工科數(shù)學(xué)分析 課件 8-4 重積分的應(yīng)用

第四節(jié)重積分的應(yīng)用工科數(shù)學(xué)分析北京理工大學(xué)第二學(xué)期重積分的應(yīng)用問(wèn)題的提出曲面的面積平面薄片的質(zhì)心（形心）平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量引力小結(jié)一、問(wèn)題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.若要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為的形式，其中在內(nèi)．這個(gè)稱(chēng)為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達(dá)式為二、曲面的面積衛(wèi)星１．設(shè)曲面的方程為：如圖，?曲面S的面積元素曲面面積公式為：周口店猿人洞“魚(yú)鱗”保護(hù)棚３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得分析：Viviani曲線(xiàn)含在圓柱面內(nèi)的部分球體解面積xyzoa2a解解方程組得兩曲面的交線(xiàn)為圓周在平面上的投影域?yàn)槿?、平面薄片的質(zhì)心當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱(chēng)為形心.由元素法由元素法旋輪線(xiàn)（一拱）旋輪線(xiàn)（Cycloid）也叫擺線(xiàn)。一個(gè)半徑為a

的圓在x軸上滾動(dòng)時(shí)，圓上一個(gè)點(diǎn)的軌跡就是旋輪線(xiàn)。brachistochrone解旋輪線(xiàn)（一拱）四、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性(回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運(yùn)動(dòng)或靜止的特性)的量度。一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，到直線(xiàn)或點(diǎn)的距離為d,則I=m

d

2

為質(zhì)點(diǎn)對(duì)直線(xiàn)或點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)于原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

對(duì)于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

對(duì)于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解解五、引力物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)薄片對(duì)

軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力解由積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性知所求引力為幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）六、小結(jié)作業(yè)P139-141

1(1),(2),(4);

2;3;