(diǎn)E,以AB

為直徑的半圓恰好與邊DC相切，則圖中陰影部分的面積為

15.如圖，已知在AABC中，ZACB=90°,AC=2,8c=4,點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，D為BC邊上的一動

點(diǎn)，把4ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)4AEF為直角三角形時，CD的長為

三、解答題

16.先化簡，再求值：（—―一"+-4a+4,其中a的值從不等式組—舊＜?！词慕饧羞x取一

Va+1）a+\

個整數(shù).

17.某學(xué)校為了解九年級的600名學(xué)生每天的自主學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽查了九年級的部分學(xué)生，并調(diào)查他們每

天自主學(xué)習(xí)的時間.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，制作了兩副不完整的統(tǒng)計圖(圖1圖2),請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息回答

下列問題：

(1)本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是人;

(2)圖2中角a是度；

(3)將圖1條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

(4)估算該校九年級學(xué)生自主學(xué)習(xí)不少于1.5小時有多少人.

18.如圖，已知在放A4BC中，NAC6=90°,以BC為直徑作口。交A8于點(diǎn)E,。為AC邊的中點(diǎn)，連接

OD,DE.

(1)求證：DE是□。的切線.

(2)①若AC=3,AE=1,求口O半徑；

②當(dāng)NA=時，四邊形0cOE是正方形.

19.如圖，為宣傳國家相關(guān)政策，某村在一個小山坡頂端的平地上豎起一塊宣傳牌A8,某數(shù)學(xué)小組想測量

宣傳牌AB的高度，派一人站在山腳C處，測得宣傳牌頂端A的仰角為40°，山坡的坡度為i=l:2,

山坡CO的長度為46米，山坡頂點(diǎn)。與宣傳牌底部B的水平距離為2米，求宣傳牌A8的高度.(結(jié)果

精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin40°=0.64,cos40"=0.77,tan40°=0.84,6=2.24)

20.某茶具店購進(jìn)了A、B兩種不同的茶具，1套A種茶具和2套B種茶具共需250元；3套A種茶具和4

套B種茶具共需600元.

(1)求A、B兩種茶具每套的進(jìn)價分別是多少元？

(2)由于茶具暢銷，茶具店準(zhǔn)備再購進(jìn)A、B兩種茶具共80套，但這次進(jìn)貨時，工廠對A種茶具每套進(jìn)

價提高了8%,而B種茶具每套按第一次進(jìn)價的八折，若茶具店本次進(jìn)貨總錢數(shù)不超過6240元，則最多可

進(jìn)A種茶具幾套？

(3)若銷售一套A種茶具可獲利30元，銷售一套B種茶其可獲利20元，在(2)的條件下，如何進(jìn)貨可

使本次購進(jìn)茶具獲利最多？最多是多少？

21.如圖，點(diǎn)A1|,4n

8(九2)是直線AB:y=丘+人與反比例函數(shù)y=—(x>0)圖象的兩個交點(diǎn),

x

軸于點(diǎn)C,己知點(diǎn)D(0,1),連接AD、BD、BC,

(1)求反比例函數(shù)和直線AB的表達(dá)式；

n

(2)根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出當(dāng)x>0時不等式日+人〉一解集;

x

(3)設(shè)aABC和4ABD的面積分別為，、S2,求邑一H的值.

22.如圖1,在矩形A8C。中，AB=6,BC=8,點(diǎn)E是邊8上的點(diǎn)，且CE=4,過點(diǎn)E作C￡)的垂線，并

在垂線上截取EF=3,連接CF.將繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

圖1圖2備用圖

(1)問題發(fā)現(xiàn)

Ap

當(dāng)〃=0°時，AF=,BE=,——=；

-BE-

(2)拓展探究

試判斷：當(dāng)0。&/。＜360。時，絲的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.

BE

(3)問題解決

當(dāng)4CEF旋轉(zhuǎn)至A,E,F三點(diǎn)共線時，直接寫出線段BE的長.

23.如圖，拋物線y=o?+法一2經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)、B(l,0),交y軸于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式.

(2)點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH_LAC于點(diǎn)H,求線段PH長度的最大值.

(3)Q為拋物線上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B、C重合)，QM_Lx軸于點(diǎn)M,是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)A、

Q、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

y

OO

H

CC

備用圖

答案與解析

一、選擇題

1.下列各數(shù)中最大的負(fù)數(shù)是()

11

A.—B.C.-1D.-3

32

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值越大的負(fù)數(shù)的值越小分析即可.

【詳解】解：?.?-3＜-1＜二＜一,

23

.?.最大的負(fù)數(shù)是-2，

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)的大小比較法則，注意兩個負(fù)數(shù)，絕對

值大的其值反而小.

2.某種計算機(jī)完成一次基本運(yùn)算的時間約為1納秒(ns),己知1納秒=0.000000001秒，該計算機(jī)完成15

次基本運(yùn)算，所用時間用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.1.5xi()-9秒B.15x10-9秒C.1.5x10-8秒D.15乂10-8秒

【答案】C

【解析】

【分析】

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axl0\與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所

使用的是負(fù)指數(shù)幕，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的。的個數(shù)所決定.

【詳解】所用時間=15x0,0000000()1=1.5x10'8.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axl0\其中長間＜10,n為由原數(shù)左邊起第一個

不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

3.如圖，CD//AB,點(diǎn)。在AB上，OE平分NBOD,OF1OE,ZD=110°,則NAOE=()

A.25°B,30°C.35°D.40°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：?.?CD〃A8,

ZAOD+ZD=180°,

ZAOD=70°,

ZDOB=110°,

OE平分ZBOD,

ZDOE=55°,

,:OF_LOE,

：.NFOE=9D°,

Z￡>OF=90°-55°=35°,

4。尸=70。-35。=35。，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答.

4.小明同學(xué)做了下面四道計算題：①（巧3=?。虎冢ㄒ灰?=/-2盯+/；③（x+y）（y—x）=y2—x2；

④gx'）,其中正確的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)幕的運(yùn)算及整式的乘方公式即可求解.

【詳解】①（一）3=X6,故錯誤；

②（一%=x2+2孫+;/,故錯誤；

③（x+y）（y—x）=y2—x2,正確；

④故錯誤；

故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知其運(yùn)算法則.

5.關(guān)于x一元二次方程/—巾+m—2=0的根的情況是（）

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.m不確定，所以無法判斷

【答案】B

【解析】

【分析】

計算方程的判別式△=（加一2）2+4,進(jìn)而可作判斷.

【詳解】解：：△=（一機(jī)『一4（加—2）="2-4機(jī)+8=（加一2y+4>0,

原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握一元二次方程的根的判別式與

方程根的個數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.一個兒何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的主視圖和左視圖，那么組成該幾何體所需小正方

體的個數(shù)最少為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)三視圖還原簡單幾何體，由主視圖知物體共三列，且左側(cè)一列高兩層，中間一列高1層，右側(cè)一列最

高兩層；由左視圖可知左側(cè)兩，右側(cè)一層，即可計算出小正方體的最少塊數(shù).

【詳解】解：由題中所給出的主視圖知物體共三列，且左側(cè)一列高兩層，中間一列高1層，右側(cè)一列最高

兩層；

由左視圖可知左側(cè)兩，右側(cè)一層，所以圖中的小正方體最少4+3=7塊，最多5+3=8塊.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖，明確三視圖的定義以及由三視圖還原幾何體的法則是解題關(guān)鍵.

7.如果一組數(shù)據(jù)6、7、X、9、5的平均數(shù)是2x,那么這組數(shù)據(jù)的方差為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

分析：先根據(jù)平均數(shù)的定義確定出x的值，再根據(jù)方差公式進(jìn)行計算即可求出答案.

詳解：根據(jù)題意，得：6+7+;+9+5=2*

解得:x=3,

則這組數(shù)據(jù)為6、7、3、9、5,其平均數(shù)是6,

所以這組數(shù)據(jù)的方差為![(6-6)2+(7-6)2+(3-6)2+(9-6)2+(5-6)2]=4,

故選A.

點(diǎn)睛：此題考查了平均數(shù)和方差的定義.平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個數(shù).方差是一組數(shù)據(jù)中各數(shù)

據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù).

8.如圖，在R/A48c中，/8=90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)。,E,再

分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于』DE為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊于點(diǎn)=1,AC=4,

2

則A4CG的面積是()

A

35

A.1B.-C.2D.

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本作圖得到AG平分NBAC,利用角平分線的性質(zhì)得到G點(diǎn)到AC的距離為1,然后根據(jù)三角形面積

公式計算4ACG的面積.

【詳解】解：由作法得AG平分NBAC,

G點(diǎn)到AC的距離等于BG的長，即G點(diǎn)到AC的距離為1,

所以"CG面積=1x4xl=2.

2

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；

作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）.也考查了交平分線的性質(zhì).

9.如圖1,己知在四邊形ABCD中，AB//CD,NB=90°,AC=A。，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B-A-DfC

的方向以1個單位/秒的速度勻速運(yùn)動，整個運(yùn)動過程中，^BCP的面積S與運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系

如圖2所示，則AD的長為（）

A.5B.734C.8D.26

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意可得當(dāng)，=3時，點(diǎn)P到達(dá)A處，即A8=3,過點(diǎn)A作交C。于點(diǎn)E,則四邊形ABCE為矩

形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出。的長，當(dāng)5=15時，點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。處，進(jìn)而可求出BC的長，再根據(jù)

勾股定理即可求出結(jié)果.

【詳解】解：當(dāng)f=3時，點(diǎn)P到達(dá)A處，即AB=3；

過點(diǎn)A作AE±CD交CD于點(diǎn)E,則四邊形4BCE為矩形，

?：AC^AD,.,.CO=2CE=2AB=6,

當(dāng)5=15時，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)。處，則S=LQ>BC=LX6?BC=3XBC=15,

22

：.BC=5,

由勾股定理得：AD=AC=^32+52=734)

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題以動態(tài)的形式考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)的圖象和等腰三角形的性質(zhì)，具有

一定的綜合性，正確添加輔助線、讀懂圖象信息是解題的關(guān)鍵.

10.我們知道，四邊形具有不穩(wěn)定性，如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，軸，已知點(diǎn)B(4,

3),D(2,6),固定A、B兩點(diǎn)，拖動CD邊向右下方平行移動，使平行四邊形ABCD的面積變?yōu)樵瓉淼腖,

3

則變換后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)W的坐標(biāo)為()

A.(26,3)B.(26,6)C.(V3,4)D.(273,4)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面積縮小為原來的;，康的縱坐標(biāo)為4,由AO=A。'，即可求得以

的坐標(biāo).

【詳解】???平行四邊形ABCD頂點(diǎn)A在y軸上，B(4,3),

A（0,3）,

；.AB=4,

'：D（2,6）,

???平行四邊形面積=4x3=12,

v平行四邊形的面積縮小為原來的!,

到AB的距離為1,

???以的縱坐標(biāo)為4,

設(shè)。'（',4）,

vAD=V22+32=713,

；?4￡>=&+1=屈,

工=2"

勿（2后4）.

故答案選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系與平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.

二、填空題

11.計算：舛+-1°=.

【答案】1

【解析】

【分析】

先根據(jù)立方根定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉，0指數(shù)塞進(jìn)行計算，再合并即可.

【詳解】解：舛+03

=—2+4—1

=1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查了立方根定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，0指數(shù)累，熟知各知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

12.婷婷和她媽媽玩猜拳游戲.規(guī)定每人每次至少要出一個手指，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)時婷婷獲

勝.那么，婷婷獲勝的概率為.

13

【答案】士

25

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，可用列舉法、列表法或樹狀統(tǒng)計圖來計算出總次數(shù)和婷婷獲勝的次數(shù)，從而求出婷婷獲勝的概

率

【詳解】解：根據(jù)題意,一共有25個等可能的結(jié)果,即(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)1

(5,5);

兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有13個，

13

所以婷婷獲勝的概率為三

25

13

故答案為：—

【點(diǎn)睛】本題考查的是用列舉法等來求概率，找出所有可能的結(jié)果數(shù)和滿足要求的結(jié)果數(shù)是解決問題的關(guān)

鍵.

13.如圖，在A4BC中，NB4c=90°,NB=36°,AO是邊BC上的中線，將A4c。沿AO折疊，使點(diǎn)C落

在點(diǎn)F處，DF交AB于點(diǎn)E,則=_

【答案】108°

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC=54°，由A。是斜邊BC邊上的中線得到AD=B￡>=C￡>,求出NADC=72°，

再根據(jù)翻折后三角形角大小不變找到NAZ)C=NAOF=72。,最后再根據(jù)三角形外角和定理求出NDEB的

度數(shù).

【詳解】?.?在RtZkABC中，NBAC=90°,ZB=36°,

，NC=90°-/8=54°，

AD是斜邊BC邊上的中線，

：.AD=BD=CD,

：-/BAD=NB=36。，NDAC=NC=54°,

/.ZADC=180°-ADAC-AC=72°，

?..將△AC。沿A。對折，使C落在F處，

ZADC=NADF=72°,

NDEB=NBAD+ZADF=36°+72°=108。，

故最后答案為108°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角定理、直角三角形斜邊上的中位線的性質(zhì)、翻折變換，明確直角三角

形斜邊上的中位線的性質(zhì)以及翻折變換是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，已知在矩形ABCD中，A8=4,以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧。石，交AB于點(diǎn)E,以AB

為直徑的半圓恰好與邊DC相切，則圖中陰影部分的面積為.

D__________________o

AE0

【答案】-

3

【解析】

【分析】

如圖，連接AG、EG、由題意易知AAEG是等邊三角形，根據(jù)S"尸S*M-S扇后AEG-S共AmG計算即可解決問題.

【詳解】如圖，連接AG、EG.

由題意易知△AEG是等邊二角形,

S陰=5半圓-S肩形AEG-S號形AmG

2

60萬x2

=21一

3603604

2乃

——+6

3

24/~

故答案為：—^-+A/3.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、扇形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求

陰影部分的面積.

15.如圖，已知在aABC中，NAC3=90°,AC=2,5c=4,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，D為BC邊上的一動

點(diǎn)，把4ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)4AEF為直角三角形時，CD的長為.

【解析】

【分析】

本題以三角形為基礎(chǔ)，考查內(nèi)容包含中點(diǎn)的用法，可立刻推邊等；動點(diǎn)圖形翻折問題，可得到角等以及邊

等，解答本題需以題目要求直角三角形為前提，采取分類討論方法，通過構(gòu)造輔助線、假設(shè)未知數(shù)并結(jié)合

勾股定理求解.

【詳解】(1)當(dāng)NAFE=90。時

作EMJ_BC垂足為M.,作ANJ_ME于N,如下圖所示：

ZC=ZEMB=90°

；.EM〃AC

AE=EB

2

EM=-AC=1

2

.\ZC=ZCMN=ZN=90°

.??四邊形ACMN是矩形

,/AC=CM=2

四邊形ACMN是正方形

在RTZ\ABC中，：AC=2,BC=4

AB=2Vs，AE=yfs

在RMAFE中，VAE=V5，AF=AC=2

.*.FE=1

設(shè)CD=FD=x,在RTAEDM中，：DE=l+x,EM=1,DM=2-x

DE2=DM2+EM2

(1+X)2=(2-X)2+12

2

(2)當(dāng)NAFE=90。時，如下圖所示

,/ZAFD=90°

，F(xiàn),E,D三點(diǎn)共線

在RTZ\AFE中，：AE=V^,AF=AC=2

.".EF=1

XVDE=1

，EF=ED

又?.?EA=EB,ZAEF=ZBED

所以4AFE三ABDE(SAS)

.\ZBDE=ZAFE=90°

故四邊形AFCD是矩形

又：AF=AC

所以四邊形AFCD是正方形

；.CD=AC=2

【點(diǎn)睛】本題主要考查動點(diǎn)翻折問題，需要著重注意分類討論，思考要全面，求解過程嘗試?yán)酶钛a(bǔ)法將

圖形補(bǔ)成常見模型以便求解.

三、解答題

16.先化簡，再求值：(—―—a+1^-~4a+4,其中a的值從不等式組—夜的解集中選取一

\a+l)Q+1

個整數(shù).

GI

【答案】7—當(dāng)。=0時，值為1(或當(dāng)。=1時，值為3)

2-a

【解析】

【分析】

原式括號內(nèi)通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，再選取

合適a的值代入計算即可求出值.

3八a"-4。+4

【詳解】

a+1)a+1

3-(a+l)(a—1)(a—2)2

a+\a+\

4一。2Q+1

----x-----

〃+1(〃—2尸

(2+a)(2-4)

(2—)2

2+a

2—ci

石，且。中一1，a是整數(shù)，

為使分式有意義取。=()(或1)

當(dāng)a=0時，原式=-----1.

2-0

（或當(dāng)a=1時，原式=2里=3.）

2-1

【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

17.某學(xué)校為了解九年級的600名學(xué)生每天的自主學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽查了九年級的部分學(xué)生，并調(diào)查他們每

天自主學(xué)習(xí)的時間.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，制作了兩副不完整的統(tǒng)計圖（圖1圖2）,請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息回答

下列問題：

（1）本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是人；

（2）圖2中角。是度；

（3）將圖1條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

（4）估算該校九年級學(xué)生自主學(xué)習(xí)不少于1.5小時有多少人.

【答案】（1）40；（2）54：（3）詳見解析；（4）估計該校九年級學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間不少于1.5小時約有330

人；

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)1小時的人數(shù)和所占的百分比，即可求出總?cè)藬?shù)；

（2）用0.5小時的人數(shù)除以抽查的人數(shù)，再乘以360。，即可求出圓心角的度數(shù)；

（3）用1.5小時的人數(shù)所占的百分比乘以抽查的人數(shù)即可求出1.5小時的人數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計圖；

（4）用總?cè)藬?shù)乘以該校九年級學(xué)生自主學(xué)習(xí)不少于1.5小時所占百分比，即可求出結(jié)果；

【詳解】（1）根據(jù)題意得：

12+30月=40（人），

答：本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)有40人;

（2）圖2中角a的度數(shù)是：

360°xA=54°.

40

40

答：該校九年級學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間不少于1.5小時約有330人.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的結(jié)合，在做題的時候抓住每個時間段的占比，根據(jù)條

件求解.

18.如圖，已知在RfA48c中，NACB=90°,以BC為直徑作口。交AB于點(diǎn)E,。為AC邊的中點(diǎn)，連接

OD,DE.

(1)求證：DE是口。的切線.

(2)①若AC=3,AE=1,求口。的半徑；

②當(dāng)NA=時，四邊形0cOE是正方形.

【答案】(1)詳見解析；(2)①3亞②45°

【解析】

【分析】

(1)連接OE、CE,由圓周角定理得出NBEC=90°,則NAEC=90°,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)

得出AD=CD=DE,由等腰三角形的性質(zhì)得出NDEC=/DCE,ZOCE=ZOEC,證出/OED=90°,即

可得出結(jié)論;

（2）①由勾股定理求出CE=20,證△OCEs/^DAE,得出比例式，求出OC的長即可；

②證aABC是等腰直角三角形，得出/ABC=45°,證四邊形OCDE是矩形，由OC=OE,即可得出四邊

形OCDE是正方形.

【詳解】（1）證明：連接OE、CE,如圖所示：

BC是（DO的直徑，

ZBEC=90°,

AZAEC=90°,

是AC的中點(diǎn)，

1

，DE=—AC=AD=CD,

2

.\ZDEC=ZDCE,

VOC=OE,

ZOCE=ZOEC,

VZACB=90°,

：.ZDEC+NOEC=NDCE+ZOCE=ZACB=90°,

/.ZOED=90°,即OE_LDE,

YE為。O上的點(diǎn)，

；.DE是。O的切線；

（2）解：①；AC=3,

13

；.AD=DE=—AC=—，

22

：/AEC=90°,

；?CE=^AC2-AE2=V32-l2=272，

VZBEC=90°,

AZCBE+ZOCE=90°,

VZACB=90°,

AZCBE+ZDAE=90",

：.ZOCE=ZDAE,

VAD=DE,OC=OE,

AZOCE=ZOEC=ZDAE=ZDEA,

.".△OCE^ADAE,

.PCCE

"'~AD~~AE'

OC2a

即可=-F，

2

解得：OC=3也，

故半徑長為3亞；

②當(dāng)/A=45°時，四邊形OCDE是正方形；理由如下:

：/A=45°,

...△ABC是等腰直角三角形，

；.NABC=45°,

VOB=OE,

二/OBE=NOEB=45°,

.\ZCOE=ZOBE+ZOEB=45°+45°=90°,

?.?/ACB=90°,ZOED=90°,

四邊形OCDE是矩形，

VOC=OE,

四邊形OCDE是正方形；

本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性

質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定等

知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握切線的判定和圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，為宣傳國家相關(guān)政策，某村在一個小山坡頂端的平地上豎起一塊宣傳牌A8,某數(shù)學(xué)小組想測量

宣傳牌AB的高度，派一人站在山腳C處，測得宣傳牌頂端A的仰角為40°，山坡的坡度為i=l：2,

山坡CO的長度為46米，山坡頂點(diǎn)。與宣傳牌底部B的水平距離為2米，求宣傳牌A8的高度.（結(jié)果

精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin400=0.64,cos40°=0.77,tan400=0.84,J5=2.24）

【答案】約為4.4米

【解析】

【分析】

延長AB交CM于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作。E_LCM點(diǎn)F,構(gòu)造矩形BDFE和RtZ\CDF、RtAACE,設(shè)。E=x,CE=2x,

由矩形的性質(zhì)和勾股定理借助于方程求得x的值，然后通過解直角三角形來求AB的值.

【詳解】延長AB交CM于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DE_LCM點(diǎn)F,

則四邊形BDFE是矩形，EF=BD=2,BE=DF,

在ACO/中，z=l:2,

設(shè)DF-x,CF=2x,

?/CD=4>/5)

:.x2+4x2=(4同"，

x=4,

:.DF=4,CF=S,

:.CE=CF+EF+S+2^W,BE=DF=4,

vZACE=40\

AE“c。

...——tan40,

CE

:.AE=CE-tan4(f=8.4，

/.AB=AE-BE=4A.

答：宣傳牌的高度約為4.4米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中坡度坡角問題和仰角俯角問題，此類題構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵.

20.某茶具店購進(jìn)了A、B兩種不同的茶具，1套A種茶具和2套B種茶具共需250元；3套A種茶具和4

套B種茶具共需600元.

(1)求A、B兩種茶具每套的進(jìn)價分別是多少元？

(2)由于茶具暢銷，茶具店準(zhǔn)備再購進(jìn)A、B兩種茶具共80套，但這次進(jìn)貨時，工廠對A種茶具每套進(jìn)

價提高了8%,而B種茶具每套按第一次進(jìn)價的八折，若茶具店本次進(jìn)貨總錢數(shù)不超過6240元，則最多可

進(jìn)A種茶具幾套？

(3)若銷售一套A種茶具可獲利30元，銷售一套B種茶其可獲利20元，在(2)的條件下，如何進(jìn)貨可

使本次購進(jìn)茶具獲利最多？最多是多少？

【答案】(1)A、B兩種茶具每套的進(jìn)價分別是100元和75元

(2)30套

(3)進(jìn)30套A種茶具，50套B種茶具；獲利最多為1900元

【解析】

分析】

(1)根據(jù)題意，列出二元一次方程組，從而可以得到A、B兩種茶具每套的進(jìn)價分別是多少元；

(2)根據(jù)題意，可以得到相應(yīng)的不等式，從而可以得到購買A種茶具數(shù)量的取值范圍，然后即可得到最多

可進(jìn)A種茶具幾套；

(3)根據(jù)題意，可以得到利潤與購買A種數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到如何進(jìn)貨

可使本次購進(jìn)茶具獲利最多，最多是多少.

【詳解】(1)設(shè)A、B兩種茶具每套的進(jìn)價分別是x元、y元，根據(jù)題意，可得

x+2y=250,

3x+4y=600.

解得《fx=1?00,

lv=75.

答：A、B兩種茶具每套的進(jìn)價分別是100元和75元.

(2)設(shè)購進(jìn)A種茶具a套，根據(jù)題意，可得

(1+8%)100a+0.8x75(80-a)<6240.

解得a430.

答：最多可進(jìn)A種茶具30套.

(3)設(shè)獲利為w元，則

vv=30a+20（80一a）=10a+1600.

V10>0,所以w隨的增大而增大.

.,.當(dāng)a=30時，％大=1900（元）

此時，80-。=50,

答：進(jìn)30套A種茶具，50套B種茶具，可使本次購進(jìn)茶具獲利最多，獲利最多為1900元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵

是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答.

21.如圖，點(diǎn)4卷,4

B(加,2)是直線=+)與反比例函數(shù)y=-(x>0)圖象的兩個交點(diǎn),

x

軸于點(diǎn)C,己知點(diǎn)D(0,1),連接AD、BD、BC,

(1)求反比例函數(shù)和直線AB的表達(dá)式；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出當(dāng)x>0時不等式依+b〉一的解集;

x

(3)設(shè)aABC和4ABD的面積分別為W、邑，求$2一S的值.

【解析】

【分析】

n

(1)根據(jù)已知條件，點(diǎn)A]4代入y=-(尤>0)可求出n,進(jìn)而得到B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可得到

x

一次函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方可得出結(jié)果;

(3)過點(diǎn)B作于點(diǎn)E,分別求出5、5，即可得到結(jié)果;

【詳解】(1)；點(diǎn)A(|,4Y)

在反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象上,

x

：."=4*3=6,.?.反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=9(尤＞0).

2x

將B(九2)代入y=9中,得加=色=3,.?.8(3,2).

x2

34

(3、-k+b=4,k=—.

將A8(3,2)代入產(chǎn)丘+b中，得《2,解得彳3.

3%+。=2.[b=6

4

;?直線AB的表達(dá)式為y=-§x+6.

(2)由題可得，一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方，取值在A于B之間，故|<x<3.

73

⑶過點(diǎn)B作BhAC于點(diǎn)E,則^=3--=-.

113

S]=-xACxBE=-x4x-=3

222

設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E則F(0,6).

VD(0,1),???DF=6-1=5.

3

?.?點(diǎn)A、B至I」DF的距離分別為二和3,

2

$2=S^BOF_=_XDFxf3--j=—x5x—=—.

15-3

S—S=

2t44

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，準(zhǔn)確求解函數(shù)的解析式及分析函數(shù)圖像是解題的

關(guān)鍵.

22.如圖1,在矩形A8C。中，AB=6,8c=8,點(diǎn)E是邊CD上的點(diǎn)，且CE=4,過點(diǎn)E作C￡＞的垂線，并

在垂線上截取EF=3,連接CF.將ACE尸繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

圖1圖2備用圖

(1)問題發(fā)現(xiàn)

Ap

當(dāng)4=0。時，AF=，BE=,——=；

------BE一

(2)拓展探究

試判斷：當(dāng)0。&/。＜360。時，絲的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.

BE

(3)問題解決

當(dāng)ACEF旋轉(zhuǎn)至A,E,尸三點(diǎn)共線時，直接寫出線段8E的長.

【答案】⑴5后,4石，T；(2)無變化，理由見解析；⑶BE的值為8?+12或8e12

455

【解析】

【分析】

(1)如圖(見解析)，先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)得出DG=EF=3,AG=11,再利用勾股定理求出即可得;

CFCE

(2)如圖(見解析)，先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出K=ZECF=ZACB,從而可得

ACBC

CFAC5

-=—=ZACF=ZBCE,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得；

CEBC4

（3）分兩種情況：E在A、F之間和點(diǎn)F在A、E之間，分別利用勾股定理求出AE的長，再利用線段的和

差求出AF的長，然后結(jié)合（2）的結(jié)論即可求出BE的長.

【詳解】（1）當(dāng)a=0。時，如圖，過點(diǎn)F作FGLAD于G

?.?四邊形ABCD矩形

.\ZADC=ZBCE=90°,AD=BC=8,AB=CD=6

由/G=NEDG=NDEF=90。，知四邊形DEFG是矩形

；.DG=EF=3,AG=11

VCE=4,CD=6

，F(xiàn)G=DE=2

在RtZ\AGF中，由勾股定理得：AF=5A/5

同理可得：BE=4后

.AF5

??=—;

BE4

（2）4￡的大小無變化，理由如下:

BE

如圖，連接AC

AB=6,BC=8,EF=3,CE=4

EF_1CE1

~AB~2'BC~2

EFCE

AB~BC

ZCEF=ZABC=90°

△CEF^ACBA

CFCE

——=——,NECF=/ACB

ACBC

CFACS

——=—=一,ZACF=ZBCE

CEBC4

△ACF^ABCE

Aprp5

族即正的大小無變化;

(3)當(dāng)aCEF旋轉(zhuǎn)至A,E,F三點(diǎn)共線時，存在兩種情況:

①如圖，點(diǎn)E在A、F之間，連接AC

「△ABC中，由勾股定理得：AC=10

同理可得：CF=5

AFCF5

由(2)知:

BE-CE-4

：.CE=-4CF=4

5

RtZ\AEC中，由勾股定理得：AE=20T

AF=AE+EF=2V21+3

BE=*"+3)=/普

②如圖，點(diǎn)F在A、E之間時，連接AC

同理可得：AF=AE-EF=2721-3

B

g匚匚r,-AA/*AL,8J21+12—8J21-12

綜上所述，BE的值為-------或二--------

55

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，較難的是題(3),

依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

23.如圖，拋物線y=以2+法一2經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)、B(l,0),交y軸于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH_LAC于點(diǎn)H,求線段PH長度的最大值.

(3)Q為拋物線上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B、C重合)，軸于點(diǎn)M,是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)A、

Q、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=--x2+-x-2；(2)坦；(3)。(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)

225

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)E,如圖1,設(shè)點(diǎn)

P的橫坐標(biāo)為f,則PE可用含f的代數(shù)式表示，易證△PEHS^ACO,可得罷=空，于是PH可用含f

PEAC

的代數(shù)式表示，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出P4長度的最大值；

(3)設(shè)。點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相，則。點(diǎn)的縱坐標(biāo)可用，”的代數(shù)式表示，分三種情況：當(dāng)1＜機(jī)＜4時，如圖2；