蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第1章直線與方程復(fù)習(xí)提升練含答案

本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練易錯(cuò)點(diǎn)1忽略直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系致錯(cuò)1.(2024四川成都第七中學(xué)月考)設(shè)直線l的方程為6x-6ycosβ+13=0,則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A.[0,π)B.πC.π2.(2024福建廈門外國語學(xué)校月考)已知直線l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0,若l與連接A(1,-2),B(2,1)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的范圍為()A.0C.π易錯(cuò)點(diǎn)2忽略公式應(yīng)用的前提條件致錯(cuò)3.(2023江蘇徐州運(yùn)河中學(xué)期中)若平面內(nèi)兩條平行直線l1:x+(a-1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0間的距離為35A.-2B.-2或1C.-1D.-1或24.已知直線l1:(3+m)x+4y=5-3m與l2:2x+(5+m)y=8平行,則實(shí)數(shù)m的值為()A.-7B.-1C.-1或-7D.13易錯(cuò)點(diǎn)3忽略直線的特殊情況,缺少分類討論致錯(cuò)5.(多選題)(2023江蘇揚(yáng)州期中)下列說法中正確的有()A.直線y=3x-2在y軸上的截距是2B.若直線l1:ax+2y+3a-2=0與l2:x+(a+1)y+4=0平行,則a=1C.若點(diǎn)A(5,-2)和點(diǎn)B(m,n)關(guān)于直線x-y+1=0對稱,則m+n=3D.過點(diǎn)P(1,2)且在x軸、y軸上的截距相等的直線方程為x+y-3=0思想方法練一、數(shù)形結(jié)合思想在直線方程中的應(yīng)用1.(2024湖南長沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)已知x,y>0,且2x+y=2,則x+x2A.5C.1D.1+2.(2024廣東普寧調(diào)研)已知在矩形ABCD中,A(-4,4),D(5,7),其對角線的交點(diǎn)E在第一象限內(nèi)且到y(tǒng)軸的距離為1,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)沿矩形的BC邊運(yùn)動(dòng),則yx的取值范圍是二、函數(shù)與方程思想在直線方程中的應(yīng)用3.(2024遼寧沈陽月考)已知m∈R,若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線l1:x-my+m-2=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線l2:y-4=-m(x+2)交于點(diǎn)P(P與A,B不重合),則PA+PB的最大值為()A.56C.52D.54.(2023黑龍江哈爾濱第三中學(xué)月考)已知直線l過點(diǎn)P(-2,0),點(diǎn)Q(1,3)到l的距離為23,且直線l'與直線l關(guān)于點(diǎn)Q對稱.(1)求l'的方程;(2)記原點(diǎn)為O,l'上有一動(dòng)點(diǎn)M,則當(dāng)OM+MQ最小時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).三、分類討論思想在直線方程中的應(yīng)用5.已知直線l過兩直線3x+4y-5=0和2x-3y+8=0的交點(diǎn),且A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,則直線l的方程為.

6.(2023安徽馬鞍山第二中學(xué)期中)已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,1),B(-2,1),cos<AC,(1)求過點(diǎn)A,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的一般式方程;(2)求角A的平分線所在直線的一般式方程.四、轉(zhuǎn)化與化歸思想在直線方程中的應(yīng)用7.(2024湖南部分學(xué)校聯(lián)考)唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬,再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在的位置為B(-2,0),河岸線所在直線的方程為x+2y=3,若將軍從山腳下的點(diǎn)A-1A.1458.已知點(diǎn)M(3,5),在直線l:x-2y+2=0上找一點(diǎn)P,在y軸上找一點(diǎn)Q,使△MPQ的周長最小,試求出△MPQ周長的最小值,并求出當(dāng)△MPQ的周長最小時(shí),點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo).

答案與分層梯度式解析本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練1.D當(dāng)cosβ=0時(shí),方程為6x+13=0,直線的傾斜角α=π2當(dāng)cosβ≠0時(shí),由直線方程可得斜率k=1cos∵cosβ∈[-1,1],且cosβ≠0,∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tanα∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),∴α∈π4綜上,傾斜角α的取值范圍是π4,3π易錯(cuò)警示本題有兩處容易出現(xiàn)錯(cuò)誤:一是分類,缺少對cosβ=0的討論,二是計(jì)算,由斜率范圍求傾斜角范圍時(shí),不結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系圖象而得到錯(cuò)解.2.D對直線l的方程進(jìn)行變形,得2x-y-1+m(x+y+1)=0.令x+y+1=0易得直線PA的斜率為-1-(-2則-1≤k≤1,即-1≤tanα≤1,又k=m+21所以-1<tanα≤1,

因此0≤α≤π4所以直線l的傾斜角的取值范圍是0,故選D.易錯(cuò)警示求直線的斜率或傾斜角的取值范圍時(shí),要注意以下三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn):一是起、止直線的確定,從起始直線到終止直線要按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn);二是若斜率不存在的直線不符合題意,則傾斜角的取值范圍會(huì)分成兩個(gè)區(qū)間;三要注意傾斜角為0的直線,將傾斜角的取值范圍分成兩個(gè)部分.3.C∵l1∥l2,∴a·(a-1)=2,解得a=2或a=-1.當(dāng)a=2時(shí),l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0,即x+y+12=0此時(shí)l1與l2間的距離d=2-當(dāng)a=-1時(shí),l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,即x-2y-1=0,此時(shí)l1與l2間的距離d=|2+1故選C.易錯(cuò)警示應(yīng)用兩平行線之間的距離公式時(shí),要將對應(yīng)的一次項(xiàng)系數(shù)化為相等后才能運(yùn)用,解題時(shí)要防止錯(cuò)用公式導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.4.A∵l1∥l2,∴(3+m)(5+m)=8,解得m=-1或m=-7.當(dāng)m=-1時(shí),l1:x+2y-4=0,l2:x+2y-4=0,l1與l2重合,舍去;當(dāng)m=-7時(shí),l1:2x-2y+13=0,l2:x-y-4=0,l1∥l2,符合.綜上,m=-7.故選A.易錯(cuò)警示已知直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0平行求方程中的參數(shù)時(shí),可應(yīng)用A1B2-A2B1=0求解,注意求得的結(jié)果要代入檢驗(yàn),排除l1與l2重合的情況.5.BC對于A,令x=0,得y=-2,故直線y=3x-2在y軸上的截距是-2,A中說法錯(cuò)誤;對于B,若l1∥l2,則a(a+1)-2=0,所以a=1或a=-2,當(dāng)a=-2時(shí),兩直線重合,舍去,所以a=1,B中說法正確;對于C,若兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,則n-(-2)m對于D,當(dāng)截距為0,即直線過原點(diǎn)時(shí),直線方程為y=2x,當(dāng)截距不為0,即直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)方程為xa+ya=1,把(1,2)代入,得1a+易錯(cuò)警示在已知直線平行求直線方程中的參數(shù)時(shí),得到結(jié)果后要排除直線重合的情況;對于與截距相關(guān)的問題,要注意兩點(diǎn):一是截距不是距離,取值可正、可負(fù)、可為0;二是在解決截距相等或成比例問題時(shí),要注意直線過原點(diǎn)的特殊情況.思想方法練1.B賦予式子x+x2+y2任取直線2x+y=2上一點(diǎn)P(x,y).如圖,作點(diǎn)O關(guān)于直線2x+y=2的對稱點(diǎn)C,則PO=PC=x2又x,y>0,所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為x,所以x+x2設(shè)C(x0,y0),則y0x0過P作PD⊥y軸,過點(diǎn)C作CH⊥y軸,顯然有PD+PC≥CD≥CH,則CH為所求最小值,此時(shí)CH與直線2x+y=2的交點(diǎn)P1,即為取最小值時(shí)P的位置.易得CH=85,所以x+x2+y2.答案-∞,-解析yx的斜率的變化范圍,可畫出圖形解決問題.∵點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng),∴yx=kOP設(shè)E(1,a),a>0.∵E是線段AC的中點(diǎn),∴1=-∵AD⊥DC,∴AD·DC=(9,3)·(1,2a-11)=9+3(2a-11)=0,解得a=4,∵四邊形ABCD為矩形,∴AB=DC,即(xB+4,yB-4)=(1,-3),∴x由圖可知,kOP≥kOC或kOP≤kOB,則yx≥kOC=23或yx≤故yx思想方法數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中占有極其重要的地位,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,大大簡化了解題過程.本章中如遇到求代數(shù)式的最值問題,可以賦予其幾何意義,轉(zhuǎn)化為直線的斜率、兩點(diǎn)之間的距離或點(diǎn)到直線的距離問題等,將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題,利用圖形的直觀性解決.3.C易知?jiǎng)又本€l1:x-my+m-2=0過定點(diǎn)A(2,1),動(dòng)直線l2:y-4=-m(x+2)過定點(diǎn)B(-2,4),則AB=42∵m×1+(-1)×m=0,∴l(xiāng)1⊥l2,∵l1與l2交于點(diǎn)P,∴PA⊥PB,∴PA2+PB2=AB2=25,∴△PAB為直角三角形,且AB=5,通過直角三角形引入角度變量θ,可以將PA+PB轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的三角函數(shù),利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值,體現(xiàn)了函數(shù)思想.設(shè)∠PAB=θ,θ∈0,∴PA+PB=5cosθ+5sinθ=52sin∵θ∈0,∴當(dāng)θ+π4=π2,即θ=π4時(shí),PA+PB取得最大值,為54.解析(1)利用待定系數(shù)法設(shè)出直線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出方程求解確定待定系數(shù),體現(xiàn)了方程思想.由題意知直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=k(x+2),則|k-3+2k|k2+1設(shè)點(diǎn)P(-2,0)關(guān)于點(diǎn)Q(1,3)的對稱點(diǎn)為P',易得P'(4,23),所以l'的方程為y-23=-3(x-4),即(2)設(shè)點(diǎn)O關(guān)于l'的對稱點(diǎn)為O',則O'M=OM,所以O(shè)M+MQ=O'M+MQ≥O'Q,當(dāng)且僅當(dāng)O',M,Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號,設(shè)出點(diǎn)O'的坐標(biāo),利用圖形的對稱性得到體現(xiàn)垂直、平分關(guān)系的兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組,求解得出O'的坐標(biāo),體現(xiàn)了方程思想.設(shè)O'(x,y),則y解得x=9,y所以直線O'Q的方程為y-33M為直線O'Q與l'的交點(diǎn),聯(lián)立兩直線方程,解方程組可求出交點(diǎn)坐標(biāo),體現(xiàn)了方程思想.由3x-4思想方法函數(shù)與方程思想是分析和解決解析幾何問題的一種非常重要的數(shù)學(xué)思想.在本章中,通過聯(lián)立直線方程,解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求直線方程,解決對稱問題時(shí),通過垂直關(guān)系得斜率之積為-1和兩對稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)在對稱軸上得到兩個(gè)方程,聯(lián)立得到方程組等都是很明顯的方程思想的體現(xiàn);解決與運(yùn)動(dòng)變化有關(guān)的問題(如最值問題、求參數(shù)的取值范圍等)常轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決,通過函數(shù)關(guān)系找出其中的聯(lián)系和規(guī)律.5.答案x+3y-5=0或x=-1解析由3x求直線方程時(shí)要考慮斜率是否存在,故以斜率是否存在為依據(jù)分類求解.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由題意得|2k-所以直線l的方程為-13當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=-1,符合題意.綜上,直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.6.解析(1)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,截距可以為0,也可以不為0,故以直線是否過原點(diǎn)為依據(jù)分類求解.當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),方程為y=12當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),可設(shè)方程為xa+y把(2,1)代入,得2a所以所求直線的方程為x3綜上所述,所求直線的一般式方程為x-2y=0或x+y-3=0.(2)因?yàn)锳(2,1),B(-2,1),所以AB∥x軸.因?yàn)閏os<AC,AB>=-12,0°所以∠BAC=120°,所以角A的平分線所在直線的傾斜角為60°或120°.直線的傾斜角有兩個(gè)值,以這兩個(gè)值為依據(jù)分別求斜率.當(dāng)角A的平分線所在直線的傾斜角為60°時(shí),斜率k1=tan60°=3,此時(shí)直線方程為y-1=3(x-2),即3x-y+1-2當(dāng)角A的平分線所在直線的傾斜角為120°時(shí),斜率k2=tan120°=-3,此時(shí)直線方程為y-1=-3(x-2),即3x+y-1-2綜上所述,所求直線的一般式方程為3x+y-1-23=0或思想方法分類討論思想是很重要也很常用的一種思想方法,確定分類的標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵,在直線與方程中遇到直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系時(shí),要考慮傾斜角是不是90°,遇到兩直線平行或垂直求參數(shù)時(shí),要考慮直線的斜率是否存在,在截距問題中要考慮截距是不是0等,這些都是分類的標(biāo)準(zhǔn).注意分類要保證不重不漏.7.A求“將軍飲馬”的最短總路程,可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B關(guān)于直線x+2y=3的對稱點(diǎn)C與點(diǎn)A之間的距離,即為最短路程.如圖所示,設(shè)B(-2,0)關(guān)于直線x+2y=3的對稱點(diǎn)為C(x1,y1),則y1則BD+AD=CD+AD≥AC=0+132+(4導(dǎo)師點(diǎn)睛本題主要考查了直線方程的實(shí)際應(yīng)用,解題時(shí)注意要合理轉(zhuǎn)化,求得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解是解題的關(guān)鍵,著重考查轉(zhuǎn)化思想以及推理與運(yùn)算能力.8.解析求△MPQ周長的最小值,可以利用對稱性將其轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離.如圖,