高中數(shù)學(xué) 2-3-1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程規(guī)范訓(xùn)練 蘇教版選修2-1

2.3雙曲線2.3.1雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘1．雙曲線8kx2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，3)，則k＝______．解析由eq\f(y2,－\f(8,k))－eq\f(x2,－\f(1,k))＝1知－eq\f(8,k)－eq\f(1,k)＝9，故k＝－1.答案－12．已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＋c＝9，b＝3，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________．解析由a＋c＝9，c2＝a2＋b2＝a2＋9，解得a＝4，又焦點(diǎn)在y軸上，故雙曲線的方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.答案eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝13．過(guò)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1左焦點(diǎn)F1的直線交雙曲線的左支于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，則MF2＋NF2－MN的值為_(kāi)_____．解析MF2＋NF2－MN＝(MF2－MF1)＋(NF2－NF1)(根據(jù)雙曲線的定義)＝2a＋2a＝4×2＝8.答案84．已知雙曲線的焦距為26，eq\f(a2,c)＝eq\f(25,13)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________．解析c＝13，a2＝25，∴b2＝144.答案eq\f(x2,25)－eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,144)＝15．雙曲線兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(0，－5)、F2(0，5)，2a解析由題意知焦點(diǎn)在y軸上且a＝4，c＝5，則b2＝9.答案eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝16．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；(2)c＝eq\r(6)，且過(guò)點(diǎn)(－5，2)，焦點(diǎn)在x軸上；(3)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)．解(1)設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)，∵P、Q兩點(diǎn)在雙曲線上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＋\f(225,16n)＝1,\f(256,9m)＋\f(25,n)＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－16,n＝9))，∴所求雙曲線方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.(2)∵焦點(diǎn)在x軸上，c＝eq\r(6)，∴設(shè)所求雙曲線方程為：eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6)．∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－5，2)，∴eq\f(25,λ)－eq\f(4,6－λ)＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求雙曲線方程是eq\f(x2,5)－y2＝1.(3)設(shè)所求雙曲線方程為：eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(其中－4<λ<16)．∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求雙曲線方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.綜合提高限時(shí)30分鐘7．若方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則k的取值范圍是____________．解析由k－3>0，9－k<0得k>9.答案k>98．方程eq\f(x2,1＋k)＋eq\f(y2,1－k)＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是________．解析由題意得(1＋k)(1－k)<0即(k＋1)(k－1)>0，∴k>1或k<－1.答案k>1或k<－19．雙曲線eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1的焦距為_(kāi)_________．解析∵25－k>9－k，則25－k>0，9－k<0，即a2＝25－k，b2＝k－9，∴c2＝16，c＝4，焦距為2c答案810．已知雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，點(diǎn)A、B在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2，AB＝m，F(xiàn)1為另一焦點(diǎn)，則△ABF1的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析由AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝故AF1＋BF1＝4a＋而AF1＋BF1＋AB＝4a＋2AB＝4a＋答案4a＋11．已知F1、F2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)，P在雙曲線右支上，且PF1·PF2＝32，求∠F1PF2的大小．解由雙曲線定義和條件，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PF1－PF2＝6，,PF1·PF2＝32，))所以62＝(PF1－PF2)2＝PF12＋PF22－2PF1·PF2所以PF12＋PF22＝100.在△PF1F2中，由余弦cos∠F1PF2＝eq\f(PF12＋PF22－F1F22,2PF1·PF2)＝0，所以∠F1PF2＝90°.12．如圖所示，在△ABC中，已知AB＝4eq\r(2)，且三內(nèi)角A、B、C滿(mǎn)足2sinA＋sinC＝2sinB，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程，并指明表示什么曲線．解如圖，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)．由正弦定理得sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝eq\f(c,2)，從而有CA－CB＝eq\f(1,2)AB＝2eq\r(2)<AB.由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支．∵a＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝c2－a2＝6.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x>eq\r(2))．故C點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支且除去點(diǎn)(eq\r(2)，0)．13．(創(chuàng)新拓展)以原點(diǎn)為圓心，以雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1的半焦距為半徑作圓與雙曲線相交，求其中一個(gè)交點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和．解∵a＝3，b＝eq\r(3)，∴c＝2eq\r(3)，2a＝6，2c＝F1F2＝4eq\r(3)，設(shè)其中一個(gè)交點(diǎn)為M，MF1＝d1，MF2＝d2，其中F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則∠F1MF2＝90°，d12＋d22＝F1F22＝(2c)|d1－d2|＝|MF1－MF2|＝2aeq\b\