隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)

關(guān)于隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)28.07.20242目錄5.1具有隨機(jī)輸入的線性時(shí)不變系統(tǒng)5.2平穩(wěn)白噪聲通過LTI系統(tǒng)5.3信號功率譜與帶寬5.4噪聲中的信號處理5.5平穩(wěn)序列通過離散LTI系統(tǒng)第2頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202435.1具有隨機(jī)輸入的線性時(shí)不變系統(tǒng)

一個(gè)系統(tǒng)對輸入信號x(t)的作用，可以表示為y(t)=L[x(t)]，其中x(t)是系統(tǒng)的輸入，y(t)是系統(tǒng)的輸出，L[x(t)]表示系統(tǒng)對x(t)的作用，是對信號x(t)進(jìn)行運(yùn)算的符號，稱為運(yùn)算子。L代表各種可能的數(shù)學(xué)運(yùn)算方法，例如加法、減法、乘法、微分、積分以及微分方程、積分方程的求解運(yùn)算等。第3頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.20244若系統(tǒng)輸入之線性組合的響應(yīng)等于各自響應(yīng)之線性組合，則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。對于線性系統(tǒng),若輸入信號x(t)有時(shí)移,使輸出y(t)也有一個(gè)相同的時(shí)移，即y(t-τ)=L[x(t-τ)],則稱該線性系統(tǒng)為線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng),滿足以下性質(zhì)：

線性性：對于任何a1,a2,x1(t),x2(t)與τ，有

時(shí)不變性：系統(tǒng)完全由算子L[]確定。第4頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.20245線性時(shí)不變系統(tǒng)的其他表示形式線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出可看成是輸入信號的沖激響應(yīng)（嚴(yán)格說是零狀態(tài)響應(yīng)），表示為：其中第5頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.20246線性系統(tǒng)的輸出過程當(dāng)輸入信號X(t,ξi)是隨機(jī)過程時(shí)，系統(tǒng)的輸出Y(t,ξi)映射為Y(t,ξi)=L[X(t,ξi)]。由于ξi在X(t)對應(yīng)的整個(gè)樣本空間取值，使Y(t,ξi)成為隨機(jī)函數(shù)，構(gòu)造出一個(gè)新的隨機(jī)過程。若輸入信號的均方值E|X(t)|2存在，則該類信號是穩(wěn)定的。對于穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號穩(wěn)定時(shí)，其輸出信號也一定是穩(wěn)定的。穩(wěn)定系統(tǒng)滿足第6頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.20247幾種特殊情形下Y(t)的概率分布如果X(t)是高斯過程，則Y(t)也是高斯過程，且X(t)與Y(t)是聯(lián)合高斯的；若窄帶隨機(jī)信號通過寬帶系統(tǒng)，當(dāng)在信號X(t)的通帶內(nèi)H(jw)幾乎不變時(shí)，即Y(t)≈kX(t)，k為常數(shù)，則Y(t)與X(t)具有相似的概率特性；如果寬帶隨機(jī)信號X(t)通過窄帶系統(tǒng)，當(dāng)X(t)的帶寬大于系統(tǒng)帶寬約7-10倍時(shí)，可近似認(rèn)為Y(t)總是高斯的，即使X(t)是一般隨機(jī)信號。第7頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.20248對于時(shí)不變系統(tǒng)，若過程X(t)與X(t+τ)的分布特性相同，則過程Y(t)與Y(t+τ)的分布特性也相同。如X(t)是嚴(yán)格平穩(wěn)的，則Y(t)也是嚴(yán)格平穩(wěn)的。如X(t)是廣義平穩(wěn)的，則Y(t)也是廣義平穩(wěn)的。而且X(t)與Y(t)是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的。第8頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.20249系統(tǒng)輸出過程的均值與相關(guān)函數(shù)定理5.1對于任何穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，有E{L[X(t)]}=L{E[X(t)]}。證明：由于是穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，求均值與求積分可以交換順序，則第9頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202410定理5.2若X(t)為平穩(wěn)過程，h(t)為實(shí)LTI系統(tǒng)，Y(t)=X(t)*h(t)，則X(t)與Y(t)是聯(lián)合廣義平穩(wěn)過程，并且有

(1)mY=mXH(j0)(2)RYX(τ)=RX(τ)*h(τ)(3)RXY(τ)=RX(τ)*h(-τ)(4)RY(τ)=RX(τ)*h(τ)*h(-τ)第10頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202411證明：(1)其中(2)令τ=t1-t2第11頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202412(3)令τ=t1-t2,v=-u(4)第12頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202413定義系統(tǒng)（沖激響應(yīng)）的相關(guān)函數(shù)為|H(jw)|2稱為功率傳輸函數(shù)輸出過程的均值與相關(guān)函數(shù)第13頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202414推論若LTI系統(tǒng)的頻響函數(shù)為H(jw)，則其互功率譜與功率譜關(guān)系如下：（1）SYX(w)=SX(w)H(jw)（2）SXY(w)=SX(w)H*(jw)（3）SY(w)=SX(w)|H(jw)|2第14頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202415第15頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202416解：（1）輸入是平穩(wěn)信號，則由功率譜之間的關(guān)系，有因此第16頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202417（2）由于X(t)是高斯信號，Y(t)也是高斯信號，且則（3）因?yàn)閅(t)的均值為0，故第17頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202418第18頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202419解：故X(t)是廣義平穩(wěn)的。第19頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202420第20頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202421輸出信號的時(shí)間平均為：如果X(t)是各態(tài)歷經(jīng)的，則A[X(t-u)]=mX(t-u)。Y(t)均值也是各態(tài)歷經(jīng)的。同樣，Y(t)的相關(guān)函數(shù)也是各態(tài)歷經(jīng)的。第21頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.2024225.2平穩(wěn)白噪聲通過LTI系統(tǒng)平穩(wěn)白噪聲的均值為0，相關(guān)函數(shù)與功率譜為：白噪聲通過系統(tǒng)h(t)的輸出噪聲為Y(t)，功率譜為第22頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202423輸出信號Y(t)的均值、相關(guān)函數(shù)與功率譜第23頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202424第24頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202425解：（1）系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：其沖激響應(yīng)為：噪聲功率譜為：輸出信號功率譜為：輸出信號的相關(guān)函數(shù)為：信號功率為：第25頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202426（2）因?yàn)閄(t)是高斯的，由X(t)的平穩(wěn)性知道，Y(t)也是高斯的，則Y(t)的均值和方差為：Y(t)的概率密度函數(shù)為：第26頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202427第27頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202428解：由定理，因?yàn)閯t第28頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202429白噪聲通過低通與帶通線性系統(tǒng)第29頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202430N0/20設(shè)白噪聲的功率譜輸出的功率譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)第30頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202431N0/20設(shè)白噪聲的功率譜輸出的功率譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

第31頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202432N0/20設(shè)白噪聲的功率譜輸出的功率譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

第32頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202433N0/20設(shè)白噪聲的功率譜輸出的功率譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

第33頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202434N0/20設(shè)白噪聲的功率譜輸出的功率譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時(shí)間

結(jié)論：輸出隨機(jī)信號的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。這就是說，系統(tǒng)帶寬越寬，相關(guān)時(shí)間越小，輸出隨機(jī)信號隨時(shí)間變化(起伏)越劇烈；反之，系統(tǒng)帶寬越窄，則越大，輸出隨機(jī)信號隨時(shí)間變化就越緩慢。

第34頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202435N0/2|H

(w)|0系統(tǒng)的中心頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬，則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)第35頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202436若輸入白噪聲的功率譜為則輸出的功率譜為

第36頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202437輸出相關(guān)函數(shù)為

第37頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202438輸出的相關(guān)系數(shù)為

帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為

帶通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間是由相關(guān)系數(shù)的慢變部分定義的，因此帶通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間與低通系統(tǒng)的相關(guān)時(shí)間一致。第38頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202439第39頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202440N維密度函數(shù)為：第40頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202441系統(tǒng)的等效噪聲帶寬第41頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202442由實(shí)值系統(tǒng)頻率響應(yīng)的偶對稱性WN=2πBN正好是系統(tǒng)功率傳遞函數(shù)|H(jw)|2的矩形等效帶寬。第42頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202443低通和帶通系統(tǒng)的等效噪聲帶寬第43頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202444例5.6求RC積分電路的等效噪聲帶寬。解：RC積分電路的功率傳遞函數(shù)為則因?yàn)楣仕蟮刃г肼晭挒榈?4頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202445隨機(jī)信號功率譜的物理意義：SX(w0)反映的是X(t)在w0局部的功率強(qiáng)度，SX(w0)對任何w0都是非負(fù)的。對于SX(w0)＝0的頻率處，E|Y(t)|2=0，這表示X(t)在均方意義下沒有該頻率分量。SX(w)指明了X(t)有效的頻率范圍與各頻率分布的狀態(tài)信息?；スβ首V的物理意義：SXY(w)反映了兩個(gè)信號的關(guān)聯(lián)性沿w軸的密度狀況。如果SXY(w)＝0，表明它們的相應(yīng)頻率分量是正交的。5.3信號功率譜與帶寬

第45頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202446第46頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202447解：第47頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202448（1）若X(t)與Y(t)正交，RXY(τ)=0，則

RUV(τ)=0，即U(t)與V(t)正交。（2）若X(t)與Y(t)無關(guān)，RXY(τ)=mXmY，則

RUV(τ)=mXmYH1(j0)H2(j0)=[mXH1(j0)][mYH2(j0)]=mUmV

即U(t)與V(t)無關(guān)。第48頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202449（3）若H1(jw)與H2(jw)的非零頻帶不重疊，即H1(jw)H2(jw)=0,則SUV(w)=0，即U(t)和V(t)正交。又H1(j0)與H2(j0)中至少有一個(gè)為零，使mU與mV中至少有一個(gè)為零，因此，U(t)與V(t)也無關(guān)。（4）即使X(t)與Y(t)為同一信號，若H1(jw)與H2(jw)為不同頻帶的帶通濾波器，U(t)和V(t)也正交且無關(guān)。結(jié)論：正交或無關(guān)的平穩(wěn)信號分別經(jīng)過LTI系統(tǒng)后仍是正交或無關(guān)的；平穩(wěn)信號的不同頻帶內(nèi)的分量總是彼此正交且無關(guān)的。第49頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202450隨機(jī)信號的帶寬平穩(wěn)信號X(t)的（矩形）等效帶寬(EquivalentBandwidth)定義為：對于低通信號，w0=0；對于帶通信號，w0通常取在S(w)的最大值處。第50頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202451平穩(wěn)信號X(t)的均方根帶寬(RMSBandwidth)定義為對于低通信號，w0=0；對于帶通信號，w0等于S(w)的重心，即第51頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.2024525.8假定隨機(jī)二元傳輸信號的取值概率p=q=0.5，求信號的矩形等效帶寬。解：當(dāng)p=q=0.5時(shí)，參見例3.15。S(0)=T，故等效矩形帶寬為其中，F(xiàn)=1/T，是二元數(shù)據(jù)寬度的倒數(shù)，稱為數(shù)據(jù)率。第52頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202453匹配濾波器問題：對于有限時(shí)長的確定信號s(t)，通過接收信號X(t)檢測s(t)是否出現(xiàn)。X(t)=x(t)+N(t)，其中N(t)是白噪聲，x(t)是未知信號。當(dāng)s(t)出現(xiàn)時(shí)，X(t)=s(t)+N(t)。解決問題的途徑：設(shè)計(jì)LTI濾波器，使Y(t)=X(t)*h(t)=s(t)*h(t)+N(t)*h(t)，以便檢測信號S(t)是否出現(xiàn)。第53頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202454檢測信號時(shí)只關(guān)心在某時(shí)刻t0是否可由抽樣值Y(t0)有效判定s(t)的存在。設(shè)計(jì)目標(biāo)：使Y(t0)中的信號與噪聲之比最大化，選擇合適的門限值，當(dāng)Y(t0)大于該門限時(shí)，就判定Y(t)中含有s(t)。第54頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202455因?yàn)閥s(t)=s(t)*h(t)是確定量，而YN(t)=N(t)*h(t)是隨機(jī)的，由下式確定Y(t0)的信噪比。令s(t)的傅里葉變換為S(jw)，考慮反變換，有由施瓦茲不等式，有當(dāng)滿足不等式取等號，不等式左端達(dá)到最大。第55頁,共63頁，星期六，2024年，5月28.07.202456令使ys2(t0)取得最大值，則式中Es為信號能量，并且最佳濾波器的沖激響應(yīng)為：第56頁,