江蘇省決勝新高考2022屆高三年級下冊4月大聯(lián)考數(shù)學試題（含答案與解析）

決勝新高考—2022屆高三年級大聯(lián)考

數(shù)學

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將

條形碼橫貼在答題卡”條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相

應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

p-i?022_

1,復數(shù)[1+）（）

A.iB.-iC.1D.-1

2.設集合p,。均為全集u非空子集，且pc（a,Q）=p,貝u（a/）nQ=（）

A.PB.QC.0D.U

3.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N（3,〃），且P（&＜5）=0.7,則P（l＜《＜3）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

4.在某款計算器上計算log.b時,需依次按下“Log”、“（”、“/、“，”6個鍵.某同學使用該計算器

4

計算log,/（。＞1,b＞\）時，誤將乜。葭、“（“、”“、“，”、，”、“）”這6犍，所得到的值是正確結果的3

倍，則（）

A.2a=3bB.。3。2=]c.a2=b3D./=〃

5.已知單位向量a,/7,c滿足c=a+b，則（）

A.1B.2C.&D.75

6.函數(shù)/（x）=sin（2x+W）+cos（2x+V）+26cos2x的一個對稱中心是（）

7.已知拋物線。：丁=2*(/?>0)與直線2%—^—4=0交于4,B兩點，且|AB|=3jU.若拋物線C的焦

點為F，則|AE|+|M|=()

A.ly/5B.7C.6D.5

已知且2a=eW'且3公c>；且4c=eT，則(

8.:4)

\naIn/?IncInaIncIn/?

A.---<----<——B.---<----<----

beacabbeabac

IncInZ?InaIn/?InaInc

C.---<----<----D.---<----<----

ab--ac---beacbeab

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若Z，Z2為復數(shù)，則()

A.|Z|+Z2|=|zJ+|z2|B.2聞=,憶|

C.z/=MD.砧=團同

10.已知三次函數(shù)/*)=0?+汝2+5-1,若函數(shù)g(x)=/(-x)+l的圖象關于點(1,0)對稱，且

g(-2)<0,則()

A.a<0B.g(x)有3個零點

C./(x)的對稱中心是(一1,0)D.12a-4Z?+c<0

11.在通用技術課上，某小組將一個直三棱柱ABC-44G展開，得到的平面圖如圖所示.其中A6=4,

AC=3,BC==5,M是上的點，則()

A.AM與4G是異面直線B.ACA.AiM

C.平面ABC將三棱柱截成兩個四面體D.AM+MC的最小值是J而

22

12.已知雙曲線C:鼻-烏=1(。>0力>0)的左右焦點分別為Q,Fi,右頂點為A,M為。4的中點，尸為

a-b-

3

雙曲線C右支上一點且尸弱，￡瑪，且tan/PF；E=；,則（）

A.C離心率為2B.C的漸近線方程為x±0y=O

1—3

仁2歷平分/片2^D.PA^-PFt+^PF2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知正項等比數(shù)列｛4｝滿足4+2=24+1+3%,則其公比為.

14.若（x+亍J展開式中含有常數(shù)項，寫出一個符合條件的正整數(shù)〃的值_________.

15.英國數(shù)學家莫利提出：將三角形各內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交于一點，則這樣的三個

交點構成一個正三角形（如下圖所示）.若△ABC為等腰直角三角形，且AC=2,則△DE廠的面積是

16.在平面四邊形ABCQ中，AD=30AB=9,BC=3,ZDAB=90°,AB_LBC以A8為軸，

其余三邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體c，旋轉過程中，c,力均在球。上，則球。的半徑是

,幾何體Q的體積是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

乃

17.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且A=1,8=技?.若M是5c的中點，且

csinNM4C=l,求△ACM的面積.

18.某高校的入學面試中有編號為A,B,C的3道試題，每位面試者依次作答這3道試題.面試共有3次機

會，只要答對其中一道題面試即通過，無需繼續(xù)答題，否則就作答下一題，直到3次答題機會全部用完.該

校規(guī)定：答對A題通過者得30分，答對B題通過者得20分，答對C題通過者得10分，未通過面試者得0

分.若小明同學答對A題的概率是,，答對B題的概率是l，答對C題的概率是:，且各題作答相互獨立.

632

(1)求小明同學答題不超過2道的概率；

(2)記小明同學得分為X分，求X的概率分布及數(shù)學期望.

19.已知數(shù)列｛氏｝滿足％=2,前〃項的和S“，且a“+I+a“=3x2".

(1)寫出的，。3，并求出數(shù)列｛《,｝的通項公式；

(2)在①2=log2(a/?+/t)；②％=log2(S,+X)這兩個條件中任選一個補充在下面橫線中，并加

以解答.若數(shù)列也J滿足,求實數(shù)幾使得數(shù)列｛2｝等差數(shù)列.

(注：如果求解了兩個問題，則按照第一個問題解答給分)

20.在如圖所示的多面體中，四邊形A8C。為正方形，A,E,B,F四點共面，且△ABE和-43F均為等

腰直角三角形，ZBAE=ZAFB=90°.

(1)求證：直線8E〃平面ADF；

(2)若平面A8CDJ?平面AEBF,A6=2，點P在直線OE上，求4P與平面8CF所成角最大值.

21.已知函數(shù)/(%)=；~-Inx.

(1)求/(x)的單調區(qū)間；

(2)當/&)=/(工2)(玉H元2)時，證明：)+%>2

22.已知橢圓C:二+?=l(a>8>0)的右頂點為4(2,0),右焦點尸到右準線/的距離為3.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)經過點尸和7(7,0)的圓與直線/交于尸，Q,AP,AQ分別與橢圓C交于M,N.證明：直線MN

經過定點.

參考答案

一.選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

i.復數(shù)U+j()

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】根據復數(shù)代數(shù)形式的除法及乘方運算法則計算可得；

【詳解】解：因為上!

1+i(l+i)(l-i)

/.;、2022

所以(號J=(-i)2°22=(—1戶22*J2022=[4*505+2=j2=_]

故選：D

2.設集合P,。均為全集U的非空子集，且PC0bQ)=P,則(為「)口。=()

A.PB.QC.0D.U

【答案】B

【解析】

【分析】依題意可得尸qgQ,即可得到。從而即可判斷；

【詳解】解：因為PC0LQ)=P,所以PqgQ,所以?？?。產，所以0/)門。=。；

故選：B

3.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N(3,/),且P(J<5)=0.7,則P(1<J<3)=()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】B

【解析】

【分析】由正態(tài)分布曲線的對稱性有尸(l<4<3)=P(J<5)-g,即可得答案.

【詳解】由題設，正態(tài)分布曲線關于J=3對稱，

所以尸(1<J<3)=PC<5)—g=0.2.

故選：B

4.在某款計算器上計算log,*時，需依次按下“Log”、“(”、七”、“，“、”“、“)”6個鍵.某同學使用該計算器

4

計算log,/(a>l,匕>1)時，誤將“。g”、“(”、?”、“，”、力”、“)”這6鍵，所得到的值是正確結果的g

倍，貝IJ()

32

A.2a=3bB.ab=1C./=/D./=加

【答案】D

【解析】

4

【分析】由題可得log/,a=—log“。，然后利用換底公式及指數(shù)式對數(shù)式互化即得.

9

4

【詳解】由題可知lOg/U'lOga力，

4

->

...(log,a\9-

八2

??log》?！怠?，log,)。，

2

a=bi，即

故選：D.

5.已知單位向量d,b,C滿足c=a+b，則|2a-c|=()

A.1B.2C.&D.75

【答案】C

【解析】

【分析】根據c2=(a+b『=l可求得。山，由|2a—c|=|a—司=而二『，結合數(shù)量積的運算律可求

得結果.

詳解】由。=。+匕得：右2=(a+6)=a2+2a?/?+/?2=2+2a?/?=1,a-b,

|2a—c|=,一可=_匕)=Va2-2a-b+b2=Jl+l+l=￡-

故選：C.

6.函數(shù)/(x)=sin[2x+'|+cos|2x+^|+26cos一個對稱中心是()

【答案】c

【解析】

【分析】根據兩角和正弦余弦公式及二倍角的余弦公式，再結合余弦函數(shù)的性質即可求解.

【詳解】/(x)=sin(2x+1)+cos(2x+e)+26cos?x

=sin2x-cos—+cos2x-sin—+cos2x-cos——sin2x-sin—+2百cos2x

3366

=—sin2x+cos2x+-cos2x--sin2x+2y/3cos2x

2222

=V3cos2x+V3(l+cos2x)

=2A/3cos2x+石.

由2x=kuH—，2wZ,得x=--1—,keZ,此時/(x)=5/3.

224

所以/(x)的對稱中心為+了eZ).

當女=()時，/(x)的一個對稱中心為(:■，6)?

故選：C.

7.已知拋物線。：丁2=2內(〃>0)與直線2“一丁一4=0交于4B兩點,且|A31=3石.若拋物線C的焦

點為F,則|AF|+|BP|=()

A.7A/5B.7C.6D.5

【答案】B

【解析】

【分析】聯(lián)立直線與拋物線，應用韋達定理及弦長公式求得p=2,進而可得乙+4=5,根據拋物線定

義求目標式的值.

【詳解】由題設，尤=>2,代入拋物線可得丁―4-4P=0,

所以%+%=〃，%%=-4〃,則|AB|=半乂J/+16”=3百,

則p2+i6p—36=0,可得〃=—18(舍)或〃=2,故%.+4=^^^+4=5,

由拋物線定義知：IAF|+|BF|=XA+X8+P=7.

故選：B

8.已知且2a=e"*'匕>；且3匕=e"1,且4c=e'T,則()

Ina\nhIncInaIncIn力

A.——<——<——B.——<---<---

beacahheabac

IncIn/?Ina\nbInaInc

C.——<---<----D.——<---<---

abacbeacbeab

【答案】A

【解析】

【分析】對已知的等式進行變形，轉化成結構一致，從而構造函數(shù)，確定構造的函數(shù)的性質，得到

b.c的大小，再根據選項構造函數(shù)，借助函數(shù)的單調性比較大小即可.

【詳解】由已知條件，對于2a=e"4，兩邊同取對數(shù)，

則有In2+Ina=a-』，BPa-ln<7=—+ln2=--In—,

2222

同理：=--In—；c-lnc=--In—

3344

構造函數(shù)_f(x)=x-lnx,

則/(a)=/(￡j，/0)=/1),/(，)=7[)

對其求導得：/'(x)=?(x>0)

.??當0<x<l時，/'(x)<0,〃x)單調遞減;

當x>l時，r(x)>0,/(x)單調遞增；

r1,11

又a>—,b>一,c>—

234

:.\<a<b<c

再構造函數(shù)g(x)=xlnx,對其求導得：

g'(x)=lnx+l(x>0)

當0<尤<：時,g'(x)<0,g(x)單調遞減；

當X>：時，g'(x)>0,g(x)單調遞增；

.?.g.)<g?<g(c)

即：a\na<b\nb<c\nc

又?abc>0

\naInbInc

/.---<——<——

beacab

故選：A.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若4*2為復數(shù)，則()

A.|z,+z2|=|z,|+|z2|B.上聞=團員|

C.z「=|zjD.Z|4=|zJ同

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A選項，舉例判斷，設z=l+i,z2=l-i,分別計算等號左側與右側，即可判斷等式是否

成立；對于B選項，設z=a+藥，z2=c+di,計?算判斷即可；對于C選項，設4=l+i,令〃=2,則

等號左側為虛數(shù)，右側為實數(shù)，二者不等；對于D選項，設Z1=a+0i,則I=a-加，進而計算判斷即

可.

【詳解】對于A選項，當4=l+i,Z2=l-i時，

k+Z2|=|2|=2,團=#+12=夜,㈤="語?=及，

則|Z|+Z2國zj+%],故A錯誤；

對于B選項，當Z1=a+0i,Z2=c+M時，

平2=(Q+Z?i)(c+6fi)=(ac-bd)+(ad+〃c)i,

則|%Z2|=d(ac-bd)2+(ad+=y/a2c2-2abcd+b2d2+a2d2+2abcd+b2c2

=+/)(?2+儲)，

2

因為|zj=Ja2+6?,|z2|=yjc~+d,

則上聞二㈤㈤,故B正確；

對于C選項，若Z]=l+i,當〃=2時，z；=2i,

22

|Z1|=71+1=72.則2i#(J5/，即Z|2o|zJ,故C錯誤；

對于D選項，設Z]=a+)i,則Z1=a-歷，所以Z[Z]=(。+4)(4一〃)=。2，

卜J.?+b2.+(一/)=/+/,即Z|Z|玉|同，故D正確；

故選：BD

10.已知三次函數(shù)/(X)=G?+樂2+cx_],若函數(shù)g(X)=/(-X)+l的圖象關于點(1,0)對稱，且

g(-2)<0,則()

A.a<0B.g(x)有3個零點

C./5)的對稱中心是(一1,0)D.\2a-4h+c<0

【答案】ABD

【解析】

【分析】由題設g(x)=—o?+法2-5且g(x)+g(2-x)=0,可得匕=3a,c=2a,代入解析式，結合

已知條件即可判斷選項的正誤.

【詳解】由題設，g(x)--ax3+bx2-ex,且g(x)+g(2—x)=0,

所以ax'-力？+cx+a(2-x)3-b(2-x)2+c(2-x)=0,整理得

(3?-/?)x2+20-3a)x+4a-2b+c=0,

3a—b

故《，可得b=3a,c=2a,故g(x)=—tx(x-l)(x—2),

4a+c=2h

又g(—2)=24a<0,即a<0,A正確；g(x)有3個零點，B正確；

由g(x)+g(2—x)=/(-x)+l+/(x-2)+l=0,則/(-x)+/(九-2)=-2,所以/⑴關于(-1,-1)對

稱，C錯誤；

l2a—4b+c—l2a—i2a+2a=2a<0,D正確.

故選：ABD

11.在通用技術課上，某小組將一個直三棱柱ABC-A4G展開，得到的平面圖如圖所示.其中A3=4,

AC=3,BC=AA,=5,M是上的點，則()

A.AM與4cl是異面直線B.AC_LA|M

C.平面ABC將三棱柱截成兩個四面體D.AM+MC的最小值是"百

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據展開圖還原直三棱柱，根據其結構特征及線面垂直的性質判斷A、B、C,將面和面

CC48展開展開為一個平面，利用三點共線求4M+MC的最小值.

【詳解】由題設，可得如下直三棱柱：

AB

由直三棱柱的結構特征知：AM與AG是異面直線，A正確；

因為BA1AC，且AAcBA=A,則AC,面44,耳3,又4Mu面故

ACIA^M,B正確；

由圖知：面ABC將三棱柱截成四棱錐A和三棱錐片-ABC,一個五面體和一個四面體，C錯

誤：

將面A44B和面CCfB展開展開為一個平面，如下圖：

當A，M,C共線時，AM+MC最小為J而，D正確.

故選：ABD

22

12.已知雙曲線C:=-4=l(a>0,b>0)的左右焦點分別為B,Fi,右頂點為A,M為。4的中點，尸為

礦b~

3

雙曲線C右支上一點且尸弱_L￡E，且tan/尸耳鳥=；,則()

A.C的離心率為2B.C的漸近線方程為x土6y=()

-1―.3--

<2.2例平分/62居D.PA^-PE+-PF,

44

【答案】ACD

【解析】

【分析】在直角三角形尸片與中，利用tan/P《K=彳3列出關于“、仄c的齊次式求出離心率，從而判斷

P"耳M

A：根據離心率求出漸近線方程，從而判斷B；根據匕占、上士』是否相等即可判斷PM是否平分

"PFt,從而判斷C；根據優(yōu)從巧用的比例關系，利用平面向量的線性運算即可表示用心、0月表

示PA，從而判斷D.

*

【詳解】由尸鳥J■耳居可知P聞=幺,

b2

由tan//K=t^=4=-=.杲3ac=2ZA

'2\FtF2\2c2ac4

即3QC=2（c?—a?）,即2/—3e—2=0，即（2^+l）（e—2）=0,e=2,故A正確；

Ule=2=Jl+[2]=>2=6，.??雙曲線漸近線為>=±百工，故B錯誤;

由￡=2=>C=2〃，h=GQ-

a

則忸6|=%=生=3a,|尸6H尸閭=勿=歸周=5。，

aa

.M=5?=5

"\PF^~3a-3；

M

百

也

網5a

一

。

。

Q。

C++C25

一

====一=

-月

2-2a2222-2M一

3203

\PF\耳M5

二舄t=匕7/=彳，；?根據角平分線的性質可知PM平分NE2居，故C正確;

Pg鳥M3

\F^A^=c—a=2a—a=a,^F}F^=2c=4a,

PA=PF2+F2A=PF2+-F2Fi=PF2+-(<PFi-PF2)=~PFi+-PF2,故D正確;

故選：ACD.

【點睛】本題主要考察與雙曲線的焦半徑和焦點三角形有關的性質，考察構造關于a、b、c的齊次式求離

心率的方法，考察利用角平分線的性質，考察了向量的線性運算，解題時需數(shù)形結合，合理運用圖形的幾

何關系.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知正項等比數(shù)列滿足an+2=2an+i+3a?,則其公比為.

【答案】3

【解析】

ao2a,

【分析】由題可得"'=j"+3,即/=2q+3,即求.

【詳解】設正項等比數(shù)列｛%｝的公比“（4＞（））,

=24+|+3a“，

...吐=也±1_+3,即/=2q+3,

a?an

.,.q=3或鄉(xiāng)=一1（舍去）

故答案為：3.

14.若（》+我］展開式中含有常數(shù)項，寫出一個符合條件的正整數(shù)〃的值.

【答案】4（答案不唯一）

【解析】

【分析】由題設可得二項式展開式通項為4“=2,C；x"牛，找到一個自然數(shù)〃使3〃=4「成立即可，注意

n,rwN”且〃之九

【詳解】由題設，二項式展開式通項為=c/f（族y=2'C;「F，

要使展開式有常數(shù)項，只需存在”,reN*且772r使〃=,，

所以3〃=4r,故〃=4/=3符合要求.

故答案為：4（答案不唯一）

15.英國數(shù)學家莫利提出：將三角形各內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交于一點，則這樣的三個

交點構成一個正三角形（如下圖所示）.若△ABC為等腰直角三角形，且AC=2,則△￡）所的面積是

7G-12

【答案】

2

【解析】

【分析】若G是所中點，連接CG,且?！盻LAB，根據題設角的關系、三角形全等及相似可得

BF=BH」AB、——=——=一，設EF=DH=2x,結合已知可得AB=4(2+石)x,即可求x

2BFFD2

值，應用三角形面積公式求△￡)￡E的面積.

【詳解】若G是所中點，連接CG,且?！盝_AB，

由題設知：△AEC三△BFC,則CE=CF,又4CE=ZECF=4CF=30。,

4AE=ZEAD=ZDAH=4BF=ZFBD=ZDBH=\5。,

所以NAED=NBFD=90°,則△=4，

所以=又/\CGFABFD,且—=—=-,

2BFFD2

設EF=DH=2x,則CG=xtan75°=(2+6)x,故8p=2(2+G)x,

所以A8=4(2+尢，又AC=2,則4(2+>/§)%=2>/^,可得x=------產,

4+2x13

12

則EF=上尸=2叵-布,故aDEF的面積是LX(2&—C>X3="小二

2+73222

故答案為：76-12

2

16.在平面四邊形ABC。中，AD=3叵'AB=9,BC=3,ND4B=90°,AB_LBC以AB為軸，

其余三邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體C，旋轉過程中，C,。均在球。上，則球。的半徑是

，幾何體C的體積是.

【答案】①.734②.81i+27/萬

【解析】

【分析】依題意可得ABCD為直角梯形，繞A3旋轉一周所得幾何體為圓臺，根據圓臺的體積公式求出幾

何體Q的體積，設外接球球心為。，則。在A8上，令AO=t,利用勾股定理得到方程組，即可求出外

接球的半徑R；

【詳解】解：依題意可得ABC。為直角梯形，如圖直角梯形ABC。繞A3旋轉一周所得幾何體為圓臺，

3

所以v=g乃43(4￡>2+302+40.80)=3萬(18+9+9&)=81乃+270萬，

設外接球球心為。，則。在A3匕令AO=f,則80=9-f,設外接球的半徑為R,所以

?+18=/?2

解得/?2=34,所以/?=后

（9-Z）2+9=/?2

故答案為：；81%+270萬

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

冗

17.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且4=^，A=J5c.若M是BC的中點，且

csin/M4c=1,求△ACM的面積.

【答案】-

2

【解析】

【分析】由余弦定理及勾股定理易知△ABC為等腰直角三角形，結合已知，在△4CM中應用正弦定理

求得sinN0AC=?，進而可得c=J!U，最后由三角形面積公式求面積即可.

10

【詳解】由題設，a2=b2+c2-2/JCCOS45°=3c2-2c2=c2，故a2+c2^b2>

所以△ABC為等腰直角三角形，而csin/M4C=l,

在△ACM中AM=^c，MC=~,則------——二氐,,可得sinZM4C=亞，

222sinZMAC2sin45010

所以C=Ji6，且"是8c的中點，則SACM=5SABC=5X5X(?-=彳.

18.某高校的入學面試中有編號為A,B,C的3道試題，每位面試者依次作答這3道試題.面試共有3次機

會，只要答對其中一道題面試即通過，無需繼續(xù)答題，否則就作答下一題，直到3次答題機會全部用完.該

校規(guī)定：答對A題通過者得30分，答對B題通過者得20分，答對C題通過者得10分，未通過面試者得0

分.若小明同學答對A題的概率是!，答對B題的概率是:，答對C題的概率是:，且各題作答相互獨立.

632

(1)求小明同學答題不超過2道的概率;

（2）記小明同學得分為X分，求X的概率分布及數(shù)學期望.

4

【答案】（1）—；

（2）詳見解析.

【解析】

【分析】（1）由題可知小明同學答題1道及2道的概率，即得；

（2）由題可知X可取30,20,10,0,進而可求相應概率，可得概率分布，再利用期望公式即得.

【小問1詳解】

由題可知小明同學答題1道的概率為片=’,

6

小明同學答題2道的概率為=

6318

154

所以小明同學答題不超過2道的概率

6189

【小問2詳解】

由題可知X可取30,20,10,0,貝IJ

P（X=30）=1,P（X=20）=A

5215

P（X=10）=-x-x-=

'763218

「（x=o）=9x2xL』,

\763218

19.已知數(shù)列｛4｝滿足4=2,前〃項的和5?,且an+i+4,=3x2".

（1）寫出外，的，并求出數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）在①2=log2（44+i+4）；②d=log2（S,+/l）這兩個條件中任選一個補充在下面橫線中，并加

以解答.若數(shù)列｛勿｝滿足,求實數(shù)2使得數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列.

（注：如果求解了兩個問題，則按照第一個問題解答給分）

【答案】(1)。2=4,%=8,67“=2"

(2)若選①，2=0；若選②，2=2.

【解析】

【分析】(1)根據遞推關系可求得生，生，可猜想得到q=2"；利用數(shù)學歸納法可證得“"=2"；

2,,2,1+2

(2)若選條件①，由bn+i+=2bn可整理得到2-'.15/1=2.2，由此可得2;

若選條件②，由么+i+〃T=2么可整理得到5(/1—2>2"=(4-2>2"+2,由此可得;L

小問1詳解】

由an+t+a“=3x2”得：4=3x2-。］=4；/=3x22-4=8；

猜想可得：4=2"；

當〃=1時，4=2滿足4=2"：

假設當〃=左時，4.=2*成立，

則當〃=左+1時，aM=3x2*—4=3x2*—2*=2*?(3-1)=2日成立,

綜上所述：當〃eN*時，％=2”.

【小問2詳解】

,n+12n+,

若選條件①,bn=log2(2'-2+A)=log2(2+孫

若也｝為等差數(shù)列，則bn+l+如=2bn,

2n+322n+1

即log2(2+2)+log2(2"-'+2)=2log2(2+2),

(22M+3+A).(22n-1+2)=(22n+l+/l)2,整理得：(22n+3+22n~1)A=22n+2-A,

即22"7.154=22"+2/,；.15；1=8;1,解得:2=0,

則存在實數(shù)2=0,使得｛〃｝為等差數(shù)列；

若選條件②，s.=羋答=2同_2,.?也=1%(2—一2+2),

若也｝為等差數(shù)列，則%+%=2bli,

nn+,

log,(2"+2-2+4)+log2(2-2+2)=21og2(2-2+2),

(2"+2-2+2).(2"-2+4)=(2向-2+4丫，整理得：(2"2+2")(4—2)=2,,+2(A-2),

即5(4—2>2"=(4—2>2"+2,.-.5(^-2)=4(2-2),解得：2=2,

則存在實數(shù)九=2,使得也｝為等差數(shù)列.

20.在如圖所示的多面體中，四邊形A8CD為正方形，A,E,B,尸四點共面，且AABE和ARF均為等

腰直角三角形，ZBAE=ZAFB=9Q°.

(1)求證：直線3E〃平面AQF；

(2)若平面ABC。，平面AEBF,AB=2，點P在直線OE上，求AP與平面2CF所成角最大值.

【答案】(1)詳見解析；

7T

(2)—.

4

【解析】

【分析】(1)由題可得A///BE,再利用線面平行的判定定理即得；

(2)利用坐標法，利用線面角的向量求法可得=,再利用二次函數(shù)的性質即得.

2V2/l2-4A+4

【小問1詳解】

在四邊形AE8F中，

???A4BE和^AB尸均為等腰直角三角形，且NBAE=ZAFB=90°，

：.NBAF=NABE=45。,

AFI/BE,

又BE?平面A。凡人尸匚平面在力凡

35//平面4。F，

【小問2詳解】

???四邊形ABC。為正方形，

：.DA±AB,

又?.?平面A8C￡)_L平面AE8F,￡>4u平面A8CD,

平面ABC￡)n平面AEBF=AB,

平面AEBF,

如圖建立空間直角坐標系，

設P（0,2,2-2）,則B（2,0,0）,C（2,0,2）,F（l,-l,0）,A（0,0,0）,

BC=（O,O,2）,BF=（-l,-l,O）,

設平面BCT7的一個法向量為。=（x,y,z）,

n-BC=Q[2z=0

則<即〈

n-BF=O-x-y=O

令x=l,則。=（1,T,O）,

設AP與平面BCF所成角為6,又AP=(O,/l,2—/l),

...sin0=〃4°=卜川=也,岡,

|〃||AP|72^2+（2-/1）2242分-41+4’

要使sin6最大,2。（），

2―J一&II1＜也

*ME2心…"1-2

7C71

：.0<-,即AP與平面BCF所成角的最大值為7.

44

21.已知函數(shù)=~-Inx.

(1)求〃x)的單調區(qū)間；

(2)當/(%)=/(9)(1:期)時,證明：x(+x2>2.

【答案】(1)單調遞增區(qū)間為(0』)，單調遞減區(qū)間為(1,物)

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導后，令g(x)=l—f—2xlnx,再次通過導數(shù)可確定g(x)w=g(x0)>g(l)=O可知

g(x)的正負，由此可得/(x)的單調區(qū)間；

(2)根據/(x)單調性將所證不等式化為/(%)</(2-x,),近一步可轉化為/(%)―/(2—不)<0,

根據/(X)解析式可得(3—玉)ln%+(l+%)ln(2_%)<0；令

F(x)=(3-x)lnx+(l+x)In(2-x)(0<x<l),利用導數(shù)可求得F(x)<F(l)=O,由此可證得不等

式.

【小問1詳解】

>,_21nx1-x_l-x2-2xlnx

(1+x)2x(l+x)x(l+x)~'

令g(x)=l-f-2xlnx,

J,1)2x+2

則g'(x)=-2x-21nx-2=-2(x+lnx+l),g(、)=』+J-??；

當x>0時，g"(x)<0,:名。)在(0,+8)上單調遞減,

又g'(e-2)=-2(e-2—l)〉0,g,l)=T<0,.?.玉o?e-2,l),使得g，(x°)=O,

則當X€(O,Xo)時，g'(x)>0；當xe($,+oo)時,g'(x)<0；

.?《(同在(0,天)上單調遞增，在(毛,一)上單調遞減，

，g(x)max=ga)>g(l)=°，又當尤e(o,l)時，1—/>0，-2xlnx>0；

.,.當xe(O,l)時，g(x)>0,即/'(x)>0；當xe(l,+oo)時，g(x)<0,即/'(x)<0；

???/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為(1,+8).

【小問2詳解】

由Q)知：若/(玉)=/■(/)(X]0w),貝!J0<X1<1<受，

要證司+赴>2,只需證%>2-西,

,/0<Xj<1<x2,/.2—芭>1,

又/(X)在(1,內)上單調遞減，則只需證/伍)</(2—%)，

/(X1)=/(A2),則只需證./'(%)</(2-%),即證/(石)一/(2-不)<。,

1—x]—x

則需證?:~Lln^+—kln（2-x）<0,又1一玉>0,

1+X3-％1

...只需證g+￡J<。,

即證（3-xJlnX]+（l+xI）ln（2-xI）<0,

令F（A：）=（3-x）lnx+（14-x）ln（2-x）（0＜x＜l）,

則如）=-lnx+F+ln（2-x）-E，-（力=一99一￡一^^＜0，

F'（x）在（0,1）上單調遞減，F(xiàn)（x）＞F（l）=0,

F（x）在（0,1）上單調遞增，F(xiàn)（x）＜F（l）=0,

（3—xjIn玉+（1+%）In（2—玉）＜0,原不等式得證.

【點睛】思路點睛：本題考查導數(shù)中的極值點偏移問題的證明，證明此問題的基本思路是結合函數(shù)的單調

性，將所證不等式進行轉化，將問題變?yōu)殛P于一個變量的函數(shù)恒大于零或恒小于零的證明問題，利用導數(shù)

求最值的方法證得結論即可.

尤2V2

22.已知橢圓。：二+27=1（4＞匕＞0）的右頂點為4（2,0）,右焦點F到右準線/的距離為3.

ab~

（1）求橢圓C的標準方程：

（2）經過點F和7（7,0）的圓與直線/交于尸，Q,AP,AQ分別與橢圓C交于M,M證明：直線MN

經過定點.

22

【答案】（1）土+匕=1

43

（2）直線MN經過定點（1,0）

【解析】

a=2

【分析】（1）根據題意，列出含4,dC的方程，1t—c=3,求解即可

C

a2=h2+c2