蘇教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第4章數(shù)列4-2-3等差數(shù)列的前n項和課件

知識點1

數(shù)列的前n項和4.2.3

等差數(shù)列的前n項和1.數(shù)列前n項和的定義一般地,對于數(shù)列{an},把a1+a2+…+an稱為數(shù)列{an}的前n項和,記作Sn.2.an與Sn的關(guān)系當n=1時,S1=a1,當n≥2時,Sn-1=a1+a2+…+an-1,所以an=

1.等差數(shù)列的前n項和設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則Sn=

或Sn=na1+

d.2.等差數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征Sn=na1+

=

n2+

n.(1)該表達式中沒有常數(shù)項;(2)當d≠0時,Sn關(guān)于n的表達式是一個常數(shù)項為零的二次式,即點(n,Sn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的

圖象上,這就是說等差數(shù)列的前n項和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),它的圖象是拋物線y=

x2+

x上橫坐標為正整數(shù)的一系列孤立的點.3.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).知識點2等差數(shù)列的前n項和性質(zhì)1:等差數(shù)列的公差為d,依次k項之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…組成公差為k2d的等差數(shù)列.性質(zhì)2:若公差為d的等差數(shù)列的項數(shù)為2n(n∈N*),則S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,

=

(S奇≠0,an≠0);若等差數(shù)列的項數(shù)為2n-1(n∈N*),則S2n-1=(2n-1)an,S奇-S偶=an,

=

(S奇≠0).性質(zhì)3:{an}為等差數(shù)列?

為等差數(shù)列.性質(zhì)4:若等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則

=

(bn≠0,T2n-1≠0).知識點3等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)知識辨析1.若數(shù)列{an}的前n項和是Sn,則an=Sn-Sn-1一定成立嗎?2.等差數(shù)列(各項均不為0)的前n項和一定是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)嗎?3.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為d,前n項和為Sn,則數(shù)列

是等差數(shù)列嗎?4.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,則Sn,S2n,S3n,…不可能構(gòu)成等差數(shù)列,對嗎?一語破的1.不一定.當n=1時,a1=S1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1.2.不一定.當公差d=0時,等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的一次函數(shù),當公差d≠0時,等差數(shù)列的

前n項和是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù).3.是.由Sn=na1+

d=

n2+

n,可得

=

n+

,可判斷數(shù)列

是等差數(shù)列,公差是

.4.不對.當?shù)炔顢?shù)列{an}的公差d=0時,Sn,S2n,S3n,…構(gòu)成等差數(shù)列;當?shù)炔顢?shù)列{an}的公差d≠0時,

Sn,S2n,S3n,…構(gòu)不成等差數(shù)列.定點1等差數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用關(guān)鍵能力定點破

等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量:a1,d,n,an,Sn,這五個量可以“知三求

二”.解決等差數(shù)列問題的一般思路為:設(shè)出基本量a1,d,構(gòu)建方程組,利用方程思想求解.當已知首項、末項和項數(shù)時,用公式Sn=

較簡便,使用此公式時注意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì);當已知首項、公差和項數(shù)時,用公式Sn=na1+

d較簡便.典例已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.(1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.解析

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.解法一:由已知得

解得

∴S10=10a1+

d=10×3+

×4=210.解法二:由已知得

∴a1+a10=42,∴S10=

=5×42=210.(2)∵S7=

=7a4=42,∴a4=6.又an-3=45,∴Sn=

=

=

=510,∴n=20.

利用性質(zhì)解決等差數(shù)列前n項和問題的幾種思路(1)整體思路:利用公式Sn=

求出整體a1+an,再代入求解.(2)待定系數(shù)法:當公差不為0時,利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),設(shè)Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程組求

出A,B即可;也可以利用

是關(guān)于n的一次函數(shù),設(shè)

=an+b(a≠0)進行計算.(3)利用相關(guān)性質(zhì)中的結(jié)論進行求解.定點2等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用典例已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,且S3=S19,則S21=

(

)A.1B.2C.3D.4B解析

解法一:∵S3=S19,∴S19-S3=a4+a5+…+a19=8(a4+a19)=0,∴a4+a19=0.∴S21=a1+a2+a3+(a4+a5+…+a19)+a20+a21=a1+a2+a3+a20+a21=a1+2(a4+a19)=a1=2.解法二:∵{an}為等差數(shù)列,∴可設(shè)Sn=An2+Bn(A≠0),由S3=S19,結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性可知,Sn=An2+Bn的圖象關(guān)于直線n=11對稱,因此S21=S1=a1

=2,故選B.解法三:設(shè)Sn=An2+Bn,A≠0,則

解得

∴Sn=-

n2+

n,∴S21=-

×212+

×21=2.

1.等差數(shù)列前n項和Sn存在最值的兩種情形(1)若a1>0,d<0,則Sn存在最大值,即所有非負項之和;(2)若a1<0,d>0,則Sn存在最小值,即所有非正項之和.2.求等差數(shù)列(公差d≠0)的前n項和Sn的最大(小)值的常用方法(1)用配方法轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)的最大(小)值問題,解題時要注意n∈N*;(2)鄰項異號法:可利用

或

來尋找正、負項的分界點.3.一般地,在等差數(shù)列{an}中,當a1>0,且Sp=Sq(p≠q)時,若p+q為偶數(shù),則當n=

時,Sn最大;若p+q為奇數(shù),則當n=

時,Sn最大.定點3等差數(shù)列前n項和最值的求法典例已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=25,S17=S9,則數(shù)列的前多少項之和最大?并求出這個

最大值.解析

解法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵S17=S9,∴S17-S9=a10+a11+…+a17=4(a13+a14)=0,∴a13+a14=2a1+25d=0.又a1=25,∴d=-2,∴Sn=25n+

×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,∴當n=13時,Sn有最大值,且最大值為169.即數(shù)列的前13項和最大,且最大值為169.解法二:同解法一,得d=-2,又a1=25,∴an=25+(n-1)(-2)=27-2n,∴{an}是遞減數(shù)列,令

解得

≤n≤

,又n∈N*,∴當n=13時,Sn有最大值,最大值為S13=13×25+

×(-2)=169.即數(shù)列的前13項和最大,且最大值為169.解法三:同解法一,得d=-2,a13+a14=0,∴a13>0,a14<0.所以當n=13時,Sn有最大值,最大值為S13=13×25+

×(-2)=169.即數(shù)列的前13項和最大,且最大值為169.

1.倒序相加法求和在數(shù)列{an}中,如果與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和,那么可把正著寫求

和與倒著寫求和的兩個式子相加,通過求常數(shù)列的和的方法求數(shù)列{an}的前n項和,這種數(shù)列

求和的方法稱為倒序相加法.2.裂項相消法求和(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點,將通項公式裂項寫成兩項差的形式,在求和時中間的一些項可

以相互抵消,從而達到求和的目的,這種數(shù)列求和的方法稱為裂項相消法.(2)常見的裂項技巧:①等差型:(i)

=

;定點4與等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和(ii)

=

.②無理型:

=

(

-

).③指數(shù)型:

=

-

.④通項裂項為“+”型(通常在通項中含有(-1)n乘一個分式中應(yīng)用):(i)(-1)n·

=(-1)n

;(ii)(-1)n

=(-1)n

.典例已知A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函數(shù)f(x)=

+log2

圖象上的任意兩點.(1)當x1+x2=1時,求f(x1)+f(x2)的值;(2)設(shè)Sn=f

+f

+…+f

+f

,其中n∈N*,求Sn;(3)對于(2)中的Sn,已知an=

,其中n∈N*,設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項和,求證:

≤Tn<

.解析

(1)由已知得f(x1)+f(x2)=

+log2

+

+log2

=1+log2

=1+log2

=1+log21=1.(2)∵

+

=

+

=

+

=…=1,∴f

+f

=f

+f

=f

+f

=…=1,∵Sn=f

+f

+…+f

+f

,①∴Sn=f

+f

+…+f

+f

,②由①+②,得2Sn=

+

+…+

+

,∴2Sn=n,故Sn=

.(3)證明:由(2)及已知