《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第4節(jié)　隨機(jī)事件的概率

第十章

第4節(jié)隨機(jī)事件的概率知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎(chǔ)回扣知識1知識梳理///////1．概率與頻率(1)頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝

為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)概率：對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用

來估計概率P(A)．頻率fn(A)2．事件的關(guān)系與運算包含

B?A

A＝B

并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的

(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)

且

，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝

?P(A∪B)＝1并事件事件A發(fā)生事件B發(fā)生(1)概率的取值范圍：

．(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝

．②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝

．3．概率的幾個基本性質(zhì)0≤P(A)≤1P(A)＋P(B)1－P(B)1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的． (

) (2)在大量的重復(fù)實驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值． (

) (3)若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0≤P(A)≤1. (

) (4)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率．(

)×

×

√

√

2．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)234542

則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)的頻率為 (

)

A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65B3．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”

(

) A．是互斥事件，不是對立事件

B．是對立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是對立事件

D．既不是互斥事件也不是對立事件 解析

“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況，這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集，且不能同時發(fā)生， 故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件，也是對立事件．C4．(2018·全國Ⅲ卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為 (

) A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7

解析

某群體中的成員分為只用現(xiàn)金支付、既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付、不用現(xiàn)金支付，它們彼此是互斥事件， 所以不用現(xiàn)金支付的概率為1－(0.15＋0.45)＝0.4.B

5．(2020·全國Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者 (

) A．10名B．18名C．24名D．32名 解析

由題意，第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95， 即第二天確保完成新訂單1600份，減去超市每天能完成的1200份，加上積壓的500份，共有1600－1200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名)．B考點分層突破題型剖析考點聚焦2考點一隨機(jī)事件的關(guān)系///////自主演練A2．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個除顏色外完全相同的小球，從中取出兩個球，事件A＝“取出的兩個球同色”，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C＝“取出的兩個球至少有一個白球”，D＝“取出的兩個球不同色”，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球”．下列判斷中正確的序號為________． ①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對立事件；④P(C∪E)＝1.

解析當(dāng)取出的兩個球為一黃一白時，B與C都發(fā)生，②不正確；當(dāng)取出的兩個球中恰有一個白球時，事件C與E都發(fā)生，③不正確；顯然A與D是對立事件，①正確；C∪E為必然事件，P(C∪E)＝1，④正確．①④

3．(多選題)(2021·煙臺模擬)下列命題正確的是 (

) A．對立事件一定是互斥事件

B．若A∩B為不可能事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B) C．若事件A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 D．事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對立事件AB1.準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；(2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．2．判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．感悟升華【例1】(2020·全國Ⅰ卷)某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個等級．加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元、50元、20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元．該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù)．甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件．廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：考點二隨機(jī)事件的頻率與概率///////師生共研甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？解由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525－5－75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為利潤70300－70頻數(shù)281734211.頻率反映了一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計值．2.利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率．感悟升華【訓(xùn)練1】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．【例2】經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：考點三互斥事件與對立事件的概率///////師生共研排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊等候的概率；【例2】(2)至少3人排隊等候的概率．感悟升華【訓(xùn)練2】(1)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級)的概率為 (

) A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08

解析記“抽檢的產(chǎn)品是甲級品”為事件A，是“乙級品”為事件B，是“丙級品”為事件C，這三個事件彼此互斥， 因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.CABD課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3D

BD解析

∵隨機(jī)事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，ABC6．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是 (

) A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”

B．“至少有一個黑球”與“都是紅球”

C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”

D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球” 解析

A中的兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關(guān)系．D

7．根據(jù)某醫(yī)療研究所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有一血液為A型病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為 (

) A．15%B．20%C．45%D．65%

解析因為某地區(qū)居民血型的分布為O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，現(xiàn)在能為A型病人輸血的有O型和A型， 故為病人輸血的概率為50%＋15%＝65%，故選D.D

C二、填空題9．“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對態(tài)度，若該地區(qū)有9600人，則可估計該地區(qū)對“鍵盤俠”持反對態(tài)度的有________人．6912

10．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，