人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)學(xué)案：4 2 1 第二課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE1第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.2.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.通過(guò)推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，通過(guò)利用等差數(shù)列的相關(guān)公式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主梳理1.等差數(shù)列的圖象等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d，當(dāng)d＝0時(shí)，an是一個(gè)固定常數(shù)；當(dāng)d≠0時(shí)，an相應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)；點(diǎn)(n，an)分布在以d為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點(diǎn).2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，(3)d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n).3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1){an}是公差為d的等差數(shù)列，若正整數(shù)m，n，p，q滿(mǎn)足m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.①特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時(shí)，am＋an＝2ak.②對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列.(3)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則①{c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；②{can}(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；③{an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N*)是公差為2d的等差數(shù)列.(4)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為pd1＋qd2的等差數(shù)列.(5){an}的公差為d，則d>0?{an}為遞增數(shù)列；d<0?{an}為遞減數(shù)列；d＝0?{an}為常數(shù)列.自主檢驗(yàn)1.思考辨析，判斷正誤(1)等差數(shù)列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(×)〖提示〗反例：an＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不滿(mǎn)足a10＝a1＋a9.(2)若數(shù)列a1，a2，a3，a4，…是等差數(shù)列，則數(shù)列a1，a3，a5，…也是等差數(shù)列.(√)(3)若數(shù)列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差為d的等差數(shù)列，則a1，a2，a3，…也是等差數(shù)列.(×)〖提示〗反例：設(shè)兩數(shù)列為1，3，5，…，4，6，8，…，顯然1，4，3，6，5，8，…不是等差數(shù)列.(4)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.(√)2.在等差數(shù)列{an}中，a10＝18，a2＝2，則公差d＝()A.－1 B.2C.4 D.6〖答案〗B〖解析〗由題意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.3.已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0C.a3＋a99＝0 D.a51＝51〖答案〗C〖解析〗∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.4.在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，則a6＝________.〖答案〗－1〖解析〗由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.題型一an＝am＋(n－m)d的應(yīng)用〖例1〗在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式.解因?yàn)閍8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因?yàn)閍n＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*.思維升華靈活利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形，可以減少運(yùn)算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即變?yōu)閍n＝a1＋(n－1)d，可以減少記憶負(fù)擔(dān).〖訓(xùn)練1〗已知{bn}為等差數(shù)列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝________.〖答案〗8〖解析〗法一∵{bn}為等差數(shù)列，∴可設(shè)其公差為d，則d＝eq\f(b10－b3,10－3)＝eq\f(12－（－2）,7)＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.法二由eq\f(b8－b3,8－3)＝eq\f(b10－b3,10－3)＝d，得b8＝eq\f(b10－b3,10－3)·5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.題型二等差數(shù)列的性質(zhì)〖例2〗(1)已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a6＝8，則5a4＋a7＝()A.32 B.27C.24 D.16(2)若關(guān)于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四個(gè)根可組成首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|的值是________.〖答案〗(1)C(2)eq\f(1,2)〖解析〗(1)法一設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，則a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.法二在等差數(shù)列中，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5.∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.(2)設(shè)a，b為方程x2－2x＋m＝0的兩根，則a＋b＝2，c，d為方程x2－2x＋n＝0的兩根，則c＋d＝2，而四個(gè)根可組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，現(xiàn)假定a＝eq\f(1,4)，則b＝2－eq\f(1,4)＝eq\f(7,4).根據(jù)等差數(shù)列的四項(xiàng)中，第一項(xiàng)與第四項(xiàng)的和等于第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的和，∴這個(gè)等差數(shù)列的順序?yàn)閑q\f(1,4)，c，d，eq\f(7,4).則c＝eq\f(3,4)，d＝eq\f(5,4)，∴m＝ab＝eq\f(7,16)，∴n＝cd＝eq\f(15,16).∴|m－n|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)－\f(15,16)))＝eq\f(1,2).〖遷移1〗(變條件，變結(jié)論)本例(1)中條件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15.解法一因?yàn)閍5，a10，a15成等差數(shù)列，所以a5＋a15＝2a10.所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32.法二因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝eq\f(12,5).所以a15＝a10＋5d＝20＋5×eq\f(12,5)＝32.〖遷移2〗(變條件，變結(jié)論)本例(1)中條件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8.解法一∵在等差數(shù)列{an}中a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450.解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.法二設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.根據(jù)an＝a1＋(n－1)d，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450.∴a1＋4d＝90.而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180.思維升華等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用技巧已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)和，求其余幾項(xiàng)和或者求其中某項(xiàng)，對(duì)于這樣的問(wèn)題，在解題過(guò)程中通常就要注意考慮利用等差數(shù)列的下列性質(zhì)：(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng).(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.〖訓(xùn)練2〗(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________.(2)已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9＝________.〖答案〗(1)20(2)27〖解析〗(1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.(2)法一由性質(zhì)可知，數(shù)列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差數(shù)列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，則a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.法二設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.題型三等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用〖例3〗中國(guó)歷法推測(cè)遵循以算為主、以測(cè)為輔的原則.例如《周髀算經(jīng)》和《易經(jīng)》里對(duì)二十四節(jié)氣的晷影長(zhǎng)的記錄中，冬至和夏至的晷影長(zhǎng)是實(shí)測(cè)得到的，其他節(jié)氣的晷影長(zhǎng)則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的.下表為《周髀算經(jīng)》對(duì)二十四節(jié)氣晷影長(zhǎng)的記錄，其中115.1eq\f(4,6)寸表示115寸1eq\f(4,6)分(1寸＝10分).節(jié)氣冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)驚蟄(寒露)春分(秋分)晷影長(zhǎng)/寸135.0125.eq\f(5,6)115.1eq\f(4,6)105.2eq\f(3,6)95.3eq\f(2,6)85.4eq\f(1,6)75.5節(jié)氣清明(白露)谷雨(處暑)立夏(立秋)小滿(mǎn)(大暑)芒種(小暑)夏至晷影長(zhǎng)/寸65.5eq\f(5,6)55.6eq\f(4,6)45.7eq\f(3,6)35.8eq\f(2,6)25.9eq\f(1,6)16.0已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為130.0寸，夏至晷影長(zhǎng)為14.8寸，那么《易經(jīng)》中小寒與清明之間的晷影長(zhǎng)之差為()A.105.6寸 B.48寸C.57.6寸 D.67.2寸〖答案〗C〖解析〗設(shè)晷影長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d，則a1＝130.0，a13＝14.8，d＝eq\f(a13－a1,13－1)＝－9.6，故小寒與清明之間的晷影長(zhǎng)之差即為a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57.6.思維升華解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟及注意點(diǎn)(1)解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟：①審題，即仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意；②建模，即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題；③判型，即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列；④求解，即求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解；⑤還原，即將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中.(2)在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要弄清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問(wèn)題.〖訓(xùn)練3〗假設(shè)某市2020年新建住房400萬(wàn)平方米，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米.那么該市在________年新建住房的面積開(kāi)始大于820萬(wàn)平方米.〖答案〗2029〖解析〗設(shè)n年后該市新建住房的面積為an萬(wàn)平方米.由題意，得{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>