考研數(shù)三(1989-1998年)歷年真題

1989年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)

(1)曲線產(chǎn)x+s/x在點仁,1+曰處的切線方程是.

(2)幕級數(shù)￡十二的收斂域是____________.

”=0\+1

(3)齊次線性方程組

AXj+x2+x3=0,

5+AX2+X3=0,只有零解,則Z應(yīng)滿足的條件是.

%+%+七=0

(4)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為

0,x<0,

F(x)=<Asinx,0<x<y,則4=，P?|x|7T

<—

6

⑸設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=〃，方差D(X)=a2,則由切比雪夫(Chebyshev)不

等式，有「{|X-“23b}W.

二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)

⑴設(shè)/(力=2*+3*-2,則當(dāng)xf0時()

(A)/(X)與X是等價無窮小量(B)/(x)與x是同階但非等價無窮小量

(0/(x)是比x較高階的無窮小量(D)/(x)是比x較低階的無窮小量

(2)在下列等式中，正確的結(jié)果是()

(A)/⑴公=/(力(B)j#(x)=/(x)

(C)公=/(x)(D)djf(x')dx=f(x)

(3)設(shè)A為”階方陣且同=0,則()

(A)A中必有兩行(列)的元素對應(yīng)成比例

(B)A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合

(0A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的線性組合

(D)A中至少有一行(列)的元素全為0

(4)設(shè)A和8均為“X〃矩陣，則必有()

(A)|A+B|=|A|+|用(B)A8=B4

⑹|明=網(wǎng)(D)(4+61=1+田|

(5)以A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對立事件無為()

(A)“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”(B)“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷”

(0“甲種產(chǎn)品滯銷”(D)“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”

三、計算題(本題滿分15分,每小題5分)

(1)求極限lim(sin1+cos，).

xx)

Q2Z

(2)已知z=/(?,v),u=x+y,v=xy,且f(u,v)的二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù).求----.

oxdy

⑶求微分方程y〃+5y'+6y=2e-x的通解.

四、(本題滿分9分)

設(shè)某廠家打算生產(chǎn)一批商品投放市場.已知該商品的需求函數(shù)為

X

p=P(x)=10/5,

且最大需求量為6,其中x表示需求量，P表示價格.

(1)求該商品的收益函數(shù)和邊際收益函數(shù).(2分)

(2)求使收益最大時的產(chǎn)量、最大收益和相應(yīng)的價格.(4分)

(3)畫出收益函數(shù)的圖形.(3分)

五、(本題滿分9分)

已知函數(shù)

x,0<x<1,

/(無)=/

2-x,1<x<2.

試計算下列各題：

2f4

f(2)S1=J,公;(2分)

(1)So=\抵;(4分)

JO

(3)S?=f(2n+2f(x-2n)e-xdx(n=2,3,…)；(1分)(4)S=￡s“.(2分)

J2〃〃=0

六、（本題滿分6分）

假設(shè)函數(shù)/（x）在［a,b］上連續(xù),在勿內(nèi)可導(dǎo),且f\x）W0,記

1ex

b（x）=——J

x-aJu

證明在（a,份內(nèi),F（x）<0.

七、（本題滿分5分）

已知X=AX+8,其中A

八、（本題滿分6分）

設(shè)四=（1,1,1）,%=（L2,3）,%=（1,3,0.

（1）問當(dāng)f為何值時,向量組四,%,a?線性無關(guān)？（3分）

（2）問當(dāng)f為何值時,向量組a”/，線性相關(guān)？（1分）

（3）當(dāng)向量組%,12，。3線性相關(guān)時，將表示為名和的線性組合?（2分）

九、（本題滿分5分）

--122-

設(shè)4=2-1-2.

2-2-1

（1）試求矩陣A的特征值；（2分）

⑵利用⑴小題的結(jié)果,求矩陣E+A-1的特征值,其中E是三階單位矩陣.（3分）

十、（本題滿分7分）

已知隨機變量X和丫的聯(lián)合密度為

e~（x+y）,0<x<+oo,0<y<+oo,

于（x,y）=<

0,其它.

試求：⑴P{X<y}；（5分）（2）E（XY）.（2分）

十一、（本題滿分8分）

設(shè)隨機變量X在［2,5］上服從均勻分布,現(xiàn)在對X進行三次獨立觀測，試求至少有兩次

觀測值大于3的概率.

1990年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)

(1)極限lim(J〃+3〃-.

71->00

(2)設(shè)函數(shù)/(x)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，/(0)=0J'(0)=b,若函數(shù)

f(x)+asinx

，xw0,

F(x)=<x

A,x=0

在x=0處連續(xù)，則常數(shù)A=.

(3)曲線y=/與直線y=x+2所圍成的平面圖形的面積為.

%+工2=~ai，

(4)若線性方程組J/+七一4，有解,則常數(shù)q,a,,2,應(yīng)應(yīng)滿足條件

x3+x4=-a3,

8+王=4

(5)一射手對同一目標(biāo)獨立地進行四次射擊，若至少命中一次的概率為一，則該射手的命

81

中率為________?

二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)

⑴設(shè)函數(shù)/(x)=x-tanx-/:則/(幻是()

(A)偶函數(shù)(B)無界函數(shù)(C)周期函數(shù)(D)單調(diào)函數(shù)

(2)設(shè)函數(shù)/(幻對任意x均滿足等式/(I+x)=af(x),且有了'(0)=上其中a/為非零常

數(shù),則()

(A)/(X)在x=l處不可導(dǎo)(B)/(x)在x=l處可導(dǎo)，且/'⑴=a

(0/(X)在x=l處可導(dǎo)，且/'⑴=匕(D)/(處在x=l處可導(dǎo)，且/口)=時

(3)向量組4,a?，…,《線性無關(guān)的充分條件是()

(A)均不為零向量

(B)%,%，…,中任意兩個向量的分量不成比例

(C)中任意一個向量均不能由其余s-l個向量線性表示

(D)名,%中有一部分向量線性無關(guān)

(4)設(shè)A,8為兩隨機事件，且3uA,則下列式子正確的是()

(A)P(A+6)=P(A)(B)P(AB)=P(A)

(0P(卻A)=P(3)(D)P(B-A)=P(B)-P(A)

(5)設(shè)隨機變量X和丫相互獨立,其概率分布為

m-11

m-11

P[X=m]J_J_

22P{Y=m\1_1_

22

則下列式子正確的是()

(A)X=Y(B)p{x=y}=o(0p{x=y}=g⑻p{x=y}=i

三、計算題(本題滿分20分,每小題5分.)

(1)求函數(shù)/(x)=frx-I-n--t---〃在區(qū)間［e,e2.］上的最大值.

Je廠一2/+1

(2)計算二重積分JJx”『公內(nèi)，其中。是曲線y=4/和y=9x2在第一象限所圍成的區(qū)

D

域.

(3)求級數(shù)￡色字的收斂域.

^n~

(4)求微分方程y+ycos尤=(Inx)e-sinx的通解.

四、(本題滿分9分)

某公司可通過電臺及報紙兩種形式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入

R(萬元)與電臺廣告費用玉(萬元)及報紙廣告費用々(萬元)之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗公式：

R=15+14玉+32々一8玉龍2一2%：一1。￥.

(1)在廣告費用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略；

(2)若提供的廣告費用為1.5萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.

五、(本題滿分6分)

設(shè)/(x)在閉區(qū)間［0,c］上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)/'(X)在開區(qū)間(0,C)內(nèi)存在且單調(diào)減少；

/(0)=0,試應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式：/(a+0)W/(a)+/S),其中常數(shù)a、b

滿足條件OWa匕Wc.

六、（本題滿分8分）

已知線性方程組

西+9+七++工5=凡

3%+2X+x+x-3X=0,

<2345

x2+2X3+2X4+6毛=b,

5%+4X2+3X3+3X4—X5-2,

（1）a、。為何值時,方程組有解？

（2）方程組有解時,求出方程組的導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系；

（3）方程組有解時，求出方程組的全部解.

七、（本題滿分5分）

已知對于〃階方陣A,存在自然數(shù)3使得N=0,試證明矩陣E-A可逆,并寫出其逆

矩陣的表達式（E為n階單位陣）.

八、（本題滿分6分）

設(shè)A是〃階矩陣，4和4是A的兩個不同的特征值，%,乂2是分別屬于4和;I2的特征

向量.試證明+X?不是A的特征向量.

九、（本題滿分4分）

從0,1,2,…,9十個數(shù)字中任意選出三個不同數(shù)字,試求下列事件的概率：

A=｛三個數(shù)字中不含。和5｝；A?=｛三個數(shù)字中不含?；?｝.

十、（本題滿分5分）

一電子儀器由兩個部件構(gòu)成，以x和丫分別表示兩個部件的壽命（單位:千小時），已知

X和V的聯(lián)合分布函數(shù)為：

0,其他

（1）問x和y是否獨立？

（2）求兩個部件的壽命都超過100小時的概率a.

十一、（本題滿分7分）

某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布,平均成績?yōu)?2

分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.

［附表］

X00.51.01.52.02.53.0

①（X）

0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999

表中中（x）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)

(1)設(shè)2="皿1則必=.

(2)設(shè)曲線/(同=丁+5與g(x)=/z?+c都通過點(―1,0),且在點(―1,0)有公共切線,

貝!!〃=,b=,c=.

(3)設(shè)=則f")(x)在點x=處取極小值.

(0A、

(4)設(shè)A和B為可逆矩陣，X=為分塊矩陣，則X-1=

(5)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為

0,x<—1,

0.4,—1<x<1,

F(x)=P{X<x}=^

0.8,1<x<3,

1,x>3.

則X的概率分布為.

二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)

(1)下列各式中正確的是

(A)lim(B)lim

V—s+

(C)lim(D)lim

(2)設(shè)2(〃=1,2,…)則下列級數(shù)中肯定收斂的是

⑷2%(B)￡(—1)%.?工日(D)Z(-1)%；

(3)設(shè)A為〃階可逆矩陣，/l是A的一個特征根,則A的伴隨矩陣A*的特征根之一是()

-1

(A)r'|A|(B)A|A|(0A\A\(D)2|A|"

(4)設(shè)A和B是任意兩個概率不為零的不相容事件,則下列結(jié)論中肯定正確的是()

(A)A與8不相容(B)A與8相容

(C)P(AB)=P(A)P(6)(D)P(A—6)=P(A)

⑸對于任意兩個隨機變量x和y,若E（xy）=E（x）z（y）MJ（）

（A）D（xy）=￡>（x）z）（y）(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y)

（0x和y獨立(D)x和y不獨立

三、（本題滿分5分）

（e*+e2*+…+

求極限lim，其中〃是給定的自然數(shù).

一叫nJ

四、（本題滿分5分）

計算二重積分/="泌力，其中。是由x軸，y軸與曲線=1所圍成的區(qū)

D

域，。>0,b>0.

五、（本題滿分5分）

求微分方程xy朱=x2+V滿足條件Rx=2e的特解.

六、（本題滿分6分）

假設(shè)曲線4：y=l-x2（O<x<l）^x軸和y軸所圍區(qū)域被曲線乙：y=a/分為面

積相等的兩部分,其中“是大于零的常數(shù),試確定。的值.

七、（本題滿分8分）

某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售，售價分別為Pi和凸；銷售量分別為名和

名；需求函數(shù)分別為1=24-0.2月和%=1。-0.05必，總成本函數(shù)為C=35+40Q+%）.

試問：廠家如何確定兩個市場的售價,能使其獲得的總利潤最大？最大利潤為多少？

八、（本題滿分6分）

試證明函數(shù)/（%）=（1+-Y在區(qū)間（0,+8）內(nèi)單調(diào)增加.

x

九、（本題滿分7分）

設(shè)有三維列向量

問A取何值時，

（1）夕可由囚以2。3線性表示，且表達式唯一？

（2）夕可由q,a2，火線性表示，且表達式不唯一？

（3）不能由%,見。3線性表示？

十、（本題滿分6分）

考慮二次型f=X；+4%2+4x；+2AX,X2-2^X3+4X2X3.問2取何值時，/為正定二

次型.

十一、（本題滿分6分）

試證明〃維列向量組囚,線性無關(guān)的充分必要條件是

a；%a[a?T

2??囚見

Ta[a?

a2a]2??

D=H0,

a：%

優(yōu)。2?

其中卻表示列向量%的轉(zhuǎn)置，i=l,2,■■；n.

十二、（本題滿分5分）

一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與

其他信號燈為紅或綠相互獨立,且紅綠兩種信號顯示的時間相等，以X表示該汽車首次遇到

紅燈前已通過的路口的個數(shù).求X的概率分布.

十三、（本題滿分6分）

假設(shè)隨機變量X和y在圓域V+y2<r2上服從聯(lián)合均勻分布.

（1）求x和y的相關(guān)系數(shù)°；（2）問x和丫是否獨立?

十四、（本題滿分5分）

設(shè)總體X的概率密度為

Aaxa~'e~^,x>0,

p(x;X)=<

0,x<0,

其中丸>0是未知參數(shù)，a>0是已知常數(shù).試根據(jù)來自總體X的簡單隨機樣本

,X2,…,X,,,求2的最大似然估計量2.

1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)

(1)設(shè)商品的需求函數(shù)為Q=100-5P,其中分別表示為需求量和價格，如果商品需

求彈性的絕對值大于1,則商品價格的取值范圍是.

(2)級數(shù)￡\^一的收斂域為

(3)交換積分次序yjFf(x,y)dx=.

⑷設(shè)A為機階方陣，5為〃階方陣，且|A|=a,忸卜仇C=*，則.

⑸將。,。,民瓦/,",5等七個字母隨機地排成一行,那么,恰好排成英文單詞SCIENCE的

概率為

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)

x2cx

(1)設(shè)尸(x)=^f/⑺力，其中/(1)為連續(xù)函數(shù)，則limb。)等于()

Ja

X—ax—a

(A)a2(B)a2f(a)

(00(D)不存在

(2)當(dāng)xfO時，下面四個無窮小量中，哪一個是比其他三個更高階的無窮小量？()

(A)x2(B)1-COSX

2

(0Vl-x-l(D)%—tanx

⑶設(shè)A為加x〃矩陣,齊次線性方程組Ar=0僅有零解的充分條件是)

(A)A的列向量線性無關(guān)(B)A的列向量線性相關(guān)

(0A的行向量線性無關(guān)(D)A的行向量線性相關(guān)

(4)設(shè)當(dāng)事件4與6同時發(fā)生時,事件C必發(fā)生,則)

(A)P(C)<P(A)+P(B)-1(B)P(C)>P(A)+P(B)-\

(0P?=P(AB)(D)P(C)=P(AU8)

(5)設(shè)〃個隨機變量X「X2,…，X”獨立同分布，D(XJ=/了[￡x,,

-它則（）

（A）S是。的無偏估計量（B）S是。的最大似然估計量

（0S是。的相合估計量（即一致估計量）（D）S與X相互獨立

三、（本題滿分5分）

Incos(x-l)

XH1,

IT

設(shè)函數(shù)/(x)=1-sin—X問函數(shù)/（X）在X=1處是否連續(xù)？若不連續(xù)，修

1,X=1.

改函數(shù)在X=1處的定義使之連續(xù).

四、（本題滿分5分）

計算/=[arccote'公

五、（本題滿分5分）

x

設(shè)2=5皿町）+夕（羽一），求----，其中9（M,U）有二階偏導(dǎo)數(shù).

ydxdy

六、（本題滿分5分）

求連續(xù)函數(shù)/（x），使它滿足fM+2,/⑴力=%2.

七、（本題滿分6分）

求證：當(dāng)x21時，arctanx--arccos2;=—.

2l+x24

八、（本題滿分9分）

設(shè)曲線方程y=e7（xN0）.

（1）把曲線y=e-*,x軸，y軸和直線x=JC>0）所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，

得一旋轉(zhuǎn)體,求此旋轉(zhuǎn)體體積V（J）;求滿足V（a）=-limV（^）的a.

（2）在此曲線上找一點，使過該點的切線與兩個坐標(biāo)軸所夾平面圖形的面積最大，并求

出該面積.

九、（本題滿分7分）

設(shè)矩陣A與3相似，其中

*-200「'-100

A=2X2,B=020

31100y

（1）求X和y的值.

（2）求可逆矩陣P,使得pTAP=8.

十、（本題滿分6分）

已知三階矩陣BW0,且8的每一個列向量都是以下方程組的解:

X+2X2-2X3=0,

<2玉_々+4七=0，

3芯+x2-x3=0.

（1）求％的值；⑵證明慟=0.

十一、（本題滿分6分）

0、

設(shè)A、B分別為機、〃階正定矩陣，試判定分塊矩陣C=是否是正定矩陣.

10B）

十二、（本題滿分7分）

假設(shè)測量的隨機誤差X?7V（OJO2）,試求100次獨立重復(fù)測量中，至少有三次測量誤差

的絕對值大于19.6的概率a,并利用泊松分布求出a的近似值（要求小數(shù)點后取兩位有效數(shù)

字）.

［附表］

21234567???

e~A

0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001…

十三、（本題滿分5分）

一臺設(shè)備由三大部分構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10,0.20和

0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望

EX和方差DX.

十四、（本題滿分4分）

設(shè)二維隨機變量（x,y）的概率密度為

e~y,0<x<y,

f(x,y)=<

0,其他，

（i）求隨機變量x的密度La）；（2）求概率p{x+y〈i}.

1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)

3X2+5.2

(1)limsin—

.r-?oo5x+3x

(2)已知y=/J，2]"'(尤)=arctan尢2,則色=

+clxx=()

001

(3)級數(shù)￡fi岑n3Y-的和為

n=0乙

(4)設(shè)4階方陣A的秩為2,則其伴隨矩陣A*的秩為.

(5)設(shè)總體X的方差為1,根據(jù)來自X的容量為100的簡單隨機樣本，測得樣本均值為5,則

X的數(shù)學(xué)期望的置信度近似等于0.95的置信區(qū)間為.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)

⑴設(shè)f，**0，則/(x)在點x=o處()

0,x=0,

(A)極限不存在(B)極限存在但不連續(xù)

(0連續(xù)但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)

⑵設(shè)“X)為連續(xù)函數(shù)，且=則廣(X)等于()

(A)"(皿司+夕［口(B)+口

(C)-/(inJC)__y/f—(D)/(in

XXkXJ\XJ

(3)n階方陣A具有〃個不同的特征值是4與對角陣相似的)

(A)充分必要條件(B)充分而非必要條件

(0必要而非充分條件(D)既非充分也非必要條件

⑷假設(shè)事件4和8滿足P(B|A)=1,則)

(A)A是必然事件(B)P(B|A)=0.

(0A^B(D)AuB

(5)設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為°(x),且9(一x)=e(x).b(x)是X的分布函數(shù)，則對任

意實數(shù)。，有()

a

_1-C

(A)F(-a)=1J()(p(x)dx.(B)F(-tz)=-Jo

(0F(-?)=F(a)⑻F(-?)=2F(?)-1

三、(本題滿分5分)

設(shè)z=/(x,y)是由方程z—y—x+xeRT=O所確定的二元函數(shù)，求dz.

四、(本題滿分7分)

已知lim=「'4/e-2x公求常數(shù)。的值.

XT8Ja

五、(本題滿分9分)

設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C=aq2+的+c,需求函數(shù)為4='(d-p),其中。為成本，q

e

為需求量(即產(chǎn)量)，〃為單價，a,"c,d,e都是正的常數(shù)，且d>乩求：

(1)利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤；

(2)需求對價格的彈性；

(3)需求對價格彈性的絕對值為1時的產(chǎn)量.

六、(本題滿分8分)

假設(shè)：(1)函數(shù)y=/(x)(0〈x<+8)滿足條件/(0)=0和04f(x)<e'-l；

(2)平行于y軸的動直線與曲線y=/(x)和y=e*-1分別相交于點《和P2;

(3)曲線)，=/(%)，直線與x軸所圍封閉圖形的面積S恒等于線段P}P2的長度.

求函數(shù)y=/(x)的表達式.

七、(本題滿分6分)

假設(shè)函數(shù)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)二階可導(dǎo),過點A(0"(0))與8(1J⑴)的直

線與曲線y=/(x)相交于點C(c,/(c)),其中0<c<l.

證明:在(0,1)內(nèi)至少存在一點J，使/"(4)=0.

八、(本題滿分10分)

人為何值時，線性方程組

玉+%2+也=4,

2

〈一玉+kx2+x3=k,

%—々+2光3=~4

有惟一解,無解,有無窮多組解?在有解情況下,求出其全部解.

九、(本題滿分9分)

設(shè)二次型

/=無:+x；+x；+2axi%+2Px2忍+2%1%3

經(jīng)正交變換X=P丫化成/=$+2$,其中X=(%,々,工產(chǎn)和丫=(X，%，％尸是三維列

向量，戶是3階正交矩陣.試求常數(shù)

十、(本題滿分8分)

設(shè)隨機變量X和Y同分布，X的概率密度為

[3,

—X0<x<2,

f(x)=<8

0,其他.

3

(1)己知事件4=｛乂＞4和3=｛丫＞。｝獨立，且P(AUB)=j求常數(shù)a.

(2)求1T的數(shù)學(xué)期望.

X2

十一、(本題滿分8分)

假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(f)服從參數(shù)為力的泊松分

布.

(1)求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；

(2)求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時的情形下,再無故障運行8小時的概率0.

1994年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)

r2X+\X\

(1)[---^dx=

J-22+X2

X

已知八”L則舟(-x)

e"+/=cosx確定y為x的函數(shù)，則心■=.

(3)設(shè)方程

dx

一0q0L0

004L0

(4)設(shè)4=MMMM，其中a；H0,i=1,2,L,n,則A7=_____________

000L凡[

00L0

(5)設(shè)隨機變量X的概率密度為

[2x,0<x<l,

/w=b,其他，

以y表示對X的三次獨立重復(fù)觀察中事件jXW共出現(xiàn)的次數(shù),則P{Y=2}=

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一項符

合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)

----Y*IY*_L_1

(1)曲線y=arctan——-——的漸近線有

(x+l)(x-2)

(A)1條(B)2條(C)3條(D)4條

⑵設(shè)常數(shù)2〉o,而級數(shù)￡收斂,則級數(shù)￡(-1)"卜」()

"=in=iyjn2+A

(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)收斂性與4有關(guān)

(3)設(shè)A是矩陣，。是〃階可逆矩陣，矩陣A的秩為r,矩陣8=AC的秩為(，則

()

(A)r>rt(B)r<r]

(0r=rt(D)r與4的關(guān)系由C而定

(4)設(shè)0<P(A)<l,0<P(B)<l,P(A|B)+P(乖)=1,則()

(A)事件A和3互不相容(B)事件A和8相互對立

(0事件4和B互不獨立(D)事件A和8相互獨立

⑸設(shè)X1,Xz，L,X”是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，又是樣本均值，記

1〃__1〃___

S；X)2,S；」f(X,-X)2,

?-l,=In,=|

1fl1n

s；=—-〃尸，￡=一t氏一〃尸,

H-l7i〃汽

則服從自由度為〃-1的f分布的隨機變量是)

X—〃

(A)

5

y/n-l

(0公與衛(wèi)X-〃

(D)t=

X

yJn忑

三、(本題滿分6分)

計算二重積分JJ(x+y)力力，其中￡)=^(x,^)|X2+y2Wx+y+1}.

D

四、(本題滿分5分)

設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足條件<求廣義積分『yMdx.

五、(本題滿分5分)

-1%//、2V2X_4Xd2f

己知/(%,y)=JTarctan--y~arctan—,求——.

xydxdy

六、(本題滿分5分)

設(shè)函數(shù)/(x)可導(dǎo),且/(0)=0,F(x)=「武力/一/)力，求燃學(xué)

七、(本題滿分8分)

已知曲線y=“4(a>0)與曲線y=ln?在點(%,％)處有公共切線,求:

(1)常數(shù)。及切點(%,為)；

(2)兩曲線與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積V,.

八、(本題滿分6分)

假設(shè)/(x)在［a,+oo)上連續(xù)，/"(x)在(a,長。)內(nèi)存在且大于零,記

F（X）=---------------（X>Q）,

x-a

證明廠（幻在（a,yO）內(nèi)單調(diào)增加.

九、（本題滿分11分）

設(shè)線性方程組

"23

%+axx2+4￡=%，

x,+a2x2+〃；芻二域，

尤］+a3x2+afx3=a；,

x,+a4x2+a*3=a；.

⑴證明：若q,%，%，出兩兩不相等，則此線性方程組無解;

⑵設(shè)q=%=Z,々=%=-乂女/0），且已知笈，A是該方程組的兩個解,其中

寫出此方程組的通解.

十、（本題滿分8分）

'oor

設(shè)A=尤1y有三個線性無關(guān)的特征向量，求x和y應(yīng)滿足的條件.

100

十一、（本題滿分8分）

假設(shè)隨機變量X”*2,X3,X4相互獨立,且同分布

p{x.=0}=0.6,P{x.=l}=o.4（z=1,2,3,4）,

xx

求行列式乂='2的概率分布.

X3X4

十二、（本題滿分8分）

假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（",l）,內(nèi)徑小于10或

大于12的為不合格品，其余為合格品,銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損.已知銷

售利潤T（單位:元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：

-1,X<10,

T=<20,104X412,

-5,X>12.

問平均內(nèi)徑〃取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？

1995年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)

(1)設(shè)/(x)=F，則/(")(尤)=__________.

1+x

⑵設(shè)z=xyf(—),/(w)可導(dǎo)，則xz'x+yz；=.

x

⑶設(shè)了'(Inx)=1+x,貝ij/(x)=.

‘100、

⑷設(shè)A=220,A*是A的伴隨矩陣，則(A*)T=.

、345,

(5)設(shè)X1,X2,…,X,,是來自正態(tài)總體N(〃Q2)的簡單隨機樣本，其中參數(shù)〃和〃未知,

記'=2fX,打=f(X,-又產(chǎn)，則假設(shè)%：〃=0的，檢驗使用統(tǒng)計量t=

〃/=1/=1

二、選擇題(本題共5