2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第03講 數(shù)列求通項(xiàng)（解析版）

第03講數(shù)列求通項(xiàng)目錄TOC\o"1-2"\h\u題型一：法 1角度1：用，得到 1角度2：將題意中的用替換 3角度3：作差法 4題型二：數(shù)列前項(xiàng)積做商法 7題型三：累加法 10題型四：累乘法 12題型五：構(gòu)造法 14題型六：倒數(shù)法 16題型七：隔項(xiàng)等差數(shù)列 18題型八：隔項(xiàng)等比數(shù)列 21題型九：遞推關(guān)系求通項(xiàng) 24題型一：法角度1：用，得到典型例題例題1．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；【答案】(1)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①－②得，，∴，∴，又，∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴．例題2．（2023·全國·高三對(duì)口高考）根據(jù)下面的條件，求以下各個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足；【答案】(1)【詳解】（1）解：數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，不符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例題3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足,(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，化簡得，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為等差的等差數(shù)列，所以.角度2：將題意中的用替換典型例題例題1．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┮阎菙?shù)列的前項(xiàng)和，滿足，且.(1)求；【答案】(1)【詳解】（1）因?yàn)椋@然，所以，即，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，也滿足，所以.例題2．（2023·全國·長郡中學(xué)校聯(lián)考二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（且）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）∵，∴，又，∴，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；角度3：作差法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）已知，①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，②①-②得，所以，當(dāng)時(shí)，相符，所以.例題2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)滿足，的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；【答案】(1)【詳解】（1）由題可知：①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，②由①-②得：，即，檢驗(yàn)符合，∴，.題型一精練核心考點(diǎn)1．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若該數(shù)列滿足，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．是等比數(shù)列【答案】C【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由得：，，即，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，A正確；對(duì)于B，由A知：，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)：不滿足，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B得：，，又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，D正確.故選：C.2．（2023春·河南南陽·高二鎮(zhèn)平縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）∵，，當(dāng)時(shí)，，∴．由，，兩式相減可得：．∴，又．∴是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴．3．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；【答案】(1)；；【詳解】（1）由可得，，又因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以，因?yàn)?，所以，所以，?shù)列為等差數(shù)列，所以，，，所以.4．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎黜?xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1），兩式相減得：，由于，則，當(dāng)時(shí)，，得，，則，所以是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，故．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，由，所以，兩式相減，得，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．6．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，整理得，

∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴（舍）或，

∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則；題型二：數(shù)列前項(xiàng)積做商法典型例題例題1．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,數(shù)列的前項(xiàng)積.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;【答案】(1),【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),,化簡得,∵,∴,∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,∴.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)也滿足，所以.例題2．（2023春·遼寧本溪·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，【詳解】（1）由，得，兩式相減，得，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿足上式.所以.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)的積為，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】，，，，可得；當(dāng)時(shí)，，，∴，∵時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上，當(dāng)或5時(shí)，取最大值.故選：A．2．（2023·四川南充·閬中中學(xué)校考二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題意得，，．所以，故是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則．當(dāng)時(shí)，由，得，則，對(duì)也成立，故．3．（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由題意得，所以．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，整理得，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，又符合上式，所以．4．（2023春·北京海淀·高二人大附中?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，滿足（n為正整數(shù)），則___________；___________．【答案】2【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，，所以；由，得，時(shí)，，所以，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，即，故答案為：2；題型三：累加法典型例題例題1．（2023春·廣東深圳·高二深圳市耀華實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，則等于（）A．4 B． C．13 D．【答案】A【詳解】依題意，在數(shù)列中，，，即，所以.故選：A例題2．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，，則______．【答案】.【詳解】因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，有，因此有：，即，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）數(shù)列中，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得：，則，，…，，各式作和可得：，又，，.故選：B.2．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）數(shù)列中，且，則_________.【答案】100【詳解】∵，∴∵=9，即=9，解得n=100故答案為：100題型四：累乘法典型例題例題1．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足,,則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列【答案】BC【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，，則當(dāng)時(shí)，，，……，，所有的式子相乘得，即，當(dāng)時(shí)也符合通項(xiàng)，故，數(shù)列為遞增數(shù)列，故選：BC例題2．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由及，得，所以，當(dāng)時(shí)，有．當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以．例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.求的通項(xiàng)公式；【答案】【詳解】由可得：，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以，則，……，，將這個(gè)式子相乘，則，又因?yàn)?，所以精練核心考點(diǎn)1．（2023春·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)容山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A．n B． C．2n D．【答案】C【詳解】解：由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，因?yàn)?，所以，故選：C．2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，上述各式相乘得，因?yàn)椋?，?jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以.故選：D.3．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？既＃┮阎獮榈炔顢?shù)列，.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；【詳解】（1）∵.∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以；題型五：構(gòu)造法典型例題例題1．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）已知數(shù)列中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由，得，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，則，即，所以.故選：C例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】解法一：因?yàn)?，設(shè)，所以，則，解得，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以得，所以，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則，所以.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，且對(duì)于時(shí)恒有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】．【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋詳?shù)列是常數(shù)列0，所以，所以．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以是以為首?xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列；2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則_______．【答案】【詳解】設(shè)，令得，所以；故，所以；，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而，故．故答案為：.題型六：倒數(shù)法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的通項(xiàng)公式．【答案】．【詳解】，，則，則，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．于是，．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，求的通項(xiàng)公式．【答案】．【詳解】由題意，，所以，則，而，故是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．于是．精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】令．先求出數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)，解得．將不動(dòng)點(diǎn)代入遞推公式，得，整理得，，∴．令，則，．∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．∴的通項(xiàng)公式為．將代入，得．∴．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且，求其通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以特征方程為，解?令，代入原遞推式得,因?yàn)?，所以，?因此，，從而,又因?yàn)?，所以．題型七：隔項(xiàng)等差數(shù)列典型例題例題1．（多選）（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，則下列說法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】ACD【詳解】解：根據(jù)，得，解得：，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，同理，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，對(duì)于A,,故A正確，對(duì)于B,若數(shù)列是等比數(shù)列,即要求數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)上述結(jié)論，數(shù)列不為等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,,故C正確，對(duì)于D,,故D正確，故選：ACD.例題2．（多選）（2023春·河北石家莊·高二石家莊市第十八中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．為奇數(shù)時(shí)，【答案】ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，對(duì)任意的，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，綜上所述，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故數(shù)列不是等差數(shù)列，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，D對(duì).故選：ABD.例題3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求；【答案】(1)【詳解】（1）解法一：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，，，所以．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，，所以．綜上，．解法二：因?yàn)?，，所以，得，?dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以．精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·天津和平·高二天津一中校考期末）已知數(shù)列中，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也為公差為4的等差數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，2．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前30項(xiàng)和為_______.【答案】465【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列；故答案為：465題型八：隔項(xiàng)等比數(shù)列典型例題例題1．（2023·陜西西安·長安一中?？级＃┮阎獢?shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng),，又，兩式相除可得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，，故選：D例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)設(shè)，求和的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)，【詳解】（1）由已知，所以，則，，則，，則；因此，，因?yàn)椋?，所以，即，故是為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此；精練核心考點(diǎn)1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，．(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）由，可得，所以，則，又因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以，則，所以.2．（多選）（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】由，,得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且首項(xiàng)分別為，故，故選項(xiàng)A正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C中，奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)各有項(xiàng)，，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D中，奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，，