浙江省縣城教研聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省縣城教研聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴，∵，∴，所以.故選：B．2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，則，即，所以，，解得，，故，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選：D．3.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.4 B.-4 C.6 D.-6〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以含的項(xiàng)為：，即的展開(kāi)式中的系數(shù)為6，故選：C．4.清代的蘇州府被稱(chēng)為天下糧倉(cāng)，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國(guó)各地．為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米?（）A.10500 B.12500 C.31500 D.52500〖答案〗A〖解析〗一斛米的體積為，因?yàn)槲宥窞橐货?，所以一斗米的體積為，故選：A.5.在中，分別為角的對(duì)邊，若，，，則（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，根據(jù)進(jìn)而求出，，由可得，，則，由正弦定理可知，又因?yàn)?，解得，，由正弦定理可得．故選：B．6.雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)為，，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且平行于C的一條漸近線(xiàn)，l交C于點(diǎn)P，若，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性可知P點(diǎn)在x軸上方或者下方不影響結(jié)果，不妨令P點(diǎn)在x軸下方，如圖：設(shè)、，，雙曲線(xiàn)其中一條漸近線(xiàn)為，直線(xiàn)的方程為，①由，得，即直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)方程為，②由點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，得，③聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，則，即，因此，所以離心率．故選：C7.已知實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為d等差數(shù)列，若，，則d的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由實(shí)數(shù)a，b，c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，所以設(shè)，，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)單調(diào)遞增，所以的最小值為，當(dāng)b趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)b從負(fù)方向趨近于時(shí)，也趨近于，所以，所以．故選：A．8.已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，且，點(diǎn)O關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由A，B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以可以設(shè)點(diǎn)，，則，由直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，故直線(xiàn)l不與x軸平行或重合，故可設(shè)直線(xiàn)l〖解析〗式為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程得，，所以，解得，所以直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為，由O，D關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，所以，且D點(diǎn)不與O點(diǎn)重合，故可知D的軌跡方程為：（不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)），所以，，即，故選：B．二、多選題9.已知向量，的夾角為，且，，則（）A. B.C. D.在的方向上的投影向量為〖答案〗AB〖解析〗，，故A正確；，所以，故B正確；，所以，又因，所以，故C錯(cuò)誤；在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤；故選：AB．10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)B.當(dāng)時(shí)，在上的最大值為C.當(dāng)為的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的最小值為1D.當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí)，的最大值為1〖答案〗ACD〖解析〗時(shí)，，因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A正確；時(shí)，由可得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知的最大值為，故B錯(cuò)誤；若，則，，所以，，且，所以的最小值為1，故C正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知的單調(diào)遞減區(qū)間為：，，，，所以，，所以，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，則（）A. B.C.奇函數(shù) D.〖答案〗BCD〖解析〗令，，則，將代入得，即，故A錯(cuò)誤；由，令可得，若存在x使得，則上式變?yōu)?，顯然不成立，所以，又，因?yàn)?，所以，將整理為，因?yàn)?，?+fx>0，所以，故B令，則，且，所以為奇函數(shù)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，由可知，因?yàn)閒n2>-1所以，故D正確；故選：BCD．三、填空題12.已知一組數(shù)據(jù)5，6，7，7，8，9，則該組數(shù)據(jù)方差是______．〖答案〗〖解析〗一組數(shù)據(jù)5，6，7，7，8，9的平均數(shù)為：，∴該組數(shù)據(jù)的方差為：．故〖答案〗為：．13.若，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榭傻茫驗(yàn)?，可得，解得或（舍去）所以．故〖答案〗?．14.三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，E，F(xiàn)分別為線(xiàn)段BC與AD的中點(diǎn)，M，N分別為線(xiàn)段AE與CF上的動(dòng)點(diǎn)，若平面ABD，則線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)I，因?yàn)槠矫鍭BD，由線(xiàn)面平行性質(zhì)定理可知，設(shè)，因?yàn)槿忮F的所有棱長(zhǎng)均為2，所以，且E為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，所以AE平分∠BAC，由角平分線(xiàn)定理可知，所以，因?yàn)镕為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，所以，由余弦定理可知，所以，令，，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)?，所以，則在時(shí)取得最小值，所以，綜上當(dāng)，即時(shí)MN取得最小值．故〖答案〗為：．四、解答題15.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，由，得，即，由，，成等比數(shù)列得，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以．所以．綜上．（2）由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，，所以，即，所以，，所以.綜上.16.將號(hào)碼為1，2，3，4的4個(gè)小球等可能地放入號(hào)碼為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，每個(gè)盒子恰放1個(gè)小球．（1）求1號(hào)球不在1號(hào)盒中的概率；（2）記所放小球號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同的個(gè)數(shù)為X，不同的個(gè)數(shù)為Y，求證：．（1）解：記事件“1號(hào)球不在1號(hào)盒中”為A，則；（2）證明：X的取值為0，1，2，4，且，，，，，所以，，時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，則，時(shí)，，此時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，，，因?yàn)?，所以?7.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，平面底面．（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，，平面ABCD，所以平面，平面，所以，又因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面；（2）解：設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，則平面，又平面，所以，取中點(diǎn)，因?yàn)椋?，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，即在的中垂線(xiàn)上，如圖建立空間直角建系，不妨取，則設(shè)為，，，，所以，，，由（1）可知，計(jì)算得，，所以，又，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，取，所以．18.已知函數(shù)，．（1）若在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，存在極小值點(diǎn)，求證：．（1）解：因?yàn)椋瑒t，由在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，所以，即，解得，綜上，．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹愠闪?，為關(guān)于的一次函數(shù)，又因?yàn)榇嬖跇O小值點(diǎn)，所以，又且，解得，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，所以，所以，即，，所以，令，則，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，所以，所以，即，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，即在時(shí)單調(diào)遞增，所以，綜上得證．19.記點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)的變換為.已知：，將上所有的點(diǎn)按變換后得到的點(diǎn)的軌跡記為.（1）求的方程；（2）已知：過(guò)點(diǎn)，記與的公共點(diǎn)為，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的平行線(xiàn)，分別交直線(xiàn)于兩點(diǎn)，若外接圓的半徑恒為，求四邊形面積的取值范圍.解：（1）取上任意一點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)變換后得到上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由題意可知為：，變形后得，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程得，，所以的方程為：.綜上方程為：.（2）因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則也在上，所以為與的公共點(diǎn)，則也為與的公共點(diǎn).所以不妨取，，則的〖解析〗式為：，的〖解