重難點(diǎn)07 空間點(diǎn)線面位置關(guān)系與截面五大題型-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)【重點(diǎn)·難點(diǎn)】（解析版）

重難點(diǎn)07空間點(diǎn)線面位置關(guān)系與截面五大題型匯總

期末題型解讀

題型1線面關(guān)系的判斷

題型4點(diǎn)線共面問(wèn)題的證明

空間點(diǎn)線面位置關(guān)系與

題型點(diǎn)線共面問(wèn)題

2截面五大題型匯總

題型5空間中的截面問(wèn)題

題型3圖形中位置關(guān)系的判段,

滿分技巧

技巧一.判斷空間線面位置關(guān)系（構(gòu)造法）

第一步首先結(jié)合題意構(gòu)造適合題意的直觀模型；

第二步然后將問(wèn)題利用模型直觀地作出判斷；

第三步得出結(jié)論.

技巧二.截面問(wèn)題方法匯總

橫切正方形

橫切：和底邊相似的四邊形

過(guò)頂點(diǎn)或棱-三角形

過(guò)面-梯形

正四棱錐

過(guò)頂點(diǎn)或梭-三角形

斜切過(guò)面-梯形、不規(guī)則四邊形

過(guò)5個(gè)面-五邊形

橫切：與底邊相似的三角形

豎切：長(zhǎng)方形

過(guò)頂點(diǎn)或棱-三龜形

三棱柱

斜切過(guò)上底面-梯形

過(guò)上底面和下底面-五邊形

切不出平行四邊形

挖空型常見(jiàn)錯(cuò)誤

內(nèi)部挖空的是圓錐/圓臺(tái)等上下不等的圖形,

注意斜切是否同心

題型1線面關(guān)系的判斷

【例題1]（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于直線m、n和平面￡7、￡7,Z71OQ勺一個(gè)條件是（）

4.□工口,口、口，口“口B.□>□,□△□=口,□!.口

c.niiu,□工□,□”口D.nii口,□]□,Z7iu

【答案】c

【分析】A選項(xiàng)，由條件可得到OlZZ或OIIO；B選項(xiàng)，不一定得到O_LU，作圖說(shuō)明；C選項(xiàng)，過(guò)Of乍

面。與面依于。，可得。IID,結(jié)合條件可得U,從而得到O工O；D選項(xiàng)，根據(jù)條件得口,

從而得到Oil口.

【詳解】A選項(xiàng)中，根據(jù)。，D,L7IIU.￡711D,有可能出現(xiàn)OilO的情況，所以A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)中，￡71口,￡7n□=口，口工D,不一定得到￡71口,如下圖，所以B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)中，過(guò)0（乍面。與面依于。，如下圖,

,.■￡711口,口u口,Uc口=D..,.￡711口,

---￡7IIZZ7,￡71U,/.ZZ71□,：.□[口,

又Ou。，從而得到。J.口,所以C正確；

D選項(xiàng)中，根據(jù)￡711口,￡71口,所以￡71口,

而01。，所以得到口||。，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式1-U（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)口、口、口是互不重合的平面，m,n是互不重合的直線，給出

四個(gè)命題：

①若□L1□，諷口/口碇口工□,□L□腳UH口

③若。，。//。，則。1ZZ7④若￡7〃。，O1ZZ7,則01O

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)空間線面平行、垂直的判定與性質(zhì)，注意利用線線平行（垂直）Q線面（垂直）Q面面（垂

直）轉(zhuǎn)化解決.

【詳解】口\□,□[□，???2攵①正確；

,:口＞□,□、□.口與位置關(guān)系是平行或相交，②不正確；

???Z71D,O//Z7,過(guò)段平面O,On口=口，

則￡7〃〃，1.1Z71.ZZ71口,又□u□,：*￡71口,故③正確；

,￡71U,過(guò)平面￡7,□□□=□,

則￡7//￡7,又???UuU￡71口，:.￡71□,故④正確；

故選：C.

【變式1-2】（2023春?江蘇?高一專題練習(xí)）已知以口、取空間中三條不同的直線，口口、皿空間

中三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若。n□=口,￡71口,Z71口,則01U

B.若0n□=□,Z7n□=口,□△□=□,若O/口，則B/口

C.若￡7//。，□、口分別與口、斤斤成的角相等，則□//口

D.若m//a,m//p,UIIIJ,則□"口

【答案】B

【分析】對(duì)于ACD,通過(guò)舉反例說(shuō)明其錯(cuò)誤；利用線面平行的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,如圖1,若口n0=0,口工口，。，則O可以與〃平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)镺n□=U,口人口=U,HUH,且Ou口,Oc口,則。/O,

因?yàn)镺u口,ZZZn□=口,則O//7,故B/Z27,B正確；

對(duì)于C,如圖2,若UH口,口、。分別與口。所成的角為0°時(shí)，。與口可以相交、平行或異面，故C錯(cuò)

誤；

對(duì)于D,如圖1,m//a,m//p,DUD,□△□=口,則〃與交，D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式1-3]（2022秋?四川瀘州統(tǒng)考期末）設(shè)I,m,n表示不同的直線,a邛，y表示不同的平面,給

出下列三個(gè)命題：

①若mill,且m_La,則IJLa;

②若a_L0,p±y,則ally;

③若an0=I,RDy=m,aDy=n,貝！]IIImIIn.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由線面、面面的平行、垂直的判定與性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】I,m,n表示不同的直線,a,p,y表示不同的平面，

對(duì)于①，若mill,且m_La,則由線面垂直的判定定理得l±a,故①正確；

對(duì)于②，若,P±y,則a與y相交或平行，故②錯(cuò)誤;

結(jié)合圖形得I,m,n交于同一點(diǎn)，故③錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式1-4]（2023春高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)口,口,。是三條不同的直線，U,。是兩個(gè)不重合的平面，給出下

列命題：

□u￡7)

④□u□.a口什口；

①冗9=口口②口第郎0口9③￡3=口/。

f￡71口）

⑤生?=。1口逸。。。=匚卜。1。.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,判定定理和性質(zhì)定理逐個(gè)判斷可得答案.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)閚可以在平面。內(nèi)，所以①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，根據(jù)線面垂直的判定定理知，當(dāng)一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直時(shí)，才能推出線面垂直，

所以②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可知③正確；

對(duì)于④，直線m和n還可以是異面直線，所以④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑤，根據(jù)面面垂直的判定定理知⑤正確；

對(duì)于⑥，當(dāng)口工口,口門口=口，口、口,Uu詞,才有￡7_L口,所以⑥錯(cuò)誤.

故選：B.

題型2點(diǎn)線共面問(wèn)題

【例題2］（2023?吉林?長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體口?？诳?口1口14口中，直線

口、口與平面0aa的交點(diǎn)為a%線段&a的中點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.口口以三點(diǎn)共線B.O四點(diǎn)異不共面

c.□,□［,口,。四點(diǎn)共面D.aa,a口四點(diǎn)共面

【答案】C

【分析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知aa,a,。四點(diǎn)共面且。a是異面直線，再根據(jù)口與口口、面

□□□、口、、面□□］口、的位置關(guān)系知口在面□□□、口、與面□□、口、的交線上，同理判斷口、

□‘即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

因?yàn)镮

則a。四點(diǎn)共面.

因?yàn)镈e

則De平面□□□、口、,

又□€平面

則點(diǎn)口在平面□□□、口、與平面&的交線上,

同理，口、口也在平面□□□］口［與平面□□［口］的交線上,

所以a□,一點(diǎn)共線；

從而口,□,口*□四點(diǎn)共面，都在平面□□□、口、內(nèi)，

而點(diǎn)B不在平面□□□]&內(nèi)，

所以a口,d,。四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；

口,口、,a三點(diǎn)均在平面。口口、。內(nèi),

而點(diǎn)A不在平面O&□、3,

所以直線A0與平面g口1m目交且點(diǎn)0是交點(diǎn)，

所以點(diǎn)M不在平面O4□、。內(nèi)，

即口,口、口口四點(diǎn)不共面，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

ZZ7ZZ71|口、口],且,

所以口。&&為平行四邊形，

所以共面，

所以a4,口,OH點(diǎn)共面，

故選項(xiàng)D正確.

故選:c.

【變式2-1]（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）下面幾個(gè)命題：①兩兩相交的三條直線共面；②如果兩個(gè)平面有

公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)；③一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；④順次連接空間

四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.2jB.3jC.4jD.lj

【答案】B

【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷各命題.

【詳解】命題①：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點(diǎn)，則無(wú)法確定一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；

命題②：如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，若兩平面重合，則公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，

若兩平面不重合，則有且僅有一條過(guò)該公共點(diǎn)的公共直線，則公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，故②正確；

命題③：不妨設(shè)。/〃，口門口=口,□□□=□,則以。《一確定一個(gè)平面￡7,

所以DeD,DeD,所以O(shè)Du口,又￡7e口,￡7e口,所以。u口,

故一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面，即③正確；

命題④：空間四邊形OZ7DO中,連接OO,口。可得一個(gè)三棱錐，

將四個(gè)中點(diǎn)連接，得到四邊形口，由中位線的性質(zhì)知，口口廿口□,nn/ina,

.?四邊形。。口。是平行四邊形，

故順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，即④正確.

故選：B

【變式2-2】(2023春?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)。/O,口€口，口&□，當(dāng)P、Q分別在平面以g運(yùn)動(dòng)時(shí)，

線段PQ的中點(diǎn)X也隨著運(yùn)動(dòng)，則所有的動(dòng)點(diǎn)X()

A.不共面

B.當(dāng)且僅當(dāng)P、Q分別在兩條平行直線上移動(dòng)時(shí)才共面

C.當(dāng)且僅當(dāng)P、Q分別在兩條互相垂直的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面

D.無(wú)論P(yáng)、Q如何運(yùn)動(dòng)都共面

【答案】D

【分析】過(guò)點(diǎn)X作直線〃_LD,構(gòu)造三角形證明點(diǎn)X到平面￡7、中）距離相等可知.

【詳解】過(guò)點(diǎn)X作直線。1口,記。介口=口小口=口,口與口。所確定的平面為以

因?yàn)榭?Z7n□=□口,Z7n□=口□,

耐以口口〃口口,所以/□□□=乙□□□,

又口〃口,￡71口,所以口,所以乙□□□=4□□□=90°,

因?yàn)閄為PQ的中點(diǎn)，所以口口=口口,所以△□□□沁□□□,

所以□口=口□,即X在到平面以療勺距離相等的平面上.

【變式2-3]（2022春?北京?高一101中學(xué)校考期末）空間四點(diǎn)口口,口,3面而不共線，那么這四點(diǎn)中

（）

A.必有三點(diǎn)共線B.至多有三點(diǎn)共線

C.至少有三點(diǎn)共線D.不可能有三點(diǎn)共線

【答案】B

【分析】畫出空間四點(diǎn)a口,口,。共面而不共線的兩種情況，即可得出答案.

【詳解】如下圖所示,A,C,D均不正確，只有B正確.

?D

AB

【變式2-4]（2022春?上海浦東新?高一上海師大附中?？计谀┤鐖D，在下列四個(gè)正方體中

。分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，2,8,。，。四點(diǎn)共面的是（）.

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷點(diǎn)是否共面，并應(yīng)用平面的性質(zhì)畫出截面即可判斷.

【詳解】由正方體性質(zhì)，選項(xiàng)A,B,C中，4,6,C,。四點(diǎn)顯然不共面.

對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖取E,尸為正方體所在棱的中點(diǎn)，依次連接ADCEBF,

易知ZOCE8尸為平面正六邊形，所以2,8,U,。四點(diǎn)共面.

故選：D

【變式2-5】（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體口O口口一口1口1口1口1中點(diǎn)、外正方形□口口口

的中心，點(diǎn)a為o’。’的中點(diǎn)，點(diǎn)a為口世中點(diǎn)，則（）

4.口、口、口、。四點(diǎn)共面，目口□與口口^行

B.口、口、口、。四點(diǎn)共面，且￡7口與￡70相交

C.口、口、口、。四點(diǎn)共面，目_口口與口■行

。.口、□、口、點(diǎn)不共面

【答案】C

【分析】連接口□、□口,分析可知孕。廳勺中點(diǎn)，判斷出。。與OO相交，結(jié)合中位線的性質(zhì)

可得出結(jié)論.

【詳解】逢接口口,因?yàn)槎檎叫慰诳凇Ｊ乐行?，則孕口小勺中點(diǎn)，

因?yàn)榭凇?口,口％口口^內(nèi)點(diǎn)、,故以口、a磔點(diǎn)共面，目口口與口口^交,

連接DO、□□咫為口、a分別為￡70、￡700勺中點(diǎn)，則

故選：C.

題型3圖形中位置關(guān)系的判段

【例題3]（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則

下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（）

【答案】D

【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,由正方體的性質(zhì)可得平面ABC,OOu平面ABC,

所以直線。。/平面ABC,能滿足；

N

對(duì)于B，作出完整的截面ADBCEF,由正方體的性質(zhì)可得￡7。/。。,￡7Z7c平面ABC,□□u平面ABC,

所以直線OB/平面ABC,能滿足；

對(duì)于C,作出完整的截面ABCD,由正方體的性質(zhì)可得DO/BD,OOC平面ABC,￡7。u平面ABC,

所以直線。平面ABC,能滿足;

對(duì)于D,作出完整的截面，如下圖ABNMHC,可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿足.

故選：D.

【變式3-1】（2023?全國(guó)?對(duì)口高考）如圖，正方體中，E、F分別是。的中點(diǎn)，則與直線&&、

A.有且僅有一條B.有且僅有兩條

C.有且僅有三條D.無(wú)數(shù)條

【答案】D

【分析】在上任意取一點(diǎn)。，由直線&4與點(diǎn)O確定一個(gè)平面這個(gè)平面與OO有且僅有1個(gè)交點(diǎn)Z7,

當(dāng)點(diǎn)。取不同的位置就確定不同的平面，從而與口。有不同的交點(diǎn)。，可得答案.

【詳解】在上任意取一點(diǎn)。，直線&&與點(diǎn)O確定一個(gè)平面，

這個(gè)平面與OZZW且僅有1個(gè)交點(diǎn)￡7,

當(dāng)點(diǎn)。取不同的位置就確定不同的平面，從而與口。有不同的交點(diǎn)口，

而直線。。與這3條異面直線都有交點(diǎn)，故在空間中與三條直線4&、□□、相交的直線有無(wú)數(shù)

條.

故選：D.

【變式3-2]（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，G,H,M,N均是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表

示GH,MN是異面直線的圖形的序號(hào)為（）

G

門

Lr-------z^lN加--------H上---------------

①②③④

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D

【分析】根據(jù)異面直線的定義即可結(jié)合圖形關(guān)系求解.

【詳解】在題圖②④中，直線GH,MN是異面直線；

在題圖①中，由G,M均為所在棱的中點(diǎn)，易得￡7011口口/

在題圖③中，連接GM，由G,M均為所在棱的中點(diǎn)所以口口，且□□=；￡7。,易得四邊形GMNH

為梯形，則GH與MN相交

代-------AN

故選：D.

【變式3-3］（2021?高一課時(shí)練習(xí)）在下面四個(gè)正方體口。。口-方方方中，點(diǎn)口口、口均為所在

棱的中點(diǎn)，過(guò)口、口、a乍正方體截面，則下列圖形中，平面口口。不與直線?！?。垂直的是（）

【答案】A

【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷BCD選項(xiàng)，利用假設(shè)法推出矛盾，可判斷A選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接方假設(shè)方￡7,平面。

在立方體?□□□□-￡7‘方中，仃匚iL平面口/廿口,仃Uu平面口已匚j□,：.dd1DU,所

以，△方O'O為直角三角形，且N方。方為銳角，

因?yàn)?。、儂別為。吐Z7Z/中點(diǎn)，則CO/。'。，所以，□□與仃冰垂直,

這與?！?_L平面。矛盾，故假設(shè)不成立，即。'O與平面￡70。不垂直；

對(duì)于B選項(xiàng),連接方方、DD,如下圖所示：

因?yàn)樗倪呅畏娇诜椒綖檎叫?，則方方1dd,

...口廿_L平面o'方方方,nd<=平面方。'0'。'，：.nd1dd,

"DIJnZZ7ZZ7=D,DDJ"平面￡7'￡7/27,

??,ZZ7口u平面Z7ZZ7￡7,???ZZ7Z71ZZ7ZZ7,

???口、為別為方方、方?！闹悬c(diǎn)，則Z7Q/方o',可得do,

同理可證O'Z7_L□□,

??,□□□□□=U,???cj□母面□□□;

對(duì)于c選項(xiàng)，連接方。、da口□、da0口，取方方的中點(diǎn)。，連接方。、口口,

因?yàn)樗倪呅畏?。為正方形，則o方1方口，

Vdd，平面O￡7'方口，cjUu平面□仃［j□，:.￡701Z7Z7,

??,ZZ7ZZ7n￡7/Z7=ZZ7,???￡7'￡71平面/7'ZZ7Z27,

仃□u平面［j□匚i,Z7Z71Z7ZZ7,

???口、儂別為方o'的中點(diǎn)，;口□￡口,.?.DD1□口,

在正方形o'方方。'中，□、0分別為。'方、o'o’的中點(diǎn)，:.daidos./jD=do.

所以，四邊形方口方皿平行四邊形，所以，daidc^dD=da.

同理可證四邊形￡7方OZ7為平行四邊形，二廿口11口冷廿口=口□,

所以，dDIIDDS.dD=口口，所以，四邊形萬(wàn)口。峰平行四邊形,

易得。'。=口口，所以，四邊形方?？?菱形，所以，￡7￡71口口，

■■■ZZ7ZZ7n□口=.仃□上平面口□□:

對(duì)于D選項(xiàng)，連接。以口□，

因?yàn)樗倪呅?。正方形，則￡70,□□,

(j(j1_平面□□□□,口口0^^口口口口，：,[JD1□□,

□□cDD=□，:.UDDDU,

??,d□u平面口已□，:.ci[J1.,

???口、6秒為□□、￡7。的中點(diǎn)，則口口舊口，：.廿口、口□,同理可證方Z71口□,

,?■DDc\□口=□、：.仃□工平■'面□□□.

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明線面垂直的方法：

一是線面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；

三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面），解題時(shí)，注意線線、

線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；

另外，在證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平

分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長(zhǎng)度，

經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理）、直角梯形等等.

【變式3-4]（2021秋?全國(guó)?高校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直三棱柱0-dd口曲，=

□□「口，口,儂別是所在棱的中點(diǎn)；現(xiàn)有3個(gè)圖形如下所示.則滿足口Z71口型圖形個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】圖（1）中，推導(dǎo)出口□1平面00,從而?！?1；圖（2）中，取&0的中點(diǎn)口,連接口口,

口□,故。?？赯7為平行四邊形，耐□□//□口,推導(dǎo)出。0_L從而0/7,DO;圖（3）中，

反證法證明〃。冰成立.

【詳解】圖（1）中，???直三棱柱。。。-daa中，

□□1LJLJ,LJLJ=□口、i

??□、J.□[J_□□],

A□=口、,u平面u平面ZZ7￡7i,

?'?JL平面ZZ7/Z7|,

u,a,a分別是所在棱的中點(diǎn)，.：□□人平面,

??,UUu平面□□、，：.□□L,

圖（2）中，取乜0的中點(diǎn)口,連接。O,口□,故。平行四邊形，

故□□“□□,而□口=,□□=□]□,□□=□口,所以△□□□.□□□、,

所以乙□口□=乙□□□%￡□□□=4口口口、因?yàn)橐摇酢酢?4□□□=90°,

所以/□□□+4□□口=琳，：“□□□=90°,取\□□,故OO_L□口；

圖（3）中，DDL￡7冰成立.如圖，連接&口，G是BC的中點(diǎn)，連接AG.

假設(shè)31□口,又S1口口門口□、=口,u平面

所以□□上平面□□□□〕,

所以。Z7J.□口，:.4□□□=90°,

所以乙□□口=90°,

因?yàn)榱ⅰ酢酢?L□□□=90°,

所以/□□□+乙□□□=90°不可能.

所以Z7OJ.￡7。不成立.

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明空間直線和直線垂直，常用的方法有：（1）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（2）利用向量法

證明向量的數(shù)量積為0.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

題型4點(diǎn)線共面問(wèn)題的證明

【例題4]（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖所示,在空間四邊形ABCD中，E,F分別為AB,AD的中點(diǎn)，

G,H分別在BC,CD上，目口□=□□=1:2.求證：

⑴E、F、G、H四點(diǎn)共面；

（2）EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）證明出。oil口OBP可；

（2）證明出EFHG為梯形，得到EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M,再結(jié)合點(diǎn)，線與面的關(guān)系進(jìn)行證明.

【詳解】□□

,??E,F分別為AB,AD的中點(diǎn)，.?.￡7011口□,目口口=；口口,

.■-0/711UD,/.E,F,G,H四點(diǎn)共面.

（2）/G,H不是BC,CD的中點(diǎn)，：.□□吟□□,：、□□主口口,

由（1）知O￡7II。。，故EFHG為梯形.

.'.EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M,

，￡7Z7u平面ABC,Z7Z7u平面ACD,

平面ABC,且Oc平面ACD,

.?.〃€OO,即GE與HF的交點(diǎn)在直線AC上.

【變式4-1］（2022春?安徽蕪湖?高一?？计谥校┤鐖D，在三棱柱ABC-LJQiUi中,￡為棱28的中點(diǎn),

尸為棱歌的中點(diǎn)

⑴求證:E,FC,O,四點(diǎn)共面；

⑵求證：AiE,口￡口也交于一點(diǎn)、.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)連接用，根據(jù)巳尸分別為AB,8c的中點(diǎn)，得到,再根據(jù)三棱柱的性質(zhì)證明即

可；

(2)*(1、層□□豐OZ7BE,F,口1,■四點(diǎn)共面，得到Z7Q與OQ必相交，設(shè)。Qn□〔□=D,

再證明De即可.

【詳解】(1)證明：如圖,

連接)，

-E,尸分別為48,8c的中點(diǎn),

又"棱柱OZ27Z7-口1口口1中,Z7Z7IID1D1,

則F,尸，5,四點(diǎn)共面.

(2)由(1)得。口片口道E,F,口1,。網(wǎng)點(diǎn)共面，

則07g￡7。必相交.

沒(méi)□1口n□［口=口.

,:口1口u平面口口彳0/口，.?.走平面ozv/Zz//a

□1口匚￥■[&]口口]□1口，，戶￡平面Z17ZZ71□1

又平面。。彳0,加平面□口]

則OQ,,口放于一點(diǎn).

【變式4-2](2023春?全國(guó)?高一專題)如圖，在長(zhǎng)方1體口□□□-口1口1口1口1中,口、。分別是ZJ/O?和

⑴證明：口、口、□、。四點(diǎn)共面；

(2)對(duì)角線口彳口與平面口口交于點(diǎn)口，。。交于點(diǎn)口，求證：點(diǎn)口”口，。共線；

(3)證明：□□、口口、口。/三線共點(diǎn).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析；

(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)證明。Z7〃OO,即可說(shuō)明以口、口、O0點(diǎn)共面.

(2)先證明點(diǎn)De面〃O/口7m口。c面。，即點(diǎn)。在面口O7D/O與面￡7￡707的交線上在證明面

□□Qi口畫口□□1二口口‘即點(diǎn)De□□即可得到答案.

(3)延長(zhǎng)oa支于a由于面。OO胸口□口=un1,則。在交線oojz.

【詳解】C)頻口口，口口，口4

???在長(zhǎng)方體口口口口一口1口1口1口1中

□1□llI□□

V口、為別是和。7。7的中點(diǎn)

：.□LJ//口1口7

:.□□]I□□

???□、口、□、點(diǎn)共面

(2)?,?口口1〃口口1

口,口力口,口確定一個(gè)平■面口口1口1口

□W(^口口1口1口

□函口口1口1口

?甜角線口1□與平面□□□1交于息口

。在面口□[□[。與面□□□梅交線上

???ZZ7Z7nLJ[J=U

□函□遹□□□〕

:畫口南□□□[=□]□

□G口1口

即點(diǎn)口,U共線.

(3)延長(zhǎng)。a￡7依于口

,-,□□u面□□口

U&□口

Z7G?Z7Z7Z7

---□口u面□□口

□e□口

□□口

?:面□□口n面口□口=口口1

□E□□1

??口口、口□、口口7三線共點(diǎn).

【變式4-3](2023春?全國(guó)?高一專題練習(xí))如圖，四邊形。叨厚口口?？谑侵苯翘菪危琋口口口=

/□□□=9(fIDD,□□二口□,□□%口口,□□—口□,D,為別為。D,DZJB勺中

點(diǎn)

Q）證明：四邊形口是平行四邊形.

?口,口,口,點(diǎn)是否共面？為什么？

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）C,D,F,￡四點(diǎn)共面,理由見(jiàn)解析

【分析】（1）結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得。。7/0。且口〃=口口,由此可得結(jié)論；

（2）由題可證得四邊形OODU為平行四邊形，進(jìn)而可得進(jìn)而即得.

【詳解】（1）因?yàn)閍2分別為oa。中）中點(diǎn)，

而以口□

又□□邑口□,

而以□□//□□,□□=□□,

所以四邊形是平行四邊形；

（2）aaa口四點(diǎn)共面.理由如下：

由,DD=-2CD,境。中點(diǎn)知，□□=□□

所以四邊形oooo為平行四邊形，

而以,由（1）知

即以

所以0D與口。共面，又。e,

所以a口,口,。四點(diǎn)共面.

【變式4-4]（2023春?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖所示，在正方陣□□□□一口1口1口1口1中,E,尸分別

是,?？?的中點(diǎn).

Q）求證：口□,口[口,￡70E線交于點(diǎn)P-,

⑵在（1）的結(jié)論中，G是口Q上一點(diǎn),若尸G交平面于點(diǎn)〃，求證：P,F,”三點(diǎn)共線.

【答案】Q）證明見(jiàn)解析；

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）連接口7。，口口,可得到口口11口口1且口口豐口口,則尾與。/仔目交，設(shè)交點(diǎn)為P,

則能得到住平面口^^□口口1口1,結(jié)合平面OOZ70n平面0即可得證；

（2）可證明P,E,〃都在平面?？诳?與平面Z6C。的交線上，即可得證

【詳解】（1）證明：連接0/0,□口1,口口

正方悻□□□□一口1口1口1□卉,巳尸分別是OO,的中點(diǎn)，

:.□□1舊1口且□□豐口口,

一:口口川口1口^口口1=口1口,

:.口口舊口且□□豐□□[,

???乙與￡7,0相交，設(shè)交點(diǎn)為P,

-：P&EC,FG平面..和平面，8。；

又,.■￡76口口1,u平面OZJZJ/ZJ?，:.□^^□□口1口1,

.7為兩平面的公共點(diǎn),

,平面Z7L7Z7L7C平面ZJLZZJ/ZJ7=□口.：.口€UU,

在（1）的結(jié)論中，G是口〕口上一氨,1G交平面28。于點(diǎn)H,

則/Wu平面ODD,，:.□€平面口□□1,又口e平面28。，

:€^^口口口1n平面ABCD,

同理，□e平面/J。。,c平面ABCD,

口e平面?！?/7/n平面ABCD,

■■■P,E,〃都在平面與平面28。的交線上，

-P,E,〃三點(diǎn)共線.

【變式4-5］（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在空間四邊形288中，H,G分別是。的中點(diǎn)，E,F

分別邊AB,8C上的點(diǎn)，且需=票=:.求證：

t_IZ_/L_/1—!J

（1）點(diǎn)F,F,G,〃四點(diǎn)共面；

⑵直線小，8。，%相交于一點(diǎn).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）利用三角形的中位線平行于第三邊和平行線分線段成比例定理彳導(dǎo)到￡70,0演平行于。O,

由平行線的傳遞性可得根據(jù)兩平行確定一平面得出證明；

（2）利用分別在兩個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上，即可證明.

【詳解】（1）由題意，作圖如下：

空間四邊形oo。。中,a2分別是oaom中點(diǎn)，工

又爭(zhēng)=票=：,.?.口口，:.,口,口,￡7,儂點(diǎn)共面.

1—11—1L_/L—IJ

（2）證明：趣妾□口、口口，因?yàn)榭?。分別是。a口。的中點(diǎn)，即以口□,

且□□=4□□,又因?yàn)轸?票=：，而以□□//□□,目口口=3口口,

4l—i1-1L—Jl—IJ9

而以且□□?？诳?故四邊形oooa為梯形，目口口,?？谑翘菪蔚膬裳?，

所以77/7,00相交于一點(diǎn).設(shè)交點(diǎn)為。，因?yàn)閁Uu平面□□□,所以O(shè)e平面。

同理De平面ODD,而平面平面￡7?！?=口□,所以O(shè)e,

故點(diǎn)。時(shí)直線oa口□,。。的公共點(diǎn)，即直線oa□口,oo?交于一點(diǎn).

題型5空間中的截面問(wèn)題

【例題5]（2023春?高一課時(shí)練習(xí)）用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，所得到的截面形狀可能是.①

銳角三角形；②直角三角形；③矩形；④不是矩形的平行四邊形；⑤菱形；⑥五邊形；⑦正六邊形；⑧正

七邊形.

【答案】①③④⑤⑥⑦

【分析】分別作出平面去截一個(gè)正方體所得到的截面形狀，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).

【詳解】用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，

當(dāng)僅與共點(diǎn)的三條棱相交時(shí)，所得到的截面形狀是三角形：

設(shè)口□=□，口□=□，口口=口,

則￡7爐=+萬(wàn),UCf=d+仃,。爐=D2+萬(wàn)

則+口d-口療>o,nd-+。萬(wàn)-DE3>o,口d+口d-口吁>o,

則N□□□/□□□,z均為銳角，則截面形狀是銳角三角形.

則①判斷正確；②判斷錯(cuò)誤；

用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，當(dāng)截面為時(shí)，

四邊形。O&&為矩形.則③判斷正確；

當(dāng)截面為?？?（口,口1分別為口口,口1口1中點(diǎn)）時(shí)，

四邊形?？赼a為菱形，令正方體棱長(zhǎng)為a,

則?！?==苧a口口1=y[2D,則。仃+皿1=|廳H24=口療,,

則NZ7Z74不是直角，則四邊形Z7Z704不是矩形.則④⑤判斷正確；

當(dāng)截面為￡70?！蹩赱（O,口份別為口口,口、4四等分點(diǎn)點(diǎn)）時(shí),

為五邊形，則⑥判斷正確；

當(dāng)我面為□□口口口口（口,□,口,口,□*儂別為所在棱中點(diǎn)）時(shí),

OOOO&孕正六邊形，則⑦判斷正確；

正方體僅有6個(gè)面，因此截面不可能為七邊形.則⑧判斷錯(cuò)誤.

故答案為：①③④⑤⑥⑦

【變式5-1]（2023春?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，正月體□□□□一的棱長(zhǎng)為1,E,F,G

分別為線段O4上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），

①異面直線&口與AF所成角可以為?

②當(dāng)G為中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E,F使直線4。與平面A訐平行

③當(dāng)E,F為中點(diǎn)時(shí)，平面AEF截正方體所得的截面面積為：

④存在點(diǎn)G,使點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

則上述結(jié)論正確的是（）

A.①③B.②④C.②③D.①④

【答案】C

【分析】根據(jù)異面直線夾角的求解方法，線面平行的判定，以及正方體的截面面積的計(jì)算，結(jié)合幾何體的

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對(duì)①：因?yàn)榭凇⒖凇?、口，板口、口與口由夾角即為口、口與口彌夾焦乙口【口口,

又當(dāng)口與鼻合時(shí)，乙口、取得最大值，為T；

當(dāng)。與點(diǎn)a重合時(shí)，乙口、取得最小值，設(shè)其為0，則tan〃=煞=低，故。＞六

LJ-\LJ4

又點(diǎn)冰能與aa重合，故（a，，。＞/故①錯(cuò)誤；

對(duì)②：當(dāng)皿&。中點(diǎn)時(shí)，存在aa分別為oa口a的中點(diǎn)，滿足&口］畫□□□,證明如下：

取&&的中點(diǎn)為o,連接&a□□,如下所示：

顯然aunDo,又口口建口口口,口口遹□□□,故&□〃面□□口；

又易得□□,□口理□□□,口□《面口□□,故□□/質(zhì)□□□；

又□、□□□□=<^口1口口,畫□□□,

又aZ7U面/771口口,故口1口畫□口□,故②正確；

對(duì)③：連接。a,如下所示：

因?yàn)楣拭鍻OO4即為平面。O很正方體所得截面;

又口、口=口口=4,故該截面為等腰梯形，又□□=,

故截面面積。=X仃一=gX停+旬X苧=/故③正確;

對(duì)④：連接取其中點(diǎn)為口，如下所示：

要使得點(diǎn)。到平面勺距離等于點(diǎn)U到平面。的距離，只需OO經(jīng)過(guò)勺中點(diǎn)，

顯然當(dāng)點(diǎn)口。分別為所在棱的中點(diǎn)時(shí)，不存在這樣的點(diǎn)4防足要求，故④錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式5-2]（2023?江西南昌?江西師大附中?？既＃┮阎襟w口口?？谝豢?Uy□]0的棱長(zhǎng)為2,口

為棱O4上的一點(diǎn)，且滿足平面ODO1平面。1?？?，則平面&口很四面體口口口外接球所得截

面的面積為（）

A.噂〃B.胃OC.之口D.\O

61233

【答案】A

【分析】由題意證得。是。&的中點(diǎn)，由四面體。。。口6勺外接球的直徑為3,得到半徑口=|,

設(shè)。是外接球的球心，求得球心平面40中]距離。=1,根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)，求得截面圓的半

O

徑萬(wàn)=,進(jìn)而求得截面圓的面積.

O

【詳解】在正方體?！?00—口1口1口、□內(nèi)，設(shè)平面OZJOn平面OO&=□□目，平面&￡7￡7,

由平面口口□1平面口口口,可得口□,所以口是的中點(diǎn)，

又四面體。的外接球的直徑為JD仃+皿=3,可得半徑。=?,

設(shè)O是￡7廳勺中點(diǎn)即球心，球心2!）平面4的距離為。，

又設(shè)。儂。中）交點(diǎn)為口，貝！Icos/q□□=%*,則sinz4□口=C0SN&口口建,

則O=。0二位口0口二^1二、，則截面圓的半徑仃=仃一U=]一$=需=￡,

所以截面圓的面積為n廳=^n.

O

故選：A.

【變式5-3]（2023?河南?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直四棱柱OOOO-a4。的底面為

正方形，口&=2,S=1,2為口4的中點(diǎn)，過(guò)口,口,片點(diǎn)作平面Z7,則該四棱柱的外接球被平面口

截得的截面圓的周長(zhǎng)為（）

A.V6nB.V5nC.2nD.早

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意得到該四棱柱的外接球球心G勺位置與半徑。，再求得平面。為平面ODDO,再

利用線面平行的性質(zhì)與線面垂直的判定定理求得球心Zj到平面口。廳勺距離，從而得解.

【詳解】由題意知直四棱柱OR7O-d□[□]口的外接球的半徑x^12+12+22=苧，

如圖,取O4的中點(diǎn)。，連接口口口口,口口,易知四邊形ODOR矩形，且平面。即為平面,

分別取。￡7￡71的中點(diǎn)aZ7,連接。a口□,口□,則易得四邊形正方形，

由四棱柱的對(duì)稱性可知，其外接球的球心。即為正方形。?？?勺中心，取口a的中點(diǎn)4,連接口口,

則&□、a0平面OOOD,DUU平面。o。。，所以aO〃平面?！?。。,故球心o到平面

□oa的距離與&到平面me的距離相等，

過(guò)點(diǎn)&作&口1口□,垂足為D,

易知□□遹口口1口1口,□、口地口口口1口,故JJU、口]□,

又￡7￡7n=口，口口，口口仁桐口口口口,所以口1口工平面□□□□,

又□、口=口%n45。=號(hào)，所以球心。到平面距離為9，

由球的性質(zhì)知，截面圓的半徑口=J仃-&布=夠二=亨，

所以截面圓的周長(zhǎng)為2n〃=苧化

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是求得球心。到面〃〃。的距離，從而求得截面圓的半徑即可得解.

【變式5-4]（2023?全國(guó)?對(duì)口高考）如圖，正方1體□□□□-□[口□]&的棱長(zhǎng)為2g,動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角

線口&上過(guò)點(diǎn)P作垂直于0口的平面。記這樣得到的截面多邊形（含三角形的周長(zhǎng)為y設(shè)口口=H,

則當(dāng)口e[1,5]時(shí)，函數(shù)。=0（。的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[3V6.6V6]B.[V6,2V6]C.（0,V6]D.（0,3陶

【答案】A

【分析】由正方體的性質(zhì)證明Z7a1平面O0￡7同樣由正方體性質(zhì)知￡7=1時(shí)，截面與棱0a口口,

相交于它們的中點(diǎn)a口,a處,計(jì)算出。（1）=3V6,然后a從i開(kāi)始增加，平面，逐漸平移，由棱錐平行

于底面的截面的性質(zhì)易得0（。的表