平行四邊形和特殊四邊形提高練習(xí)常考題和培優(yōu)題

平行四邊形與特殊四邊形提高練習(xí)?？碱}與培優(yōu)題一.選擇題(共5小題)1.如圖,把大小相同得兩個(gè)矩形拼成如下形狀,則△FBD就是()A.等邊三角形 B.等腰直角三角形C.一般三角形 D.等腰三角形2.如圖,正方形ABCD與正方形CEFG中,點(diǎn)D在CG上,BC=,CE=3,H就是AF得中點(diǎn),那么CH得長(zhǎng)就是()A.3、5 B. C. D.23.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E,則AE得長(zhǎng)就是()A.3 B.5 C.2、4 D.2、54.如圖,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M為BC得中點(diǎn),EF=7,BC=10,則△EFM得周長(zhǎng)就是()A.17 B.21 C.24 D.275.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P就是AD上不與A與D重合得一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作AC與BD得垂線,垂足為E、F,則PE+PF得值為()A.10 B.4、8 C.6 D.5二.填空題(共4小題)6.如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E,若∠CAE=15°,則∠BOE得度數(shù)等于.7.如圖,將平行四邊形ABCD得邊DC延長(zhǎng)到E,使CE=CD,連接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,當(dāng)n=時(shí),四邊形ABEC就是矩形.8.如圖,在正五邊形ABCDE中,連接AC、AD、CE,CE交AD于點(diǎn)F,連接BF,則線段AC、BF、CD之間得關(guān)系式就是.9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),四邊形OABC就是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),點(diǎn)D就是OA得中點(diǎn),點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ODP就是腰長(zhǎng)為5得等腰三角形時(shí),點(diǎn)P得坐標(biāo)就是.三.解答題(共31小題)10.如圖,正方形ABCD中,AE=AB,直線DE交BC于點(diǎn)F,求∠BEF得度數(shù).11.如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AC⊥BD,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA得中點(diǎn).(1)求證:四邊形EFGH為正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH得邊長(zhǎng).12.如圖,點(diǎn)E、F分別就是正方形ABCD得邊CD與AD得中點(diǎn),BE與CF交于點(diǎn)P.求證:AP=AB.13.如圖,點(diǎn)P為正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn),PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求證:PA=EF;(2)若正方形ABCD得邊長(zhǎng)為a,求四邊形PFCE得周長(zhǎng).14.如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),連接DE,把△DEC沿DE折疊得到△DEF,延長(zhǎng)EF交AB于G,連接DG.(1)求∠EDG得度數(shù).(2)如圖2,E為BC得中點(diǎn),連接BF.①求證:BF∥DE;②若正方形邊長(zhǎng)為6,求線段AG得長(zhǎng).15.如圖①,在正方形ABCD中,F就是對(duì)角線AC上得一點(diǎn),點(diǎn)E在BC得延長(zhǎng)線上,且BF=EF.(1)求證:BF=DF;(2)求證:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改為菱形,其她條件不變(如圖②),當(dāng)∠ABC=50°時(shí),∠DFE=度.16.已知正方形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于O.①如圖1,若E就是AC上得點(diǎn),過(guò)A作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求證:OE=OF②如圖2,若點(diǎn)E在AC得延長(zhǎng)線上,AG⊥EB交EB得延長(zhǎng)線于G,AG延長(zhǎng)DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,其它條件不變,OE=OF還成立嗎？17.如圖,點(diǎn)P就是菱形ABCD中對(duì)角線AC上得一點(diǎn),且PE=PB.(1)求證:PE=PD;(2)求證:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,連接DE,試求∠PDE得度數(shù),并說(shuō)明理由.18.如圖,正方形ABCD中,AB=1,點(diǎn)P就是BC邊上得任意一點(diǎn)(異于端點(diǎn)B、C),連接AP,過(guò)B、D兩點(diǎn)作BE⊥AP于點(diǎn)E,DF⊥AP于點(diǎn)F.(1)求證:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF得周長(zhǎng)為,求EF得長(zhǎng).19.如圖,正方形ABCD得對(duì)角線AC、BD得交點(diǎn)為O,以O(shè)為端點(diǎn)引兩條互相垂直得射線OM、ON,分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F.(1)求證:0E=OF;(2)若正方形得邊長(zhǎng)為4,求EF得最小值.20.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E就是邊AD上任意一點(diǎn),BE得垂直平分線FG交對(duì)角AC于點(diǎn)F.求證:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.21.已知:如圖所示,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M就是AC上任一點(diǎn),O就是BD得中點(diǎn),連接MO,并延長(zhǎng)MO到N,使NO=MO,連接BN與ND.(1)判斷四邊形BNDM得形狀,并證明;(2)若M就是AC得中點(diǎn),則四邊形BNDM得形狀又如何？說(shuō)明理由.22.如圖,在△ABC中,O就是邊AC上得一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA得平分線于點(diǎn)E,交∠BCA得外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證:OE=OF;(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF就是矩形？23.(1)如圖矩形ABCD得對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DP∥OC,且DP=OC,連接CP,判斷四邊形CODP得形狀并說(shuō)明理由.(2)如果題目中得矩形變?yōu)榱庑?結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁矗空f(shuō)明理由.(3)如果題目中得矩形變?yōu)檎叫?結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁?？說(shuō)明理由.24.如圖1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求證:四邊形ABCD為矩形;(2)E就是AB邊得中點(diǎn),F為AD邊上一點(diǎn),∠DFC=2∠BCE.①如圖2,若F為AD中點(diǎn),DF=1、6,求CF得長(zhǎng)度:②如圖2,若CE=4,CF=5,則AF+BC=,AF=.25.如圖,直線a、b相交于點(diǎn)A,C、E分別就是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M、N就是EC、DB得中點(diǎn).求證:MN⊥BD.26.如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s得速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s得速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A與點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,四邊形PQCD就是平行四邊形？(2)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,四邊形PQBA就是矩形？(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,當(dāng)PQ不平行于CD時(shí),有PQ=CD.27.如圖,E、F就是正方形ABCD得邊AD上得兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AE=DF.連接CF交BD于G,連接BE交AG于H.已知正方形ABCD得邊長(zhǎng)為4cm,解決下列問(wèn)題:(1)求證:BE⊥AG;(2)求線段DH得長(zhǎng)度得最小值.28.如圖,點(diǎn)M就是矩形ABCD得邊AD得中點(diǎn),點(diǎn)P就是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥MC,PF⊥BM,垂足為E、F.(1)當(dāng)矩形ABCD得長(zhǎng)與寬滿足什么條件時(shí),四邊形PEMF為矩形？猜想并證明您得結(jié)論.(2)在(1)中,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),矩形PEMF變?yōu)檎叫?為什么？29.某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng),過(guò)程如下:如圖①,正方形ABCD中,AB=4,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板得直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合.三角板得一邊交AB于點(diǎn)P,另一邊交BC得延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.(1)求證:AP=CQ;(2)如圖②,小明在圖1得基礎(chǔ)上作∠PDQ得平分線DE交BC于點(diǎn)E,連接PE,她發(fā)現(xiàn)PE與QE存在一定得數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)猜測(cè)她得結(jié)論并予以證明;(3)在(2)得條件下,若AP=1,求PE得長(zhǎng).30.如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,點(diǎn)E、F同時(shí)由A、C兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)(到點(diǎn)B為止),點(diǎn)E得速度為1cm/s,點(diǎn)F得速度為2cm/s,經(jīng)過(guò)t秒△DEF為等邊三角形,求t得值.31.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D就是AC得中點(diǎn),作∠ADB得角平分線DE交AB于點(diǎn)E,(1)求證:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,點(diǎn)P為BC上得一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)BP為何值時(shí),△DEP為等腰三角形.請(qǐng)直接寫出所有BP得值.32.已知:如圖,BF、BE分別就是∠ABC及其鄰補(bǔ)角得角平分線,AE⊥BE,垂足為點(diǎn)E,AF⊥BF,垂足為點(diǎn)F.EF分別交邊AB、AC于點(diǎn)M、N.求證:(1)四邊形AFBE就是矩形;(2)BC=2MN.33.如圖,在邊長(zhǎng)為5得菱形ABCD中,對(duì)角線BD=8,點(diǎn)O就是直線BD上得動(dòng)點(diǎn),OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)對(duì)角線AC得長(zhǎng)就是,菱形ABCD得面積就是;(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),OE+OF得值就是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD得延長(zhǎng)線上時(shí),OE+OF得值就是否發(fā)生變化？若不變請(qǐng)說(shuō)明理由,若變化,請(qǐng)直接寫出OE、OF之間得數(shù)量關(guān)系,不用明理由.34.如圖,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直線上,連接BF、AE.(1)求證:四邊形ABFE就是平行四邊形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,將△ABD沿著BE方向以1cm/s得速度運(yùn)動(dòng),設(shè)△ABD運(yùn)動(dòng)得時(shí)間為t,在△ABD運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,試解決以下問(wèn)題:(1)當(dāng)四邊形ABEF就是菱形時(shí),求t得值;(2)就是否存在四邊形ABFE就是矩形得情形？如果存在,求出t得值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.35.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC得垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.(1)如圖1,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為菱形.(2)如圖1,求AF得長(zhǎng).(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB與△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)P得速度為每秒1cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.①問(wèn)在運(yùn)動(dòng)得過(guò)程中,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)得四邊形有可能就是矩形嗎？若有可能,請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t與點(diǎn)Q得速度;若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.②若點(diǎn)Q得速度為每秒0、8cm,當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)得四邊形就是平行四邊形時(shí),求t得值.36.如圖1,E,F就是正方形ABCD得邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AE=DF,連接CF交BD于G,連接BE交AG于點(diǎn)H(1)求證:AG⊥BE;(2)如圖2,連DH,若正方形得邊長(zhǎng)為4,則線段DH長(zhǎng)度得最小值就是.37.如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,點(diǎn)E時(shí)AD邊得中點(diǎn),點(diǎn)M時(shí)AB邊上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),延長(zhǎng)ME交CD得延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接MD,AN.(1)求證:四邊形AMDN就是平行四邊形.(2)填空:①當(dāng)AM得值為時(shí),四邊形AMDN就是矩形;②當(dāng)AM得值為時(shí),四邊形AMDN就是菱形.38.如圖,已知正方形OABC得邊長(zhǎng)為4,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸得正半軸上,M就是BC得中點(diǎn),點(diǎn)P(0,m)就是線段oc上得一動(dòng)點(diǎn)9點(diǎn)P不與點(diǎn)O、C重合0,直線PM交AB得延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.(1)求點(diǎn)D得坐標(biāo);(用含m得代數(shù)式表示)(2)若△APD就是以AP邊為一腰得等腰三角形,求m得值.39.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D為AC得中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作BD得平行線,交CE得延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,在AF得延長(zhǎng)線上截取FG=BD,連接BG、DF.(1)證明:四邊形BDFG就是菱形;(2)若AC=10,CF=6,求線段AG得長(zhǎng)度.40.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊AD上,點(diǎn)F在邊BC得延長(zhǎng)線上,連接EF與邊CD相交于點(diǎn)G,連接BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)H,AE=CF,BE=EG.(1)求證:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;(3)若EB=4,則△BAE得面積為.初二數(shù)學(xué)平行四邊形與特殊四邊形提高練習(xí)?？碱}與培優(yōu)題參考答案與試題解析一.選擇題(共5小題)1.(2012春?炎陵縣校級(jí)期中)如圖,把大小相同得兩個(gè)矩形拼成如下形狀,則△FBD就是()A.等邊三角形 B.等腰直角三角形C.一般三角形 D.等腰三角形【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根據(jù)SAS證△FGB≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD得度數(shù)即可.【解答】解:∵大小相同得兩個(gè)矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB與△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD就是等腰直角三角形,故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形,全等三角形得性質(zhì)與判定,正方形性質(zhì)得應(yīng)用,關(guān)鍵就是證出△FGB≌△BCD,主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理得能力.2.(2015春?江陰市期中)如圖,正方形ABCD與正方形CEFG中,點(diǎn)D在CG上,BC=,CE=3,H就是AF得中點(diǎn),那么CH得長(zhǎng)就是()A.3、5 B. C. D.2【分析】根據(jù)正方形得性質(zhì)求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延長(zhǎng)AD交EF于M,連接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°,根據(jù)直角三角形斜邊上得中線性質(zhì)求出CH=AF,根據(jù)勾股定理求出AF即可.【解答】解:∵正方形ABCD與正方形CEFG中,點(diǎn)D在CG上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延長(zhǎng)AD交EF于M,連接AC、CF,則AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四邊形ABCD與四邊形GCEF就是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H為AF得中點(diǎn),∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得:AF==2,∴CH=,故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理,正方形得性質(zhì),直角三角形斜邊上得中線得應(yīng)用,解此題得關(guān)鍵就是能正確作出輔助線,并求出AF得長(zhǎng)與得出CH=AF,有一定得難度.3.(2015春?泗洪縣校級(jí)期中)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E,則AE得長(zhǎng)就是()A.3 B.5 C.2、4 D.2、5【分析】根據(jù)矩形得性質(zhì)得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得:CE2=CD2+DE2,即AE2=42+(8﹣AE)2,解得:AE=5,故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形得性質(zhì),勾股定理,線段垂直平分線性質(zhì)得應(yīng)用,解此題得關(guān)鍵就是得出關(guān)于AE得方程.4.(2015秋?無(wú)錫期中)如圖,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M為BC得中點(diǎn),EF=7,BC=10,則△EFM得周長(zhǎng)就是()A.17 B.21 C.24 D.27【分析】根據(jù)CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M為BC得中點(diǎn),利用直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半,求出FM與ME得長(zhǎng),即可求解.【解答】解:∵CF⊥AB,M為BC得中點(diǎn),∴MF就是Rt△BFC斜邊上得中線,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM得周長(zhǎng)=EF+ME+FM=7+5+5=17.故選A.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)直角三角形斜邊上得中線這個(gè)知識(shí)點(diǎn)得理解與掌握,解答此題得關(guān)鍵就是利用直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半,求出FM與ME得長(zhǎng).5.(2015春?烏蘭察布校級(jí)期中)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P就是AD上不與A與D重合得一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作AC與BD得垂線,垂足為E、F,則PE+PF得值為()A.10 B.4、8 C.6 D.5【分析】連接OP,利用勾股定理列式求出BD,再根據(jù)矩形得對(duì)角線相等且互相平分求出OA、OD,然后根據(jù)S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可.【解答】解:如圖,連接OP,∵AB=6,AD=8,∴BD===10,∵四邊形ABCD就是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP,∴××6×8=×5?PE+×5?PF,解得PE+PF=4、8.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形得性質(zhì),三角形得面積,熟記性質(zhì)并利用三角形得面積列出方程就是解題得關(guān)鍵.二.填空題(共4小題)6.(2016春?東平縣期中)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E,若∠CAE=15°,則∠BOE得度數(shù)等于75°.【分析】由矩形ABCD,得到OA=OB,根據(jù)AE平分∠BAD,得到等邊三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC得度數(shù),根據(jù)平行線得性質(zhì)與等角對(duì)等邊得到OB=BE,根據(jù)三角形得內(nèi)角與定理即可求出答案.【解答】解:∵四邊形ABCD就是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO就是等邊三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=(180°﹣30°)=75°.故答案為75°.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形得內(nèi)角與定理,矩形得性質(zhì),等邊三角形得性質(zhì)與判定,平行線得性質(zhì),角平分線得性質(zhì),等腰三角形得判定等知識(shí)點(diǎn),解此題得關(guān)鍵就是求出∠OBC得度數(shù)與求OB=BE.7.(2014春?武昌區(qū)期中)如圖,將平行四邊形ABCD得邊DC延長(zhǎng)到E,使CE=CD,連接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,當(dāng)n=2時(shí),四邊形ABEC就是矩形.【分析】首先根據(jù)四邊形ABCD就是平行四邊形,得到四邊形ABEC就是平行四邊形,然后證得FC=FE,利用對(duì)角線互相相等得四邊形就是矩形判定四邊形ABEC就是矩形.【解答】解:當(dāng)∠AFC=2∠D時(shí),四邊形ABEC就是矩形.∵四邊形ABCD就是平行四邊形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由題意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四邊形ABEC就是平行四邊形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴當(dāng)∠AFC=2∠D時(shí),則有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四邊形ABEC就是矩形,故答案為:2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形得性質(zhì)以及矩形得判定.此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想得應(yīng)用,解題得關(guān)鍵就是了解矩形得判定定理.8.(2015春?南長(zhǎng)區(qū)期中)如圖,在正五邊形ABCDE中,連接AC、AD、CE,CE交AD于點(diǎn)F,連接BF,則線段AC、BF、CD之間得關(guān)系式就是AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根據(jù)菱形得判定方法,判斷出四邊形ABCF就是菱形,再根據(jù)菱形得性質(zhì),即可判斷出AC⊥BF;然后根據(jù)勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,據(jù)此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:∵五邊形ABCDE就是正五邊形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四邊形ABCF就是平行四邊形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四邊形ABCF就是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2.故答案為:AC2+BF2=4CD2.【點(diǎn)評(píng)】(1)此題主要考查了菱形得判定與性質(zhì)得應(yīng)用,要熟練掌握,解答此題得關(guān)鍵就是要明確:菱形就是在平行四邊形得前提下定義得,首先它就是平行四邊形,但它就是特殊得平行四邊形,特殊之處就就是“有一組鄰邊相等”,因而就增加了一些特殊得性質(zhì)與不同于平行四邊形得判定方法.(2)此題還考查了勾股定理得應(yīng)用:在任何一個(gè)直角三角形中,兩條直角邊長(zhǎng)得平方之與一定等于斜邊長(zhǎng)得平方,要熟練掌握.9.(2015春?株洲校級(jí)期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),四邊形OABC就是矩形,A(﹣10,0),C(0,3),點(diǎn)D就是OA得中點(diǎn),點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△ODP就是腰長(zhǎng)為5得等腰三角形時(shí),點(diǎn)P得坐標(biāo)就是(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【分析】先由矩形得性質(zhì)求出OD=5,分情況討論:(1)當(dāng)OP=OD=5時(shí);根據(jù)勾股定理求出PC,即可得出結(jié)果;(2)當(dāng)PD=OD=5時(shí);①作PE⊥OA于E,根據(jù)勾股定理求出DE,得出PC,即可得出結(jié)果;②作PF⊥OA于F,根據(jù)勾股定理求出DF,得出PC,即可得出結(jié)果.【解答】解:∵A(﹣10,0),C(0,3),∴OA=10,OC=3,∵四邊形OABC就是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D就是OA得中點(diǎn),∴AD=OD=5,分情況討論:(1)當(dāng)OP=OD=5時(shí),根據(jù)勾股定理得:PC==4,∴點(diǎn)P得坐標(biāo)為:(﹣4,3);(2)當(dāng)PD=OD=5時(shí),分兩種情況討論:①如圖1所示:作PE⊥OA于E,則∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴點(diǎn)P得坐標(biāo)為:(﹣1,3);②如圖2所示:作PF⊥OA于F,則DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴點(diǎn)P得坐標(biāo)為:(﹣9,3);綜上所述:點(diǎn)P得坐標(biāo)為:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3);故答案為:(﹣4,3),或(﹣1,3),或(﹣9,3).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形得性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形得性質(zhì)、勾股定理;熟練掌握矩形得性質(zhì),并能進(jìn)行推理計(jì)算就是解決問(wèn)題得關(guān)鍵.三.解答題(共31小題)10.(2012春?西城區(qū)校級(jí)期中)如圖,正方形ABCD中,AE=AB,直線DE交BC于點(diǎn)F,求∠BEF得度數(shù).【分析】設(shè)∠BAE=x°,根據(jù)正方形性質(zhì)推出AB=AE=AD,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)與三角形得內(nèi)角與定理求出∠AEB與∠AED得度數(shù),根據(jù)平角定義求出即可.【解答】解:設(shè)∠BAE=x°,∵四邊形ABCD就是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣∠BAE)=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=(180°﹣∠DAE)=[180°﹣(90°﹣x°)]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣(90°﹣x°)﹣(45°+x°),=45°,答:∠BEF得度數(shù)就是45°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形得內(nèi)角與定理,等腰三角形性質(zhì),正方形性質(zhì)得應(yīng)用,解此題得關(guān)鍵就是如何把已知角得未知角結(jié)合起來(lái),題目比較典型,但就是有一定得難度.11.(2012秋?高淳縣期中)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AC⊥BD,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA得中點(diǎn).(1)求證:四邊形EFGH為正方形;(2)若AD=1,BC=3,求正方形EFGH得邊長(zhǎng).【分析】(1)先由三角形得中位線定理求出四邊相等,然后由AC⊥BD入手,進(jìn)行正方形得判斷.(2)連接EG,利用梯形得中位線定理求出EG得長(zhǎng),然后結(jié)合(1)得結(jié)論求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF得邊長(zhǎng).【解答】(1)證明:在△ABC中,∵E、F分別就是AB、BC得中點(diǎn),∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四邊形EFGH為菱形.設(shè)AC與EH交于點(diǎn)M在△ABD中,∵E、H分別就是AB、AD得中點(diǎn),∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四邊形EFGH為正方形.(2)解:連接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分別就是AB、DC得中點(diǎn),∴EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,則EH=.即四邊形EFGH得邊長(zhǎng)為.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰梯形得性質(zhì)及三角形、梯形得中位線定理,解答本題得關(guān)鍵就是根據(jù)三角形得中位線定理得出EH=HG=GF=FE,這就是本題得突破口.12.(2013秋?青島期中)如圖,點(diǎn)E、F分別就是正方形ABCD得邊CD與AD得中點(diǎn),BE與CF交于點(diǎn)P.求證:AP=AB.【分析】延長(zhǎng)CF、BA交于點(diǎn)M,先證△BCE≌△CDF,再證△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜邊中線等于斜邊得一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB.【解答】證明:延長(zhǎng)CF、BA交于點(diǎn)M,∵點(diǎn)E、F分別就是正方形ABCD得邊CD與AD得中點(diǎn),∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF.∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°.又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM.∵CD=AB,∴AB=AM.∴PA就是直角△BPM斜邊BM上得中線,∴AP=BM,即AP=AB.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為直角得性質(zhì),全等三角形得判定與對(duì)應(yīng)邊相等得性質(zhì),直角三角形斜邊中線長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)一半得性質(zhì),本題中求證△CDF≌△AMF就是解題得關(guān)鍵.13.(2015春?禹州市期中)如圖,點(diǎn)P為正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn),PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)求證:PA=EF;(2)若正方形ABCD得邊長(zhǎng)為a,求四邊形PFCE得周長(zhǎng).【分析】(1)連接PC,證四邊形PFCE就是矩形,求出EF=PC,證△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可;(2)證△CBD就是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周長(zhǎng)即可.【解答】解:證明:(1)連接PC,∵四邊形ABCD就是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP與△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°.又∵∠C=90°,∴四邊形PFCE就是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.(2)由(1)知四邊形PFCE就是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE得周長(zhǎng)為2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形得性質(zhì),全等三角形得性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)得連接與掌握,能證出AP=PC就是解此題得關(guān)鍵.14.(2015秋?福建校級(jí)期中)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),連接DE,把△DEC沿DE折疊得到△DEF,延長(zhǎng)EF交AB于G,連接DG.(1)求∠EDG得度數(shù).(2)如圖2,E為BC得中點(diǎn),連接BF.①求證:BF∥DE;②若正方形邊長(zhǎng)為6,求線段AG得長(zhǎng).【分析】(1)由正方形得性質(zhì)可得DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折疊得性質(zhì)得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由“HL”證明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可;(2)①由折疊得性質(zhì)與線段中點(diǎn)得定義可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形得外角性質(zhì)得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,兩直線平行證明即可;②設(shè)AG=x,表示出GF、BG,根據(jù)點(diǎn)E就是BC得中點(diǎn)求出BE、EF,從而得到GE得長(zhǎng)度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如圖1所示:∵四邊形ABCD就是正方形,∴DC=DA.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折疊得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA與Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF(HL),∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=(∠ADF+∠FDC),=×90°,=45°;(2)①證明:如圖2所示:∵△DEC沿DE折疊得到△DEF,E為BC得中點(diǎn),∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE;②解:設(shè)AG=x,則GF=x,BG=6﹣x,∵正方形邊長(zhǎng)為6,E為BC得中點(diǎn),∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根據(jù)勾股定理得:(6﹣x)2+32=(3+x)2,解得:x=2,即線段AG得長(zhǎng)為2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形得性質(zhì)、全等三角形得判定與性質(zhì)、等腰直角三角形得判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換得性質(zhì);熟練掌握正方形得性質(zhì),并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算就是解決問(wèn)題得關(guān)鍵.15.(2016春?召陵區(qū)期中)如圖①,在正方形ABCD中,F就是對(duì)角線AC上得一點(diǎn),點(diǎn)E在BC得延長(zhǎng)線上,且BF=EF.(1)求證:BF=DF;(2)求證:∠DFE=90°;(3)如果把正方形ABCD改為菱形,其她條件不變(如圖②),當(dāng)∠ABC=50°時(shí),∠DFE=50度.【分析】(1)根據(jù)正方形得四條邊都相等可得BC=DC,對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BCF=∠DCF,然后利用“邊角邊”證明即可;(2)易證∠FBE=∠FEB,又因?yàn)椤螰BE=∠FDC,所以可證明∠FEB=∠FDC,進(jìn)而可證明∠DFE=90°;(3)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CBF=∠CDF,根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根據(jù)兩直線平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,從而得解.【解答】(1)證明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF與△DCF中,,∴△BCF≌△DCF(SAS);∴BF=DF;(2)證明:∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°;(3)證明:由(1)知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC(對(duì)頂角相等),∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案為:50.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形得性質(zhì),全等三角形得判定與性質(zhì),菱形得性質(zhì),等邊對(duì)等角得性質(zhì),熟記正方形得性質(zhì)確定出∠BCF=∠DCF就是解題得關(guān)鍵.16.(2015秋?泗縣期中)已知正方形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于O.①如圖1,若E就是AC上得點(diǎn),過(guò)A作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求證:OE=OF②如圖2,若點(diǎn)E在AC得延長(zhǎng)線上,AG⊥EB交EB得延長(zhǎng)線于G,AG延長(zhǎng)DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,其它條件不變,OE=OF還成立嗎？【分析】①由正方形得性質(zhì)得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角得互余關(guān)系得出∠OBE=∠OAF,由ASA證明△BOE≌△AOF,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;②由正方形得性質(zhì)得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角得互余關(guān)系得出∠OBE=∠OAF,由ASA證明△BOE≌△AOF,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可.【解答】①證明:∵四邊形ABCD就是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE與△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF;②解:OE=OF還成立;理由如下:∵四邊形ABCD就是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE與△AOF中,,∴△BOE≌△AOF(ASA),∴OE=OF.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形得性質(zhì)、全等三角形得判定與性質(zhì);熟練掌握正方形得性質(zhì),并能進(jìn)行推理論證就是解決問(wèn)題得關(guān)鍵.17.(2016春?邳州市期中)如圖,點(diǎn)P就是菱形ABCD中對(duì)角線AC上得一點(diǎn),且PE=PB.(1)求證:PE=PD;(2)求證:∠PDC=∠PEB;(3)若∠BAD=80°,連接DE,試求∠PDE得度數(shù),并說(shuō)明理由.【分析】(1)由菱形得性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS證明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出結(jié)論;(2)由等腰三角形得性質(zhì)得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形得性質(zhì)得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB;(3)由四邊形內(nèi)角與定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形得性質(zhì)與三角形內(nèi)角與定理即可得出結(jié)果.【解答】(1)解:∵四邊形ABCD就是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP與△BCP中,,∴△CDP≌△CBP(SAS),∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD;(2)證明:∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB;(3)解:如圖所示:∠PDE=40°;理由如下:在四邊形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣(∠PDC+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(∠PEB+∠PEC+∠DCB)=360°﹣(180°+80°)=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形得性質(zhì)、全等三角形得判定與性質(zhì)、等腰三角形得性質(zhì);熟練掌握菱形得性質(zhì),證明三角形全等就是解決問(wèn)題得關(guān)鍵.18.(2016春?昆山市期中)如圖,正方形ABCD中,AB=1,點(diǎn)P就是BC邊上得任意一點(diǎn)(異于端點(diǎn)B、C),連接AP,過(guò)B、D兩點(diǎn)作BE⊥AP于點(diǎn)E,DF⊥AP于點(diǎn)F.(1)求證:EF=DF﹣BE;(2)若△ADF得周長(zhǎng)為,求EF得長(zhǎng).【分析】(1)由正方形得性質(zhì)得出AD=AB,證出∠DAF=∠ABE,由AAS證明△ADF≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出結(jié)論;(2)設(shè)DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b＞0,由已知條件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可.【解答】(1)證明:∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四邊形ABCD為正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF與△BAE中,,∴△ADF≌△BAE(AAS),∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE;(2)解:設(shè)DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b＞0,∵△ADF得周長(zhǎng)為,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴(a﹣b)2=2(a2+b2)﹣(a+b)2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形得性質(zhì)、全等三角形得判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí);熟練掌握正方形得性質(zhì),由勾股定理得出a與b得關(guān)系式就是解決問(wèn)題(2)得關(guān)鍵.19.(2015春?繁昌縣期中)如圖,正方形ABCD得對(duì)角線AC、BD得交點(diǎn)為O,以O(shè)為端點(diǎn)引兩條互相垂直得射線OM、ON,分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F.(1)求證:0E=OF;(2)若正方形得邊長(zhǎng)為4,求EF得最小值.【分析】(1)根據(jù)正方形得性質(zhì)可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根據(jù)同角得余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用“角邊角”證明△AOE與△BOF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證;(2)根據(jù)等腰直角三角形△EOF,當(dāng)OE最小時(shí),再根據(jù)勾股定理得出EF得最小值.【解答】解:(1)∵四邊形ABCD就是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE與△BOF中,,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴OE=OF;(2)由(1)可知,△EOF就是等腰直角三角形,∠EOF就是直角,當(dāng)OE最小時(shí),EF得值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴點(diǎn)E就是AB得中點(diǎn),∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF得最小值就是2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形得性質(zhì),解決此類問(wèn)題得關(guān)鍵就是正確得利用旋轉(zhuǎn)不變量.正確作出輔助線就是關(guān)鍵.20.(2016春?江寧區(qū)期中)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E就是邊AD上任意一點(diǎn),BE得垂直平分線FG交對(duì)角AC于點(diǎn)F.求證:(1)BF=DF;(2)BF⊥FE.【分析】(1)由正方形得性質(zhì)得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS證明△BAF≌△DAF,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;(2)由線段垂直平分線得性質(zhì)得出BF=EF,證出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形得性質(zhì)證出∠ABF=∠FED,由鄰補(bǔ)角關(guān)系得出∠FED+∠FEA=180°,證出∠ABF+∠FEA=180°,由四邊形內(nèi)角與得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可.【解答】證明:如圖所示:(1)∵四邊形ABCD就是正方形,∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF與△DAF中,,∴△BAF≌△DAF(SAS),∴BF=DF;(2)∵BE得垂直平分線FG交對(duì)角AC于點(diǎn)F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠FDE,∴∠ABF=∠FED,∵∠FED+∠FEA=180°,∴∠ABF+∠FEA=180°,∴∠BAE+∠BFE=180°,∴∠BFE=90°,∴BF⊥FE.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形得性質(zhì)、全等三角形得判定與性質(zhì)、等腰三角形得判定與性質(zhì)、四邊形內(nèi)角與定理等知識(shí);熟練掌握正方形得性質(zhì),證明三角形全等就是解決問(wèn)題得關(guān)鍵.21.(2015春?臺(tái)州校級(jí)期中)已知:如圖所示,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M就是AC上任一點(diǎn),O就是BD得中點(diǎn),連接MO,并延長(zhǎng)MO到N,使NO=MO,連接BN與ND.(1)判斷四邊形BNDM得形狀,并證明;(2)若M就是AC得中點(diǎn),則四邊形BNDM得形狀又如何？說(shuō)明理由.【分析】(1)由對(duì)角線互相平分得四邊形就是平行四邊形即可得出結(jié)論;(2)由直角三角形斜邊上1得中線性質(zhì)得出BM=AC,DM=AC,得出BM=DM,即可得出結(jié)論.【解答】(1)解:四邊形BNDM就是平行四邊形,理由如下:∵O就是BD得中點(diǎn),∴OB=OD,∵NO=MO,∴四邊形BNDM就是平行四邊形;(2)解:四邊形BNDM就是菱形;理由如下:∵∠ABC=∠ADC=90°,M就是AC得中點(diǎn),∴BM=AC,DM=AC,∴BM=DM,∴四邊形BNDM就是菱形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形得判定方法、直角三角形斜邊上得中線性質(zhì)、菱形得判定方法;熟練掌握平行四邊形與菱形得判定方法,并能進(jìn)行推理論證就是解決問(wèn)題得關(guān)鍵.22.(2016春?柘城縣期中)如圖,在△ABC中,O就是邊AC上得一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA得平分線于點(diǎn)E,交∠BCA得外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證:OE=OF;(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF就是矩形？【分析】(1)根據(jù)MN∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD及等角對(duì)等邊即可證得OE=OF;(2)根據(jù)矩形得性質(zhì)可知:對(duì)角線且互相平分,即AO=CO,OE=OF,故當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC得中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF就是矩形.【解答】(1)證明:∵M(jìn)N∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠BCE=∠ACE=∠OEC,∠OCF=∠FCD=∠OFC,∴OE=OC,OC=OF,∴OE=OF.(2)解:當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF就是矩形,∵AO=CO,OE=OF,∴四邊形AECF就是平行四邊形,∵∠ECA+∠ACF=∠BCD,∴∠ECF=90°,∴四邊形AECF就是矩形.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形得判定,關(guān)鍵就是掌握有一個(gè)角為直角得平行四邊形就是矩形.23.(2015春?北京校級(jí)期中)(1)如圖矩形ABCD得對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DP∥OC,且DP=OC,連接CP,判斷四邊形CODP得形狀并說(shuō)明理由.(2)如果題目中得矩形變?yōu)榱庑?結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？說(shuō)明理由.(3)如果題目中得矩形變?yōu)檎叫?結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁?？說(shuō)明理由.【分析】(1)根據(jù)矩形得性質(zhì)得出OD=OC,根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等得四邊形就是平行四邊形得出四邊形CODP就是平行四邊形,根據(jù)菱形得判定推出即可;(2)根據(jù)菱形得性質(zhì)得出∠DOC=90°,根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等得四邊形就是平行四邊形得出四邊形CODP就是平行四邊形,根據(jù)矩形得判定推出即可;(3)根據(jù)正方形得性質(zhì)得出OD=OC,∠DOC=90°,根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等得四邊形就是平行四邊形得出四邊形CODP就是平行四邊形,根據(jù)正方形得判定推出即可;【解答】解:(1)四邊形CODP得形狀就是菱形,理由就是:∵四邊形ABCD就是矩形,∴AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,∴OC=OD,∵DP∥OC,DP=OC,∴四邊形CODP就是平行四邊形,∵OC=OD,∴平行四邊形CODP就是菱形;(2)四邊形CODP得形狀就是矩形,理由就是:∵四邊形ABCD就是菱形,∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,∵DP∥OC,DP=OC,∴四邊形CODP就是平行四邊形,∵∠DOC=90°,∴平行四邊形CODP就是矩形;(3)四邊形CODP得形狀就是正方形,理由就是:∵四邊形ABCD就是正方形,∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,∴∠DOC=90°,OD=OC,∵DP∥OC,DP=OC,∴四邊形CODP就是平行四邊形,∵∠DOC=90°,OD=OC∴平行四邊形CODP就是正方形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形得判定,矩形、菱形、正方形得性質(zhì)與判定,主要考查學(xué)生得猜想能力與推理能力,題目具有一定得代表性,就是一道比較好得題目.24.(2015春?青山區(qū)期中)如圖1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.(1)求證:四邊形ABCD為矩形;(2)E就是AB邊得中點(diǎn),F為AD邊上一點(diǎn),∠DFC=2∠BCE.①如圖2,若F為AD中點(diǎn),DF=1、6,求CF得長(zhǎng)度:②如圖2,若CE=4,CF=5,則AF+BC=5,AF=.【分析】(1)先證明四邊形ABCD就是平行四邊形,再證明∠A=90°,即可得出結(jié)論;(2)①延長(zhǎng)DA,CE交于點(diǎn)G,證明△AGE≌△BCE,得出AG=BC,再證明CF=FG即可;②由①得:AG=BC,CF=FG,GE=CE=4,即可得出AF+BC=AF+AG=FG=CF=5;設(shè)DF=x,根據(jù)勾股定理得出:CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2,列出方程52﹣x2=82﹣(5+x)2,解方程求出x,得出DG、AD,即可得出AF.【解答】(1)證明:∵AB∥CD,AB=CD,∴四邊形ABCD為平行四邊形,∵∠A=∠D,∠A+∠D=180°,∴∠A=90°,∴四邊形ABCD為矩形,(2)解:①延長(zhǎng)DA,CE交于點(diǎn)G,∵四邊形ABCD就是矩形,∴∠DAB=∠B=90°,AD∥BC,∴∠GAE=90°,∠G=∠ECB,∵E就是AB邊得中點(diǎn),∴AE=BE,在△AGE與△BCE中,,∴△AGE≌△BCE(AAS),∴AG=BC,∵DF=1、6,F為AD中點(diǎn),∴BC=3、2,∴AG=BC=3、2,∴FG=3、2+1、6=4、8,∵AD∥BC,∴∠DFC=∠BCF,∵∠DFC=2∠BCE,∴∠BCE=∠FCE,∵AD∥BC,∴∠BCE=∠G,∴CF=FG=4、8;②若CE=4,CF=5,由①得:AG=BC,CF=FG,GE=CE=4,AG=AD,∴CG=8,AF+BC=AF+AG=FG=CF=5;故答案為:5;設(shè)DF=x,根據(jù)勾股定理得:CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2,即52﹣x2=82﹣(5+x)2,解得:x=,∴DG=5+=,∴AD=DG=,∴AF=AD﹣DF=;故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形得判定與性質(zhì)、全等三角形得判定與性質(zhì)、等腰三角形得判定、勾股定理得運(yùn)用;本題有一定難度,特別就是(2)中,需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等與運(yùn)用勾股定理才能得出結(jié)果.25.(2015秋?揚(yáng)中市期中)如圖,直線a、b相交于點(diǎn)A,C、E分別就是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M、N就是EC、DB得中點(diǎn).求證:MN⊥BD.【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半可得DM=EC,BM=EC,從而得到DM=BM,再根據(jù)等腰三角形三線合一得性質(zhì)證明.【解答】證明:∵BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M就是EC得中點(diǎn),∴DM=EC,BM=EC,∴DM=BM,∵點(diǎn)N就是BD得中點(diǎn),∴MN⊥BD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半得性質(zhì),等腰三角形三線合一得性質(zhì),熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖就是解題得關(guān)鍵.26.(2016春?天河區(qū)期中)如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s得速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s得速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A與點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,四邊形PQCD就是平行四邊形？(2)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,四邊形PQBA就是矩形？(3)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,當(dāng)PQ不平行于CD時(shí),有PQ=CD.【分析】(1)設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí),四邊形PQCD就是平行四邊形,根據(jù)DP=CQ,代入后求出即可;(2)設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí),四邊形PQBA就是矩形,根據(jù)AP=BQ,代入后求出即可;(3)設(shè)經(jīng)過(guò)t(s),四邊形PQCD就是等腰梯形,利用EP=2列出有關(guān)t得方程求解即可.【解答】解:(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x(s),四邊形PQCD為平行四邊形即PD=CQ所以24﹣x=3x,解得:x=6.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)y(s),四邊形PQBA為矩形,即AP=BQ,所以y=26﹣3y,解得:y=.(3)設(shè)經(jīng)過(guò)t(s),四邊形PQCD就是等腰梯形.過(guò)Q點(diǎn)作QE⊥AD,過(guò)D點(diǎn)作DF⊥BC,∴∠QEP=∠DFC=90°∵四邊形PQCD就是等腰梯形,∴PQ=DC.又∵AD∥BC,∠B=90°,∴AB=QE=DF.在Rt△EQP與Rt△FDC中,,∴Rt△EQP≌Rt△FDC(HL).∴FC=EP=BC﹣AD=26﹣24=2.又∵AE=BQ=26﹣3t,∴EP=AP﹣AE=t﹣(26﹣3t)=2.得:t=7.∴經(jīng)過(guò)7s,PQ=CD.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查平行四邊形、矩形及等腰梯形得判定掌握情況,本題解題關(guān)鍵就是找出等量關(guān)系即可得解.27.(2014春?泰興市校級(jí)期中)如圖,E、F就是正方形ABCD得邊AD上得兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AE=DF.連接CF交BD于G,連接BE交AG于H.已知正方形ABCD得邊長(zhǎng)為4cm,解決下列問(wèn)題:(1)求證:BE⊥AG;(2)求線段DH得長(zhǎng)度得最小值.【分析】(1)根據(jù)正方形得性質(zhì)可得AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,然后利用“邊角邊”證明△ABE與△DCF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2,利用“邊角邊”證明△ADG與△CDG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3,從而得到∠1=∠3,然后求出∠AHB=90°,再根據(jù)垂直得定義證明即可;(2)根據(jù)直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半,取AB得中點(diǎn)O,連接OH、OD,然后求出OH=AB=1,利用勾股定理列式求出OD,然后根據(jù)三角形得三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí),DH得長(zhǎng)度最小.【解答】(1)證明:在正方形ABCD中,AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,在△ABE與△DCF中,,∴△ABE≌△DCF(SAS),∴∠1=∠2,在△ADG與△CDG中,,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°,∴∠1+∠BAH=90°,∴∠AHB=180°﹣90°=90°,∴BE⊥AG;(2)解:如圖,取AB得中點(diǎn)O,連接OH、OD,則OH=AO=AB=2,在Rt△AOD中,OD===2,根據(jù)三角形得三邊關(guān)系,OH+DH＞OD,∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí),DH得長(zhǎng)度最小,DH得最小值=OD﹣OH=2﹣2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形得性質(zhì),全等三角形得判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半得性質(zhì),三角形得三邊關(guān)系,確定出DH最小時(shí)點(diǎn)H得位置就是解題關(guān)鍵,也就是本題得難點(diǎn).28.(2011秋?睢寧縣校級(jí)期中)如圖,點(diǎn)M就是矩形ABCD得邊AD得中點(diǎn),點(diǎn)P就是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥MC,PF⊥BM,垂足為E、F.(1)當(dāng)矩形ABCD得長(zhǎng)與寬滿足什么條件時(shí),四邊形PEMF為矩形？猜想并證明您得結(jié)論.(2)在(1)中,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),矩形PEMF變?yōu)檎叫?為什么？【分析】(1)根據(jù)矩形得性質(zhì)推出∠A=∠D=90°,AB=CD,AM=DM,求出∠ABM=∠AMB=45°,∠DCM=∠DMC=45°,求出∠BMC,即可求出矩形PEMF.(2)根據(jù)AAS證△BFP≌△CEP,推出PE=PF即可.【解答】(1)解:當(dāng)AD=2AB時(shí),四邊形PEMF為矩形.證明:∵四邊形ABCD為矩形,∴∠A=∠D=90°,∵AD=2AB=2CD,AM=DM=AD,∴AB=AM=DM=CD,∴∠ABM=∠AMB=45°,∠DCM=∠DMC=45°,∴∠BMC=180°﹣45°﹣45°=90°,∵PE⊥MC,PF⊥BM,∴∠MEP=∠FPE=90°,∴四邊形PEMF為矩形,即當(dāng)AD=2AB時(shí),四邊形PEMF為矩形.(2)解:當(dāng)P就是BC得中點(diǎn)時(shí),矩形PEMF為正方形.理由就是:∵四邊形PEMF為矩形,∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°,在△BFP與△CEP中,∴△BFP≌△CEP(AAS),∴PE=PF,∵四邊形PEMF就是矩形,∴矩形PEMF就是正方形,即當(dāng)P就是BC得中點(diǎn)時(shí),矩形PEMF為正方形.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)矩形得判定與性質(zhì),正方形得判定,等腰三角形得性質(zhì),全等三角形得性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)得理解與掌握,熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理就是解此題得關(guān)鍵.29.(2016春?微山縣期中)某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng),過(guò)程如下:如圖①,正方形ABCD中,AB=4,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板得直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合.三角板得一邊交AB于點(diǎn)P,另一邊交BC得延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.(1)求證:AP=CQ;(2)如圖②,小明在圖1得基礎(chǔ)上作∠PDQ得平分線DE交BC于點(diǎn)E,連接PE,她發(fā)現(xiàn)PE與QE存在一定得數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)猜測(cè)她得結(jié)論并予以證明;(3)在(2)得條件下,若AP=1,求PE得長(zhǎng).【分析】(1)由正方形得性質(zhì)得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4,證出∠ADP=∠CDQ,由ASA證明△APD≌△CQD,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;(2)由全等三角形得性質(zhì)得出PD=QD,證出∠PDE=∠QDE,由SAS證明△PDE≌△QDE,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;(3)由(2)與(1)得出PE=QE,CQ=AP=1,求出BQ=BC+CQ=5,BP=AB﹣AP=3,設(shè)PE=QE=x,則BE=5﹣x,在Rt△BPE中,由勾股定理得出方程,解方程即可.【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD就是正方形,∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4,∵∠PDQ=90°,∴∠ADP=∠CDQ,在△APD與△CQD中,,∴△APD≌△CQD(ASA),∴AP=CQ;(2)解;PE=QE,理由如下:由(1)得:△APD≌△CQD,∴PD=QD,∵DE平分∠PDQ,∴∠PDE=∠QDE,在△PDE與△QDE中,,∴△PDE≌△QDE(SAS),∴PE=QE;(3)解:由(2)得:PE=QE,由(1)得:CQ=AP=1,∴BQ=BC+CQ=5,BP=AB﹣AP=3,設(shè)PE=QE=x,則BE=5﹣x,在Rt△BPE中,由勾股定理得:32+(5﹣x)2=x2,解得:x=3、4,即PE得長(zhǎng)為3、4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形得性質(zhì)、全等三角形得判定與性質(zhì)、勾股定理;熟練掌握正方形得性質(zhì),證明三角形全等就是解決問(wèn)題得關(guān)鍵.30.(2015春?羅田縣期中)如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,點(diǎn)E、F同時(shí)由A、C兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)(到點(diǎn)B為止),點(diǎn)E得速度為1cm/s,點(diǎn)F得速度為2cm/s,經(jīng)過(guò)t秒△DEF為等邊三角形,求t得值.【分析】首先連接BD,由在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,可得△ABD就是等邊三角形,又由△DEF為等邊三角形,可得△ADE≌△BDF(SAS),繼而可得當(dāng)AE=BF時(shí),△DEF就是等邊三角形,即可求得答案.【解答】解:連接BD,∵在菱形ABCD中,∠ADC=120°,∴AD=AB,∠A=60°,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD就是等邊三角形,∴BD=AD,∵若△DEF就是等邊三角形,則∠DEF=60°,DE=DF,∴∠ADE=∠BDF,在△ADE與△BDF中,,∴△ADE≌△BDF(SAS),∴AE=BF,∴當(dāng)AE=BF時(shí),△DEF就是等邊三角形,∵E得速度為1cm/s,點(diǎn)F得速度為2cm/s,∴AE=tcm,CF=2tcm,則BF=BC﹣CF=4﹣2t(cm),∴t=4﹣2t,解得:t=.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形得性質(zhì)、全等三角形得判定與性質(zhì)以及等邊三角形得判定與性質(zhì).注意證得△ABD就是等邊三角形且△ADE≌△BDF就是關(guān)鍵.31.(2014秋?東陽(yáng)市校級(jí)期中)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D就是AC得中點(diǎn),作∠ADB得角平分線DE交AB于點(diǎn)E,(1)求證:DE∥BC;(2)若AE=3,AD=5,點(diǎn)P為BC上得一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)BP為何值時(shí),△DEP為等腰三角形.請(qǐng)直接寫出所有BP得值,2,4﹣,4+.【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半可得BD=AD=AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一得性質(zhì)可得DE⊥AB,再根據(jù)垂直于同一直線得兩直線平行證明;(2)利用勾股定理列式求出DE得長(zhǎng),根據(jù)等腰三角形三線合一得性質(zhì)求出BE=AE,然后分DE=EP、DP=EP、DE=DP三種情況討論求解.【解答】(1)證明:∵∠ABC=90°,點(diǎn)D就是AC得中點(diǎn),∴BD=AD=AC,∵DE就是∠ADB得角平分線,∴DE⊥AB,又∵∠ABC=90°,∴DE∥BC;(2)解:∵AE=3,AD=5,DE⊥AB,∴DE===4,∵DE⊥AB,AD=BD,∴BE=AE=3,①DE=EP時(shí),BP==,②DP=EP時(shí),BP=DE=×4=2,③DE=DP時(shí),過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F,則DF=BE=3,由勾股定理得,FP==,點(diǎn)P在F下邊時(shí),BP=4﹣,點(diǎn)P在F上邊時(shí),BP=4+,綜上所述,BP得值為,2,4﹣,4+.故答案為:,2,4﹣,4+.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半得性質(zhì),等腰三角形得判定與性質(zhì),平行線得判定,難點(diǎn)在于(2)要分情況討論.32.(2014春?鄂州期中)已知:如圖,BF、BE分別就是∠ABC及其鄰補(bǔ)角得角平分線,AE⊥BE,垂足為點(diǎn)E,AF⊥BF,垂足為點(diǎn)F.EF分別交邊AB、AC于點(diǎn)M、N.求證:(1)四邊形AFBE就是矩形;(2)BC=2MN.【分析】(1)由BF、BE就是角平分線可得∠EBF就是90°,進(jìn)而由條件中得兩個(gè)垂直可得兩個(gè)直角,可得四邊形AEBF就是矩形;(2)由矩形得性質(zhì)可得∠2=∠5進(jìn)而利用角平分線得性質(zhì)可得∠1=∠5,可得MF∥BC,進(jìn)而可得△AMN∽△ABC,那么BC=2MN.【解答】證明:(1)∵BF、BE分別就是△ABC中∠B及它得外角得平分線,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2+∠3=90°,∵AE⊥BE,E為垂足,AF⊥BF,F為垂足,∴∠AFB=∠AEB=90°,∴四邊形AEBF為矩形;(2)∵四邊形AEBF為矩形,∴BM=MA=MF,∴∠2=∠5,∵∠2=∠1,∴∠1=∠5∴MF∥BC,∴△AMN∽△ABC,∵M(jìn)就是AB得中點(diǎn),∴(或MN為△ABC得中位線)∴MN=BC,BC=2MN.【點(diǎn)評(píng)】綜合考查了矩形得判定與性質(zhì),相似三角形得判定與性質(zhì);用到得知識(shí)點(diǎn)為:有3個(gè)角就是直角得四邊形就是矩形;矩形得對(duì)角線平分且相等;相似三角形得對(duì)應(yīng)邊成比例.33.(2015春?工業(yè)園區(qū)期中)如圖,在邊長(zhǎng)為5得菱形ABCD中,對(duì)角線BD=8,點(diǎn)O就是直線BD上得動(dòng)點(diǎn),OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.(1)對(duì)角線AC得長(zhǎng)就是6,菱形ABCD得面積就是24;(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),OE+OF得值就是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線BD得延長(zhǎng)線上時(shí),OE+OF得值就是否發(fā)生變化？若不變請(qǐng)說(shuō)明理由,若變化,請(qǐng)直接寫出OE、OF之間得數(shù)量關(guān)系,不用明理由.【分析】(1)連接AC與BD相交于點(diǎn)G,根據(jù)菱形得對(duì)角線互相垂直平分求出BG,再利用勾股定理列式求出AG,然后根據(jù)AC=2AG計(jì)算即可得解;再根據(jù)菱形得面積等于對(duì)角線乘積得一半列式計(jì)算即可得解;(2)連接AO,根據(jù)S△ABD=S△ABO+S△ADO列式計(jì)算即可得解;(3)連接AO,根據(jù)S△ABD=S△ABO﹣S△ADO列式整理即可得解.【解答】解:(1)如圖,連接AC與BD相交于點(diǎn)G,在菱形ABCD中,AC⊥BD,BG=BD=×8=4,由勾股定理得,AG===3,∴AC=2AG=2×3=6,菱形ABCD得面積=AC?BD=×6×8=24;故答案為:6;24;(2)如圖1,連接AO,則S△ABD=S△ABO+S△ADO,∴BD?AG=AB?OE+AD?OF,即×8×3=×5?OE+×5?OF,解得OE+OF=4、8就是定值,不變;(3)如圖2,連接AO,則S△ABD=S△ABO﹣S△ADO,∴BD?AG=AB?OE﹣AD?OF,即×8×3=×5?OE﹣×5?OF,解得OE﹣OF=4、8,就是定值,不變,∴OE+OF得值變化,OE、OF之間得數(shù)量關(guān)系為:OE﹣OF=4、8.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形得性質(zhì),三角形得面積,主要利用了菱形得對(duì)角線互相垂直平分得性質(zhì),第(2)(3)問(wèn)作輔助線構(gòu)造出兩個(gè)三角形就是解題得關(guān)鍵.34.(2014春?江西期中)如圖,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直線上,連接BF、AE.(1)求證:四邊形ABFE就是平行四邊形.(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,將△ABD沿著BE方向以1cm/s得速度運(yùn)動(dòng),設(shè)△ABD運(yùn)動(dòng)得時(shí)間為t,在△ABD運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,試解決以下問(wèn)題:(1)當(dāng)四邊形ABEF就是菱形時(shí),求t得值;(2)就是否存在四邊形ABFE就是矩形得情形？如果存在,求出t得值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)根據(jù)全等三角形得對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊得比相等得到AB平行且等于EF,利用一組對(duì)邊平行且相等得四邊形就是平行四邊形判定即可;(2)①根據(jù)菱形得對(duì)角線得性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)D重合時(shí),四邊形ABFE就是菱形,求出此時(shí)t得值即可;②當(dāng)四邊形ABFE就是矩形時(shí),∠BAE=90°,根據(jù)矩形得性質(zhì)求得線段CD得長(zhǎng),從而求得t得值.【解答】解:(1)∵Rt△ABD≌Rt△FEC,∴AB=EF,∠ABD=∠FEC,∴AB∥EF,∴平行四邊形ABFE就是平行四邊形;(2)①如圖,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí),四邊形ABFE就是菱形,此時(shí)△ABD運(yùn)動(dòng)得距離為4cm,∴t=4;②存在當(dāng)四邊形ABFE就是矩形時(shí),∠BAE=90°,∴∠AEB=90°﹣60°=30°,∵AB=2cm,∴BE=4cm,BD=1cm,∴CD=4﹣1﹣1=2cm,∴t=2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形得判定、矩形得判定、菱形得判定等知識(shí),綜合性較強(qiáng),但難度不算很大.35.(2012春?南湖區(qū)校級(jí)期中)已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC得垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.(1)如圖1,連接AF、CE.求證:四邊形AFCE為菱形.(2)如圖1,求AF得長(zhǎng).(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB與△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)P得速度為每秒1cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.①問(wèn)在運(yùn)動(dòng)得過(guò)程中,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)得四邊形有可能就是矩形嗎？若有可能,請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t與點(diǎn)Q得速度;若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.②若點(diǎn)Q得速度為每秒0、8cm,當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)得四邊形就是平行四邊形時(shí),求t得值.【分析】(1)證△AEO≌△CFO,推出OE=OF,根據(jù)平行四邊形與菱形得判定推出即可;(2)設(shè)AF=CF=a,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于a得方程,求出即可;(3)①只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)得四邊形有可能就是矩形,求出時(shí)間t,即可求出答案;②分為三種情況,P在AF上,P在BF上,P在AB上,根據(jù)平行四邊形得性質(zhì)求出即可.【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD就是矩形,∴AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∵AC得垂直平分線EF,∴AO=OC,AC⊥EF,在△AEO與△CFO中∵,∴△AEO≌△CFO(AAS),∴OE=OF,∵OA=OC,∴四邊形AECF就是平行四邊形,∵AC⊥EF,∴平行四邊形AECF就是菱形;(2)解:設(shè)AF=acm,∵四邊形AECF就是菱形,∴AF=CF=acm,∵BC=8cm,∴BF=(8﹣a)cm,在Rt△ABF中,由勾股定理得:42+(8﹣a)2=a2,a=5,即AF=5cm;(3)解:①在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)得四邊形有可能就是矩形,只有當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)得四邊形有可能就是矩形,P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)得時(shí)間就是:(5+3)÷1=8,Q得速度就是:4÷8=0、5,即Q得速度就是0、5cm/s;②分為三種情況:第一、P在AF上,∵P得速度就是1cm/s,而Q得速度就是0、8cm/s,∴Q只能再CD上,此時(shí)當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)得四邊形不就是平行四邊形;第二、當(dāng)P在BF上時(shí),Q在CD或DE上,只有當(dāng)Q在DE上時(shí),當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)得四邊形才有可能就是平行四邊形,如圖,∵AQ=8﹣(0、8t﹣4),CP=5+(t﹣5),∴8﹣(0、8t﹣4)=5+(t﹣5),t=,第三情況:當(dāng)P在AB上時(shí),Q在DE或CE上,此時(shí)當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)得四邊形不就是平行四邊形;即t=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形得性質(zhì),平行四邊形得性質(zhì)與判定,菱形得判定與性質(zhì),勾股定理,全等三角形得性質(zhì)與判定,線段垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)得綜合運(yùn)用,用了方程思想,分類討論思想.36.(2014春?洪山區(qū)期中)如圖1,E,F就是正方形ABCD得邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AE=DF,連接CF交BD于G,連接BE交AG于點(diǎn)H(1)求證:AG⊥BE;(2)如圖2,連DH,若正方形得邊長(zhǎng)為4,則線段DH長(zhǎng)度得最小值就是2﹣2.【分析】(1)根據(jù)正方形得性質(zhì)可得AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB=45°,然后利用“邊角邊”證明△ABE與△DCF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠DCF,再利用“邊角邊”證明△ADG與△CDG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠DAG=∠DCF,從而得到∠ABE=∠DAG,再根據(jù)∠DAG+∠BAH=90°求出∠BAE+∠BAH=90°,然后求出∠AHB=90°,再根據(jù)垂直得定義證明;(2)取AB得中點(diǎn)O,連接OD、OH,利用勾股定理列式求出OD,根據(jù)直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半求出OH,再根據(jù)三角形得任意兩邊之差小于第三邊判斷出O、D、H三點(diǎn)共線時(shí),DH最小.【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD就是正方形,∴AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB=45°,在△ABE與△DCF中,,∴△ABE≌△DCF(SAS),∴∠ABE=∠DCF,在△ADG與△CDG中,,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCF,∴∠ABE=∠DAG,∵∠DAG+∠BAH=90°,∴∠BAE+∠BAH=90