高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題33(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（33）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積

2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為

3.如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

4.已知三棱錐P-ABC,AC=x/2，BC=1,AC，BC且24=2PB,PBJ_平面ABC,其外接球體

積為（）

D.46兀

5.如圖，在棱長為1的正方體48C0-&BiGDi中，E,尸分別為棱

公么,6。1的中點(diǎn)，N是線段BQ的中點(diǎn)，若點(diǎn)P,M分別為線段Z\B,EF

上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值為（）

A.1

n3V2

6.如圖所示，將正方形A2CZ）沿對角線8。折成直二面角4—BD—C,有如下結(jié)論:

①4c1BD.

②△ACD是等邊三角形.

③8。的中點(diǎn)0在平面4C。上的射影是A4CD的垂心.

④48與平面BCO成60。的角.

⑤4B與CD所成的角是60。.

⑥二面角力-CD-B的正弦值是呼.

⑦若48=a,則三棱錐4-BCD的外接球半徑是4a，內(nèi)切球半徑是手直

⑧在AC上存在點(diǎn)P,B。上存在點(diǎn)Q,使得PQ1AC,且PQ工BD.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.4C.6D.8

7.下圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐

而得到，現(xiàn)用一個(gè)垂直于底面的平面去截該幾何體，則截面圖形可能是

A.⑴（2）B.⑵⑶C.⑶（4）D.⑴（4）

8.三棱錐P-ABC中，P41平面ABC且P4=2,/ABC是邊長為舊的等邊三角形，則該三棱錐外接

球的表面積為（）

A.—41TB.47rC.87rD.207r

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共16.0分）

9.a,/?是兩個(gè)平面，加，〃是兩條直線，下列四個(gè)命題中，真命題的是（）

A.如果血〃a，n//a,那么TH〃九

B.如果mJLa,7i〃a,那么m_L幾

C.如果m_La,m//n,那么幾_La

D.如果TH〃a,mIIn,那么n〃a

10.正方體/BCD的棱長為3,點(diǎn)E,尸分別在棱CCi，DiG上，且GE=2EC,D#=2FClf

下列命題：

A.異面直線BE,CF所成角的余弦值為看

B.過點(diǎn)B,E,尸的平面截正方體，截面為等腰梯形;

C.三棱錐Bl-BE尸的體積為I；

。.過當(dāng)作平面a,使得4E1a,則平面a截正方體所得截面面積為第.

其中所有真命題為（）

A.AB.BC.CD.D

11.如圖，正方體ZBCD—4B1GD1的棱長為2,E,尸分別為A。，441的中點(diǎn)，則以下說法正確的

是（）

A.平面EFC截正方體所得截面周長為2V5+3V2

B.881上存在點(diǎn)P,使得GP，平面EFC

C.三棱錐B-EFC和D-FBiC體積相等

D.SB1上存在點(diǎn)P,使得4P〃平面EFC

12.已知兩條直線/,加及三個(gè)平面a,/7,y,下列條件中能推出al/7的是（)

A./ca,11pB./la,m工8,11m

C.aly,/?〃yD./ca,muB，11m

三、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

13.如圖，在正方體ABCD-&B1GD1中，點(diǎn)E、F分別為棱BBi，CC1的

中點(diǎn)，點(diǎn)。為上底面的中心，過E,F、。三點(diǎn)的平面把正方體分為兩

部分，其中含久的部分為匕，不含乙的部分為彩，連接必和匕的任一

點(diǎn)M,設(shè)41M與平面為B1GD1所成角為a,則sina的最大值為

14.如圖，E,F分別是三棱錐P-ABC的棱AP,BC的中點(diǎn)，PC=10,

AB=6,EF=7,則異面直線AB與PC所成的角為

15.我國古代數(shù)學(xué)家祖距提出原理：“基勢既同，則積不容異”.其中“基”是截面積，“勢”是幾

何體的高.該原理的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平行平

面的平面所截，若所截的兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖，在空間

直角坐標(biāo)系中的xOy平面內(nèi)，若函數(shù)/（x）=［尸一"，x￡的圖象與x軸圍成一個(gè)封閉

的區(qū)域4,將區(qū)域A沿z軸的正方向平移8個(gè)單位長度，得到幾何體如圖一，現(xiàn)有一個(gè)與之等

高的圓柱如圖二，其底面積與區(qū)域4的面積相等，則此圓柱的體積為.

圖

16.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的梯卯結(jié)構(gòu)，它的外Mr

觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱

柱體分成蘭組，經(jīng)90。柳卯起來.若正四棱柱的高為6,底面正形的邊長為1,現(xiàn)巧丁常

將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，列該球形容器的體積的最小值為（容

器壁的厚度忽略不計(jì)）.

17.如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)C6平面a,點(diǎn)力，8在平面a的同--側(cè)，且

|/1C|=2V3,\BC\=2.^AC,8c與平面a所成的角分別為錄p貝U

△力BC面積的取值范圍是.4--------/

18.設(shè)。、氏c為三條不同的直線，a、夕為兩個(gè)不同的平面，下面給出四個(gè)命題：①若a〃b,baa,

則a〃a②若aua,b、cu。,alb,ale,則a1伙③若a1a,b//a,則a1b④若a10

且and=l,a//a,b11,則a1b其中假命題有（寫出所有假命題的序號）.

四、解答題（本大題共12小題，共144.0分）

19.如圖，四邊形ABCZ）中（圖1）,E是BC的中點(diǎn)，DB=2,DC=1,BC=居48=4。=夜.將

（圖1）沿直線BQ折起，使二面角4-BD-C為60。（如圖2）.

圖1圖2

(1)求證：AEliP?BDC；

(2)求異面直線AB與C。所成角的余弦值；

(3)求點(diǎn)B到平面ACD的距離.

20.如圖，四棱錐P-4BCD中，AD//BC,平面PAD_L平面尸8c.

(1)若立「8。=今證明：^APB=p

(II)若4。=CD=2BC=2,ZfiC￡)=pS.PA1PC,求|P4|的取值范圍.

r

21.如圖，三棱錐S-ABC的底面ABC和側(cè)面SBC都是等邊三角形，且平面SBCJ■平面ABC.

(I)若P點(diǎn)是線段SA的中點(diǎn)，求證：S4_L平面P8C；

(n)若。點(diǎn)在線段弘上且滿足4Q=1AS,求BQ與平面SAC所成角的正弦值.

22.如圖所示，在長方體4BC。一A/iGDi中，AB=BC=1,BB、=2,連接8傳，過點(diǎn)8作8也的

垂線交CG于點(diǎn)E,交B1C于點(diǎn)F.

(1)求證：41c1平面EBD；

(2)求點(diǎn)A到平面為BiC的距離；

(3)求直線OE與平面4B]C所成角的正弦值.

23.如圖1,在平面四邊形ABOC中，AB=2,AC=1,CD==90°,cos乙BCD=1

DD

(2)將4BCD沿BC折起，形成如圖2所示的三棱錐D-ABGAO=2.

(i)三棱錐。-4BC中，證明：DAJL平面'ABC;

(ii)三棱錐D-ABC中，點(diǎn)E,F,G分別為線段AB,BC,AC的中點(diǎn)，設(shè)平面DEF與平面D4C的交線

為l,Q為I上的點(diǎn).求DE與平面QFG所成角的正弦值的取值范圍.

24.如圖，AB為圓。的直徑，點(diǎn)E、F在圓。上，AB//EF,矩形ABCQ所在的平面與圓O所在的

平面互相垂直.已知4B=2,EF=1.

(n)當(dāng)AD=1時(shí)，求直線尸8與平面OFC所成角的正弦值.

PA1PD,平面P40_L平面ABCD.

(1)求證：平面P4B1平面PCD-.

(2)若BC〃4D,AB=BC=\AD=1,AP=用，求鈍二面角4—PC—D的余弦值.

26.如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABC。中，PA1平面ABC。，8D交AC于點(diǎn)E,尸是PA的

中點(diǎn)，G為AC上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：BD1FG；

(2)若G是AE的中點(diǎn)，PA=AB=4,求點(diǎn)尸到平面尸G。的距離.

27.如圖，四棱錐P-力BCD的底面ABCD是平行四邊形，PA，底面ABCQ,P4=3,AD=2,AB=4,

Z.ABC=60°.

￡

(1)求證：8C_L平面尸4C；

(2)E是側(cè)棱PB上一點(diǎn)，記霽=4(0<4<1),是否存在實(shí)數(shù);I,使平面AOE與平面PA。所成

的二面角為60。？若存在，求出;I的值；若不存在，請說明理由.

28.如圖，已知直三棱柱4BC-力IBIQ,4C1BC,AC=BC=44I=2,E,尸分別是線段反的枇通］

上的兩個(gè)點(diǎn)，且E,F與G不同時(shí)重合。

⑴證明：EF“平面ABC.

(2)當(dāng)瓦F分別是線段&C1初Ga的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)C到平面EE4B的距離.

29.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面A8CQ是平行四邊形,MCO=135°,側(cè)面P4B1底面A8CQ,

LBAP=90°,AB=AC=PA=2,E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PC上.

(1)若EF〃平面尸AB,確定尸的位置并說明理由：

(2)直線EF與平面PBC所成的角和直線EF與平面ABC。所成的角相等，求黑的值.

30.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面4BCD1平面PAD,AD//BC,AB=BC

Z.BAD=90

(1)證明：PDA.PB；

(2)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，且PM=[PC,若團(tuán)MBC的面積為空，求四棱錐PABCD的體積.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查三視圖以及多面體的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)三視圖知，該幾何體是如圖所示的四棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，運(yùn)用四棱錐的體積公式計(jì)算，即可

得到答案.

解：根據(jù)三視圖知，該幾何體是如圖所示的四棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，

計(jì)算該幾何體的體積為V=1-i-(l+2)-2-2=2.

故選A.

2.答案：D

解析：

本題主要考查了三視圖的問題，考查了學(xué)生的推理計(jì)算能力，考查了椎體體積公式等.

先由三視圖還原成原來的幾何體，找準(zhǔn)長度關(guān)系，再用割補(bǔ)法求幾何體的體積.

解：由三視圖原幾何體如圖:

由三視圖知力E1面ABCD,BF1面ABCD,

AB=BC=CD=DA=AE=2BF=4,

連接AC,則原幾何體可分為四棱錐C-4BFE和三棱錐E-ACD,

■-V=VC-ABFE+VE-ACD=^x1x(2+4)x4x4+|xix4x4x4=16+y=y.

故選D

3.答案：B

解析：

本題考查由三視圖求幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是由三視圖判斷幾何體的相關(guān)元素的數(shù)據(jù).由

三視圖可判斷幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，一個(gè)側(cè)面垂直于底面，高為1,代入公式可求體

積.

解：由三視圖知幾何體為四棱錐，如圖

棱錐的底面是直角梯形，一個(gè)側(cè)面垂直于底面，底面積S=|x(1+2)x1=|,棱錐的高為1,

故選B.

4.答案：A

解析：

本題主要考查了球的體積公式，屬于中檔題.

先求出P8的長，再將三棱錐補(bǔ)成長方體，求出外接球的直徑，得出半徑，進(jìn)而得出外接球的體積.

解：-??AC=V2.BC=1,AC1BC,AB=V3r

vPB平面ABC,ABu平面ABC,

PBLAB,在RtZkPAB中，PA2=「32+432,

???PA=2PB,：.4PB2=PB2+3,

.■.PB=1,將三棱錐補(bǔ)成長方體，

則外接球的直徑為2R=J(V2)2+I2+I2=2,

半徑為R=1,

V=-7TXI3=-7T.

33

故選A.

5.答案：B

解析：

本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查學(xué)生分析解決

問題的能力，有難度.4

△D\DBdDGB,從而PN=PH,實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化，連接GH交BD1于K,

則當(dāng)P為K時(shí)，PM+PN取得最小值，所求最小值為GH,即可得出

結(jié)論.

解：首先的最小值就是P到EF的距離.

連接為外交EF于G,連接PG,則EF_L平面故EF1PG,從而PM的最小值為PG,可知

G為EF的中點(diǎn)，AG為的四分之一.

其次，連接B。，設(shè)其中點(diǎn)為“，連接P”，BC「則ADiDB三△DiG/,從而PN=PH.(實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)

化，這步是解題之關(guān)鍵)

最后，連接G4交8/于K,則當(dāng)P為K時(shí)，PM+PN取得最小值，所求最小值為G”.

?.?正方體ABC。-&B1GD1的棱長為1,

故選艮

6.答案：C

解析：

本題主要考查線面垂直，球的體積，異面直線的夾角，直線與平面的夾角，以及二面角，屬于較難

題.

先判斷出①和②，由①②的結(jié)論再進(jìn)一步對各序號進(jìn)行判斷即可得解.

解：取的中點(diǎn)為。，如圖所示：

所以BDJ.4。，BD1CO,AOnCO=0,.AO.U平面ACO,

所以8。，平面ACO,又ACu平面ACO,

所以BD_L4C,故①正確；

由①可得二面角A-BD-C的平面角為乙40C,即4。10C.

設(shè)正方形的邊長為a,則4。=CO=DO=—a,可得AC=CD=AD-a,

2

所以A/ICO為等邊三角形，故②正確；

由②可知三棱錐。-4co為正三棱錐，

所以。在AC。的射影為△ACC的垂心，故③正確；

顯然AB與平面8c。所成的角乙4BD=45°,故④錯(cuò)誤：

取AC的中點(diǎn)為M,AO的中點(diǎn)為尸，連接MF,OF,0M,

所以。尸〃A8,MF//CD,

所以N0FM表示異面直線AB與CD的夾角（或其補(bǔ)角），

由②可知OF=MF=OM=\a,

所以AB與CO所成的角是60。，故⑤正確；

取CO的中點(diǎn)為N,連接AN,ON,

由①②可知，乙4N。表示二面角4-CD-B的平面角，且4N=Fa,AO=ya.

所以sin乙4N。=器=爭故⑥正確；

若=a,則三棱錐4-BCD的外接球半徑是40=立a,設(shè)內(nèi)切球的半徑為『，

2

因?yàn)椋簒(2x+2x)x4a)r=[x：xa?x號(2,解得「=(夜—當(dāng))a,故⑦錯(cuò)誤；

在AC上存在點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，5。上存在點(diǎn)。是2。的中點(diǎn)，使得PQ14C,且PQ_LBD.故⑧正

確；

故選C.

7.答案：D

解析：

根據(jù)圓錐曲線的定義和圓錐的幾何特征，分截面過旋轉(zhuǎn)軸時(shí)和截面不過旋轉(zhuǎn)軸時(shí)兩種情況，分析截

面圖形的形狀，最后綜合討論結(jié)果，可得答案.

本題考查的知識點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，圓錐曲線的定義，熟練掌握圓錐曲線的定義是解答的關(guān)鍵.

解：當(dāng)截面過旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，

圓錐的軸截面為等腰三角形，此時(shí)(1)符合條件；

當(dāng)截面不過旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，

圓錐的軸截面為雙曲線的一支，此時(shí)(4)符合條件；

故截面圖形可能是(1)(4),

故選D.

8.答案：C

解析：

本題考查棱錐的外接球，難度適中.

由題設(shè)得44BC外接圓半徑r=|13^1=1,可得球的半徑R,進(jìn)而得解.

解：根據(jù)已知中底面ZMBC是邊長為％的正三角形，PA1平面A8C,可得此三棱錐外接球，即為以

4ABC為底面以PA為高的正三棱柱的外接球

???44BC是邊長為舊的正三角形，二ZMBC的外接圓半徑r=|J3-=1,

球心到ZMBC的外接圓圓心的距離d=1,故球的半徑R=Vr2+d2=V2,

故三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4TTR2=87r.

故選C.

9.答案：BC

解析：

本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，熟練掌握空間線面關(guān)系的

幾何特征及判定方法是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)線面平行，垂直的判定以及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

解：若m〃a,n//a,則相與"可能平行，可能相交，也可能異面，故A錯(cuò)誤；

若n〃a,則存在aua,使?1〃。，又由mJ.a,可得m_La,進(jìn)而mln,故B正確；

如果mla,m//n,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得律1a,故C正確；

如果m〃a,m//n,則n〃a或nua,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.答案：ACD

解析：解：對于4取的三等分點(diǎn)為Fi，使

為居=2居&,乂D/=2FG，

.--&B//FC1且&&=FCr.?.四邊形FGB1a為平

行四邊形，

:.FF\//BG//BCRFF\==BC,四邊形

FiFCB為平行四邊形，

???BF1//CF,則4&BE為異面直線BE,CF所成的

角，

連接Ea,由題意得：BFr=V10.BE=V10，EFr=V14,

所以COSN&BE=B*；；：;%=±=A,故A正確；

Z￡>rj'DC4U1v

對于B.取BiB的三等分點(diǎn)為%,使BiEi=2E]B,又gE=2EC,

???BEJ/CE旦BE、=CE,二四邊形B&EC為平行四邊形，則E1E//BC且E】E=BC,

又由A得，F(xiàn)F"/BC且F&=BC,于是FF"/EEi且F&=EEr,

四邊形EE//為平行四邊形，???EE[“F[F,

取&Bi的中點(diǎn)為G,連接BG,

又等=普=:，二七/1〃86〃七尸，則四邊形BEFG即為所求截面，

由題意知：BE手FG,故B不正確；

對于C.SABIBE=，x3x3=1,又C/J■面B/E,CrF=1,

所以/l-BEF=%'-BBiE=]SAB[8E義C[F=="X-X1=-,故C正確；

對于。.取CO的三等分點(diǎn)為使C"1=2DH1，取BC的三等分點(diǎn)為H,使CH=2BH,

HHJ/BDZ/B^,則面即為所求的截面a,建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，

則4(3,0,0),E(0,3,1),(3,3?3),5(0,0,3),H/0,1,0),

AE=(-3,3,1),瓦耳=(-3,-3,0)，瓦瓦=(-3,-2,-3)，

?.?屈?瓦瓦=0，荏?瓦可=0,所以4E1平面BiDMW，

由已知條件得，BiDi=3或,"%=|/。1=2&，BiH=。例1=屈，

等腰梯形當(dāng)。1名”的高為九=](同)2一(若出)2=亨，

所以截面面積為5=次蟲越乂叵=源，故。正確.

222

故選：ACD.

對于A取的三等分點(diǎn)為F1，使&&=2&B「利用己知條件找到異面直線BE,C尸所成的角，即

可得出結(jié)果；

對于B.取的三等分點(diǎn)為Ei，使B】Ei=2EiB,利用已知條件得到四邊形8EFG即為所求截面，即

可得出結(jié)論；

對于C.利用等體積法求解即可；

對于④：取CD的三等分點(diǎn)為名,使CHi=2OHi，取BC的三等分點(diǎn)為，，使CH=2BH,猜想出

面即為所求的截面a,建立空間坐標(biāo)證明推測，代入數(shù)值即可求出結(jié)論.

本題主要考查命題真假的判斷，異面直線所成角以及線線平行問題，四棱錐的體積以及線面垂直問

題，截面面積問題，屬于難題.

11.答案：ACD

解析：

本題考查了線線平行和線面平行的證明，向量垂直的坐標(biāo)表示，求三棱錐的體積，考查分析與計(jì)算

能力，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于較難題.

對于4,平面EFC截正方體所得的截面為梯形EFBiC,求出梯形的周長即可得解；

對于8,通過建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，證出守1正不成立，即可得出8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C,通過等體積法，分別求出三棱錐B-EFC和。-尸BiC的體積，進(jìn)而得解；

對于O,通過線線平行，證得線面平行，進(jìn)而得解.

解：如圖所示：

對于4選項(xiàng)，連接&C,BJ,

■-E,F分別為AQ,441的中點(diǎn)，

EF//BXC,

E,F,Bi，C四點(diǎn)共線，

???平面EFC截正方體所得的截面為梯形EF&C,

二截面周長L=EF+FB]++EC=夜+6+2&+6=2通+3夜,

故A正確；

對于8選項(xiàng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則E(1,O,2),尸(2,0,1),C(0,2,2),G(0,2,0),

設(shè)P(2,2,Zp),

所以于=(2,0,zp),EC=(-1,2.0),

若GPJL平面EFC,則于1配，而—2=0顯然不成立，

所以QP與EC不垂直，

所以BE】上不存在點(diǎn)P,使得C/1平面EFC,

所以8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C選項(xiàng)，

因?yàn)镋F〃AiD,aD〃BiC,所以EF〃/C.

因?yàn)镋FC平面BiCD,B]Cu平面BiCD,

所以EF〃平面&CD,即EF〃平面為B1CD.

所以點(diǎn)尸到平面aCD的距離為點(diǎn)尸到4。的距離，為]x2&x；手

所以％-FBiC=，F(xiàn)-0B1c='X：X2X2V2X*=I'

乂%-EFC=^F-BEC

所以%-EFC=成立，C正確；

對于。選項(xiàng)，取的中點(diǎn)M,SB1的中點(diǎn)N,連接EM,AN,MN,

???AE〃MN且4E=MN,

二四邊形AEA/N為平行四邊形，

AN//EM,

■：EMu平面EFC,AN<t平面EFC,

???AN〃平面EFC,：點(diǎn)P為BBi的中點(diǎn)，

上存在一點(diǎn)P,使得AP〃平面ER7,故。正確.

故選ACD.

12.答案：ABC

解析：

本題考查面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.

解：4」ua，I上6，由面面垂直的判定定理可知，A正確；

B.l1a,mlp,11m,由線面垂直的性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理可以證明B正確；

C.a1y,容易得出aua/a_Ly又￡〃y,容易得出a_L0則a1/?,故C正確；

D，ica,mu伊I1m,不能得出a1￡,故。不正確，如：斜坡內(nèi)的一條直線與斜坡與水平面的

交線垂直，顯然斜坡與水平面不垂直.

故答案為ABC.

13.答案：延

5

解析：

本題考查立體幾何中線面角的求法，解本題時(shí)首先要找到過E,F,0三點(diǎn)的平面，再找出使得線面

角最大的情況，從而求得結(jié)果.

考查學(xué)生分析問題的能力與空間想象能力，有一定的難度.

解：連接ER

因?yàn)镋F〃平面ABC。，所以過EFO的平面與平面ABC。的交線一定是過0點(diǎn)且與E尸平行的直線,

過。點(diǎn)作GH〃BC交CO于G,交AB于H,則GH〃EF,

連接E4,FG,

則平行四邊形EFGH即為截面，

則五棱柱4B1E/M-DiGFGD即為匕，三棱柱EBH-FCG為七，

設(shè)M點(diǎn)為彩的任一點(diǎn)，過M點(diǎn)作底面&B1GD1的垂線，垂足為N,連接&N,

則NM&N即為4M與平面4道修1。1所成的角，所以NM4N=a,

因?yàn)閟ina=懸，要使a的正弦值最大，必須最大，4M最小，當(dāng)M點(diǎn)與，點(diǎn)重復(fù)時(shí)符合題意,

故即⑹,山=（箸HN_2瓜

巾」~1T

故答案為：

14.答案：60°

解析：

本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題.

利用三角形中位線定理把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化成平面角，利用余弦定理求解.

解：取AC的中點(diǎn)

連接EM,MF,如圖所示.

因?yàn)镋,尸分別是4P,BC的中點(diǎn)，

所以MF〃AB,MF=\AB=3,

ME//PC,ME=\PC=5,

所以ZEMF即為A8與尸C所成的角（或其補(bǔ)角）.

在三角形MEF中，COS/.EMF=■—―=——=

2x5x3302

而三角形的內(nèi)角范圍為（0,兀），

所以4EMF=120°,

所以異面直線AB與PC所成的角為60。.

故答案為60。.

15.答案：27r+4

解析：

本題考查數(shù)學(xué)文化以及簡單幾何體的體積，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

解：由題意，函數(shù)/。)=.1一/‘*e!二±°)的圖象與X軸圍成一個(gè)封閉的區(qū)域A的面積為;兀+

八,(1-%,xG[0,1]4

伙l-x)dx=f+gxlx1=等,

所以圓柱的體積V=乎x8=2兀+4.

4

故答案為2兀+4.

16.答案：生且1萬

6

解析：

本題考查正棱柱的外接球的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，

考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

由題意，該球形容器的半徑的最小值為2R=+4+36,即可求出該球形容器的體積的最小值.

解：由題意，該球形容器的半徑的最小值為并在一起的兩個(gè)長方體體對角線的一半，外接圓直徑為

長寬高分別為1,2,6的長方體的體對角線，設(shè)外接圓半徑為R,

即2R=4+4+36.

所以;?=叵，

2

?

??該球形容器體積的最小值為：士7rx(1)3衛(wèi)迎7r.

故答案為：史@

6

17.答案：[75,3]

解析：

本題考查直線與平面所成角的定義，圓錐的幾何性質(zhì)，三角形面積公式，屬較難題.由題意可得A,B

的軌跡，得到當(dāng)AC、BC與軸共面時(shí)，4ACB取到最大值和最小值，求得sin/ACB的范圍，代入三角

形面積公式得答案.

解：如圖

因?yàn)锳C,BC與平面a所成的角分別為患,%\AC\=2g,|BC|=2

所以A，B分別在如圖所示的兩個(gè)圓錐上運(yùn)動(dòng)，求團(tuán)ABC面積的取值范圍即求Z4CB的范圍

當(dāng)直線AC、BC與軸/在同一平面，乙4cB取得最大值和最小值，于是有O3

即54sin44cB《更，ShABC=MBC\-\AC\sin^ACB=2V5sin44cB￡[V3,3],

故答案為[V5,3].

18.答案：①②④

解析：

本題考查空間線面垂直、線面平行、面面垂直的判定，逐項(xiàng)判斷真假即可，屬基礎(chǔ)題.解：①若a〃b,

bua,則。〃。，①假，a〃a或aua；

②若aua,b、cu。，alb,ale,則a10,②假，a與，可能只是相交；

③若ala,6〃c,則a1b,③真；

④若cL3且山，則a"，④假，a與匕可能不垂直.

故答案為①②④.

19.答案：證：（1）如圖取8。中點(diǎn)M,連接AM,ME.

因DB=2,DC=1,BC=V5滿足：DB2+DC2=BC2,

所以/BCD是BC為斜邊的直角三角形，BDLDC,

因E是AB的中點(diǎn)，所以ME為/BCD的中位線ME〃^C。，ME1BD,ME=5

???乙4ME是二面角力-BD-。的平面角，???/.AME=60°,

AMLBD,MEJ.BD且AM、ME是平面AME內(nèi)兩相交于M的直線.

BD，平面AEM.

???4Eu平面AEM,所以BD14E,

因ZB=/W=&，DB=2,ZL4BD為等腰直角三角形，所以4M=|80=1,

AE2=AM2+ME2-2AM-ME-cosz.AME=1+--2xlx-xcos60°=

424

所以4E=—,???AE2+ME2=1=AM2,???AE1ME,

2

:.BDCME=M,BDcffiBDC,MEcffiBDC,AE1￥?BDC.

解：(2)如圖，以M為原點(diǎn)MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則由⑴及己知條件可知0),F(0,l,0),4(0彳,/)，D(-l,0,0),C(-l,l,0),

荏=(1,一:一易，加=(0,T0)

設(shè)異面直線AB與AB所成角為。,

則COS。=ABCD

wPi一V2X1-4

(3)由而=(-1,CD=(0,-1,0).

可知五=(遮,0,-2)滿足記.而=0，n-CD=0，元是平面AC。的一個(gè)法向量.

記點(diǎn)B到平面ACD的距離d,則荏在法向量元方向上的投影絕對值為d

則d=|臥V3+04-V32Vli

J(V3)2+0+(-2)27

解析：本題考查空間幾何體中線面垂直的判定以及異面直線的距離和點(diǎn)到平面的距離的問題，屬于

中檔題.

(1)取6。中點(diǎn)M,連接有題設(shè)可證BDAE1ME,由此即可證明AE1平面BOC.

(2)以M為原點(diǎn)MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系.計(jì)算出荏=Q--多，方=

(0,-1,0),根據(jù)cos。=瑞備即可求出異面直線4B與C。所成角.

(3)求出平面ACD的一個(gè)法向量元，根據(jù)d=|甯|即可求出點(diǎn)B到平面ACC的距離.

20.答案：(I)證明：設(shè)平面PADn平面PBC=l,

AD//BC,ADu平面PAD,BCC平面PAD,

BC〃平面PAD,又BCu平面PBC,平面PADC平面PBC=I,

BC//1,

,:乙PBC=pPB1BC,PB11,

■■PB1平面PAD,

PAu平面PAD,PB1PA,即："PB=j.

(II)解：連接8。，在△BCD中，由余弦定理得BD=遮,

^\BD2+BC2=DC2,故BDLBC,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以以，麗的方向?yàn)閤軸，y軸

正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

M0(0,0,0),4(2,0,0,),B(0,V3,0),C(-l,V3,0),

設(shè)P(%j,z),貝=d(x—2尸+y2+z2,

當(dāng)％=0時(shí)，平面24。_L平面P3Q,又平面PADJ_平面PBC,平面PBCn平面PBD=P8,

???PBJL平面PAD,???PD1PB,即麗.麗=0，

:.y2—y/3y4-z2=0,即(y—^)2+z?=；，

由一立<y-立〈立，得0<y<g,

2J22)

又PA1PC,TA-CP=0,即——%—24-y2—V3y+z2=0,

%2—%—2=0,解得久=2或%=—1,

當(dāng)*=2時(shí)，\PA\=y/y2+z2=Jvlye(0,V3)；

當(dāng)無=一1時(shí)，仍川=j9+y2+z2=^9+V3ye(3,2V3).

P4的長的取值范圍為(0,遮)U(3,2V3).

解析：（I）設(shè)平面PADn平面PBC=1,證明PB，I得到PBJ.AB,即可證得結(jié)論；

（n）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以用，說的方向?yàn)閤軸，y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算田川=

JQ_2）2+y2+z2,根據(jù)方-CP=0＞解得X=2或4=-1,代入計(jì)算可得結(jié)論.

本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理、直線與直線垂直的判斷，考查向量法的應(yīng)用，屬于難題.

21.答案：（I）證明：???△4BC和ASBC都是等邊三角形，且有公共邊8C,

AB=SB=AC=SC,

???P是SA的中點(diǎn)，.-.SAIBP,SA1CP,

vBPCCP=P,：.SA1平面PBC.

(n)解：取BC的中點(diǎn)。，連結(jié)。4,OS,

???△ABC和△SBC是等邊三角形，.'SOIBC,AO1BC,

???平面SBC1平面48C,平面SBCn平面ABC=BC,SO1BC,

SO1平面ABC.

OA,BC,OS兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4為x軸，為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

設(shè)A8=2,則4。=OS=相,

則4(75,0,0),8(0,1,0),C(0,-l,0),S(0,0,V3),Q(竽,0,當(dāng))，

CA=(國，0),SA=(V3,0--V3).

的=(竽,-1,小

設(shè)平面S4C的一個(gè)法向量為記=(x,y,z),

則｛醬二猥露。，令…鼾

設(shè)BQ與平面SAC所成角為0,

等《_同

則8。與平面SAC所成角的正弦值為：sin。=搭焉+v,3+3

營店10,

解析：本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(I)推導(dǎo)出48=S8=AC=SC,SA1BP,SA1CP,由此能證明54_L平面P8C.

(口)取BC的中點(diǎn)O,連結(jié)。A,OS,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A為x軸，0B為y軸，OS為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BQ與平面SAC所成角的正弦值.

22.答案：(1)證明：以A為原點(diǎn)，荏，而，痂分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

那么4(0,0,0),8(1,0,0)、C(l,l,0)、0(0,1,0)、4式0,0,2)、8式1,0,2)、"1,1,2)、5(0,1,

2).

A^C=(1,1,-2)，~BD=(-1,1,0)，

設(shè)E(l,l,z),則:BE=(0,1,z)，西=(0,—1,2),

vBE1B]C,

：.~BE-西=-1+2z=0，解得z=

■：7^C-~BD=-1+1+0=0，砧?而=0+1-1=0，

.?.砧1前，砧1四，

即41c1BD,41c1BE,

又BDCBE=B,BDu平面EBD,BEu平面EBD-,

???A^C_L平面EBD；

(2)解：點(diǎn)A到平面A/iC的距離,即三棱錐4一4當(dāng)。的高，設(shè)為力,

S"181C=爭%-4出4=[CB.S41B送=p

由以-4181c=%-4814得：1xy/l=h=

???點(diǎn)A到平面&B]C的距離是手；

(3)解：連接。F,?.?①￡:1BE,BrC1BE,ArCnBXC=C,

AtCu平面&BiC,,B]Cu平面&BiC,

:.BE1平面A[B]C,

???。尸是OE在平面&BiC上的射影，NEDF是OE與平面4181c所成的角,

設(shè)F(l,y,z),那么前=(0,y,z),#=(0,y-l,z),煦=(0,1,—2),

???BF?B^C=0，-,?y-2z=0①.

-CF//B^C，???z=2-2y②.

由①、②得y=g，z=|,

屁=(l,0,?前=(0,一?一方，

在RtAFDE中，DE=—,EF=—.

210

???sinZ-EDF=—=

ED5

因此OE與平面所成的角的正弦值是

解析：本題主要考查了用空間向量求直線與平面的夾角，以及點(diǎn)面間的距離計(jì)算，屬于較難題.

(1)以A為原點(diǎn)，而，而，麗(*分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出前與麗，然后根據(jù)

向量的數(shù)量積判定垂直關(guān)系，為C1BD,4C1BE,又8。CBE=B滿足線面垂直的判定定理所需

條件;

(2)4到平面4/iC的距離，即三棱錐4-4B1C的高，根據(jù)等體積法可知匕_4述述=%-4述遇，求出

高即可；

(3)連接。凡根據(jù)BE_L平面4/1C,可知。尸是OE在平面&B1C上的射影，從而/EDF是OE與平

面4/1。所成的角，最后在RtAFDE中，求出此角的正弦值即可.

23.答案：解：(1)在RM4BC中：BC=y/AB2+AC2=V5.

在ZBCC中由余弦定理：BC=CD=V5,coszBCD=1

5

所以8D=2VL

在4BCD中由正弦定理：生;=.B；八;sinZ-BCD=—,所以sin￡)=孚；

sinDsinZ-BCD55

(2)(回)在4D4B中，因?yàn)?B=2,40=2,8。=2或，

所以BO?=麻+心，AD1ABt

在A04C中，因?yàn)锳C=1,4D=2,CD=遍，

所以C￡)2=心+心，a。，AC,

又因?yàn)?Bn4C=A，所以4DJ?平面ABC,

(團(tuán))因?yàn)镋F〃4C,EFC平面D4C,力Cu平面D4C,

所以EF〃平面D4C,平面DEF與平面D4C的交線為/,所以4/AC,

以4坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AC.AD為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

所以4(0,0,0),0(0,0,2),F(l,0,0),F(l,1,0),6(0,1,0),設(shè)Q(0,t,2),

設(shè)平面QFG的法向量五=(x,y,z)

因?yàn)椴?瓦=(x,y,z)?=0,

__,1

n-GQ=(x,y,z)?(0,t--,2)=0

—x+(t—|)y+2z=0

所以《取y=2,解得x=0,z=|—t

(f-|)y+2z=0

所以，平面QFG的一個(gè)法向量為元=（0,2《-t）,

因?yàn)轶?（1,0,-2）,設(shè)OE與平面QFG所成角為

.qIDE-n.|1—2t|

所以，=l麗=總商

若t=:，貝Ijsin。=0；

若t行，則sinJ=WxI12V5

5

1+而'

所以O(shè)E與平面QBG所成角的正弦值的取值范圍為[0，W）.

解析：本題考查正、余弦定理，考查線面垂直的判定定理，考查線面角，屬于中檔題.

（1）由正余弦定理可得sin。；

（2）（團(tuán)）利用線面垂直的判定定理可證出4。1平面ABC；

倒）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面QFG的一個(gè)法向量為元=（0,2』-t）,代入公式sin。=|蕾』

/\DE\-\n\

H-2t|]x2遮

，從而得到t=4,則sin8=0：tR：,sin0=VX

V5xJ(l-t)2+4三（丁’從而得到結(jié)論.

24.答案：(I)證明???平面ABCD_L平面ABEECBl^B,

平面ABC。n平面4BEF=48,。口_1_平面A8EF,

■-AFu平面ABEF,-.AF±CB,

又???4B為圓。的直徑，.?.AFLZJF,

CBC\BF=B4F_L平面CBF-：AFu平面ADF,

二平面DAF1.平面CBF.

(II)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。6,4。方向分別為犬軸，y軸，z軸方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則

8(-1,0,0),。(一1,0,1),。(1,0,1),尸弓,耳,0),

而=(一3一*,0)，CD=(2,0,0),FD=(p-y,l)>

設(shè)平面QFC的一法向量元=(x,y,z),貝lj曰,￡￡=°,即1—6工n,

In-FD=0\^x--y+z=0

取y=2,則2=百，.??元=(0,2,g)，

解析：本題考查了面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，面面垂直的判定和利用空

間向量求線線、線面和面面的夾角.

(I)利用面面垂直的性質(zhì)得CB_L平面ABEF,再利用線面垂直的性質(zhì)得4F1CB,再利用線面垂直的

判定得4尸，平面CBF,最后利用面面垂直的判定得結(jié)論；

(口)利用空間向量求線面的夾角計(jì)算得結(jié)論.

25.答案：解：X

(1)證明：作PE14D于E,

???平面PAD工平面ABCD,

平面PADn平面力BCD=AD,PEu平面PAO,

故PE1平面ABCD,

vABu平面ABCD,

■?PE1AB,

XvABLAD,ADdPE=E,AD,PEPAD,

故A/LL平面PAD,

■：PDu面PAD,

■■PD1AB,

又???P"！PA,PAQAB=A,PA.ZBu平面PAB,

所以PO_L平面PAB,

PDu面PAD,

平面PAB1平面PAD；

(2)解：如圖建系得A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),0(0,2,0),P(0,|,泉,

則^(1,1,0)，AP=(0,|,y),設(shè)面PCA的法向量為汨=(x,y,z),

(x+y=0

則，3.V3n，令％=1,得y=-l,Z=V3，

-yH—z=0

12/2

得面PCA的法向量為元=(1,-1,V3),

同理得面PC。的法向量為雨=