湘教版高中數學選擇性必修第一冊第1章數列1-2-3等差數列的前n項和課件

1.設等差數列{an}的前n項和為Sn,則Sn=

=na1+

d.2.公式Sn=

反映了等差數列的性質,任意第k項與倒數第k項的和都等于首末兩項之和,因此常與性質:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq結合使用.1.2.3等差數列的前n項和1|

等差數列前n項和公式的理解等差數列{an}的前n項和公式可化成關于n的表達式Sn=na1+

=

n2+

n.(1)當d≠0時,Sn可看成關于n的二次函數,注意其常數項為0.點(n,Sn)是拋物線Sn=

n2+

n上一系列離散的點.(2)當d≠0時,

=

n+

可看成關于n的一次函數,則

是公差為

的等差數列.2

|

等差數列前n項和公式的函數特征性質1公差為d的等差數列中依次k項之和Sk,S2k-Sk,S3k-S

2k,…組成公差為k2d的等差數列性質2若等差數列的項數為2n(n∈N+),則S2n=n(an+an+1),S

偶-S奇=nd,

=

(S奇≠0,an≠0);若等差數列的項數為2n-1(n∈N+),則S2n-1=(2n-1)

an,S奇-S偶=an,

=

(S奇≠0)性質3{an}為等差數列?

為等差數列性質4若等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則Sn,

Tn之間的關系為

=

(bn≠0,T2n-1≠0)3|

等差數列前n項和的性質1.若一個數列{an}的前n項和Sn是關于n的二次函數,則這個數列一定是等差數列

嗎?不一定.當二次函數的常數項為0時才為等差數列.2.若等差數列{an}的前n項和Sn=An2+Bn(A≠0),則其最大值或最小值一定在n=-

處取得嗎?不一定.只有當-

是正整數時才成立.3.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,則S3,S6-S3,S12-S9成等差數列嗎?不是.由等差數列前n項和的性質知S3,S6-S3,S9-S6成等差數列.知識辨析在等差數列問題中共涉及五個量:a1,d,n,an,Sn,這五個量可以“知三求二”.解

決等差數列問題的一般思路為:設出基本量a1,d,構建方程組,利用方程思想求解.當已知首項、末項和項數時,用公式Sn=

較簡便,使用此公式時注意結合等差數列的性質;當已知首項、公差和項數時,用公式Sn=na1+

d較簡便.1等差數列前n項和公式及性質

典例已知等差數列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,求S3m.思路點撥思路一:用方程思想求出a1,d,再代入公式求解.思路二:利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m或

,

,

成等差數列解題.解析

解法一:設等差數列{an}的公差為d,由

得

解得

故S3m=3ma1+

d=210.解法二:由等差數列前n項和的性質可知,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列,∴30,70,S3m-100成等差數列,∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.解法三:由等差數列前n項和的性質可知,

,

,

成等差數列,∴

=

+

,即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.求等差數列{an}(公差d≠0)的前n項和Sn的最大(小)值的常用方法如下:(1)函數法:將求Sn的最大(小)值問題轉化為求二次函數的最大(小)值問題,解題時

注意n∈N+;(2)利用

或

尋找正、負項的分界點,當a1>0,d<0時,正項和最大,當a1<0,d>0時,負項和最小,進而得到Sn的最大(小)值.2等差數列前n項和最值的求法

典例在等差數列{an}中,a1=25,S8=S18,求其前n項和Sn的最大值.解析

解法一:設等差數列{an}的公差為d.因為S8=S18,a1=25,所以8×25+

d=18×25+

×d,解得d=-2.所以Sn=25n+

×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,所以當n=13時,Sn取得最大值,最大值為169.解法二:同解法一,求出公差d=-2,所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.由

得

因為n∈N+,所以當n=13時,Sn取得最大值,最大值為

=169.1.倒序相加求和等差數列前n項和公式的推導過程采用了倒序相加求和.2.裂項相消求和(1)裂項相消求和就是將某些特殊數列的每一項拆成兩項的差,并使它們求和的

過程中出現相同的項,這些相同的項能夠相互抵消,從而達到求和的目的.(2)常見的裂項技巧:①已知{an}是等差數列,其公差為d(d≠0),則bn=

=

×

.②an=

=

.③an=

3與等差數列有關的數列求和=

.④an=

=

-

.⑤an=loga

=loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1.

典例在等差數列{an}中,a1=3,公差d=2,Sn為其前n項和,求

+

+…+

.解析

由題意得Sn=