2015屆高考理科數(shù)學(xué)第一輪知識(shí)點(diǎn)專項(xiàng)題庫18

沁園春·雪<毛澤東>北國風(fēng)光，千里冰封，萬里雪飄。望長城內(nèi)外，惟余莽莽；大河上下，頓失滔滔。山舞銀蛇，原馳蠟象，欲與天公試比高。沁園春·雪<毛澤東>北國風(fēng)光，千里冰封，萬里雪飄。望長城內(nèi)外，惟余莽莽；大河上下，頓失滔滔。山舞銀蛇，原馳蠟象，欲與天公試比高。須晴日，看紅裝素裹，分外妖嬈。江山如此多嬌，引無數(shù)英雄競折腰。惜秦皇漢武，略輸文采；唐宗宋祖，稍遜風(fēng)騷。一代天驕，成吉思汗，只識(shí)彎弓射大雕。俱往矣，數(shù)風(fēng)流人物，還看今朝。須晴日，看紅裝素裹，分外妖嬈。江山如此多嬌，引無數(shù)英雄競折腰。惜秦皇漢武，略輸文采；唐宗宋祖，稍遜風(fēng)騷。一代天驕，成吉思汗，只識(shí)彎弓射大雕。俱往矣，數(shù)風(fēng)流人物，還看今朝。第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式一、填空題1．已知sin110°＝a，則cos20°的值為________．解析a＝sin(90°＋20°)＝cos20°.答案a2．已知cos31°＝a，則sin239°·tan149°＝________.解析sin239°·tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°·(－tan31°)＝cos31°·eq\f(sin31°,cos31°)＝sin31°＝eq\r(1－cos231°)＝eq\r(1－a2).答案eq\r(1－a2)3．設(shè)tan(5π＋α)＝m，則eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值為________．解析∵eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)＝eq\f(sin－4π＋π＋α－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinπ＋α－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)，又tan(5π＋α)＝m，∴tan(π＋α)＝m，tanα＝m，∴原式＝eq\f(m＋1,m－1).答案eq\f(m＋1,m－1)4．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(2,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝________.解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(2,3).答案－eq\f(2,3)5．已知cos(π－α)＝eq\f(8,17)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則tanα＝________.解析cos(π－α)＝－cosα＝eq\f(8,17)，即cosα＝－eq\f(8,17).又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴sinα＜0.所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17).故tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(15,8).答案eq\f(15,8)6．已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，則cosα－sinα的值是________．解析1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2＝eq\f(3,4)，又∵eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，sinα＞cosα.∴cosα－sinα＝－eq\f(\r(3),2).答案－eq\f(\r(3),2)7．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則2tanx＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))的最小值為________．解析因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以tanx>0.所以2tanx＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝2tanx＋eq\f(1,tanx)≥2eq\r(2)，所以2tanx＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))的最小值為2eq\r(2).答案2eq\r(2)8．已知sinx＋siny＝eq\f(1,3)，則siny－cos2x的最大值為________．解析因?yàn)閟inx＋siny＝eq\f(1,3)，所以siny＝eq\f(1,3)－sinx.又－1≤siny≤1，所以－1≤eq\f(1,3)－sinx≤1，得－eq\f(2,3)≤sinx≤1.因此，siny－cos2x＝eq\f(1,3)－sinx－(1－sin2x)＝－eq\f(2,3)－sinx＋sin2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2－eq\f(11,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤sinx≤1))，所以當(dāng)sinx＝－eq\f(2,3)時(shí)，siny－cos2x取最大值eq\f(4,9).答案eq\f(4,9)9．三角形ABC是銳角三角形，若角θ終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(sinA－cosB，cosA－sinC)，則eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值是________．解析因?yàn)槿切蜛BC是銳角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，則sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以點(diǎn)P在第四象限，eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)＝－1＋1－1＝－1.答案－110．已知α為第二象限角，cos2α＝－eq\f(3,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2α))＝________.解析∵2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π.又cos2α＝－eq\f(3,5)，∴2α的終邊在第二象限，∴sin2α＝eq\f(4,5)，∴tan2α＝－eq\f(4,3).∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2α))＝eq\f(1＋tan2α,1－tan2α)＝eq\f(1－\f(4,3),1＋\f(4,3))＝－eq\f(1,7).答案－eq\f(1,7)二、解答題11．已知sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3)，求eq\f(cosπ＋θ,cosθ[cosπ－θ－1])＋eq\f(cosθ－2π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cosθ－π－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值．解因?yàn)閟in(3π＋θ)＝－sinθ＝eq\f(1,3)，所以sinθ＝－eq\f(1,3).所以原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cos2π－θ,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))cosπ－θ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(cosθ,－cos2θ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝18.12．已知0＜α＜eq\f(π,2)，若cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),5)，試求eq\f(2sinαcosα－cosα＋1,1－tanα)的值．解因?yàn)閏osα－sinα＝－eq\f(\r(5),5)，所以1－2sinα·cosα＝eq\f(1,5).所以2sinα·cosα＝eq\f(4,5)，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋eq\f(4,5)＝eq\f(9,5).因?yàn)?＜α＜eq\f(π,2)，所以sinα＋cosα＝eq\f(3,5)eq\r(5).由cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＋cosα＝eq\f(3\r(5),5)得sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，∴tanα＝2，∴eq\f(2sinαcosα－cosα＋1,1－tanα)＝eq\f(2·\f(2\r(5),5)·\f(\r(5),5)－\f(\r(5),5)＋1,1－2)＝eq\f(\r(5),5)－eq\f(9,5).13．已知函數(shù)f(x)＝2cos2eq\f(x,2)－eq\r(3)sinx.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域；(2)若α為第二象限角，且f(α－eq\f(π,3))＝eq\f(1,3)，求eq\f(cos2α,1＋cos2α－sin2α)的值．解(1)∵f(x)＝1＋cosx－eq\r(3)sinx＝1＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，[來源:學(xué)|科|網(wǎng)]∴函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，值域?yàn)閇－1,3]．(2)∵f(α－eq\f(π,3))＝eq\f(1,3)，∴1＋2cosα＝eq\f(1,3)，即cosα＝－eq\f(1,3).eq\f(cos2α,1＋cos2α－sin2α)＝eq\f(cos2α－sin2α,2cos2α－2sinαcosα)＝eq\f(cosα＋sinαcosα－sinα,2cosαcosα－sinα)＝eq\f(cosα＋sinα,2cosα)，又∵α為第二象限角，∴sinα＝eq\f(2\r(2),3)，∴原式＝eq\f(cosα＋sinα,2cosα)＝eq\f(1－2\r(2),2).14．已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個(gè)根．(1)求cos3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))的值；(2)求tan(π－θ)－eq\f(1,tanθ)的值．解由已知原方程判別式Δ≥0，即(－a)2－4a≥∴a≥4或a≤0.∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝a，,sinθcosθ＝a，,sinθ＋cosθ2＝1＋2sinθcosθ，))∴a2－2a∴a＝1－eq\r(2)或a＝1＋eq\r(2)(舍去)．∴sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－eq\r(2).(1)cos3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＋sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－eq\r(2))[1－(1－eq\r(2))＝eq\r(2)－2.(2)tan(π－θ)－eq\f(1,tanθ)＝－tanθ－e