湘教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊綜合檢測卷含答案

綜合測評注意事項1.全卷滿分150分,考試用時120分鐘.2.考試范圍:第1章~第4章.一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.過點P(3,-23)且傾斜角為135°的直線方程為()A.3x-y-53=0 B.x-y+3=0 C.x+y-3=0 D.x+y+3=02.已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:(x-3)2+(y+4)2=36,則兩圓的位置關(guān)系為()A.相離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切3.“垛積術(shù)”是由北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng),南宋數(shù)學家楊輝、元代數(shù)學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法,有茭草垛、方垛、三角垛等.現(xiàn)有100根相同的圓柱形鉛筆,某同學要將它們堆放成橫截面為正三角形的垛,要求第一層為1根且從第二層起每一層比上一層多1根,并使得剩余的圓柱形鉛筆根數(shù)最少,則剩余的鉛筆的根數(shù)是()A.9 B.10 C.12 D.134.過點A(3,-2)且與橢圓x29+y2A.x215+y210=1 B.xC.x210+y215=1 D.5.數(shù)學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點B(-1,0),C(0,2),|AB|=|AC|,則△ABC的歐拉線方程為()A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=06.過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F作斜率為3的直線l,與拋物線C在第一象限交于點P,若|PF|=4,則點P的橫坐標是()A.3 B.13 C.127.在第二屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會中,為了提高安保的級別,同時又為了接待方便,將其中的五個參會國的人員安排入酒店住宿,這五個參會國人員要在a,b,c三家酒店選擇一家,各參會國人員不分住不同的酒店且每家酒店至少有一個參會國的人員入住,則這樣的安排方法共有()A.96種 B.124種 C.130種 D.150種8.已知數(shù)列{an}中,a1=2,且an+an-1=nan-an-1+2(n≥2),則數(shù)列1A.20211010 B.20211011 C.20191010二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.設F1,F2分別是雙曲線C:x2m+n-y2m-n=1的左、右焦點,A.m=2B.當n=0時,C的離心率是2C.F1到漸近線的距離隨著n的增大而減小D.當n=1時,C的實軸長是虛軸長的兩倍10.對于任意實數(shù)x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9,則下列結(jié)論成立的是()A.a2=-144B.a0=1C.a121+a22D.a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=-3911.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+2=2an+1-an(n∈N+),其前n項和為Sn,則下列說法正確的是()A.{Sn}的通項公式可以是Sn=n2-n+1B.若a3,a7為方程x2+6x+5=0的兩根,則a6-12a7=-C.若S4S2=2,D.若S4=S8,則使得Sn>0的正整數(shù)n的最大值為1112.過直線x+y=4在第一象限上一點P作圓O:x2+y2=4的兩條切線,切點分別為A,B,直線AB與x,y軸分別交于點M,N,則下列說法正確的是()A.點O恒在以線段AB為直徑的圓上B.四邊形PAOB面積的最小值為4C.|AB|的最小值為22D.|OM|+|ON|的最小值為4三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},a1a2=3,a7a8=27,則a4a5=.

14.已知直線l:(2a-1)x+(a-3)y+4-3a=0與圓(x-2)2+y2=9相交于A,B兩點,則|AB|的最小值為;此時a=.

15.某學校組織學生到某農(nóng)場參加勞動實踐活動,其中有4名男生和2名女生參加,活動結(jié)束后,農(nóng)場主人與6名同學站成一排合影留念,則2名女生互不相鄰,且農(nóng)場主人站在中間的概率為.(用數(shù)字作答)

16.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若F1A=AB,F四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)從①Sn=nn+a12;②S2=a3,a4=a1a2;③a1=2,a4是a2,a8的等比中項這三個條件中任選一個,已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公差d不等于零,.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=S2n+1-S2n,數(shù)列{bn}的前n項和為Wn18.(12分)已知12x+2xn(1)若展開式后三項的二項式系數(shù)的和等于67,求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)若n為滿足8<n<12的整數(shù),且展開式中有常數(shù)項,試求n的值和常數(shù)項.19.(12分)已知定點A(0,1),B(0,-1),C(1,0),D(2,2),動點P滿足AP·BP=k|PC|2.(1)求動點P的軌跡方程,并說明方程表示的曲線類型;(2)當k=2時,求直線DP斜率的取值范圍.20.(12分)已知數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且Sn=2n+1-2.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)若an=2n-5,設cn=|an|·bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.21.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的標準方程;(2)過點P作兩直線l1與l2,分別交橢圓C于A,B兩點,若直線l1與l2的斜率互為相反數(shù),求|AB|的最大值.22.(12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點A(2,1)是拋物線內(nèi)一點,若該拋物線上存在點E,使得|AE|+|EF|有最小值3.(1)求拋物線C的方程;(2)設直線l:2x-y+4=0,點B是l與y軸的交點,過點A作與l平行的直線l1,過點A的動直線l2與拋物線相交于P,Q兩點,直線PB,QB分別交直線l1于點M,N,證明:|AM|=|AN|.答案與解析1.D因為直線的傾斜角為135°,所以直線的斜率k=tan135°=-1,所以直線方程為y+23=-(x-3),即x+y+3=0,故選D.2.C易知圓心C1(0,0),半徑r1=1,圓心C2(3,-4),半徑r2=6,所以|C1C2|=32+(-4)2=5=r2-r1,3.A設只能堆放n層,則從最上層往下,每層鉛筆數(shù)組成首項為1,公差為1的等差數(shù)列,且余下的鉛筆數(shù)小于n+1,于是n(n+1)2≤100,且100-n(n+1)2<n+1,n∈N+,4.A解法一:易知橢圓的焦點在x軸上,且坐標為(-5,0),(5,0),即c=5,故可設所求的橢圓方程為x2a2+y2a2-5=1(a>0),將(3,-2)代入,得9a2+4a2-5=1,解得a2=3(舍去)解法二:設所求橢圓方程為x29+λ+y24+λ=1(λ>-4),將(3,-2)代入,得99+λ+44+λ5.D因為B(-1,0),C(0,2),所以線段BC的中點的坐標為-12,1,線段BC所在直線的斜率kBC=2,則線段BC的垂直平分線的方程為y-1=-12x+12,即2x+4y-3=0,因為|AB|=|AC|,所以△ABC的外心、重心、垂心都在線段6.A因為直線l的斜率為3,所以直線l的傾斜角為60°,易知Fp2,0,所以xP=p2+2,yP=23,將p2+2,23代入y2=2px(p>0)中,得(23)2=2pp2+2,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(7.D分2步進行分析:①把5個參會國人員按照1、1、3或1、2、2分成三組.當按照1、1、3分時,共有C53C21A22=10種方法;當按照1、2、2分時,共有C52C32A22=15種方法,則一共有10+15=258.B因為an+an-1=nan-an-1+2(n≥2),所以an2-an-12-2(an-an-1)=n,整理得(an-1)2-(an-1-1)2=n,所以(an-1)2-(a1-1)2=n+(n-1)+…+2.因為a1=2,所以(an-1)2=n2021項和為21-12+12-13+…+12021-12022=21-120229.AC由雙曲線方程可得c2=a2+b2=m+n+m-n=2m,因為2c=4,所以c=2,所以c2=2m=4,可得m=2,A正確;當n=0時,雙曲線方程為x22-y22=1,此時a2=b2=2,c2=4,所以e=c2a2=2,B不正確;由A知m=2,故a2=2+n,b2=2-n,易知F1(-2,0),漸近線方程為y=±bax,則F1到漸近線的距離d=|-2b|4=b=2-n,所以F1到漸近線的距離隨著n的增大而減小,C正確;當n=1時,a=10.ACD(2x-3)9=[-1+2(x-1)]9,其展開式的通項為Tr+1=C9r(-1)9-r·[2(x-1)]r=(-1)9-r2rC9r(x-1)r,當r=2時,T3=(-1)722C92(x-1)2=-144(x-1)2,故a2=-144,A正確;當r=0時,T1=(-1)920C90(x-1)0=-1,故a0=-1,B錯誤;ar2r=(-1)9-rC9r,則[(x-1)-1]9=a020+a121(x-1)+a222(x-1)2+…+a929(x-1)9,故當x=2時,a020+a121+a222+…+a929=0,又a0=-1,11.BD因為an+2=2an+1-an(n∈N+),所以an+2+an=2an+1,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設公差為d,則Sn=dn2+(2-d)n2.對于A,若Sn=n2-n+1,則a2=S2-S1=3-1=2,a3=S3-S2=7-3=4,所以a3-a2≠a2-a1,數(shù)列{an}不是等差數(shù)列,與題意矛盾,故A錯誤;對于B,易求得a3+a7=-6,即2a1+8d=-6,解得d=-1,則an=2-n,所以a6=-4,a7=-5,則a6-12a7=-4+52=-32,故B正確;對于C,S4S2=16d+4(2-d)4d+2(2-d)=2,解得d=0,所以S8S4=8a14a1=2,故C錯誤;對于D,由S4=S8,得16d+4(2-d)2=64d+8(2-d)12.BCD對于A,在四邊形PAOB中,∠AOB不一定是直角,故A錯誤;對于B,連接PO,由題易知Rt△PAO≌Rt△PBO,所以四邊形PAOB的面積S=2×12|PA|·|OA|=2|PA|=2|PO|2-4,又|PO|的最小值為點O到直線x+y=4的距離,即22,所以四邊形PAOB面積的最小值為28-4=4,B正確;設P(a,b),則以線段OP為直徑的圓的方程是x(x-a)+y(y-b)=0,與圓O的方程聯(lián)立,得ax+by=4,即直線AB的方程為ax+by=4,因為點P在直線x+y=4上,所以a+b=4,則b=4-a,代入直線AB的方程,得ax+(4-a)y=4,即a(x-y)+4y-4=0,令x=y,則4y-4=0,得x=1,y=1,所以直線AB過定點C(1,1),所以|OC|=2,數(shù)形結(jié)合可知|AB|的最小值為24-2=22,C正確;在ax+by=4中,分別令y=0,x=0,得M4a,0,N0,4b,所以|OM|+|ON|=4a+4b,因為點P(a,b)是直線x+y=4在第一象限上的點,所以a+b=4且0<a<4,0<b<4,則4a+4b=(a+b)1a+1b=2+ba+a13.答案9解析由a1a7=a42,a2a8=a52,得a42a52=a1a7·a2a814.答案27;4解析∵直線l恒過定點(1,1),∴當圓心(2,0)與點(1,1)的連線與直線AB垂直時,|AB|最小.∵圓心(2,0)與點(1,1)間的距離為(2-1)2+(0-1)2=2,圓的半徑為3,∴|AB|的最小值為29-2=27.∵圓心(2,0)與點(1,1)連線所在直線的斜率為1-01-2=-1,∴當|AB|最小時,直線l的斜率為1,則-15.答案11解析農(nóng)場主人與6名同學站成一排,有A77=5040種不同的站法.若農(nóng)場主人站在中間,則有A66=720種不同的站法.若農(nóng)場主人站在中間,且兩名女生相鄰,則有4A22A44=192種不同的站法.故2名女生互不相鄰,且農(nóng)場主人站中間有16.答案2解析雙曲線x2a2-y2b∵F1B·F2B=0,∴F1B∴點B在☉O:x2+y2=c2上,不妨設點B在第一象限,如圖所示.由y=b∵F1A=AB,∴點A為線段F1B的中點,∴A將其代入y=-bax,得b2=-ba×a-c217.解析(1)選①.易得a1=S1=1+a12,解得a1=2,即Sn=n所以S2=a1+a2=6,即a2=4,故d=a2-a1=2,(3分)所以an=2+2(n-1)=2n.(5分)選②.易得2a1+d=a所以an=2+2(n-1)=2n.(5分)選③.易得a42=a2a8,即(2+3d)2=(2+d)(2+7d),解得d=2(d=0舍去),(3所以an=2+2(n-1)=2n.(5分)(2)由(1)知Sn=n2+n,所以bn=S2n+1-S2n=(2n+1)2+2n+1-(2n)2-2n=3·4n所以Wn=3(4+42+43+…+4n)+(2+22+23+…+2n)=3·4(1-4n)1-4+2(1-2n)1-2=4n+1-4+218.解析(1)由已知得Cnn-2+Cnn-1+Cnn=整理得n2+n-132=0,即(n+12)(n-11)=0,解得n=11或n=-12(舍去),(2分)則原式為12x+2x11,其展開式中二項式系數(shù)最大的項為第即T6=C115×126x-6×25x5T7=C116×125x-5×26x3=924x(2)12x+2xn的展開式的通項為Tr+1=Cnr12n-rx-(n-r)設第(r+1)項為常數(shù)項,則3r-2n2=0,因為8<n<12,所以8<32r<12,即16又r∈N,所以r=6或r=7.(9分)當r=6時,n=9;當r=7時,n=212(不合題意,舍去),所以即當n=9時,展開式中有常數(shù)項,常數(shù)項為T7=C96×23=672.(1219.解析(1)設點P(x,y),則AP=(x,y-1),BP=(x,y+1),PC=(1-x,-y).因為AP·BP=k|PC|2,所以x2+y2-1=k(1-x)2+ky2,即(k-1)x2+(k-1)y2-2kx+k+1=0.(2分)當k=1時,方程可化為x-1=0,此時動點P的軌跡為直線x=1;(4分)當k≠1時,方程可化為x2+y2-2kk-1x+k+1k-1=0,即此時動點P的軌跡是以點kk-1,0為圓心,1|(2)當k=2時,點P的軌跡方程為(x-2)2+y2=1,此時點P的軌跡是以點(2,0)為圓心,以1為半徑的圓.(8分)設直線DP的斜率為t,則直線DP的方程為y-2=t(x-2),即tx-y+2-2t=0,則直線tx-y+2-2t=0與圓(x-2)2+y2=1有公共點,(10分)所以|2t+2-2t|t2+1≤1,解得t≤故直線DP的斜率的取值范圍是(-∞,-3]∪[3,+∞).(12分)20.解析(1)當n=1時,b1=S1=22-2=2;(2分)當n≥2時,bn=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n.(4分)經(jīng)檢驗,b1=2滿足bn=2n,所以bn=2n(n∈N+).(5分)(2)cn=|an|·bn=|2n-5|·2n.當n=1或n=2時,an<0;當n≥3時,an>0.當n=1時,T1=6;當n=2時,T2=10;(7分)當n≥3時,Tn=10+1·23+3·24+…+(2n-7)·2n-1+(2n-5)·2n,①2Tn=20+1·24+3·25+…+(2n-7)·2n+(2n-5)·2n+1,②①-②,得-Tn=-10+8+2(24+25+…+2n)-(2n-5)·2n+1=-2+2·16(1-2n-3)1-2-(2n-5)·2n+1,化簡可得Tn=34+(2n-7)·經(jīng)檢驗,T1=6不滿足Tn=34+(2n-7)·2n+1,T2=10滿足Tn=34+(2n-7)·2n+1,所以Tn=6,n=1,34+(221.解析(1)由題意得ca=所以橢圓C的標準方程