高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全空間向量與立體幾何

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)空間向量及立體幾何

一、考點(diǎn)概要：

1、空間向量及其運(yùn)算

(1)空間向量的基本學(xué)問：

①定義：空間向量的定義和平面對(duì)量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向

量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。

②空間向量基本定理：

i定理：假如三個(gè)向量.最?不共面,那么對(duì)于空間任一向量亙，存在

唯一的有序?qū)崝?shù)組x、v、z,使：=盤+)a+母。且把%、叫做空間的一個(gè)基底,丕至亙都

叫基向量。

五正交基底：假如空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直，那么這個(gè)

基底叫正交基底。

iii單位正交基底：當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱為單

位正交基底，通常用卜J''表示。

iv空間四點(diǎn)共面：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間中隨意一點(diǎn)

P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組X、丫、z,使.=歷+z五。

③共線向量(平行向量)：

i定義：假如表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些

向量叫做共線向量或平行向量，記作跡。

ii規(guī)定：零向量及隨意向量共線；

道共線向量定理：對(duì)空間隨意兩個(gè)向量-"平行的充要條件是:存在

實(shí)數(shù)入，使3=花。

④共面對(duì)量：

i定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面對(duì)量；空間的隨意兩

個(gè)向量都是共面對(duì)量。

五向量及平面平行：假如直線0A平行于平面或工在a內(nèi)，則說向量巨平行于

平面a,記作/二。平行于同一平面的向量，也是共面對(duì)量。

出共面對(duì)量定理：假如兩個(gè)向量與、且不共線，則向量巨及向量々、￡共面的充要條件是：存在實(shí)數(shù)對(duì)

X、y,使方=必+同。

iv空間的三個(gè)向量共面的條件：當(dāng)且、4、五都是非零向量時(shí)，共面對(duì)量定理

事實(shí)上也是巨、J、￡所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時(shí)，還須要證明其中一條直線上

有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。

v共面對(duì)量定理的推論：空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序

實(shí)數(shù)對(duì)x、y,使得礪=曲+》磁,或?qū)τ诳臻g隨意肯定點(diǎn)0,有癡=丁+礪+V庇。

⑤空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量巨、亙,在空間任取一點(diǎn)0,作一=:.=占

（兩個(gè)向量的起點(diǎn)肯定要相同），則叫做向量之及上的夾角，記作上包三，且心"%.

規(guī)定3=<a,至>e[O.TT]：

6=0。0°<0<90°0=90°900<&<180°8=180°

⑥兩個(gè)向量的數(shù)量積:

i定義：已知空間兩個(gè)非零向量與、￡,則同忖cos叫做向量入士的數(shù)量

積，記作巫，即：一斗田a&萬〉。

ii規(guī)定：零向量及任一向量的數(shù)量積為0。

適留意：兩個(gè)向量的數(shù)量積也叫向量亙、互的點(diǎn)積（或內(nèi)積），它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)

數(shù)，它等于兩向量的模及其夾角的余弦值。

iv數(shù)量積的幾何意義：邁叫做向量亙?cè)趤兎较蛏系耐队埃ㄆ渲?為向量五和亙的

夾角）。

即：數(shù)量積也等于向量色的模及向量2在巴方向上的投影的乘積。

V基本性質(zhì):

Vi運(yùn)算律：

校換律：a^b-b^a；

*分配律:[a+b\c-ac+bc；

啜乘結(jié)合律：|44|石=。?1惑|二工|以石|(其中4為實(shí)數(shù))

(2)空間向量的線性運(yùn)算：

①定義：及平面對(duì)量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法及數(shù)乘向量運(yùn)算如下：

②加法：OB=OA-^-AB=a+b③減法：而=勿-礪=2-4

④數(shù)乘向量：礪=總(建幻⑤運(yùn)算律:i加法交換律：衽會(huì)注日加法結(jié)合律：

(a+?+c=a+(X+c)適數(shù)乘安排律：40+各)=總+宓

二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：

1、立體幾何初步是側(cè)重于定性探討，而空間向量則側(cè)重于定量探討?？臻g向量的引入，為解

決三維空間中圖形的位置關(guān)系及度量問題供應(yīng)了一個(gè)非常有效的工具。

2、依據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問題的向量法，建立空間直角坐

標(biāo)系，形成了用空間坐標(biāo)探討空間圖形的坐標(biāo)法，它們的解答通常遵循“三步”：一化向量問題，二

進(jìn)行向量運(yùn)算，三回到圖形問題。其實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。

3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算及向量的運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)分，向量的數(shù)量積滿意交換律和安排律，但不滿

意結(jié)合律，因此在進(jìn)行數(shù)量積相關(guān)運(yùn)算的過程中不行以隨意組合。值得一提的是：完全平方公式和平

方差公式仍舊適用,數(shù)量積的運(yùn)算在很多方面和多項(xiàng)式的運(yùn)算如出一轍，尤其去括號(hào)就顯得更為突出，

下面兩個(gè)公式較為常用，請(qǐng)務(wù)必記住并學(xué)會(huì)應(yīng)用：⑷叩,I小呵。

2、空間向量的坐標(biāo)表示：

(1)空間直角坐標(biāo)系：

①空間直角坐標(biāo)系O-xyz,在空間選定一點(diǎn)。和一個(gè)單位正交基底匕工，以點(diǎn)

0為原點(diǎn)，分別以】3、工的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸:x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，點(diǎn)0

叫做原點(diǎn)，向量三￡叫做坐標(biāo)向量，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面,

yOz平面,zOx平面。

②右手直角坐標(biāo)系：右手握住Z軸，當(dāng)右手的四指從正向X軸以90。角度轉(zhuǎn)向正

向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向；

y

③構(gòu)成元素：點(diǎn)（原點(diǎn)）、線（X、y^z軸）、面（xOy平面，yOz平面，zOx平面）；

④空間直角坐標(biāo)系的畫法:作空間直角坐標(biāo)系O-xyz時(shí),一般使Nx0y=135。（或

45°）,Zy0z=90°,z軸垂直于y軸，z軸、y軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z

軸）的一半；

（2）空間向量的坐標(biāo)表示：

①已知空間直角坐標(biāo)系和向量2,且設(shè)五上為坐標(biāo)向量（如圖），

由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組回叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作

②在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)于空間任一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量紅，若

的=3+，+z"則有序數(shù)組（x,y,z）叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A（x,y,z）,其

中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)，寫點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)間的

依次不能變。

③空間任一點(diǎn)的坐標(biāo)的確定：過P分別作三個(gè)及坐標(biāo)平面平行的平面（或垂面）,

分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，|x|=|0A|,|y|=|0B|,|z|=|0C|,當(dāng)紅及工的方向相

同時(shí)，x>0,當(dāng)CM及7的方向相反時(shí),x<0,同理可確y、z（如圖）。

④規(guī)定：一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)，于是，空間隨意一個(gè)向量及它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。

⑤一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去

起點(diǎn)的坐標(biāo)。

設(shè)金（電乃,馬）,8（—Z?）,

則：出=。一—。月=（々，為，Z2）一（與，必，21）=（小一為，必一乃，Z2-Z1）

（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：

（

設(shè)以=4卜的，％'%=風(fēng)與，b3K則:

①

4+力=（/,叼，％）+[4,瓦,％?=ta2+與，％+與）；

a—b=\"1，&2,口3]一]4,b??=[?]一自，以z—占?,以3-^3I>

③4d二兄1/,以2,以31=i2，，兄42，兄以3I（4WR）；

④《力=1%,以2，%1114，%,%,=7自+。我2+4必；

⑤a#否Q&=—=—=2或aH2=%=祖,a=毋?，a=眄；

瓦瓦%23

⑥a2.^<=>以自+嫁>2+?物=0；

⑦空間兩點(diǎn)間距離：6舄=4馬一再）2+（乃一必，+92-4）2；

的一公匕-必Z「Z]]

⑧空間線段弛0竺義強(qiáng)也生也的中點(diǎn)M（x,y,z）的坐標(biāo):〔2'2’2人

⑨球面方程：X"2+Z」2

二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：

4、過定點(diǎn)0,作三條相互垂直的數(shù)軸，它們都以0為原點(diǎn)且一般具有相同的長度單位。這三

條軸分別叫做z軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸）；統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。通常把x軸和y軸配置在水平

面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間

直角坐標(biāo)系，點(diǎn)。叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。

5、空間直角坐標(biāo)系中的特別點(diǎn)：

(1)點(diǎn)(原點(diǎn))的坐標(biāo):(0,0,0);

(2)線(坐標(biāo)軸)上的點(diǎn)的坐標(biāo)：x軸上的坐標(biāo)為(x,0,0),y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0),z

軸上的坐標(biāo)為S,0,z)；

(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為(x,y,0)、平

面上的坐標(biāo)為(0,y,z)、平面上的坐標(biāo)為(x,0,z)

6、要使向量亙及z軸垂直，只要z=0即可。事實(shí)上，要使向量向及哪一個(gè)坐標(biāo)軸垂直，只要向量工的

相應(yīng)坐標(biāo)為0即可。

7、空間直角坐標(biāo)系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy

平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平

行于平面xOy平面；

8、只要將和1=4，+//+/)代入,即可證明空間向量的運(yùn)算法則及平面對(duì)量

一樣；

9、由空間向量基本定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個(gè)向量生成.隨意不共

面的三個(gè)向量?jī)?chǔ)瓦舊都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底,此定理是空間向量分解的基礎(chǔ)。

立體幾何中的向量方法

1.空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算

(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=(ae&)>b—(b\,bz,bi),

則①a士萬=(ai±A,a2+bi,a3+bd;

②4a=(4a”4a2,4a3)；

(§)3,Z>—a26+Q3th.

(2)共線及垂直的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(a”4)，b—(.bnbi,bi),

貝!ja〃2a=4A,a2=a3=2^(2GR),

aJ_g>a?Z>=0oai8i+a26+a3&=0(a,6均為非零向量).

(3)模、夾角和距離公式

設(shè)a=(3i,32,a。，b=(Z>i,bi,2%)，

則Ia|=山?a=7a：+1+a；,

,,、a?babi+aibi

C°S6b=7^7=G+a升霜2.+醫(yī)+醫(yī)

設(shè)4(a”bnci)>B(a2,th,C2),

-

則dAB=I葡=7—3231―S-―bi-b\―M-―Q-Ci—\

2.立體幾何中的向量方法

(1)直線的方向向量及平面的法向量的確定

①直線的方向向量：】是空間始終線，48是直線1上隨意兩點(diǎn)，則稱卷為直線1的方向向量，及宓

平行的隨意非零向量也是直線1的方向向量.

②平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a,8是平面。內(nèi)兩不共線向量，A為平面。的法向量，則

n,a=Q,

求法向量的方程組為人

n?b=n0.

(2)用向量證明空間中的平行關(guān)系

①設(shè)直線Z和乙的方向向量分別為匕和外，則Z〃】2(或人及乙重合)=玲〃心

②設(shè)直線1的方向向量為%及平面a共面的兩個(gè)不共線向量力和V2,則1〃?；騦uao存在兩

個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使v=xvi-icyv2.

③設(shè)直線1的方向向量為v,平面a的法向量為u,則1〃a或7caoid_a

④設(shè)平面a和尸的法向量分別為u”也,則a"B0ujlu?

(3)用向量證明空間中的垂直關(guān)系

①設(shè)直線Z和L的方向向量分別為匕和V2,則4_1_120匕1小匕,嘎=0.

②設(shè)直線1的方向向量為V,平面a的法向量為u,則7±a=v〃u.

③設(shè)平面。和￡的法向量分別為由和貝!JaJLB0u」uQUi?u2=Q.

(4)點(diǎn)面距的求法

如圖，設(shè)"為平面a的一條斜線段，A為平面a的法向量，則8到平面a的距離占維區(qū)

\n\

=助學(xué)做博----

一種思想

向量是既有大小又有方向的量，而用坐標(biāo)表示向量是對(duì)共線向量定理、共面對(duì)量定理和空間向量基本

定理的進(jìn)一步深化和規(guī)范，是對(duì)向量大小和方向的量化：

(1)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，其終點(diǎn)坐標(biāo)即向量坐標(biāo)；

(2)向量坐標(biāo)等于向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去其起點(diǎn)坐標(biāo).

得到向量坐標(biāo)后，可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直等位置關(guān)系，計(jì)算空間成角和距離等問題.

三種方法

主要利用直線的方向向量和平面的法向量解決下列問題：

'直線及直線平行

(1)平行，直線及平面平行

、平面及平面平行

'直線及直線垂直

(2)垂直《直線及平面垂直

、平面及平面垂直

(3)點(diǎn)到平面的距離

求點(diǎn)到平面距離是向量數(shù)量積運(yùn)算(求投影)的詳細(xì)應(yīng)用，也是求異面直線之間距離，直線及平面距離

和平面及平面距離的基礎(chǔ).

雙基自測(cè)

1.兩不重合直線A和4的方向向量分別為外=(1,0,-1),丹=(-2,0,2),則A及L的位置關(guān)系

是().

A.平行B.相交C.垂直D.不確定

解析VV2=-2VI,:、V//V2.

答案A

2.已知平面a內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)"(L-1,2),平面a的一個(gè)法向量是A=(6,—3,6),則下列點(diǎn)尸中在

平面a內(nèi)的是().

A.尸(2,3,3)B.尸(一2,0,1)

C.尸(一4,4,0)D.A3,-3,4)

解析,：n=(6,-3,6)是平面。的法向量，

；.n工蛇在選項(xiàng)A中，萌三(1,4,1),???〃?荔-0.答案A

3.(2011?唐山月考)已知點(diǎn)4B,CW平面a,點(diǎn)甩a,則力?宓=0,且力?亦=0是力?反=0

的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

力?宓=0_——

解析由，，得心?{AB—AC)=0,

.力.我=0

即亦?花=0,亦即亦?應(yīng)三0,反之，若病?灰=0,

則亦?(衣一福=0=亦?好力?就未必等于0.

答案A

4.(人教A版教材習(xí)題改編)已知a=(—2,-3,1),6=(2,0,4),。=(一4,-6,2),則下列結(jié)論正

確的是().

A.a〃c,b〃用.a/7b,aJLc

C.a〃c,a±l^,以上都不對(duì)

解析Vc=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,:.a〃c,

又a?8=-2X2+(—3)X0+lX4=0,：.a±b.

答案C

5.(2012?舟山調(diào)研)已知宓=(2,2,1),設(shè)=(4,5,3),則平面上的單位法向量是.

解析設(shè)平面被7的法向量A=(x,y,z).

［辦?〃=(),⑵r+2y+z=0,

則［衣?片0,即14x+5y+3z=0.

'_1

令z=l,得“，5'：.n=一1,11,.,.平面包?的單位法向量為土方=土國—11

.7=-b

…22)

答案土用T3j

考向一利用空間向量證明平行問題

【例1】“如圖所示，在正方體被力■4呂G〃中，M、〃分別是GC、5c的中點(diǎn).求證：例V〃平面4切.

［審題視點(diǎn)］干脆用線面平行定理不易證明，考慮用向量方法證明.

證明法一如圖所示，以〃為原點(diǎn)，」以、DC、曲所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1,

則?0,1,年,1,1),Z?(0,0,0),

4(1,0,1),夙1,1,0),

于是麻=&0,胃，

設(shè)平面4切的法向量是A=(x,y,z).

-2J"—"0,

則z??扇=0,且z??況=0,得｛

取x=l,得y=-1,z=-l..,.??=(1,—1,—1).

又的?&0,?(1,—1,—1)=0,

.?.血Lm又脈平面4切，

.?.仞加平面ABD.

法二施=山—々=46—：*=：(9L助)=：況1,

乙乙乙乙

:麗瓜,又丁融及ZH不共線，：.MN//DAX,

又?.?何平面4期4代平面4被工松〃平面4薇

【訓(xùn)練1】如圖所示，平面9_L平面板9,ABCD為正方形,2X9是直角三角形，且用=止=2,

E、F、G分別是線段用、PD、勿的中點(diǎn).求證：PB〃平面EFG.

證明?.?平面44〃_L平面四切且池力為正方形，

；.AB、APyM兩兩垂直，以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則2(0,0,0)、

8(2,0,0)、C(2,2,0)、"(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、尸(0,1,1)、G(l,2,0).

.,.眸(2,0,-2),您=(0,-1,0),而=(1,1,-1),

設(shè)眸后+匕帝

即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+力(1,1,-1),

1=2,

...?t—s=0,解得s=b=2.

、一t=12,

.?.眸2磅+2由

又???威及應(yīng)不共線，，急威及磨面.

*；P及平面EFG,.?.陽〃平面班;.

考向二利用空間向量證明垂直問題

【例2】》如圖所示，在棱長為1的正方體以醫(yī)48G中，E,夕分別是棱佃質(zhì)上的動(dòng)點(diǎn)，且如'

=BF=x,其中0W盡1,以0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系dxjz

(1)求證4尸_LG及

(2)若A,E,F,G四點(diǎn)共面,求證：彳勿=3宿+布

［審題視點(diǎn)］本題已建好空間直角坐標(biāo)系，故可用向量法求解，要留意找準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo).

證明(1)由已知條件

4(1,0,1)，氏1一區(qū)1,0),61(0,1,1)，夕(1,%0),

布=(-x,L-1),竟=(LX-1,-1),

則箱?竟=-x+(x—l)+l=O,

：XFLC^E,即4￡LGW

(2)"(一為1,-1),A^=(-l,1,0),

KE=(0,x,—1),

’-x=一4，

設(shè)入蔗+〃檢＜1=4+nx,

、-1=一〃，

解得4=J，〃=L

Li

/.A^F=\^C\+A^E.

方法總結(jié)》證明直線及直線垂直，只須要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線及平面垂直，平面及平

面垂直可轉(zhuǎn)化為直線及直線垂直證明.

【訓(xùn)練2】如圖所示，在四棱錐?施力中，用_1底面血力，ABVAD,ACVCD,乙超6-60°,PA=

AB=BC,￡是尸。的中點(diǎn).證明:

(2)血_平面胸

證明AB、AD、"(兩兩垂直,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=AB=BC=1,則2(0,0,1).

(1)VZAffC^60°,

△腕為正三角形.

1亞I)

,0,

???4半￡4，2)

設(shè)〃(0,匕0),由4CJ_C9,得衣?宓=0,

即尸乎，則/o,乎，o］，

J\6J

???研-/嚕，°!.又能=1坐9

:.施.^=-+解x率=0,

2464

.?.血力，即/及磔

1_、

(2)法一VAO,0,1),...昨[0,吉，-1.

又宓?直=乎、今日+]*(-1)=0,

TtJ乙

...加行BPPDVAE.7B=(1,0,0),...力?90,

：.PDVAB,又四0四=4.,.勵(lì)JL平面力被

法二~^=(1,0,0),速=平,斗

設(shè)平面4必的一個(gè)法向量為A=(x,y,z),

'：Tb//n,.?.血_平面板即也平面儂：

考向三利用向量求空間距離

【例3】??在三棱錐西61中，是邊長為4的正三角形，平面必C_L平面版7,SA=SC=2y［3,M、

〃分別為被即的中點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)6到平面的的距離.

［審題視點(diǎn)］考慮用向量法求距離，距離公式不要記錯(cuò).

解取4。的中點(diǎn)。，連接。S、OB.

'：SA=SC,AB=BC,

：.ACLSO,ACLBO.

?平面弘C_L平面ABC,平面SACD平面ABC=AC,

，S0_L平面97,:.SO;BO.

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系ax%,

則5（0,2小,0）,6,（-2,0,0）,5（0,0,2^2）,

Mb小,o）,M0,小,也）.

.?.9（3,小,0）,昨（一1,0,的，

好（一1,小,0）.

設(shè)z?=（x,y,z）為平面OW的一個(gè)法向量,

\VM,n—3x+-\/3y=Q,

則J取z=l,

[詼?n=-x+-\[2z=0,

則尸蛆，y=—\/6,：.n—（A/2,一加，1）.

二點(diǎn)夕到平面的的距離

,|A?礪|4A/2

〃=”r=3-

方法總結(jié)》點(diǎn)到平面的距離，利用向量法求解比較簡(jiǎn)潔，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法，如本題，事實(shí)上,

作曲L平面CMN千H.茁曲=兩中麗皮曲?n=n?面f,

得|曲?n\=\n*喇=|物|?\n\,

濟(jì)ml就IQ網(wǎng)|A?網(wǎng)

所以|掰=—向一，即d=―向一.

【訓(xùn)練3]（2010?江西）如圖，△板及都是邊長為2的正三角形，平面加2L平面BCD,ABV

平面比AB=2小.

（1）求點(diǎn)A到平面儂的距離；（2）求平面力以及平面以》所成二面角的正弦值.

解取切中點(diǎn)0,連OB,OM,則血龍，OMLCD.

又平面加2L平面比2則初_L平面比0

取。為原點(diǎn)，直線依BO、掰為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

OB=OM=?則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為。（1,0,0）,"（0,0,回B（0,一小,0）,4（0,一，§,2?。?

（1）設(shè)z?=（x,y,z）是平面如。的法向量，則宓=（1,耳§,0）,雄=（0,小,?。?

由A_L應(yīng)得x+y[3y=0；由A_L詼得]§廣1~m2=0.

取〃=（羽，-1,1）,或=（0,0,2/），則4^[^=工=^^.

（2）^（-1,0,?。?以=（一1,一木,2^3）.

設(shè)平面的法向量為功=（x,y,z）,

由m_1_詼4_1_冷得]。，廠解得刀="2,y=z,取m=（m，1,1）.

|-*—何+2Vsz=0,

又平面BCD的法向量為n2=（0,0,1）.

所以cos<77；,加=/：：7：：/=泉設(shè)所求二面角為。，則sin，=￥.

規(guī)范解答15——立體幾何中的探究性問題

【問題探討】高考中立體幾何部分在對(duì)有關(guān)的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系考查的同時(shí)，往往也會(huì)考查一些探

究性問題，主要是對(duì)一些點(diǎn)的位置、線段的長度，空間角的范圍和體積的范圍的探究，對(duì)條件和結(jié)論

不完備的開放性問題的探究，這類題目往往難度都比較大，設(shè)問的方式一般是“是否存在？存在給出

證明，不存在說明理由

【解決方案】解決存在及否類的探究性問題一般有兩個(gè)思路：一是干脆去找存在的點(diǎn)、線、面或是一

些其他的量；二是首先假設(shè)其存在，然后通過推理論證或是計(jì)算，假如得出了一個(gè)合理的結(jié)果，就說

明其存在；假如得出了一個(gè)沖突的結(jié)果，就說明其不存在.

【示例】》(本小題滿分14分)(20H?福建)如圖，四棱錐以靦中，弘，底面被力.四邊形被力中，

ABVAD,AB+AD=^,g雜,ZCDA=45°.

(1)求證：平面必&L平面

⑵設(shè)世=四

(i)若直線依及平面物所成的角為30°,求線段"的長；

(ii)在線段4?上是否存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)尸、B、C、〃的距離都相等？

［解答示范］(1)因?yàn)椤╛!_平面被力，A氏平面ABCA,

所以PAVAB.

又AB1AD,PA^AD=A,所以"_L平面總

又ABcz平面PAB,所以平面44員L平面PAD.(4分)

(2)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).

在平面?zhèn)m7?內(nèi)，作龍〃四交助于點(diǎn)瓦

則CEVAD.

在Rt△頗'中，DE=CD*cos45°=1,CE=CD?sin45°=1.

設(shè)四=加三匕，則以￡,0,0),尸(0,0,t).由四十@?=4得，AD=4-t,

所以夙0,3—60),<7(1,3-1,0),Z?(0,4-1,0),。方=(-1,1,0),PT=(0,4-t,一力.(6分)

(i)設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),

——1-x+y=0,

由zd_C方，ntP方,得1,八

,4—ty-tz=Q.

取x=t,得平面PCD的一個(gè)法向量n—(t,t,4—t).

又P卡=(t,0,—t),

故由直線期及平面物所成的角為30°得cos60°=-------—，即/二」，：~~7=^=

|z?|?\PT\聲+「+4T②?丹

1

2f

44

解得亡=三或t=4(舍去)，因?yàn)镸=4—￡>0,所以"=三.(9分)

00

(ii)法一假設(shè)在線段加上存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到尸，B,C,〃的距離都相等，

設(shè)G(0,處0)(其中0W辰4-t),

則GT=(1,3—2一@0),G^=(0,4-t-m,0),GP=(0,-a,t).

由|G?=|G方|得1+(3—t—/2=(4—R)2,即t=3—r；(1)

由|G方|=|GA|得(4—t—H)2="+/.(2)

由⑴、(2)消去t,化簡(jiǎn)得"一3/4=0.(3)(12分)

由于方程(3)沒有實(shí)數(shù)根，所以在線段皿上不存在一個(gè)點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)AG〃的距離都相等.從

而，在線段皿上不存在一個(gè)點(diǎn)G