講與練高中數(shù)學(xué)1·②·必修第一冊(cè)·BS版第三章 習(xí)題課 弦長(zhǎng)問題

習(xí)題課弦長(zhǎng)問題

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)求直線被橢圓所截的弦長(zhǎng).2.掌握有關(guān)橢圓的最值問題.

【導(dǎo)語】

我們知道，當(dāng)直線被圓所截時(shí)，求弦長(zhǎng)有兩種方法：一是代數(shù)法求弦長(zhǎng)，二是幾何法求弦長(zhǎng)，

當(dāng)直線被橢圓所截時(shí)，弦長(zhǎng)如何求呢？

一、弦長(zhǎng)問題

問題1當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，如何求被截的弦長(zhǎng)？

提示當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=h+機(jī)（�）,橢圓方程為，+1=1（。?＞0）或《

+京直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A（xi，9），8（X2，）明

則\AB\=^/（Xi—X2）2+（yi—J2）2，

所以=yj（^i—X2）2+（kx\-te）2

=yji+lcyl（x\—X2）2

=71+k\（汨+12）2—4X1X2,

或|A8|=q&1W+8一”）2

=\J1+W（yif）2

=yj1+汽。1+竺）2—4yly2.

其中，》+必Q2或》+如的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y（或x）后得

到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可代入直接求得.

【知識(shí)梳理】

9,2

弦長(zhǎng)公式：當(dāng)直線尸船+雙丘0）與橢圓也+*=13乂＞0）的兩交點(diǎn)為A（M，yi）,仇及，＞2）時(shí)，

IABI=qa】_及）2+8—y2y

=71+W（M+初）2-4為及或|48|

=、/[+為8+）'2）2一外1%.

注意點(diǎn)：

（1）利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.

（2）不確定直線斜率的情況下，要分類討論.

例1(教材Pl14練習(xí)2改編)已知斜率為2的直線/經(jīng)過橢圓t+￡=l的右焦點(diǎn)人，與橢圓

相交于4,B兩點(diǎn)，求弦A8的長(zhǎng).

解因?yàn)橹本€/過橢圓［+1=1的右焦點(diǎn)Fi(l,O),

又直線斜率為2,所以直線/的方程為丫=2。-1),即2x-y-2=0.

得交點(diǎn)4（0,-2）,B（J,1

所以\AB\=?（XA一切）2+&A-沖）2

r_22

由方程組彳一,

、2x—y—2=0,

消去y得3*—5*=0,因?yàn)?=（-5>=25>0,

則Xl+X2='X\X2=0.

所以|A8|=7（X|—X2）2+—y2>

=、（笛-X2）2（l+北8）

=7（1+設(shè)B）[（X|+X2）2-4X1X2]

=^J（l+22（（1）2-4X0_

_5^5

—3,

住+j

方法三由方程組54，

、2x一廠2=0,

消去x得3y2+2〉一8=0,

因?yàn)镴=22-4X3X（-8）=100>0,

28

則/+?=_],yij2=—3>

所以|4B|=7（xi-刈）2+（y?—"A

喘+1)

=、/(1+看)[8+")2-4yly2]

5度

3-

反思感悟求解弦長(zhǎng)可以先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式進(jìn)行求解；也可以直接

利用弦長(zhǎng)公式求解.

跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓C：，+5=1(9>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為竽直線產(chǎn)k(x

—1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)△4MN的面積為邛時(shí)，求后的值.

4=2,

解(1)由題意得｛2=乎，得b=巾,

222

.a=b+c9

所以橢圓C的方程為1+^=1.

'y=k(x—l),

(2)由得(1+2標(biāo))/一4后》+2M—4=0.

設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(X|,力)，(如)2),

4必2^—4

則X[+X2=]+2爐，X|X2=]+2]，

所以\MN]=yl(X2—X|)2—(>'2—yI)2

=、(1+F)[(X1+X2)2-4X1X2]

2y(1+F)(4+6F)

——1+2/r

因

又點(diǎn)A(2,0)到直線y=k(x-l)的距離d=

w+官

所以△AMN的面積

由噌警=邛，得-±1,滿足/>().

所以當(dāng)△AMN的面積為=0時(shí)，k=±l.

二、與弦長(zhǎng)有關(guān)的最值問題

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：S+￡=l(a*°)的離心率e=孚，且點(diǎn)P(2,l)在

橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)斜率為一1的直線與橢圓C相交于4,8兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值.

,C也

e=a=29

a=#,

解⑴由題意得<4+/=1

、b=小,

<a2=b2+c2,

?.,橢圓C的方程為軒9=1.

(2)設(shè)直線AB的方程為y=-x+m,

得3/—43+2〃——6=0,

〃/>0,

4加

<龍1十X2一§，

2/n2—6

—陽=-J-，

\AB\=^/l+(—l)2|xi—X2\,

原點(diǎn)到直線的距離d=招.

?'-5AO4B=2^布哪

V2r-------_V29-m2+w2

=太飛(9一〃「)nrW3-

3啦

—2-

當(dāng)且僅當(dāng)旭=普時(shí)，等號(hào)成立，

/\AOB面積的最大值為號(hào)3

反思感悟求與橢圓有關(guān)的最值、范圍問題的方法

(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理.

(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解.

(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解,

注意橢圓的范圍.

7,2

跟蹤訓(xùn)練2已知橢圓也+$=13?>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，尸2，點(diǎn)在橢圓上,

且有|PQI+|P&I=2^.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過后的直線/與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值.

解⑴由|PB|+|PBI=2g，得2a=2吸,

：.a=巾.

v2#

將代入亍+乒=1,

得從=1.

...橢圓C的方程為5+)2=1.

(2)由已知，直線/的斜率為零時(shí)，不符合題意;

設(shè)直線方程為無一1=陽,4(為，”)，8(X2,>2),

x=my+I,

聯(lián)立

y+2/=2,

得(/nZ+Z9+Zmy—1=0,

,2m

%+”=_亦，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

1

)例=一百,

5/^08=義|。-2卜|)」一丁2|

=力/任+”)2—4)，1”

2m\

亦卜4X

刀/+1

=^X

z724+4m2+4

m2+1

=小義

(m2+1>+2(〃f+1)+1

=^2X

（加+D+尋r+2

X

（加+1）懸i+2

當(dāng)且僅當(dāng)〃+1=武:即機(jī)=0時(shí)，等號(hào)成立.

：./XAOB面積的最大值為y

■課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

（1）弦長(zhǎng)問題.

（2）與弦長(zhǎng)有關(guān)的最值、范圍問題.

2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.

3.常見誤區(qū)：容易忽略直線斜率不存在的情況.

N隨堂演練

1.過橢圓/+￡=13*0）的焦點(diǎn)尸（。,0）的弦中最短弦長(zhǎng)是（）

答案A

解析最短弦是過焦點(diǎn)F（c,0）且與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦.

將x=c代入橢圓「+*=1，

1

故最短弦長(zhǎng)是2詈b.

2.直線），=尤+1被橢圓/+49=8截得的弦長(zhǎng)是（）

A喈B華C,V34D.手

答案A

解析將直線y=x+l代入*+4尸=8,

可得f+4（x+1）2=8,即5f+8x-4=0,

??X]=-2,%2=§,

7

??yi=T,丫2=彳

直線y=x+l被橢圓/+49=8截得的弦長(zhǎng)為、/停+2）2+（卜1）2=粵2

3.已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,過右焦點(diǎn)尸2且垂直于x軸的直線交C于A,B

兩點(diǎn)，且|AB|=3,則C的方程為（）

A.^+^=lB.y+y2=1

十21"，5十41

答案A

解析設(shè)橢圓的方程為，+樂=1（。>/>0）,

貝ij2a=4,a=2,

???48經(jīng)過右焦點(diǎn)6且垂直于x軸，且|A8|=3,

x2V2b1

將x=c代入”+方=1得y=±z，

.?.〃=3,.?.橢圓C的方程為"+^=1.

2

4.傾斜角為亦兀的直線經(jīng)過橢圓x，+V=1的右焦點(diǎn)況且與橢圓交于A,8兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|

等于（）

C.2吸D.4y/2

答案B

解析因?yàn)闄E圓^+V=1的右焦點(diǎn)為尸（1,0），

又傾斜角為今的直線經(jīng)過橢圓5+V=l的右焦點(diǎn)F，且與橢圓交于A,B兩點(diǎn),

所以直線AB的方程為y=tan；（x—l）=x—1.

設(shè)A(xi,yi),8(X2,”),

得f+2(x—l)2=2,

4

-

3

即3f—4x=0,所以＜

、X］尤2=0,

4P

所以弦長(zhǎng)\AB\1+12^/（X|+X2）2—4XIX2=

3,

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練

_基礎(chǔ)鞏固

1.過橢圓d+2y2=4的左焦點(diǎn)作傾斜角為;的弦A3,則弦AB的長(zhǎng)為（）

>7-16

答案B

解析易求直線AB的方程為y=小（x+啦）.

卜=?。ㄓ?也），

由S,

[x2+2y2=4,

消去y并整理，得7f+l2px+8=0.

設(shè)A（xi,》），B（X2,yi）,

mi12-8

則用十必=-7,X\X2=J.

由弦長(zhǎng)公式，得依用=卜1+后|由一刈=41+（小）2X

2.已知橢圓c："+]=i的左、右焦點(diǎn)分別為a,&,過尸2且斜率為1的直線/交橢圓c

于A,B兩點(diǎn)，則△尸A8的面積為（）

逃4^312A/28^3

/?.?UJO.Rr

答案c

設(shè)直線A8的方程為）,=x—1,聯(lián)立橢圓方程Y+（=l,

解析

整理可得7/-8x-8=0,

設(shè)A（X],VI）,8（X2,V2）,

8

-8

7X\X2——丁

故弦長(zhǎng)\AB\=51+d、/（X]+M2—4汨.也=了.

又點(diǎn)尸1（一1,0）,直線A&y=x-],

則點(diǎn)Fi到直線4B的距離d=p,

故SN\AB=5X|AB|Xd=-.

3.已知直線y=2x與橢圓C：a+5=1(9〉0)交于42兩點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓C的左焦點(diǎn),

若聞|+|麗|=2巾，質(zhì)+麗|=2,則|AB|等于()

A.2B羋C.咿D(zhuǎn).4

答案C

解析由對(duì)稱性可得的+|兩=24=2也，

所以a=6,

又說+沌|=2c=2,

所以c=l,所以〃=1,

即橢圓C的方程為5+)2=1,

將y=2x-與，+)2=1聯(lián)立，消去y得％21，

所以|AB|=yj\+22X2X|x|=2小義

4.直線y=x+2交橢圓9+^=1于A,8兩點(diǎn)，若|AB|=3啦，則機(jī)的值為()

A.16B.12C.2小D.3

答案B

解析方法一由橢圓3+9=1，得上頂點(diǎn)為(0,2),

而直線y=x+2也過(0,2),

所以40,2)為直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)B(XB,犯)，

則|AB|=N(XB—XA)2+(yB—yA)2=71+斤|加一心|=也悶=3p,

解得初=±3,所以8(—3,-1)或仇3,5)(舍去)，

把8(—3,—1)代入橢圓方程得9/戶11,故m=12.

'y—x+2,

方法二

得（4+巾］+4〃a=0,所以&=0,

22

又|4B|=yl（xB—xA）+（yB—yA）=yJ1=61戈國,

4加

所以也=3啦,

4+/w

因?yàn)?0,所以不二3,故*12.

5.若點(diǎn)?！?，"）在橢圓9f+丁=9上，則/￡的最小值為（）

真空直3

21?3JU?3?2JL/?j

求后的最小值即求過點(diǎn)5,"）和點(diǎn)（3,0）的直線斜率的最小值,

設(shè)過點(diǎn)（相，"）和點(diǎn)（3,0）的直線方程為y=k（x—3）,

產(chǎn)3—3),

聯(lián)立j，=>(9+F)f—6匹v+9(解-1)=0,

9

知當(dāng)/=0時(shí)直線斜率取最小值，/=（一6后）2—4（9+R）［9（F-l）］=0=>F=d，

O

故當(dāng)上=一平時(shí)，斜率取最小值，即告的最小值為一羋.

4m—34

6.（多選）設(shè)橢圓的方程為會(huì)+?=1,斜率為上的直線/不經(jīng)過原點(diǎn)。，且與橢圓相交于A,B

兩點(diǎn)，M為線段A8的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.kAB，koM=-1

B.若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1』），則直線/的方程為2x+y—3=0

C.若直線/的方程為y=x+l,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（；，?

D.若直線/的方程為y=x+2,則恒8|=半

答案BD

解析設(shè)4（即，yi）,B（M,>2）,M（xo,yo）,

兩式相減，得三+嚀^

=0,

即g空一2,

X]—X2X]-TX2

艮口kAB，k()M=——2.

對(duì)于A,&A/rhw=-2#—1,所以A不正確;

對(duì)于B,由心8?攵OM=-2,M(l,l)f得心8=-2,所以直線/的方程為y—1=-2(x—1),即

2x+y—3=0,所以B正確；

對(duì)于C,若直線/的方程為y=x+l,MQ,則)WOM=1X4=4-2,所以C不正確；

P=x+2,4.一4

對(duì)于D,由[2+注―]得3f+4x=0,解得x=0或x=-],所以|A8|=D1+12一§一。

=羋，所以D正確.

Y2V2

7.已知直線y=—x+1與橢圓”+3=1(以＞比＞0)相交于4,B兩點(diǎn),若橢圓的離心率為與,

焦距為2,則線段A3的長(zhǎng)是.

答案華

解析由題意得橢圓方程為弓+產(chǎn)=1,

聯(lián)立化簡(jiǎn)得3f—4x=0,

4

解得x=0或代入直線方程得

不妨設(shè)4(0,1),B(J.-g),

所以朋=A/(3_0}+(_3-1)2=^

8.已知橢圓兩頂點(diǎn)A(—1,0),仇1,0),過焦點(diǎn)F(0,l)的直線/與橢圓交于C,。兩點(diǎn)，當(dāng)|C￡)|

=平時(shí)，直線/的方程為.

答案皿一y+l=0或亞+丫-1=0

解析由題意得Z?=l,c=\.

/.a1=b2+c2=1+1=2.

.?.橢圓方程為$+f=l.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，|8|=26，不符合題意.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的方程為了=履+1,

y=kx+I,

聯(lián)立,,,得（儲(chǔ)+2）爐+2"一1=0.

,_y+2JT=2,

1=8(尸+1)>0恒成立.

設(shè)C（xi,“），D（X2,yi）.

??一2k1

..Xi十X2一好+2'X'X2~1^+2'

：.\CD\^y[r+i?\Xi-x2\

=、1+雙口1+X2）2-4X1X2

2地伙2+D

—M+2,

,25（斤+1）3也

R+2-2'

解得好=2,.?.%=".

；?直線/的方程為正x—y+1=0或也x+y—1=0.

9.已知橢圓4f+y2=i及直線),=x+“，若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為平，求直線的方程.

解把直線方程、=》+加代入橢圓方程4*+產(chǎn)=1,

得4.~+。+W)2=1,即5x2+2m￥+/7?2—1=0.(*)

則A=(2m)2-4X5X(m2_])=_16ml+20>0,

解得一坐<〃?<坐.

設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為XI,X2.

m?2mm2—1

則為+*2=一亍，X[X2=--.

根據(jù)弦長(zhǎng)公式，得/下城一豹-4X<^=率,

解得，"=0.因此，所求直線的方程為y=x.

10.己知橢圓M：提+*1(4?>0),其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2,且點(diǎn)A(g,

1)在橢圓M上.直線/的斜率為坐，且與橢圓M交于8,C兩點(diǎn).

⑴求橢圓M的方程：

(2)求△ABC面積的最大值.

仔+4=1，「

解(1)由題意知J"b解得b=地.

故所求橢圓M的方程為3+^=1.

y[2

(2)設(shè)直線/的方程為丫=爭(zhēng)+/?,則加W0.

設(shè)8a],yi),Cte，竺)，

把直線/的方程代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得f+小，nx+/一2=0,

由A=2/n2—4(/n2—2)=2(4—/n2)>0,

可得0<"/<4.①

.——、2(4—加)2

?2,

—y[2m+山(4一相)

及=2

故18cl1+(坐)2Wi—也|=^|Xy)2(4—nr)=yl3(4—m2),

又點(diǎn)A到邊8c的距離為d=甯，

故SAABC=1|BC]-?/=J\/3(4—77/2)X瑞=右X3(4―用2>?.右+(：力)=也,

當(dāng)且僅當(dāng)蘇=4—%2,即機(jī)=4時(shí)取等號(hào)，滿足①式.

...△ABC面積的最大值為也.

L綜合運(yùn)用

11.斜率為1的直線/與橢圓點(diǎn)+丁=1相交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()

痍4^0

A.5B.§

由8^5

5D5

答案B

解析設(shè)A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為3，yi),(孫算)，直線/的方程為y=x+m,

y=x+int

消去y得5『+8"a+4(m2—i)=o,

A=(8/H)2-4X5X4(/?z2-1)=80-16nr>0,即0W>v5.

制8加4(/??2-1)

則X\+X2—一歹，X]X2----.

當(dāng)m=0時(shí)，|A8|取得最大值生臂.

12.已知F\,尸2分別為橢圓%+方=1(“泌>0)的左、右焦點(diǎn)，尸典=2,過橢圓左焦點(diǎn)且斜

率為坐的直線交橢圓于A,8兩點(diǎn)，若&ABB=4,則弦長(zhǎng)HB|等于()

A.8B.6C.5D.華

答案A

=

解析,*,S^ABr^4,c=1,

??.；X2cX|yA—沖|=4,

???仇4一)%|=4.

?.?直線過橢圓左焦點(diǎn)且斜率為坐,

：.\AB\=-\I+/必-加|=8.

13.橢圓C：點(diǎn)+尸1，過A(0,2)作直線/與橢圓C交于“，N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOM

與△AON的面積之比為5:3,則直線/的斜率為()

A.1B.|C.±1D.±2

答案C

解析由題意，設(shè)M(xi,yi),MM,>2),

由題意知，直線,的斜率存在且不為0,設(shè)直線/：y=kx+29

[y=fcr+2,

消去y,整理得(l+4S)f+16"+12=0,

由/=256斤一48(1+4F)>0,解得國；

r16%

為十忿=一五花，

則

X1X2-]+4-，

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，M,N在y軸的同一側(cè)，即Xi,X2同號(hào);

_X￡_5

又△AOM與△AON的面積之比為5：3,即~X2~39

S^AONLAmiI

m5

則X1=]X2,

、,T6k—吃816k

代yb入Xi+及=-]+4.，可行）X2=-1+4后

即X2=一品，

所以L島，

P12

乂乃及一]+4標(biāo)，

獷a6k10A-12

所以1+49,1+4斤―77而'

3

-

4

14.已知橢圓C：y+/=l,直線/過橢圓C的左焦點(diǎn)尸且交橢圓于A,B兩點(diǎn)，AB的中垂

線交x軸于M點(diǎn)，則噂的取值范圍為（）

一11

_-

AB_^4

0,

一

答案B

解析橢圓C：彳+/2=1的左焦點(diǎn)為尸（一1,0）,

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，/:y=0,4（一6，0）,8（小,0）,例（0,0）,\FM\=\,|AB|=2w,

\FM\_1

所以iW=8'

x=my—1,

當(dāng)直線/的斜率不為0時(shí)，設(shè)/：x=my-\,與橢圓聯(lián)立＜2+2_[

可得（加+2））2—2加）-1=0,

2m

yi+>'2=/n2+2,

由根與系數(shù)的關(guān)系得<

1

叩=一亦,

所以AB的中點(diǎn)為

所以A8的中垂線方程為/OM：x=一\（y一消工）一獲占,

令y=°，得4一六，0），

-/n2+1

所以尸M=/，

8（蘇+1）2

又|AB『=（1+加2）[（）,|+”）2—4>'I72]=

（，"+2）2'

.|F^|nr+21

6rr1+-

綜上所述，iweii）-

L拓廣探究

15.如圖，哈爾濱市有相父于點(diǎn)O的一條東西走向的公路/與一條南北走向的公路，力有一商

城A的部分邊界是橢圓的四分之一，這兩條公路為橢圓的對(duì)稱軸，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短

半軸長(zhǎng)為1（單位：千米）.根據(jù)市民建議，欲新建一條公路PQ,點(diǎn)P,。分別在公路/,機(jī)上,