湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-3-2拋物線的簡單幾何性質(zhì)練習(xí)含答案

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練題組一拋物線的幾何性質(zhì)1.(2020山東壽光現(xiàn)代中學(xué)月考)若點(diǎn)P在拋物線x2=-12y上,且P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d,則d的取值范圍是()A.[6,+∞)B.[3,+∞)C.(6,+∞)D.(3,+∞)2.(2020湖南岳陽一中期中)等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),且OA⊥OB,則△AOB的面積是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p23.頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為y軸且經(jīng)過點(diǎn)(4,1)的拋物線,其準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.

4.(2022山東聊城三模)已知點(diǎn)A(0,5),過拋物線x2=12y上一點(diǎn)P作直線y=-3的垂線,垂足為B,若|PB|=|PA|,則|PB|=.

題組二直線與拋物線的位置關(guān)系5.(2022湖南長郡中學(xué)期末)過點(diǎn)P(2,2)作拋物線y2=4x的弦AB,若弦AB恰好被P平分,則弦AB所在的直線方程是()A.x-y=0B.2x-y-2=0C.x+y-4=0D.x+2y-6=06.(2022北京朝陽期末)過拋物線y2=4x上的一點(diǎn)A(3,y0)(y0>0)作其準(zhǔn)線的垂線,垂足為B,拋物線的焦點(diǎn)為F,直線BF在x軸下方交拋物線于點(diǎn)E,則|FE|=()A.1B.3C.3D.47.(2022河南平頂山期末)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線分別交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|=4,|BF|=1,則p=()A.165C.858.(2022四川成都七中期中)若過點(diǎn)P(0,2)的直線l與拋物線C:y2=2x有且只有一個公共點(diǎn),則這樣的直線l共有()A.1條B.2條C.3條D.4條9.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求證:OA⊥OB;(2)當(dāng)△OAB的面積等于10時,求k的值.10.(2021湖南婁底期末)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到雙曲線x2-y23=1的漸近線的距離為(1)求該拋物線的方程;(2)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過M作斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為P,AB的中垂線交x軸于點(diǎn)N,求點(diǎn)N橫坐標(biāo)的取值范圍.題組三拋物線的綜合應(yīng)用11.(2022廣東廣大附中期末)下列圖形中,可能是方程ax+by2=0和ax2+by2=1(a≠0且b≠0)圖形的是()12.蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑,“門”的造型是東方之門的立意基礎(chǔ),“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形,如圖1,兩棟建筑第八層由一條長60m的連橋連接,在該拋物線兩側(cè)距連橋150m處各有一窗戶,兩窗戶的水平距離為30m,如圖2,則此拋物線頂端O到連橋AB的距離為()A.180mB.200mC.220mD.240m13.(2022河南鄭州期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過F的直線與拋物線C交于點(diǎn)A,B,與l交于點(diǎn)D,若DB=4BF,|AF|=4,則p=()A.2B.3C.4D.6能力提升練題組一拋物線的幾何性質(zhì)1.(多選)(2022湖南長郡中學(xué)期中)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,斜率為3且經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),與拋物線的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)D,若|AF|=4,則以下結(jié)論正確的是()A.p=2B.F為AD的中點(diǎn)C.|BD|=2|BF|D.|BF|=22.(2022湖南桃江一中開學(xué)檢測)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),C的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)B,A為C上的一點(diǎn),直線AO與直線l相交于點(diǎn)E,若∠BOE=∠BEF,|AF|=6,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

3.(2022廣東佛山期末)已知拋物線x2=8y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P是l上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PF的垂線交x軸的正半軸于點(diǎn)A,AF交拋物線于點(diǎn)B,PB與y軸平行,則|FA|=.

題組二直線與拋物線的位置關(guān)系4.(2022北京交大附中期末)已知斜率為k的直線l與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0),則斜率k的取值范圍是()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)5.(2022湖南衡陽八中期中)已知點(diǎn)A是拋物線x2=4y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上,且滿足|PA|=m|PF|,則m的最大值是()A.1B.2C.2D.46.(多選)(2022吉林東北師大附中期中)過拋物線x2=6y的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn),則()A.以線段AB為直徑的圓與直線y=-32B.以線段BM為直徑的圓與y軸相切C.當(dāng)AF=2FB時,|AB|=27D.|AB|的最小值為6題組三拋物線的綜合應(yīng)用7.(2022江西景德鎮(zhèn)期末)已知雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點(diǎn)O,A,B(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若△OAB的垂心為拋物線C2的焦點(diǎn)A.32B.322C.8.(2021福建南平期末)扎花燈是中國的一門傳統(tǒng)手藝,逢年過節(jié)常?？梢栽诖蠼中∠锟吹礁魇礁鳂拥幕?現(xiàn)有一個花燈,它的外圍輪廓是由兩段形狀完全相同的拋物線繞著它們共同的對稱軸旋轉(zhuǎn)而來的(縱截面如圖),花燈的下頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,AB=8分米,在它的內(nèi)部放有一個半徑為1分米的球形燈泡,球心C在軸AB上,且AC=2分米,若球形燈泡的球心C到四周輪廓上的點(diǎn)的最近距離是在下頂點(diǎn)A處取得,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可得以A為頂點(diǎn)的拋物線方程為y=ax2(a>0),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案與分層梯度式解析基礎(chǔ)過關(guān)練1.B由已知得2p=12,所以p2=3,因此d的取值范圍是2.B不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,由拋物線的對稱性及OA⊥OB,可知kOA=1,故直線OA的方程為y=x,則A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=123.答案(0,-4)解析依題意設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0),則有42=2p,即p=8,則拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-4,準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-4).4.答案7解析由題意得,焦點(diǎn)為F(0,3),準(zhǔn)線方程為y=-3,由拋物線的定義可得|PB|=|PF|,又∵|PB|=|PA|,∴|PA|=|PF|,即△PAF是等腰三角形,∵A(0,5),F(0,3),∴yP=3+52=4,∴|PB|=yP5.A易知弦AB所在的直線斜率存在,且不為0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直線的方程為y-2=k(x-2),即y=kx+2-2k,由y=kx+2-2k,y2=4x,消去y并整理,得k2x2+[2k(2-2k)-4]x+(2-2k)2=0,則x∴-2k(2-2k)-46.D如圖,將(3,y0)(y0>0)代入y2=4x,得y0=23,則B(-1,23),又因?yàn)镕(1,0),所以直線BF的方程為y=-3x+3,與y2=4x聯(lián)立并消去y,得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=13,因?yàn)辄c(diǎn)E在x軸下方,所以xE=3,所以|FE|=xE+1=4,故選7.C由題意可知直線AB的斜率存在,設(shè)為k,則其方程為y=kx-p2,由y=kx-p2,y2=2px,消去y可得k2x2-(k2+2)px+k2p24=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令x1>x2>0,則x1x2=p28.C當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l:x=0與拋物線y2=2x有且只有一個交點(diǎn);當(dāng)直線l的斜率為0時,直線l:y=2與拋物線y2=2x有且只有一個交點(diǎn);當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時,若直線l與拋物線y2=2x有且只有一個公共點(diǎn),則直線與拋物線相切,設(shè)直線方程為y=kx+2(k≠0),代入拋物線方程y2=2x,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,則Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=14,即直線的方程為y=1綜上,滿足條件的直線l共有3條,故選C.9.解析(1)證明:當(dāng)k=0時,直線與拋物線僅有一個交點(diǎn),不符合題意,∴k≠0.由y=k(x+1),y2=-x消去x并整理,得y2+1k設(shè)A(-y12,y1),B(-y2則y1+y2=-1k,y1y2∴kOA·kOB=y1-y12·y2-(2)設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)E,則E(-1,0),∴|OE|=1,∴S△OAB=12|OE|(|y1|+|y2|)=12|y1-y2|=121k2+410.解析(1)易知Fp2,0,雙曲線x2-y23=1的漸近線方程為y=±3x,即3x±y=0,則F到漸近線的距離d=3∴拋物線的方程為y2=4x.(2)由(1)知M(-1,0),則直線l的方程為y=k(x+1),k≠0.聯(lián)立y=k(x+1),y2=4x則Δ=4(k2-2)2-4k4>0,所以0<k2<1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),N(x0,0),則x3=x1+x22=-k2-∴直線PN的方程為y=-1kx+令y=0,得x0=1+2k又∵k2∈(0,1),∴x0>3.∴點(diǎn)N橫坐標(biāo)的取值范圍為(3,+∞).11.D方程ax+by2=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-abx,則拋物線的焦點(diǎn)在x軸上,故B錯誤;若方程ax2+by2=1表示橢圓,則a>0,b>0,則-ab<0,拋物線應(yīng)開口向左,故A錯誤;若方程ax2+by2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則a<0,b>0,則-ab>0,則拋物線應(yīng)開口向右,故C錯誤12.B建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),則點(diǎn)B(30,-150+t),由B,D在拋物線上,得152=所以拋物線頂端O到連橋AB的距離為150+50=200(m),故選B.13.B如圖所示,過點(diǎn)A作AN⊥l于點(diǎn)N,過點(diǎn)B作BM⊥l于點(diǎn)M,則|AF|=|AN|,|BM|=|BF|,又因?yàn)镈B=4BF,即|DB|=4|BF|=4|BM|,所以cos∠DBM=|BM||BD|=14,所以cos∠FAN=14,過點(diǎn)F作FH⊥AN于點(diǎn)H,則cos∠FAN=|AH||AF所以點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為3,由拋物線的定義可得p=3.能力提升練1.ABC設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)N.如圖所示,過點(diǎn)A作AC⊥l于點(diǎn)C,AM⊥x軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作BE⊥l于點(diǎn)E.因?yàn)橹本€的斜率為3,所以tan∠AFM=3,∠AFM=π3,又因?yàn)閨AF|=4,所以|MF|=2,|AM|=23,所以Ap2+2,23,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線方程可求得p=2,所以|NF|=|FM|=2,故△AMF≌△DNF,故F為AD的中點(diǎn),又因?yàn)椤螧DE=π6,所以2.答案y2=8x解析∵∠BOE=∠BEF,∠OBE=∠EBF=90°,∴△OBE∽△EBF,∴|OB||BE|=|BE||BF|,即|BE|2=|OB|·∴tan∠BOE=|BE||OB|=2,不妨令點(diǎn)A在第一象限,則直線聯(lián)立y=2x,y2=2px得x=p,y=2p,即A(p,3.答案6解析由題意得焦點(diǎn)為F(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2,設(shè)P(m,-2)(m>0),∴kPF=-2-2∵PF⊥PA,∴kPA=m4,∴直線PA的方程為y+2=m4(x-m),令y=0,解得x=8m+m,即∵PB與y軸平行,且B點(diǎn)在拋物線上,∴可設(shè)Bm,m28,∵F,A,B三點(diǎn)共線,∴即m4+8m2-128=0,解得m=22或m=-22(舍去),∴A(42,0),∴|FA|=224.C設(shè)直線l的方程為y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx+b,y2=4x,消去y,并整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,∴Δ=(2kb-4)2-4k2b2>0,且x1+x2=4-2kbk2,x1x2=b2k2,∴kb<1,y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k.∵線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0),∴x1+x2=4-2kbk2=2,y1+y25.B由拋物線x2=4y可得準(zhǔn)線方程為y=-1,故A(0,-1).如圖,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限或?yàn)樵c(diǎn),過P作準(zhǔn)線y=-1的垂線,垂足為E,則|PE|=|PF|,故1m=|PF||PA當(dāng)直線AP與拋物線相切時,∠PAE最小,而當(dāng)點(diǎn)P的位置變化時,0<∠PAE≤π2,當(dāng)∠PAE=π2時,點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,此時m=1;當(dāng)0<∠PAE<π2時,設(shè)直線AP:y=kx-1,由x2=4y,y=kx-1得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,得k=1或k=-1(舍去),所以直線AP與拋物線相切時,∠PAE=π46.ACD由拋物線方程知F0,32,準(zhǔn)線方程為y=-32,由題意可知,直線AB的斜率存在,可設(shè)AB:y=kx+32,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).對于A,易知|AB|=y1+y2+3,∵M(jìn)為AB的中點(diǎn),∴點(diǎn)M到準(zhǔn)線y=-32的距離d=y1+y22+32=y1+y2+32,∴以線段AB為直徑的圓與直線y=-32相切,A正確;對于B,由y=kx+32,x2=6y得∴M3k,6k2+32,設(shè)BM的中點(diǎn)為12|BM|=14|AB|=y1+y2+34=3k2+32,∵3k2+32=3k+x22不恒成立,∴以線段BM為直徑的圓與y軸未必相切,B錯誤;對于C,若AF=2FB,則x1=-2x2,不妨設(shè)x1<0,x2>0,∵x1x2=-9,∴x2=322,x1=-32,則A(-32,3),B322