高二數(shù)學期末復習題（原卷版）

專題1.1一元函數(shù)的導數(shù)及其應(yīng)用

【知識回顧】

(一)導數(shù)的概念

1.函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導數(shù)

定義：稱函數(shù)>=/(工)在X=沏處的瞬時變化率

lim""+Ax)__/(%)=hm”.為函數(shù)丁=式外在％=的處的導數(shù)，記作八沏)或了k=必，即

加TOAr加T°zkx

/(x0)=lim——lim----——――—―.

A.°Ax祗t。AX

2.函數(shù)的導函數(shù)

稱函數(shù)/(%)=lim小+&)一/⑴為段)的導函數(shù).

(二)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則

1.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

原函數(shù)導函數(shù)

y(x)=c(c為常數(shù))F(x)=o

於)=/(〃WQ*)/(工)=〃爐一|

fix)=sinxf(x)=cosx

fix)=cosXf(x)=-sinx

f(x)=av\na

fix)=ef(x)=ex

fix)=\ogaX/(“)-xlna

『(x)=：

7(x)=lnx

2.導數(shù)的運算法則

(I)g)±g(x)]'=/(x)士g'(x)；

(2)L/(x>g(x)]'=f(x)g(x)+兀v)g，(x)；

|_g(X)Jg2(x)

(4)復合函數(shù)的導數(shù)

復合函數(shù)y='/(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=/(〃)，”=g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx'—yu'-ux',即y對x的導數(shù)等于y對u

的導數(shù)與〃對x的導數(shù)的乘積.

(三)函數(shù)y=/Q)在x=x0處的導數(shù)幾何意義

函數(shù)凡r)在點xo處的導數(shù)/(月)的幾何意義是在曲線y=/(x)上點(xo,人檢))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移

函數(shù)s⑺對時間f的導數(shù)).相應(yīng)地，切線方程為y—y(沏)=/(xo)(x—xo).

(四)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

在(a,匕)內(nèi)可導函數(shù)/(x),/'(X)在(a,》)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.

尸(幻》0=/(%)在伍力)上為增函數(shù).

尸(為<0=/(x)在伍力)上為減函數(shù).

(五)函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其它點的函數(shù)值都小，P(a)=O,而且在點x=a附近

的左側(cè)f(x)<0,右側(cè)f(x)>0,則點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近的其他點的函數(shù)值都大，f(b)=O,而且在點x=b附

近的左側(cè)f(x)>0,右側(cè)f(x)<0,則點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

(六)函數(shù)的最值

(1)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)的函數(shù)f(x)在［a,b］上必有最大值與最小值.

(2)若函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在［a,b］上單

調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.

(七)技能技巧

1.構(gòu)造函數(shù)

(1)構(gòu)造函數(shù)猶x),當條件中含“+”時優(yōu)先考慮求x)；當條件中含“一”時優(yōu)先考慮

XX

(2)構(gòu)造函數(shù)與^：條件中含“燈。)一植x)”的形式；

構(gòu)造函數(shù)歡心)：條件中含“破產(chǎn)(心的形式.

⑶構(gòu)造函數(shù)：條件中含7Xx)-/(x)”的形式.

e

(4)構(gòu)造函數(shù)/工。：條件中含了(x)sinx-/(x)cosx”的形式.

sinx

2.極值點偏移問題

(1)對于函數(shù)y=y(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)只有一個極值點X0，方程貝%)=0的解為Xi，X2且“<》1。2<力，若些

初).則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間3,切上極值點偏移.

(2)極值點偏移問題的解法

①(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論xi+x2>2ro型，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/U)f2xo—x)；對結(jié)論的超>自型,

構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)—/田，通過研究小)的單調(diào)性獲得不等式.

②(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單

調(diào)性證明.

【真題精練】

1.(2021.全國?高考真題(理))設(shè)a=21nl.01,fe=lnl.02,c=VL04-l.則()

A.a<h<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<h

2.(2021?全國.高考真題(理))設(shè)4工0,若x=。為函數(shù)〃x)="x—“)2口一3的極大值點，則()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>cr

3.(2022北京?高考真題)已知函數(shù)/*)=|igx卜米-2,給出下列四個結(jié)論:

①若％=0,/*)恰有2個零點；

②存在負數(shù)左，使得Ax)恰有個1零點；

③存在負數(shù)及,使得/(x)恰有個3零點；

④存在正數(shù)%,使得/(x)恰有個3零點.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

4.(2021?全國?高考真題)已知函數(shù)/(幻=卜-1|,為<0,*2>0，函數(shù)，(x)的圖象在點和點

8卜2，/(々))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于例，N兩點，則黑^取值范圍是.

5.(2022全國,高考真題)已知函數(shù)/(x)=(x-l)靖-加+〃.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個條件中選一個，證明：/(x)只有一個零點

12

?—<a<—,h>2a；

22

6.(2021.全國?高考真題(理))設(shè)函數(shù)"x)=ln(a-x),已知％=0是函數(shù)y=4(x)的極值點.

(1)求4；

Y-I-f(X)

(2)設(shè)函數(shù)證明:g(x)<l.

xf(x)

【熱點精講】

熱點01導數(shù)的幾何意義與計算

【典例1】（2021.全國.高考真題）若過點（。力）可以作曲線y=e”的兩條切線，則（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ehD.0<b<ea

【典例2】（2021?全國?高考真題（理））曲線>=*在點（-L-3）處的切線方程為__________.

x+2

熱點02利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【典例3X多選題】（2021?全國高一課時練習）設(shè)函數(shù)兀v）在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論不一定正確的是（）

1

A.）=一，、；在R上為減函數(shù)B.在R上為增函數(shù)

1

c.產(chǎn)一TK在式上為增函數(shù)D.產(chǎn)-yu）在R上為減函數(shù)

-/（x）

【典例41（2020?四川省高三三模（理））定義在實數(shù)集R上的函數(shù)/（%）滿足/（x+1）=/（I-,且當％之1

時，“X）是增函數(shù)，則a=/（log32）,8=log^g）,。=/（3）的大小關(guān)系正確的是（）.

A.a>b>cB.h>c>aC.c>a>bD.h>a>c

【典例5】（2020?江蘇省睢寧縣高級中學高三月考）己知/（X）=<x?一_2'x"<0，若|/（X）|.."在

3x-2,x>0

xe[-1,1]上恒成立，則實數(shù)”的取值范圍是

【典例6】（2021?全國?高考真題（文））設(shè)函數(shù)31nx+1,其中a>0.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若y=/（x）的圖象與x軸沒有公共點，求a的取值范圍.

熱點03利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

【典例7】(2021?全國?高考真題)函數(shù)〃x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

【典例8】(2021?北京?高考真題)己知函數(shù)/(同=1三.

(1)若。=0,求曲線y=f(x)在點(I"⑴)處的切線方程;

(2)若/(x)在x=-l處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

熱點04導數(shù)與不等式的證明

【典例9】(2022.遼寧?二模)已知函數(shù)“好二工也工-3加^-尺加仁口).

⑴若直線N=x+〃與/(“)的圖像相切，且切點的橫坐標為1,求實數(shù)，"和b的值;

(2)若函數(shù)/(x)在(0,+oo)上存在兩個極值點引,三，且“＜當，證明：ln±+lnx2＞2.

【典例10](2021?全國?高考真題)已知函數(shù)〃x)=x(l-lnx).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)設(shè)“，匕為兩個不相等的正數(shù)，且。ln“_Hnb=a-b,證明：2＜』+：＜e.

ab

熱點05恒成立問題與有解問題

【典例11】(2022.江蘇?昆山柏廬高級中學高二期中)已知“力的定義域是(0,+8),尸(x)為f(x)的導函

數(shù)，且滿足〃x)＜r(x),則不等式6一"卜2+"＞產(chǎn)2〃2)的解集是()

A.(—2,1)B.2)U(h+°°)

C.(-1,2)D.(7O,-1)U(2,+OO)

【典例12】(2022.遼寧?二模)已知不等式alnV-L+lz針對任意xe(0,l)恒成立，則實數(shù)“的最小值為

熱點06零點問題

【典例13】(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=ae*-ln(x+l)+lna-l,若函數(shù)〃x)有且僅有兩個

零點，求〃的取值范圍.

【典例14】(2022?河南開封?三模(理))已知函數(shù)/(x)=e'-a(x+cosx),其中。>0,且滿足對Wxe[0,+?>)

時，f(x)..O恒成立.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)令g(x)=/(x)-W，判斷g(x)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，并說明理由.(參考數(shù)據(jù)：』=4.8)

專題1.2計數(shù)原理

【知識回顧】

一.分類加法計數(shù)原理

1.分類加法計數(shù)原理（加法原理）的概念

一般形式：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有班種不同的方法，在第2類方案中有m2種不

同的方法，……，在第n類方案中有叫，種不同的方法，那么完成這件事共有N=町+根2+……+根”種不同

的方法.

二.分步乘法計數(shù)原理

1.分步乘法計數(shù)原理（乘法原理）的概念

一般形式：完成一件事需要n個步驟，做第1步有町種不同的方法，做第2步有，々種不同的方法，....

做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=:4x"與x…x,%種不同的方法.

2.兩個原理的區(qū)別：

（1）“每類”間與“每步”間的關(guān)系不同：分類加法計數(shù)原理中的每一類方案中的任何一種方法、不同類之間

的任何一種方法都是相互獨立，互不依賴的，且是一次性的；而分步乘法計數(shù)原理中的每一步是相互依賴,

且是連續(xù)性的.

（2）“每類”與“每步”完成的效果不同：分類加法計數(shù)原理中所描述的每一種方法完成后，整個事件就完成

了，而分步乘法計數(shù)原理中每一步中的每一種方法得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事.

3.切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行，同時要優(yōu)先考慮題中的限制條件.

三.排列

1.排列的相關(guān)概念及排列數(shù)公式

（1）排列的定義：從“個不同元素中取出加（加《〃）個元素，按照一定的順序排成一列,叫做從〃個不同

元素中取出m個元素的一個排列.

（2）排列數(shù)的定義：從〃個不同元素中取出〃？（加個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從〃個不同元素

中取出加個元素的排列數(shù)，用表示.

⑶排列數(shù)公式：4”=〃（〃一1）（〃一2）-?（〃一〃?+1）這里”,加€"￡并且加<“

（4）全排列：〃個不同元素全部取出的一個排列，叫做〃個元素的一個全排列，

—1）（〃—2）…21=〃?。ń凶鰊的階乘）.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為A"=-~~—,這里規(guī)定

yn-my.

0!=L

四.組合

組合的相關(guān)概念及組合數(shù)公式

（1）組合的定義：從“個不同元素中取出加（，九<〃）個元素合成一組，叫做從"個不同元素中取出，"個元

素的一個組合.

(2)組合數(shù)的定義：從〃個不同元素中取出m(加〈〃)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從〃個不同元

素中取出加個元素的組合數(shù)，用C；”表示

(3)組合數(shù)的計算公式：C：="=二1)(〃二2)…(“二"+1)=J，由于0!=1,所以C,,0=1.

A：m!m\yn-m)\

(4)組合數(shù)的性質(zhì):①=②c〃+「=c［+c;i；③=

五.二項式定理

i.二項式定理

nrr

(a+b)"=CW+C'na-'h+…+C；,a"-b+…+C'b"(neN"),這個公式所表示的定理叫做二項式定理,

右邊的多項式叫做(a+8)”的二項展開式，其中的系數(shù)C；(尸=0,1,2,3,???,〃)叫做二項式系數(shù).式中的

nr

叫做二項展開式的通項，用(句表示，即展開式的第r+1項；Tr+l=C：,a-b'.

2.二.項展開式形式上的特點

⑴項數(shù)為〃+1.

(2)各項的次數(shù)都等于二項式的基指數(shù)〃，即“與。的指數(shù)的和為〃.

(3)字母a按降暴排列，從第一項開始，次數(shù)由〃逐項減1直到零；字母。按升基排列，從第一項起，次數(shù)

由零逐項增1直到〃.

(4)二項式的系數(shù)從C,〉C；,一直到C7，C；

六.二項式系數(shù)的性質(zhì)

1.二項式系數(shù)的性質(zhì)

(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即c：：=c：,c：=c'T,…，c,：=

(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)C：,當r4速時，二項式系.數(shù)是遞增的；由對稱性知：當時,

二項式系數(shù)是遞減的.

當〃是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值.

/?+!〃-1

當〃是奇數(shù)時，中間兩項和相等，且同時取得最大值.

(3)各二項式系數(shù)的和

(a+。)”的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2",即C：；+C+…+C：+…+C：=2",二項展開式中，偶

數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C：+C：+C：+…=C：+C；+C：+…=2"T,

2.注意：(1).分清是第r+1項，而不是第，項.

（2）.在通項公式中，含有C：、a、b、〃、r這六個參數(shù)，只有。、b、〃、r是獨

立的，在未知“、r的情況下，用通項公式解題，一般都需要首先將通式轉(zhuǎn)化為方程（組）求出〃、r,然后

代入通項公式求解.

（3）..求二項展開式中的一些特殊項，如系數(shù)最大項，常數(shù)項等，通常都是先利用通項公式由題意列方程，

求出r,再求所需的某項；有時則需先求〃，計算時要注意〃和/■的取值范圍以及它們之間的大小關(guān)系.

（4）在7；+1=C:屋一7/中，C：就是該項的二項式系數(shù)，它與。的值無關(guān)：而項的系數(shù)是指化簡后

字母外的.數(shù).

七.二項式定理的應(yīng)用

二項式的應(yīng)用

（1）求某些多項式系數(shù)的和；

（2）證明一些簡單的組合恒等式；

（3）證明整除性，①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項式的整除問題;

（4）近似計算.當兇充分小時，我們常用下列公式估計近似值：

〃("1)丫2

①(1+x)"=1+m；②(l+x)“al+，ix+人?

2

（5）證明不等.式.

【真題精練】

1.（2021?江蘇?高考真題）已知（1一2“）’的展開式中/的系數(shù)為40,則"等于（）

A.5B.6C.7D.8

2.（2021?全國?高考真題（文））將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（)

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（)

A.60種B.120種C.240種D.480種

4.（2021?全國?高考真題（理））將4個1和2個。隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A.-B.-C.|D.-

3535

5.（2022?上海?高考真題）已知有1、2、3、4四個數(shù)字組成無重復數(shù)字，則比2134大的四位數(shù)的個數(shù)為

6.（2021?浙江?高考真題）已知多項式（X—1）3+（X+1）'=X4+4聲3+%廠+“3》+”4，則“I=,

%+%+/=.

【熱點精講】

熱點01兩個計數(shù)原理及應(yīng)用

【典例1]（2021?江蘇?高考真題）下圖是某項工程的網(wǎng)絡(luò)圖（單位:天），則從開始節(jié)點①到終止節(jié)點⑧的路徑

共有（）

D.7條

【典例2］現(xiàn)有5種不同顏色的染料,要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不

能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是（）

A.120B.140

C.240D.260

熱點02排列問題與組合問題

【典例3】（2020?海南.高考真題）要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個

村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

【典例4】（2020?山東?高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔任5門不

同學科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（）

A.12B.120C.1440D.17280

【典例5】從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有—

種.（用數(shù)字填寫答案）

【典例6】（2022.浙江.高二期中）有7個人排隊，第一排3人，第二排4人（只考慮左右相鄰，不考慮其他

相鄰情況）.

（1）甲乙丙三人相鄰有多少種排法？

（2）甲乙不相鄰有多少種排法？

熱點03求二項展開式的特定項

【典例7】（2021.湖南.高考真題）卜+gJ的展開式中常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）

【典例8】（2019?浙江?高考真題）在二項式（血+外9的展開式中，常數(shù)項是；系數(shù)為有理數(shù)的項的

個數(shù)是.

熱點04形如（a+b）m（c+d）n（m,neN*）的展開式問題

【典例9】（2019?全國?高考真題（理））（1+2X2）（1+x）4的展開式中/的系數(shù)為（）

A.12B.16C.20D.24

【典例10]（2020.全國?高考真題（理））（x+《）（x+），）5的展開式中港的系數(shù)為（）

X

A.5B.10

C.15D.20

熱點05二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和

【典例11】（2020.北京.高考真題）在（五-的展開式中，產(chǎn)的系數(shù)為（）.

A.-5B.5C.-10D.10

【典例121【多選題】（2022?山東?青島大學附屬中學高二期中）若對任意實數(shù)x,有

（3x—2）=q）+4（x—1）+/（x—1）+…+%（x—1），則下列結(jié)論正確的是（）

9

A.a（）=-2B.a2=324

C.4+々+…+%=4'D.4+2a2+3a3+…+9cig—27x4s

【典例13】（2020.浙江?高考真題）設(shè)（1+24=4]+42工+。3/+442+%/+。6工'，則％=；

q+a2+a3=.

【典例14】（2022.上海.高考真題）在（v+gj的展開式中，含&項的系數(shù)為

熱點06二項式系數(shù)的最值問題

【典例15]若多項式（2x+3y）"展開式僅在第5項的二項式系數(shù)最大，則多項式（爐+土一展開式中爐

的系數(shù)為（）

A.-304B.304C.-208D.208

【典例16】（2022?河北?高三階段練習）若,2―J中丁的系數(shù)為一得，則“=.二項展開式

中系數(shù)最大的項為.

專題1.3隨機變量及其分布列

【知識回顧】

1.相互獨立事件

(1)概念：對任意兩個事件A與8,如果P(A8)=P(A)尸(3),則稱事件A與事件8相互獨立，簡稱為獨立.

(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，那么A與石，了與旦，不與萬也都相互獨立.

2.條件概率

(1)概念：一般地，設(shè)A,B為兩個隨機事件，且P(A)>0,我們稱P(8|A)=—翳為在事件A發(fā)生的條件

下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

(2)兩個公式

①利用古典概型，P(B|A)=3翳；

②概率的乘法公式：P(AB)=P(A)P(B\A).

3.全概率公式

一般地，設(shè)Ai，Ai,A”是一組兩兩互斥的事件，AiUA2U…UAa=Q,且P(A?>0,i=l,2,…，n,則

對任意的事件BUQ,有P(B)=2P(4)P(B|A,),

(=1

我們稱上面的公式為全概率公式.

4.離散型隨機變量

一般地，對于隨機試驗樣本空間Q中的每個樣本點”，都有唯一的實數(shù)機”)與之對應(yīng),我們稱X為隨機變

量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量.

5.離散型隨機變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為制，X2,…，X,”我們稱X取每一個值Xi的概率P(X=Xi)=O,i

=1,2,…，〃為X的概率分布列，簡稱分布列.

6.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：

①Pi20(i=l,2,…，")；②〃i+〃2~l-----

7.離散型隨機變量的均值與方差

若離散型隨機變量X的分布列為

XX1X1???Xi…

???…

PP】〃2Pi〃〃

(1)均值

稱E(X)=X]〃1+x2〃2+…+XM+…+x0/2〃=>KiDi為隨機變量X的均值或數(shù)學期望.它反映了離散型隨機變量

1=1

取值的平均水平.

(2)方差

稱。(X)=3-E(X))20+3-E(X))2p2+…+(即-E(X))2p"=2(xLE(3)2pj為隨機變量X的方差,并稱Mj5

尸1

為隨機變量X的標準差，記為“(X),它們都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度.

8.均值與方差的性質(zhì)

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2]D(aX+b)^a2D(X)(a,Z?為常數(shù)).

9.伯努利試驗與二項分布

(1)伯努利試驗

只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗:將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱

為〃重伯努利試驗.

(2)二項分布

一般地，在〃重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),

則X的分布列為

P(X=&)=C￡p*(l—〃)"f,々=0,1,2…，n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X?8(〃，〃).

(3)兩點分布與二項分布的均值、方差

①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)=g,D(X)^p(1~p).

②若X?8(”，p),則用%)=型，￡>(%)="〃(1一〃).

10.超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件(不放回)，用X表示抽取

的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

P(X=k)=k=m,m+1,/w+2,,,,,r,其中，n,MM&N,〃WN,/n=max{0,〃一N

LN

+M},r=min{小M],如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

11.正態(tài)分布

(1)定義

(.V-//)2

若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為40=F-e2,xCR,

cj27t

其中，〃GR,“>0為參數(shù),

則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,記為X-M//,4).

(2)正態(tài)曲線的特點

①曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對稱.

(2)曲線在x=“處達到峰值短歷.

(3)當網(wǎng)無限增大時，曲線無限接近x軸.

(3)3o■原則

①Pa-oWXW〃+cr)-0.6827；

②2@一20忘*W〃+2<7)*0.9545；

③P(/L3ZXW〃+3g0.9973.

(4)正態(tài)分布的均值與方差

若X?N@,M),則E(X)=w，。(％)=巨.

【真題精練】

1.(2021?全國?高考真題)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,4),下列結(jié)論中不正確的是()

A.。越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

2.(2021?全國?高考真題)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,

每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表

示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則()

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

3.(2019.浙江?高考真題)設(shè)則隨機變量X的分布列是：

X0a1

P工￡

333

則當〃在(0,1)內(nèi)增大時

A.￡>(X)增大B.D(X)減小

c.O(x)先增大后減小D.Q(x)先減小后增大

4.(2020.海南?高考真題)信息燧是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X所有可能的取值為1,2,…,”，且

P(X=i)=p；>0(i=l,2,…,n),￡p,=l,定義丫的信息端“￡)=工4陶九()

1=11=1

A.若〃=1,則H(X)=0

B.若〃=2,則H（X）隨著化的增大而增大

C.若p,=』（i=l,2,…,〃），則H（X）隨著〃的增大而增大

n

D.若〃=2“隨機變量y所有可能的取值為12…㈤，且P（y=/）=%+%"_,（/=1,2,…,M,則”（x）w“（y）

5.（2021.全國?高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題，每位參加比賽的同學先在

兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束：若回答正確則從另一

類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束4類問題中的每個問題回答正確

得20分，否則得0分；8類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得。分，已知小明能正確回答A類問

題的概率為0.8,能正確回答8類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

6.（2021?全國?高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，

經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有

相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P（X=i）=p,（i=0,l,2,3）.

（1）己知外=0.4,A=0.3,=0.2,「3=0.1,求E（X）；

（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：外+川+22-+03*3=%的

一個最小正實根，求證：當E（X）41時，p=\,當E（X）>1時，p<\.

（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義.

【熱點精講】

熱點01條件概率

【典例1】（2022.山東.青島大學附屬中學高二期中）設(shè)A,B是兩個事件，且P（A）>0,P⑻>0,則下列

結(jié)論一定成立的是（）

A.P（B|A）=P（3）B.P（B|A）=P（A|5）

C.P（AB）=P（B）P（B\A）D.

【典例2】（2022?吉林?長春市第八中學高二階段練習）從1,2,3,4,5,6,7中任取2個不同的數(shù)，事件

A：“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件&“取到的2個數(shù)之和為3的倍數(shù)”，則尸（B|A）等于（）

7241

A.-B?；C.-D.-

9393

熱點02全概率公式的應(yīng)用

【典例3】某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%,20%,30%和

35%,且四條流水線的產(chǎn)品不合格率分別為0.05,0.04,0.03和0.02,現(xiàn)從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，問抽

到不合格品的概率是多少？

熱點03分布列及其性質(zhì)

【典例4】離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P（X=ri）=菊云（力=1,2,3,4）,其中a是常數(shù)，則,<也|）

的值為（）

A-3BiC-5D-6

【典例5]（2021?湖南?高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設(shè)一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個,

蛋黃粽2個，豆沙粽3個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個.

（1）用4表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求4的分布列；

（2）求選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.

熱點04離散型隨機變量的數(shù)字特征

【典例6】【多選題】（2022?吉林?長春市第八中學高二階段練習）已知”展開式的二項式系數(shù)和為64,

離散型隨機變量乂~3（”,）（0<2<1）,則下列命題中正確的有（）

A.〃=4

B.當。=g時，O（X）取得最大值

1io

C.當P=§時，P（X=llX<2）=-

D.E（X2）+Z）（_2X）_E0OX；E（X））的最小值為0

【典例7】（2022?浙江?高二期中）已知x,y,zeN*,且x+y+z=8,記隨機變量X為x,y,z中的最小值，

則O（X）=.

熱點05二項分布

【典例8】（2022.黑龍江.雙鴨山一中高二期中）下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木塊上釘著若干排互相

平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，將小球從頂

端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格

子從左到右分別編號為1,2,3,……，6,用X表示小球落入格子的號碼，則（）

A.P（X=1）=P（X=6）=*B.E（X）=|

35

C.o（x）=]D.o（x）=]

【典例9】（2019?天津?高考真題（理））設(shè)甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為，.假

定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.

（I）用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；

（H）設(shè)M為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)

恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

熱點06超幾何分布

【典例10】（2021?寧夏?青銅峽市高級中學高三月考（理））為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的

方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素X,V的含量（單位：毫克）.

下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：

編號12345

X169178166175180

y7580777081

（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；

（2）當產(chǎn)品中的微量元素X,曠滿足XN175且yN75時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)

的優(yōu)等品的數(shù)量；

（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)J的分布列.

熱點07正態(tài)分布

【典例11］（2022?山東?青島大學附屬中學高二期中）已知正態(tài)分布N。。?）的正態(tài)密度曲線如圖所示,

則下列選項中，不能表示圖中陰影部分面積的是（）

B-g”(X*2)

C.^-P(1<X<2)D.；P(X42)-gp(X40)

【典例12】（2022.山東?青島大學附屬中學高二期中）某單位準備通過考試（按照高分優(yōu)先錄取的原則）錄

用300名職員，其中275個高薪職位和25個普薪職位.實際報名人數(shù)為2000名，考試滿分為400分.本次招

聘考試的命題和組考非?？茖W，是一次成功的考試，考試成績服從正態(tài)分布.考試后考生成績的部分統(tǒng)計結(jié)

果如下：考試平均成績是180分，360分及其以上的高分考生30名.

（1）求最低錄取分數(shù)（結(jié)果保留為整數(shù)）；

（2）考生甲的成績?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？請說明理由.

附：①當時，令丫=與幺，則y~N（0,l）.

②當y~N（0,l）時，42.17）*0.985,P（r<1.28）^0.900,P（y<1.09）?0.863,P（r<1.04）?0.85

熱點08綜合考題

【典例13】（2022.江蘇.蘇州中學高二期中）將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，

小球自由下落，在下落的過程中，小球?qū)⒂龅胶谏系K物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇

到障礙物時，向左、右兩邊下落的概率分別是7:，g1.設(shè)小球向左的次數(shù)為隨機變量X.

(I)求隨機變量X的概率分布列；

(2)分別求出小球落入A袋和8袋中的概率.

【典例14】(2020?江蘇?高考真題)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從甲、

乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復”次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為X〃，恰有2個

黑球的概率為pn,恰有1個黑球的概率為qn.

(1)求p/,4/和P2,42；

(2)求2P與2p”-/+q〃-/的遞推關(guān)系式和X”的數(shù)學期望E(X〃)(用"表示).

【典例15](2022.山東?青島大學附屬中學高二期中)某商場擬在周年店慶進行促銷活動，對一次性消費超

過200元的顧客，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,

若向上點數(shù)不超過4點，獲得1分，否則獲得2分，進行若干輪游戲，若累計得分為9分，則游戲結(jié)束，

可得到200元禮券，若累計得分為10分，則游戲結(jié)束，可得到紀念品一份，最多進行9輪游戲.

(1)當進行完3輪游戲時，總分為X,求X的分布列和數(shù)學期望；

⑵若累計得分為i的概率為口(i=12…,9),初始分數(shù)為0分，記為=1

(i)證明：數(shù)列加-P“}(i=12…⑼是等比數(shù)列;

(ii)求活動參與者得到紀念品的概率.

專題1.4成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

【知識回顧】

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系：兩個變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱

為相關(guān)關(guān)系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負相關(guān).

(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在一條直線附近,我們稱這

兩個變量線性相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

n____

Z（X,—X）（y,—>■）

i=l

(2)當/>0時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當,y。時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān).

(3)|r|Wl；當|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當卜|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相

關(guān)程度越弱.

3.一元線性回歸模型

(1)我們將稱為y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程,

E（左-x）8-y）

A/=1

其中{加.-工）2

/=1

A____A____

、4=y-bx.

(2)殘差：觀測值減去預(yù)測值,稱為殘差.

4.列聯(lián)表與獨立性檢驗

(1)關(guān)于分類變量X和y的抽樣數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表:

Y

X合計

Y=OY=\

x=oaba+b

x=\cdc+d

合計o+cb+cln=a+b+c+d

n(ad-be?

(2)計算隨機變量/2=利用Z2的取值推斷分類變量x和