高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　第4版 課件 10.5 隱函數(shù)及其求導(dǎo)法

10.5

隱函數(shù)及其求導(dǎo)法10.5.1一個(gè)方程的情形并不是所有的方程都能確定隱函數(shù),就不能確定隱函數(shù),現(xiàn)給出隱函數(shù)存在的充分條件.例如,方程y=f(x)滿足方程定理10.7(隱函數(shù)存在定理1)則(1)存在x0

的某個(gè)鄰域,在此鄰域內(nèi)存在唯一的函數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)二元函數(shù)F(x,y)滿足(1)F(x,y)在的某一鄰域內(nèi)可偏導(dǎo),(2)

y=f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且且且

和

連續(xù),或簡(jiǎn)寫(xiě)于是,得所以存在的一個(gè)鄰域,在這個(gè)鄰域內(nèi)證明:現(xiàn)僅推導(dǎo)求導(dǎo)公式.將恒等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo),由全導(dǎo)數(shù)公式,得函數(shù)y=f(x)稱為由方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù).例1驗(yàn)證在點(diǎn)x=0某個(gè)鄰域內(nèi)存在唯一確定的一元函數(shù)y=f(x)滿足方程xy–ex+ey=0,并求y=f(x)的導(dǎo)數(shù).解令則在整個(gè)平面上連續(xù),且由定理10.7,方程xy–ex+ey=0在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x),且解1令則例2

已知方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo),有解2解得定理10.8(隱函數(shù)存在定理)則在X0

的某個(gè)鄰域內(nèi),存在唯一的函數(shù)y=f(X)設(shè)

X=(x1,x2,…,xn),函數(shù)F(x,y)滿足(1)F(X,y)在的某一鄰域內(nèi)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)滿足方程F(X,y)=0,且以為例L

表示該橢球面與xOy

平面的交線.兩個(gè)連續(xù)的二元函數(shù)滿足F(x,y,z)=0.不滿足定理的條件,在

的鄰域內(nèi)總存在一個(gè)連續(xù)的二元函數(shù)z=f(x,y)滿足F(x,y,z)=0.滿足定理的條件,在

的某個(gè)鄰域內(nèi)存在唯一的解令例3

設(shè)有隱函數(shù)其中F

具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求則解故先求例4設(shè)z=f(x,y)由方程求確定令則再求兩邊分別對(duì)y求偏導(dǎo),得對(duì)代入得將解設(shè)例5設(shè)函數(shù)所確定,求方程組的情形定理10.9(隱函數(shù)組存在定理)設(shè)(1)Fk(X,Y)(k=1,…,m)在點(diǎn)(X0,Y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)可偏導(dǎo),且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),(3)F關(guān)于Y

的雅可比(Jacobi)行列式滿足:

則在點(diǎn)(X0,Y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)存在唯一一組可偏導(dǎo)的隱函數(shù)y1=f1(X),…,ym=fm(X)滿足方程組F(X,Y)=0.解方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)解得例6設(shè)及求解方程組的兩邊對(duì)x

求偏導(dǎo),有移項(xiàng),得例7設(shè)