蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第2章圓與方程2-3圓與圓的位置關系課件

1.代數(shù)法:設兩圓的方程分別為C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0),聯(lián)立得方程組

消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,則要求出方程組的解進行判斷),計算判別式Δ的值,按下列表中的標準進行

判斷.2.幾何法:設兩圓的半徑分別為r1,r2,圓心距為d,按下列表中的標準進行判斷.2.3

圓與圓的位置關系知識點

圓與圓的位置關系及其判斷位置關系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示

公共點個數(shù)01210Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d與r1,r2的關系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|公切線條數(shù)43210知識辨析1.兩圓方程聯(lián)立,若方程組有兩組解,則兩圓相交,對嗎?2.如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解,則兩圓的位置關系是什么?3.若兩圓相切,則兩圓有且僅有一條公切線嗎?4.設圓C1與圓C2的半徑分別為r1,r2,若C1C2<r1+r2,則兩圓相交嗎?5.設圓C1與圓C2的半徑分別為r1,r2,若兩圓沒有公共點,則一定有C1C2>r1+r2嗎?一語破的1.對.若方程組有兩組解,則以這兩組解為坐標的點是兩圓的公共點,所以兩圓相交.2.相切(即內(nèi)切或外切).3.不是.若兩圓內(nèi)切,則兩圓有且僅有1條公切線;若兩圓外切,則兩圓有3條公切線.4.不一定.當C1C2<r1+r2時,若C1C2>|r1-r2|,則兩圓相交;若C1C2=|r1-r2|,則兩圓內(nèi)切;若C1C2<|r1-r2|,則

兩圓內(nèi)含.5.不一定.若兩圓沒有公共點,則兩圓外離或內(nèi)含,即C1C2>r1+r2或C1C2<|r1-r2|.1.幾何法:將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值、半徑之和進行比較,進而判斷出兩

圓的位置關系,這是在解析幾何中常用的方法.2.代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,得到方程組,解方程組,根據(jù)方程組解的組數(shù)判斷兩圓的位置關

系.定點1兩圓位置關系的判斷?關鍵能力定點破典例已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圓C2:x2+y2+4x=0.(1)當m=2時,判斷圓C1和圓C2的位置關系;(2)是否存在實數(shù)m,使得圓C1和圓C2內(nèi)含?若存在,求出m的取值范圍,若不存在,請說明理由.解析

(1)當m=2時,圓C1的標準方程為(x-2)2+(y+2)2=9,則C1(2,-2),半徑r1=3,圓C2的標準方程為(x+2)2+y2=4,則C2(-2,0),半徑r2=2,∴圓心距d=

=2

,又r1+r2=5,r1-r2=1,∴r1-r2<d<r1+r2,∴圓C1和圓C2相交.(2)不存在.理由如下:圓C1的方程可化為(x-m)2+(y+2)2=9,則C1(m,-2),半徑r1=3.由(1)知C2(-2,0),半徑r2=2.假設存在實數(shù)m,使得圓C1和圓C2內(nèi)含,則圓心距d=

<3-2,即(m+2)2<-3,此不等式無解.故不存在實數(shù)m,使得圓C1和圓C2內(nèi)含.1.兩圓相切包括內(nèi)切和外切,若只知道相切,則需分內(nèi)切、外切兩種情況討論,再根據(jù)兩圓的

圓心距與半徑的關系列方程解決問題.2.求兩圓公切線問題的關鍵(1)判斷兩圓的位置關系;(2)設公切線方程,利用圓心到直線的距離等于半徑得參數(shù)所滿足的方程,求出參數(shù)值得切線

方程;(3)可通過作圖解決,畫圖要標準,做到“草圖不草”.定點2兩圓相切問題?典例已知圓O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圓O2:x2+y2-6x+2y+1=0,則兩圓的公切線方程為

.y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0解析

圓O1的圓心為O1(-1,-3),半徑r1=1;圓O2的圓心為O2(3,-1),半徑r2=3,則O1O2=2

>r1+r2,所以兩圓外離,兩圓有四條公切線.當公切線的斜率存在時,設其方程為y=kx+b,即kx-y+b=0,則有

解得

或

或

所以公切線方程為y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0.當公切線的斜率不存在時,易知其方程為x=0.所以公切線方程為y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0.1.兩圓的公共弦所在直線的方程的求法設圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0),圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0).聯(lián)立

①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③設兩圓交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標適合方程①②,也適合方程③,因此方程③就

是經(jīng)過兩圓交點的直線方程.故當兩圓相交時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經(jīng)過兩圓交點的直線方程,即公共弦所在直線

的方程.當兩圓外離時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線的方程.定點3兩圓的公共弦問題?當兩圓相切時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線的方程.若兩圓是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點的線段的垂直平分線的方

程.2.兩圓公共弦長的求法(1)代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出兩交點的坐標,利用兩點間的距離公式求出弦長.(2)幾何法①將兩圓的方程作差,求出公共弦所在直線的方程;②求出其中一個圓的圓心到公共弦的距離;③利用勾股定理求出公共弦長.3.求經(jīng)過兩圓交點的圓的方程的方法一般地,過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)

交點的圓的方程可設為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),再由其他

條件求出λ即得圓的方程.典例已知圓C1與y軸相切于點(0,3),圓心在直線x-y-1=0上.(1)求圓C1的方程;(2)若圓C1與圓C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N兩點,求兩圓的公共弦長.思路點撥

(1)由圓C1與y軸相切于(0,3),得圓心C1在直線y=3上,結(jié)合圓心C1在直線x-y-1=0上

求出圓心為(4,3).根據(jù)圓C1與y軸相切可得半徑r=4,從而求出圓的方程.(2)由圓C1與圓C2的方程作差求出直線MN的方程,利用半弦長、半徑、弦心距之間的關系求

出公共弦長.解析

(1)因為圓C1與y軸相切于點(0,3),所以圓心在直線y=3上,又因為圓心在直線x-y-1=0上,所以圓心為直線y=3與x-y-1=0的交點,聯(lián)立

解得

可得圓心坐標為(4,3),又因為圓C1與y軸相切于點(0,3),故圓C1的半徑r=4,所以圓C1的方程為(x-4)2+(y-3)2=16.(2)由(1)知,圓C1的方程為(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圓C2:x2+y2-6x-3y+5=0,兩式作差可得兩圓公共弦所在直線的方程為2x+3y-4=0,圓心C1(4,3)到直線2x+3y-4=0的距離d=

=

,所以兩圓的公共弦長為2

=2×

=2

.易錯警示

只有在兩圓相交的前提下,求兩圓公共弦所在的直線方程時,才能讓兩圓的方程

相減得公共弦所在的直線方程.隱圓問題有些與圓有關的題目中,題設條件沒有明確給出圓的相關信息,而是隱藏在題目條件中,

因此在解決這類問題時,需要通過分析、轉(zhuǎn)化已知條件發(fā)現(xiàn)圓的定義(或圓的方程),從而利用

圓的相關知識來求解,我們稱這類問題為隱圓問題.破解隱圓問題最關鍵的是定隱圓,定隱圓一般有以下幾種方法:①用定義定隱圓:利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱圓;②用垂直關系定隱圓:若動點P與兩定點A,B的連線的夾角為直角,則可知動點的軌跡為圓(不

包括A,B兩點).具體表現(xiàn)形式為kPA·kPB=-1.③用向量關系式定隱圓:兩定點A,B,動點P滿足

·

=0,確定隱圓.專題疑難突破足PA=λPB,當λ>0且λ≠1時,點P的軌跡就是阿波羅尼斯圓.除了上述五種方法外,還存在“四點共圓”模型,常見的有兩種情形:一是四邊形的對角互補;

二是共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等(即同弧所對的圓周角相等).④用勾股定理定隱圓:兩定點A,B,動點P滿足PA2+PB2=AB2,確定隱圓.⑤用阿波羅尼斯圓定隱圓:在平面上給定相異的兩點A,B,設點P與點A,B在同一平面內(nèi),且滿典例1已知圓O:x2+y2=1,圓M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圓M上存在點P,過點P作圓O的兩條切線,切

點分別為A,B,使得∠APB=60°,則實數(shù)a的取值范圍為

.解析

由題意得圓M的半徑為1,圓心為(a,a-4),圓O的半徑為1,連接OP,OA,因為直線AP,BP均為圓O的切線,且∠APB=60°,所以OA=1,∠APO=30°,所以OP=2OA=2,根據(jù)圓的定義知點P在圓x2+y2=4上,記為圓E,因為點P既在圓E上,又在圓M上,所以圓E與圓M一定有公共點,所以2-1≤

≤2+1,解得2-

≤a≤2+

,所以實數(shù)a的取值范圍是

.典例2在平面直角坐標系xOy中,直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點P,則當實數(shù)k變化

時,點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為

.解析

解法一:由題意得直線l1經(jīng)過定點(0,2),記為A,直線l2經(jīng)過定點(2,0),記為B,且l1⊥l2,所以

點P在以AB為直徑的圓上,記為圓C,則圓C的圓心為(1,1),半徑r=

.因為圓心C到直線x-y-4=0的距離d=

=2

,所以點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為d+r=3

.解法二:當k=0時,易得點P(2,2),則點P到直線x-y-4=0的距離為2

;當k≠0時,解方程組

得兩直線交點P的坐標為

,所以點P到直線x-y-4=0的距離d=

=

,顯然當d取得最大值時k為正數(shù),則有

=

≤

,當且僅當k=1時取“=”,所以

≤

=3

.綜上可知,點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為3

.典例3已知點A(-1,0),B(1,0),若圓(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在點M滿足

·

=3,則實數(shù)a的取值范圍是

.

[-2,1]解析

設M(x,y),則

=(-1-x,-y),

=(1-x,-y).因為

·

=3,所以(-1-x,-y)·(1-x,-y)=3,即x2+y2=4,表示圓.又因為點M在圓(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上,所以兩圓必有交點,所以2-1≤

≤1+2,即1≤

≤3,解得-2≤a≤1.典例4已知O為原點,A(2,0),B(-1,0),若MA=

MO,則MB的最大值為

.思路點撥

由題干條件知滿足阿波羅尼斯圓的定義,利用其確定隱圓求最值.解析

設M(x,y),由MA=

MO,得(x-2)2+y2=2(x2+y2),即(x+2)2+y2=8,記為圓C.所以M在圓心為C(-2,0),半徑r=2

的圓上.又BC=1,所以(MB)max=BC+r=1+2

.典例5在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:x2+y2-4x=0及點A(-1,0),B(1,2).在圓C上是否存在點P,

使得PA2+PB2=12?若存在,求點P的個數(shù);若不存在,請說明理由.解析

圓C的標準方程為(x-2)2+y2=4,所以圓C的圓心C(2,0),半徑為2.設P(x,y)滿足PA2+PB2=12,則PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+(y-1)2=4,所以點P在圓心為(0,1),半徑為2的圓上.因為|2-2|<

<2+2,所以圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交,即在圓C上存在點P,使得PA2+PB2=12,且點P的個數(shù)為2.素養(yǎng)解讀直線與圓在實際生活中的應用問題,本質(zhì)是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,即數(shù)學建模.解

題的關鍵在于能夠在實際問題的情境中,運用數(shù)學思維進行分析,發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)量關系,提

出數(shù)學問題,進而解決數(shù)學問題,運用的主要方法是解析法,即通過圖形特點建立合適的平面

直角坐標系,用坐標和方程表示圖形中的相關要素,選擇合適的數(shù)學模型表達要解決的幾何

問題,進而通過代數(shù)運算解決問題.在將實際問題通過解析法轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程中,培養(yǎng)

學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng).學科素養(yǎng)情境破素養(yǎng)

在研究直線與圓的應用問題中培養(yǎng)學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng)例題甲、乙兩人同時從半徑為3km的圓形社區(qū)中心出發(fā),甲向正東方向走,乙向正北方向走.

甲出發(fā)不久,因有事改變前進方向,斜著沿切于社區(qū)周界的方向前進,后來恰好與乙相遇,甲、

乙兩人的速度都一定,其比為3∶1,問甲、乙兩人在何處相遇?典例呈現(xiàn)信息提取

關鍵信息信息提取半徑為3的圓形社區(qū)圓的方程為x2+y2=9甲斜著