高等數(shù)學(交大)教案第二章

第二章一元函數(shù)微分學

內容及基本要求：

1.理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導性及連續(xù)性之間的關系。

2.會用導數(shù)描一些物理量。

3.掌握導數(shù)的四則運行法則和復合函數(shù)的求導法，掌握基本初等函數(shù)雙曲函數(shù)的公式，了解微分四則運算

法則和一階微分形式不變法。

4.了解高階導數(shù)的概念。

5.掌握初等函數(shù)一階、二階導數(shù)的求法。

6.會求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)，會求反函數(shù)的導數(shù)。

學習重點：導數(shù)和微分概念；導數(shù)的四則運行法則和復合函數(shù)的求導法，基本初等函數(shù)、雙曲函數(shù)的公式；

初等函數(shù)一階、二階導數(shù)的求法；隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)。

學習難點：復合函數(shù)的求導法；隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的導數(shù)。

第一節(jié)導數(shù)的概念

導數(shù)的定義

1.問題的引入(以物理學中的速度問題為例，引入導數(shù)的定義)

［自由落體運動的瞬時速度］已知作自由落體運動的物體的位移S及其時間f的函數(shù)關系是

1,

s=5(0=—gr,求該物體在/=t0時刻的瞬時速度v?o).

(以均勻代替非均勻)首先從物體的內的平均速度入手；

①令物體移動時間t從t0變化到t0+^t

②在At這個時間段物體的位移為

③物體在At這個時間段內的平均速度為

(以極限為手段)然后得到瞬時速度.

①易見At愈小，時間內的平均速度少的值就愈接近"時刻的速度；

②因此，當4―0時，V的極限自然定義為物體在％時刻的瞬時速度，即定義

由此可見，物體在小時刻的瞬時速度是函數(shù)的增量As及自變量增量Af比值當?shù)臉O限.推

廣到一般，可以歸結為一個函數(shù)y=/(x)的增量Ay及自變量的增量Ar之比，當Ar趨于零時的極

限.這種類型的極限我們稱其為導數(shù).

2.導數(shù)的定義

(1)函數(shù)y=/(x)在一點/處導數(shù)

定義設函數(shù)y=/(x)在N(%o,5)內有定義，

①當自變量》在加處取得增量Ax(點為+Ax仍在該鄰域內)時；

②相應地函數(shù)y取得增量Ay=/(x0+Ax)-/(x0)；

③如果Ay及Ax之比當Avf0時的極限存在，則稱函數(shù),=/(x)在點X。處可導，并稱這個極

限為函數(shù)y=/(x)在點/處的導數(shù)，記為了'(/)，即

dy十df(x)

也可記為或------

%)

dxX』dxX=%0

也稱函數(shù)增量及自變量增量之比皆是函數(shù)y在以/及為+Ax為端點的區(qū)間上的平均變化率，導

Ax

數(shù),'(%())是函數(shù)y=/(%)在點與處的變化率，即瞬時變化率.

(2)函數(shù)y=/(x)在一點x處導數(shù)一一導函數(shù)

將X。處導數(shù)定義中的與換成x,如果Ay及之比當—0時的極限存在，則稱函數(shù)

y=/(X)在點X處可導,并稱這個極限為函數(shù)y=/(X)在點X處的導數(shù)‘記為/''(X),即

顯然，當為在某區(qū)間/內變化時，/'(x)是x的函數(shù).因此稱之為導函數(shù).導函數(shù)的記號還有了,

dy?df(x)

—或------.

dxdx

(3)Xo處導數(shù)及導函數(shù)的關系

函數(shù)y=/(x)在點x()的導數(shù)f(%)是導函數(shù)/'(x)在點x=/處的函數(shù)值.即

/'5)=八磯=布.

通常，導函數(shù)簡稱為導數(shù).

例1求函數(shù)y=》2的導數(shù)以及在兀=1點的導數(shù).

3.不可導的情形

由可導定義，如果lim包的極限不存在，即有下述情況之一，稱函數(shù)y=/(x)在點/處不可

-Ax

導.

(1)lim——-℃；(2)lirn—1無穩(wěn)定的變化趨勢.

心一0Ax。Ax

例2(1)求函數(shù)y=N在％=0處的導數(shù).

(2)求函數(shù)y=%*在X=0處的導數(shù).

4.導數(shù)定義的不同形式

(1)lim(4)；

-Ax

(2)lim

h

(3)lim-----------=j(x0)；

x-XQ

(4)lim/So)-/(/-”/,(/)

A%

(5)limf(.x0+y)-/(^o)=/，(^)).

Z—>oo

,,、/(x+7i)-/(x-h)

例3(1)已知/'(zXo)存在，求hm且」n——-~匕5n——

hfOh

(2)已知/(x)=(x—a)0(x),0(x)在x=a處連續(xù)，求/'(a).

71

arctan%---

a

(3)計算極限lim------廣工.

a百x-V3

二.導數(shù)的幾何意義

1.導數(shù)的幾何意義

設曲線C的方程為y=/(x),M(x0>o)是曲線。上的一點，求曲線在點以處的切線方程.

(1)在曲線上另取一點"1(X()+△%,%+Ay),如圖3所示，連接V,"1兩點,得割線MM1.割

線A1A%對％軸的傾角為0,其斜率為tanQ=包；

Ax

圖3

(2)當Ax-0時，點沿曲線C趨向點M,割線的極限位置A/T為曲線y=f(x)在點M

處的切線.此時

其中a是切線MT關于x軸的傾角.從而曲線C在點M處的切線斜率為

由此可知，函數(shù)y=/(x)在點x0處的導數(shù)f'(x0)在幾何上表示曲線y=/(%)在點

M(x0,/(x0))處的切線的斜率左，即

其中a是切線的傾角.

因此曲線y=/(x)在點MO。，y0)處的切線方程為

當了'(/)/0時，法線方程為

特殊地，當了'(Xo)=O時，曲線y=/(x)在點(Xo，y())的切線平行于x軸.當尸(％0)=°0時,

71

曲線y=/(x)在點(/，打)的切線垂直于x軸.此時，切線的傾角為萬.

例4求y='在點(g,2)處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和法線方程.(答案切線

的斜率為一4,切線方程為4x+y—4=0；法線的斜率為—,法線方程為2x—8y+15=0)

三.可導及連續(xù)的關系

1.可導必連續(xù)

設函數(shù)y=/(%)在點1可導，即lim"?=/'(x)存在，由極限及無窮小量的關系知

以一°Ax

其中。是Axf0時的無窮小量.上式兩端同乘以Ax,得

由此可見，當AxfO時，Ayf0.即函數(shù)y=/(%)在點x連續(xù).

2.連續(xù)未必可導

例如，函數(shù)y=|%|在點％=0處連續(xù)(圖1),但由例題2(1)知，y=|%|在點1=0處不可導.同

樣，函數(shù)y=■在點X=0處連續(xù)(圖2),但由例題2(2),中，y=?在點x=0處不可導.

由上面的討論可知，函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導的必要條件，但不是充分條件，所以如果函數(shù)在某點不連續(xù)，

則函數(shù)在該點必不可導.

圖1圖2

2.函數(shù)在某點可導及該點存在切線的關系

(1)可導必有切線；

因為函數(shù)在某點可導，則在該點切線的斜率存在，自然存在切線.

(2)有切線未必可導.

例如，曲線y=F在點x=0處有垂直于工軸的切線(圖2),但它在x=0不可導.

四.科學技術中的導數(shù)問題舉例

變化率當因變量y隨自變量x均勻變化時，y是x的線性函數(shù)，x改變單位長度時y的改變

量，即包總是一個常數(shù)，它反映了y隨x變化的快慢程度，叫做變化率。

Ax

求函數(shù)y=/(x)在點處變化率的方法可以歸納為以下兩步：

(1)局部均勻化求近似值；

(2)利用求極限得精確值

設作變速直線運動的質點的運動方程為S=s(t)，質點在/。時刻的瞬時速度v(")是S=s?)在

0點的導數(shù)值

例5物體做直線運動的方程為s=3/-5/,求

(1)物體在2秒時的速度；(2)物體運動的速度函數(shù).

第二節(jié)求導的基本法則

函數(shù)和、差、積、商的求導法則

設"=w(x),v=v(x),w=w(x)在X點處有導數(shù)=u\x),v'=v'(x),w'=w'(x),則

法則1:兩個可導函數(shù)之和(差)的導數(shù)等于這兩個函數(shù)的導數(shù)之和(差)，即

證明設/(X)=w(x)+v(x),則

所以("+V)'="'+v'.

例1求y=—5的導數(shù).

解了=(/—5)'=(/)，—(5)，=3/—0=31.

例2設/(%)=x3+4cosx-sin5,求了'(%)及/'(5).

解/,(%)=3x2-4sinx-0=3x2—4sinx,(注意：(sin])'=。)，所以

注意：/弓)=尸⑴L”崢4嗎)r=o.

法則2:兩個可導函數(shù)乘積的導數(shù)等于第一個因子的導數(shù)及第二個因子的乘積加上第一個因子及第二

個因子的導數(shù)的乘積.即

推論1：(cu)'—cur.

推論2:法則2可推廣到有限個函數(shù)乘積的導數(shù)計算.如

例3求y=(1+2x)(3x3-2x2)的導數(shù).

解V=(1+2%)'(3/-2%2)+(1+2%)(3犬3-2x2Y

例4設y=e"(sinx+cos%)，求y'.

解y'=)"(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)r

例5設/(X)=(X—〃)0(X),0(X)為連續(xù)函數(shù)，求了'(〃).

h(p{a+h)/7、/、

解=lim-.......=lrim(p(a+力)=(p(a).

/z—>ohA—>o

錯誤解法:

所以于'(a)=(p(a).

錯誤的原因是：0(X)不一定可導.

法則3：兩個可導函數(shù)之商的導數(shù),等于分子的導數(shù)及分母的乘積減去分母的導數(shù)及分子的乘積,再除

以分母的平方.即

X2-11,

例5設y=———，求y.

x+1

（尤2-1）（尤2+］）'_（尤2_］）（尤2+］）,_2%（無2+1）-（%2_1）,2X_4%

（爐+1）2-+1）2-+1）2-

Inx.,

例6設y=——，求).

x

工

x〃一Inx?（九%〃t）］

Onx)'xn-inx-(xny/

解y=-------k-----------=一----------------------=R（jinx）.

.XJi-------------------Ji

例7設丁=12口%,求V.

八，/、，/Sinx、，2

解y=(tanx)=(----)=secx.

cosx

同理可得：

同理可得：

二.反函數(shù)的導數(shù)

定理(反函數(shù)的求導法則)

設y=/(x)在x處有不等于零的導數(shù)/'(x),且其反函數(shù)x=在相應點處連續(xù)，則

［尸(刈’存在，且

或

即反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)的導數(shù)的倒數(shù).

證明y=/(x)的反函數(shù)x=廣1(y).當％=/t(y)的自變量y取得增量Ay時，因變量x取

得相應的增量Ax.當Ayw0時，必有Axw0.事實上,如果

則/一1(》+△")=/一1(>)，但/(%)是---對應的,故y+Ay=y,則Ay=。及Ayw。的假設矛

盾.所以當Ay。0時，有

又％=/T(y)在相應點處連續(xù)，所以Ayf0時，Ax-0.由―(%)w0,得

例8設y=arcsinx，求y'.

解設％二$皿丁為直接函數(shù)，則y=arcsinx為其反函數(shù).

x=siny在/>內單調，可導，且

在對應的區(qū)間內有

y=arcsinxlx=(-1,1)

又cosy=^/1-sin2y=y/l-x2,所以

同理可得：

例9設y=arctanx，求y'.

解設％=tany為直接函數(shù)，則y=arctanx為其反函數(shù).

x=tany在&二(一，'萬")內單調，可導，且?an》)'=sec?ywO.y=arctanx在對應的

區(qū)間1X-(-8,+00)內有

又sec2y=1+tan2y=l+x2,所以

同理可得：

三.復合函數(shù)的求導

定理(復合函數(shù)求導法則)

設y=/(〃),〃=o(x),即y是％的一個復合函數(shù)：y=/[^(x)].如果u=(p(x)在%處有導數(shù)

—=(pf(x\y=f(u)在對應點〃處有導數(shù)@=/'(")，則丁=/1夕(％)]在x處的導數(shù)存在，且

dxdu

或

如果y=/(〃),〃=o(v),v=〃(%)，則y=—〃(%)]｝的導數(shù)為

例io設y=(1+2%嚴，求上.

dx

解設丁==1+2%,則

例11求丁=(305九￥的導數(shù).

解設y=cosw,u—nx,貝!1

例12設y=lntanx,求史.

dx

解設y=ln〃,"=tanx,則

例13設y=求電.

dx

解包=@&=/-3/=3-3=x3).

dxdudx

,2xdy

例14設丁=$111----求一.

1+xdx

&,21/2%、，2x2(1+/)—4/2-2/2x

解y=COS----7,(----7)=COS----------COS7.

1+x21+x21+X?2(1+x2)2(1+x2)21+x2

例15求y=',4'一九2的導數(shù)?

1

解y'—u2—x2+x(Ja2-)[=a〉一"十元

2^a2-x2

例16設y=ln(x+7x2+a2)，求y'.

解yr=------J(X+JY+〃2)，=------J[1+

%+，12+〃2X+V%2+(2^2飛X2+(J2

sinl

例17設y=e"，求y'.

.1.11.i

sin—sin—[sin—1sin-1

解yr=(ex)f=ex?(sin—)",x-cos--(-),——-excos—.

xXXXX

例18設y=In—M-,求y'(0).

Varccosx

解丁=g[M(l—％)+x—Inarccosx],則

所以y'(0)=L.

71

例19設y=/(arctan/),求y.

解設〃=arctan%v=，，則,=于⑺.所以

四.高階導數(shù)

一階導數(shù)：V=fr(x)=—?

dx

二階導數(shù)：了=/"(x)=1==/

dxdx

”，…d3ydd2y

三階導數(shù)：y〃=f以x)=—f(—f).

dxdxdx

14

四階導數(shù)：?、?/(4)(X)=—g=(y'")'.

dx

Any)

”階導數(shù)：嚴=/)(X)=號=(y(5),.

dx

1.二階導數(shù)

,1d~s

例20設s=Vr.t—a廣2，求——.

°2dt2

解s'=%+at,s"=a.

例21證明函數(shù)y=收二％7滿足關系式y(tǒng)3y"+l=0.

rf

證明y'—I=，y——T,所以y3y"+]=0.

\2x-X*1y

T2

例22設y=/(/),/二階可導，求一號.

dx

解y'=exf'(ex),y"=exf'(ex)+exf\ex)-ex=exf\ex)+e2xf"(ex).

]d2

例23設九一y+—siny=0,求一學.

2dx

12

解]_y'+_cosy?y，=0,所以V二---------

22-cosy

2.高階導數(shù)

例24設y=e",求了㈤.

解y'=ae：y〃=Q2e：...,y5)

例25設y=sin尤，求y⑺.

解y(〃)二(sin九產(chǎn)二sin(%+〃??).

同理

一般地,有

11

如求y=cos7犬的〃階導數(shù)，由于y=cos9x=5+]Cos2%,貝!J

例26設y=ln(l+x),求y⑺.

解嚴=(_1尸.

(l+x)"

2%

如求V=------的n階導數(shù)y⑺.

1+2%

例27設nn1,求Ma)

/(x)=anx+an_lx~4—+arx+a0f(x),f(x),(k>n).

解<n){k}

/(x)=nlan,f(x)=0,(k>n).

第三節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導

隱函數(shù)及其求導法

顯函數(shù):等號左邊是因變量,右邊是含有自變量的代數(shù)式.

隱函數(shù):非顯函數(shù),形如F(x,y)=0.

如：y=/(x)為顯函數(shù),而x，+/-siny=0為隱函數(shù).

將隱函數(shù)化為顯函數(shù)稱為隱函數(shù)的顯化，但不是所有隱函數(shù)都可以顯化.

如：+2y—x—3%7=0就不可以顯化.

不用顯化直接由方程求隱函數(shù)的導數(shù)稱為隱函數(shù)的求導.

例1由方程y=xlny確定y是x的函數(shù)，求y'.

解方程兩邊對x求導，有

所以什皿

y-x

例2由X?+盯+y2=4確定y是x的函數(shù)，求其曲線上點(2,—2)處的切線方程.

解方程兩邊對x求導，有

所以V=-2x+y.左切=包L-2=1?所以切線方程為

x+2ydxy=-2

y—(-2)=1?(x-2),即y=x-4.

例3設九)+獷(,)=犬2,其中/(X)為可微函數(shù)，求生.

dx

鏟、/2x—y2/(x)—/(y)

解y=---------------；------.

2#(x)+#(y)

二.由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導

設參數(shù)方程為

確定y=y(x),則

d2y_yr,xr-

dx1(xf)3

x-t2+2^,、dyd2y

例4設《求—，—F,

y=ln(l+f).dxdx"

1

1+f1

2t+22(1+02

設L'od2y

例5其中/?)為二階可導，求

dx1

解華=;?"⑺，半=/〃?),則勺=九

atatax

t

x=a(lntan—+cos/),,…、

例6證明曲線｛2(〃>0,0</<萬)上任一點的切線及x軸的交點至切點的

y=asint

距離為常數(shù).

證明設切點坐標為(項)，%)，對應的參數(shù)為由@=得左切=斗包,所以切線方程為

dxx(?)x仇)

切線及％軸的交點為

所以

三、相關變化率

變量x及y都隨另一變量f而變化，即x=x?),y=y?),而x及y之間又有相互依賴關系：

F(x,y)=0,研究兩個相關變化率比⑺及y(t)之間關系的問題稱為相關變化率問題。

解決這類相關變化率問題可采用以下步驟：

1.建立變量x及y之間的關系式B(x,y)=0；

2.將尸(x,y)=0中的x及y均看成是?的函數(shù)，利用復合函數(shù)鏈導法則，等式尸(x?),y(。)=0兩

端分別對t求導；

3.從求導后的關系式中解出所要求的變化率。

第四節(jié)微分

微分的概念

1.定義設丁=/(x)在。(％0)內有定義，/+AxeU(Xo).如果函數(shù)的增量

可表示成

則稱y=/(x)在/處可微的，A(x0)Ax稱為y=/(x)在/處相應于自變量的增量Ax的微分,記

作dy,即

2.函數(shù)可微的條件

定理了(%)在X。處可微o/(x)在/處可導，且A=/'(/).即

證明"二>"：/(%)在人處可微,則Ay=A(x0)-Ax+o(Ax),所以

f

得/'(%)在X。處可導，且A=/(x0).

f(x)在x0處可導,則

所以—=f^x^+a,lim1=O.故Ay=/'(/)，Ax+a,Ax,而

Ax?—0

r

所以Ay=/'(%o)Ax+o(Ax),即/(%)在/處可微，且A=/(x0).

例1求函數(shù)y=%2當X=1,4%=。.01時的微分.

解、'=21,所以丁=%2當％=1,4%=0.01時的微分為

3.函數(shù)的微分

函數(shù)V=/(x)在任意點處x的微分,稱為函數(shù)y=/(x)的微分,記作dy或df(x),即

當y=x時，dy=dx=k,稱dx為自變量的微分,故函數(shù)的微分又可記作

由此有

從而導數(shù)又稱為“微商”.

例2設y=arctane”,求dy.

解y'=-------7=----丁，所以

1+(")21+e2"

微分的幾何意義

1.微分在近似計算中的理論基礎

當丁=/(%)在處可導時,貝i"y=f'(x0)dx.

當f'(x0)/0時，有

即Ay-dy人Mf0),所以

稱dy為Ay的線性主部,且

所以

得

由此有,當△%—>0時，Ay土dy.

2.微分的幾何意義

三.微分的運算

1.基本初等函數(shù)的微分公式.

2.函數(shù)和，差,積，商的微分.

3.復合函數(shù)的微分法則一一微分形式不變性

y=/(u),u=<p(x)ny=則

又

所以

由此,不論以為自變量還是中間變量,微分形式4y=f'(u)du不變,稱為微分形不變性.

例3設y=ln(l+e*),求力.

解Jy=Jln(l+ex)=-rd(l+ex)=-r-exd(x2)=2"?dx.

l+ex~l+ex'l+ex

例4設y二一1”,求辦及

dx

解Iny=(InHP,兩邊微分,有

所以

例5由+V-％=0確定丁是1的函數(shù)，求力及電.

dx

解+)2—%)=0,得+dy?—dx=0,即

解得

且

四.微分在近似計算中的應用

f

當/(%)w°時，有Ay-dy=f(xQ)dx.即

或

令％=A：。+Ax,Ax=九一九。，則

運用此近似公式計算函數(shù)的近似值時,要求

(1)|Ax|=|%-%0|很??；

⑵/(%),/'(%)易于計算.

由以上兩點,關鍵是點XQ的選取.

特別地,如果取與=0,則f(x)x/(0)+f'(O)x.

由此有工程上的幾個近似公式(類似于x-0時的等價無窮小)：

(1)Vl+x?1+—X；

n

(2)sinx土x,tanx土羽

(3)ex?1+x,ln(l+%)?%.

例6求sin30°30'的近似值.

'7T"J/T"/TT

解sin30°30f=sin(——k----).取/=—,Ax=-----,/(x)=sinx,/'(x)=cosx,則

636006360

例7求即畫的近似值.

,----,---------IZ~4

解V996=VlOOO^Z=1031---------710(1----------)=9.9867.

V10003000

第五節(jié)平面曲線的曲率

—.曲率的概念

Na

曲率是用來反映曲線彎曲程度的量.比值——,即單位弧度切線轉過的角度稱為弧段的平均曲率，記

As

作K,即

而極限

稱為曲線在點M處的曲率,記為K,即

當hm——存在時，則

加一°As

下面給出曲率K的計算公式.

設曲線方程為y=/(元)，且/(%)具有二階導數(shù).由一階導數(shù)的幾何意義知

兩邊微分,得

所以

又由弧微分公式

所以有

故曲率K的計算公式為

如果曲線的參數(shù)方程為

則曲率K的計算公式為

例1試問拋物線y=ax1+c上哪一點處的曲率最大

解yr=2ax+b.yf,=la.所以曲率

b

當2ax+/?=0,即x=——時，曲率K最大，此時對應著拋物線的頂點，即拋物線在頂點處的曲率最

2a

大.

二.曲率的計算

例2拋物線y=+c上哪一點的曲率最大？

解：yr=2ax+b.yr,=2a?k-------—!-------

[l+（2ax+Z?）2]2

顯然，當x=-2時，爆大.又???（-2,-小竺）為拋物線的頂點，

2a2a4a

例3

證：如圖

x的負半軸表示直道，是緩沖段,是圓弧軌道.在緩沖段上，

實際要求

故緩沖始點的曲率%=0.l^x0,

三.曲率半徑及曲率中心

定義：

注意：

1.曲線上一點處的曲率半徑及曲線在該點處的曲率互為倒數(shù).

2.曲線上一點處的曲率半徑越大，曲線在該點處的曲率越?。ㄇ€越平坦）；曲率半徑越小，曲率越大（曲線越

彎曲）.

3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線?。ǚQ為曲線在該點附近的二次近似）.

例4

解：如圖，受力分析尸=。一「，

mv2

視飛行員在點。作勻速圓周運動，，尸=——.（0為。點處拋物線軌道的曲率半徑）

P

得曲率為左Lr=--—.曲率半徑為p=2000米.

Z2000

即：飛行員對座椅的壓力為641.5千克力.

第六節(jié)微分學中值定理

一.Rolle定理

如果

(1)/(%)在句上連續(xù)；

⑵f(x)在(。,。)內可導；

⑶于0=于3).

則至￡(〃/),“尸0=0.

證明因為/(%)在［a,b］上連續(xù),則/(%)在［a,b］上必取得最大值M和最小值m.

(1)M=m,此時f(x)=私％￡［。,切，所以f\x)=0,xG(a,Z?),從而可取(a,b)內的任一

點作為有尸《)=0.

(2)M>m.不妨設/(〃)w機，則必存在Je=根.往證/'(J)=0.

由的存在,可得

存在.對于

和

顯然f(^+Ax)-f^)>0.

當Ax>0時，>—十?)—"&)20,從而一?20,即/'O20.……(1)

Ax

當Ax<0時，—十.)—=o,從而于弋)20,即廣(力vo.……(2)

Ax

由⑴及⑵得

即

注意Rolle定理主要應用在證明/(X)的導函數(shù)/'(%)有零點.

例1設/(x),g(x)在［。,加上連續(xù)，在(氏。)內可導，且/(/?)-/(〃)=g(Z?)-g(a).證明在

(。力)內至少有一點能5工/'0=g'C).

分析：/'6)=g'c)=短(創(chuàng)屋=。=［fw-g(%)ri?=。.

即要證明F(x)=f(x)-g(x)的導函數(shù)在(a,b)內有根.

證明令方(％)=/(x)-g(x),顯然月(%)在切上連續(xù)，在(。涉)內可導,且

從而月(%)在［。,切上滿足Rolle定理的條件,故存在JG(a,b),sj.Fq)=0,即

所以

aa,

例2設—+，^+???+,+Q0=0,證明函數(shù)

n+1n2

n1

/(x)=anx+a%/""+…+Q/+為在(0,1)內必有一根.

n

證明令F(<X)=----H-------X+…H------%2+CLQX,顯然/(%)在［0,1］上滿足Rolle定理的

〃+1n2

nnx

條件,且F\x)=f(x)=anx+an_xx~+???+axx+4.由Rolle定理得，3^e(0,1)，使得

即

所以/(%)=+…+axx+劭在(0,1)內必有一根.

JTJT

例3設/(%)在［0,—］上連續(xù)，在(0,一)內可導，且0</(%)<1,/'(%)<1.證明方程

44,

n

f(x)=1皿％在(0,一)內恰有一根.

4

71

證明⑴先證/(x)=tanX在(0,一)內有一根.

■4

71

令F(x)=/(x)-tanx,則F(x)在［0,—］上連續(xù),且

4

JT1T

由零點定理，3^e(0,—=0,即/(x)=tan%在(0,^)內有一根.

n

⑵往證/(%)=12口%在(0,一)內只有一根.

4

71

反證法：設F(x)=/(x)-tanx在(0,—)內有兩個根當<々，則尸(工)在［3，々］上滿足

n

Rolle定理的條件,所以三〃￡(0,—)，使得

兀

但/'(無)=f'(x)-secx<0,xe(0,—)，故假設不成立.

4

71

由⑴及⑵知，/(%)=tanx在(0,一)內恰有一根.

4

—.Langrage中值定理(也稱有限增量定理或微分中值定理)

如果函數(shù)/(%)

⑴在切上連續(xù)；

(2)在(。力)內可導；

則遮e(a,b),s.t.f(b)-/(?)=f'O(b-a).……(*)

注意⑴當〃<。時,公式(*)仍成立.公式(*)稱為Langrage中值公式.

⑵公式(*)的等價形式:令a=x,Z?=x+Ax,則

/(x+Ax)-/(x)=/'?)?AxJ在1及x+AY之間.

從而j=%+e?Ax,o<e<i,所以

或

即由Langrage中值公式,可得函數(shù)增量的精確表達式,從而該定理又稱為有限增量定理，有時也稱為微分中

值定理.

推論如果/(X)在區(qū)間/上的導數(shù)恒為零,則/(X)在區(qū)間/上是一個常數(shù).

證明eI,不妨設玉顯然在［x,x上滿足Langrage中值定理的條件,故存在

V%1,x2<x2,y(x)x2］

百E(九1，冗2)，使得

又尸6)=0,所以

即

由犬1,%2的任意性知：/(x)=c,xe/.

注意此處的區(qū)間/可以是任何類型的區(qū)間.

%

例4證明當%>0時，-----<ln(l+%)<%.

1+x

證明(分析ln(l+x+=ln(l+x)-ln(l+0)).

令于Q)=ln(l+t),則/(0在區(qū)間［0,X\上滿足Langrage中值定理的條件,故存在JE(0,X)，使

得

即

11?

又-----<-----<1,所以

1+X1+4

注意從例4的證明可以看出用Langrage中值定理證明不等式的基本思路是:

(1)構造輔助函數(shù):這可以從待證不等式分析出輔助函數(shù)的構造；

(2)由Langrage中值定理

=J在〃及》之間

估計了'(￡)，從而得待證不等式.

例5設/(%)在(〃,+oo)內可導，且lim/(x)及l(fā)im/'(%)存在，證明lim/'(%)=0.

%—>+oo+00X—>+oo

證明f(%)在［羽%+1］上滿足Langrage中值定理的條件,故有

所以

三.Cauchy中值定理

Cauchy中值定理如果函數(shù)/(X)及g(x)在［a,b］在連續(xù),在(。涉)內可導.且g'(%)在(〃,。)內

不為零,則存在&G(a,b)，使得

例6設y(x)及g(x)是可導函數(shù),且當入〉。時，，'(x)|<gf(x),證明當%>Q時，有

證明(分析:由I/f(x)|<g\x)知g'(%)>0=g(x)-g(〃)=g'C)(x-d).x>a)

顯然/(X)及g(X)滿足Cauchy中值定理的條件,所以存在J,有

即

又|/\x)|<g\x),所以<L且g(x)-g⑷=g'CX%一。)，故

|gc)l

注意從例6可以看出在證明關于兩個函數(shù)之間的不等式或關系時,往往用Cauchy中值定理.

第七節(jié)羅必塔法則

000

羅必塔法則主要用于解決未定式(一型，一型)的極限.

000

一.lim(°型)，其中l(wèi)im/(x)=0,limg(x)=0.

g(x)0

定理設

(1)limf(x)=0,limg(x)=0；

x—?x0x-?x0

0

(2)在U(%0)內/'(%)及g'(%)都存在，且g'(x)wO;

(3)lirn----存在(或為無窮大).

f0g(x)

則有

f(x\

證明因為當XfX。時，----^的極限及/(%)和g(Xo)無關,不妨設/(Xo)=g(Xo)=°，所以

g(x)

00

/⑺及g⑺在。(%)內連續(xù)，任意xeC/(x0)，則/⑺及g?)在以x(),x為端點的區(qū)間上滿足

Cauchy中值定理的條件,所以

/(x)-/(x)/^)

0J在/及X之間.

g(x)-g(x0)g'C)

即

從而

0

注意(1)定理表明：如果未定式一型滿足羅必塔法則的條件，則未定式的極限可用對分子分母分別

0

求導再求極限來確定未定式的極限.

如果lim還是°型，可再用一次羅必塔法則，直至不是未定式°型為止.即

X—>XQg'(x)00

000

（2）羅必塔法則對九-8時的未定式一型也適用.對X-X?；?—8的未定式—型也適用.

000

即

000

一型一型不是一型

000

000000

一型一型不是一型

000000

（3）如果不是未定式,則不能用羅必塔法則.

0

「x3—3%+2。亦3%2—3o6%3

例1lim-------------------型lim----------------=lim---------=—.

3/__%+]Q_33x2-2x-l-I6x—22

「tan%-sinx「tan%-sin%z.八、

例2lim---------------=lim----------------(sinx?％,x—0)

sinxx

smx

一eIncosx一Incosx八.dnr八

例3lim---------------=lim---(limesmx=1)

x—>0%2x—>0

注意⑷在運用羅必塔法則的過程中，如果出現(xiàn)極限不為零的因子,可將其因子的極限先計算;如果出現(xiàn)極

限為零的因子.可用其等價無窮小來代替，以簡化求極限的計算.

%62*+龍用一2e2x+2e*xex+x-2ex+2

例4lim=lim(ex-l-x)

x->0d)3

例5設〃>O,則

%

例6lim-j-（n為正整數(shù)，2>0）

%f+oo

由以上兩例得

當xf+oo時，In%<<%"?,(2,//>0).

二.其他未定式

1.0?8型

0,00

0?00型一型一型

000

即

、0000

或0?00=丁=一.

100

000

例7"0?oo''型

0

120

<7萬991-x-2x

例8lim(l-x2)tan—x=lim(l-x2)----------=lim=lim

x-2%~TC71x->lTC.71

一cos-Xcos-X

22

或

x=i-t兀t/■4

原式=lim[(2-，)cot—，=21im---------=21im—=—.

一。210n一0乃71

tan—t—t

22

2.8—8型

先通分(或作變換)，化成分式后為未定式“-”型，即

0

0

,1./、8-81-sinxo-cosx?

例z9lim(sec%-tanx)=lim----------=lvim---------=0.

xf巴