高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考02（新高考專用）-2023-2024學(xué)年高中下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷含答案解析

2024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考02（新高考專用）數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知全集，集合，，則（

）A．或 B．或C．或 D．或2．已知，復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，則a＝（

）A． B． C． D．23．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（

）A．2 B． C． D．4．調(diào)和信號是指頻率恒定的一種信號，三角函數(shù)性質(zhì)可以表達調(diào)和信號的周期性，指數(shù)函數(shù)可用來描述信號的衰減.已知一個調(diào)和信號的函數(shù)為，它的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)滿足對任意的，均有，且在上單調(diào)，則的最大值為（

）A． B． C． D．6．已知向量.若存在，使得，則（

）A．0 B． C． D．7．已知關(guān)于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點作直線與的漸近線在第一象限內(nèi)交于點，記點關(guān)于軸的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知平面向量，，，，，，且，則（

）A．與的夾角為B．的最大值為5C．的最小值為2D．若，則的取值范圍10．下列關(guān)于隨機變量的說法正確的是（

）A．若服從正態(tài)分布，則B．已知隨機變量服從二項分布，且，隨機變量服從正態(tài)分布，若，則C．若服從超幾何分布，則期望D．若服從二項分布，則方差11．在棱長為2的正方體中，，點M為棱上一動點（可與端點重合），則（

）A．當(dāng)點M與點A重合時，四點共面且B．當(dāng)點M與點B重合時，C．當(dāng)點M為棱的中點時，平面D．直線與平面所成角的正弦值存在最小值12．定義在上的函數(shù)同時滿足：①，；②，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．為偶函數(shù)C．存在，使得D．任意，有第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若展開式中的系數(shù)為，則.14．已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示．將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則的值為．15．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交拋物線于點，則下列判斷正確的序號是.①若過點，則的準(zhǔn)線方程為

②若過點，則③若，則點的坐標(biāo)為

④若，則.16．如圖，正方體的棱長為，點是平面內(nèi)的動點，，分別為的中點，若直線與直線所成的角為，且，則動點的軌跡所圍成的圖形的面積為．

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．18．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若為的中點，且．(1)求；(2)若，，求的面積．19．（12分）三棱柱中，別為中點，且.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）中國新能源汽車企業(yè)在10余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，使我國一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強國.某新能源汽車配件企業(yè)積極加大科研力度，生產(chǎn)效益逐步攀升.該企業(yè)在今年1月份至5月份的生產(chǎn)利潤（單位：億元）關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如下表所示：月份12345生產(chǎn)利潤（億元）268910(1)試求y與x之間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則認(rèn)為兩個變量具有較強的線性相關(guān)性）(2)為擴大生產(chǎn)，該企業(yè)在M大學(xué)啟動了校園招聘，分別招聘A、B兩個工程師崗位，兩個崗位都各設(shè)有3門筆試科目.M大學(xué)的碩士畢業(yè)生張無忌決定參加這次應(yīng)聘，且每門科目考試是否通過相互獨立.若張無忌報考A崗位，每門筆試科目通過的概率依次為，，，其中；若張無忌報考B崗位，每門筆試科目通過的概率均為.且張無忌只能報考A，B兩個崗位中的一個.若以筆試中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，得出張無忌更有希望通過A崗位的筆試，試求的取值范圍.附：參考數(shù)據(jù)：，，.相關(guān)系數(shù).21．（12分）已知橢圓，直線過的左頂點與上頂點，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點，，（異于點）是橢圓上不同的兩點，且，過作的垂線，垂足為，證明點在定圓上，并求出定圓的方程．22．（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程；(2)若函數(shù)有2個零點，求的取值范圍.2024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考02（新高考專用）數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知全集，集合，，則（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)題意，先解不等式求集合，再利用集合的交集運算求，進而利用集合的補集運算可求.【詳解】因為，，所以，所以或.故選：A.2．已知，復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，則a＝（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，因為復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，所以，解得.故選：B．3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：C.4．調(diào)和信號是指頻率恒定的一種信號，三角函數(shù)性質(zhì)可以表達調(diào)和信號的周期性，指數(shù)函數(shù)可用來描述信號的衰減.已知一個調(diào)和信號的函數(shù)為，它的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)和奇偶性判斷.【詳解】解：令，則，，解得，則在內(nèi)有兩個零點，故排除選項A，D，又不具有奇偶性，則圖象既不關(guān)于原點對稱，也不關(guān)于y軸對稱，故排除選項C，故選：B5．已知函數(shù)滿足對任意的，均有，且在上單調(diào)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)得出的關(guān)系式，再根據(jù)單調(diào)性確定的范圍，最后求出最大值即可.【詳解】由于對任意的，均有，所以在處取得最小值，點是圖象的一個對稱中心，所以，兩式相減得，即．因為在上單調(diào)，所以，即，，因此當(dāng)時，取得最大值．故選:C.6．已知向量.若存在，使得，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的模長運算可得，即可根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合三角恒等變換得，進而可求解；或者利用向量數(shù)量積的性質(zhì)判斷同向共線，即可得求解.【詳解】方法一：由得,即，所以，則.又，，所以，即.方法二：由得，所以向量同向共線，所以.又，所以.故選：B.7．已知關(guān)于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】第一步：將不等式進行合理變形，關(guān)于x的不等式恰有一個整數(shù)解．第二步：構(gòu)造函數(shù)，研究新函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象求解；【詳解】設(shè)，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．當(dāng)時，，當(dāng)x趨近于時，趨近于0，，直線過點，在同一坐標(biāo)系中作出直線和函數(shù)的圖象如圖所示．由圖象知，要使關(guān)于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則，解得，故選：D．8．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點作直線與的漸近線在第一象限內(nèi)交于點，記點關(guān)于軸的對稱點為點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】畫出圖形，由已知條件和幾何關(guān)系確定，進而確定點，又點在直線上，代入即可求出，最終算出離心率.【詳解】設(shè)，連接，與軸交于點，由對稱性可知，又，所以是正三角形，且.因為，所以，所以，所以，所以，又點在直線上，故，所以，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知平面向量，，，，，，且，則（

）A．與的夾角為B．的最大值為5C．的最小值為2D．若，則的取值范圍【答案】ACD【分析】利用平面向量的數(shù)量積公式求解選項，設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出向量，，建立直角坐標(biāo)系，將轉(zhuǎn)化為即可求其最大值；根據(jù)圖形可知點的軌跡，利用幾何性質(zhì)即可求出的最小值；設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題求解.【詳解】對于A，由于，，，則，則，由于向量夾角范圍為大于等于小于等于，故與的夾角為，則A正確；對于B，設(shè)，，，則，，不妨設(shè)，,由于，即，故△為等腰三角形，則，故，因為，所以，則點C在以為弦，且使得的兩個優(yōu)弧上，如圖示：故C點所在優(yōu)弧所在的圓的直徑為，則其半徑為，設(shè)該圓的方程為，將坐標(biāo)代入，得，解得或，則兩優(yōu)弧所在圓的圓心為，，且兩個圓心關(guān)于直線對稱，設(shè)的中點為M，則，而到弦AB的距離為，故的最大值為，則的最大值為6，即的最大值為6，則B錯誤；對于C，即為，結(jié)合C點軌跡可知當(dāng)C在圓上的那條優(yōu)弧上運動時，會取到最小值，由于，故的最小值為，即的最小值為2，則C正確；對于D，結(jié)合以上分析可知，當(dāng)C在圓上的那條優(yōu)弧上時，圓的方程為，設(shè)，其中，則由可得，解得，即，所以，當(dāng)C在圓上的那條優(yōu)弧上時，圓的方程為，設(shè)，其中，則由可得，解得，即，所以，綜上所述，的取值范圍，則正確；故選：.10．下列關(guān)于隨機變量的說法正確的是（

）A．若服從正態(tài)分布，則B．已知隨機變量服從二項分布，且，隨機變量服從正態(tài)分布，若，則C．若服從超幾何分布，則期望D．若服從二項分布，則方差【答案】ACD【分析】A選項，先得到，進而根據(jù)方差的性質(zhì)得到答案；B選項，根據(jù)二項分布求出概率，得到方程，求出，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出概率；C選項，根據(jù)超幾何分布的期望公式求出答案；D選項，由二項分布方差公式求出D正確.【詳解】對A，由于，所以，根據(jù)方差的性質(zhì)，，故A正確；對B，服從二項分布，∴，解得，∴，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得，，故B錯誤；對C，服從超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的期望公式，，故C正確；對D，服從二項分布，根據(jù)二項分布方差公式得，，故D正確.故選：ACD.11．在棱長為2的正方體中，，點M為棱上一動點（可與端點重合），則（

）A．當(dāng)點M與點A重合時，四點共面且B．當(dāng)點M與點B重合時，C．當(dāng)點M為棱的中點時，平面D．直線與平面所成角的正弦值存在最小值【答案】BD【分析】根據(jù)題意，證得，得到四點共面，且四邊形為等腰梯形，求得梯形的面積，可判定A不正確；證得，設(shè)，在直角中，求得，可判定B正確；以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合，可判定C不正確；設(shè)，求得平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，由棱長為2的正方體中，，可得點為的中點，且點為的中點，可得，當(dāng)點和點重合時，可得，所以，所以四點共面，且四邊形為等腰梯形，又由，可得梯形的高為，所以四邊形的面積為，所以A不正確；對于B中，由點為的中點，且點為的中點，可得，當(dāng)點與點重合時，則異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，在直角中，，可得，可得，又由，所以，所以B正確；對于C中，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為正方體的棱長為，當(dāng)點為棱的中點時，可得，可得，則，所以與平面不垂直，所以C不正確；對于D中，由C中的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，可得，當(dāng)時，可得，即直線與平面所成角的正弦值存在最小值，所以D正確.故選：BD.12．定義在上的函數(shù)同時滿足：①，；②，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．為偶函數(shù)C．存在，使得D．任意，有【答案】ACD【分析】對于A：根據(jù)題意令分析運算即可；對于B：根據(jù)題意求，結(jié)合偶函數(shù)的定義分析判斷；對于C：利用累加法分析判斷；對于D：設(shè)，分析可知是以1為周期的周期函數(shù)，且，結(jié)合絕對值的性質(zhì)分析求解.【詳解】對于選項A：因為，令，則，即，又因為，，即，可知，即，解得，故A正確；對于選項B：由選項A可得令，則，即，可知，所以不為偶函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：因為，且，當(dāng)時，則，且符合上式，所以，，令，則，即存在，使得，故C正確；對于選項D：令，則，即，即是以1為周期的周期函數(shù)，因為當(dāng)，，則，結(jié)合周期性可知對任意，均有，所以，故D正確；故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若展開式中的系數(shù)為，則.【答案】【分析】由題意得，結(jié)合二項式展開式的通項公式建立方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，展開式的通項公式為，所以含的項的系數(shù)為，則，即，解得.故答案為：2.14．已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示．將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)圖象可知半個周期，求得，代入點的坐標(biāo)結(jié)合已知可求得，再利用圖象平移即可得出的解析式，進而求出.【詳解】由圖象可知的周期為，解得，代入可得，解得，又，所以，故，左移個單位長度得，故．故答案為：15．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交拋物線于點，則下列判斷正確的序號是.①若過點，則的準(zhǔn)線方程為

②若過點，則③若，則點的坐標(biāo)為④若，則.【答案】①②④【分析】對于①項，求出點的坐標(biāo)即可驗證；對于②項，聯(lián)立方程，由拋物線定義以及韋達定理表示出相應(yīng)的弦長即可；對于④，聯(lián)立方程，由韋達定理以及數(shù)量積的坐標(biāo)形式即可求出的值從而驗證；對于③項，由④中分析即可驗證；由此即可得解.【詳解】如下圖所示：

設(shè)，對于①項，若過點，則點的坐標(biāo)為，所以，

故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故①正確；對于②項，由①可得的方程為，與的方程聯(lián)立消去并整理得，則，，根據(jù)拋物線的定義，可得，，，所以，所以，故②項正確；如下圖所示：

對于④，將的方程與的方程聯(lián)立，得，所以，，設(shè)，則，所以，即，由得，即，所以，所以，故④正確對于③項，由④中分析可知，，所以焦點，故③錯誤.綜上所述：正確的序號是①②④.故答案為：①②④.16．如圖，正方體的棱長為，點是平面內(nèi)的動點，，分別為的中點，若直線與直線所成的角為，且，則動點的軌跡所圍成的圖形的面積為．

【答案】/【分析】第一步：作輔助線，找到直線BP與MN所成的角，第二步：求點P到的距離，得到點P的軌跡，即可得解.【詳解】如圖，連接，因為M，N分別為的中點，所以，（三角形中位線定理的應(yīng)用）因此直線BP與MN所成的角就是直線BP與所成的角，在正方體中，可得，因為平面，平面，可得，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為，且平面，所以平面，故．設(shè)與平面的交點為G，連接PG，所以，因此在中，，因為，所以，又三棱錐，所以，則，所以點P的軌跡是以G為圓心，為半徑的圓，其面積．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知條件求，根據(jù)已知的遞推關(guān)系得是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的知識求的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式并裂項，利用裂項相消法求和，可得答案.【詳解】（1）在中，令得．因為，所以．由，得3），將兩式作差并整理，得，所以數(shù)列是等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列的公差為，則．故．（2）由（1）知，設(shè)數(shù)列的前項和為，則．18．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若為的中點，且．(1)求；(2)若，，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）法一：應(yīng)用向量基本定理及數(shù)量積運算律得，結(jié)合已知和余弦定理列方程求余弦值；法二：由余弦定理及，結(jié)合已知求余弦值；（2）應(yīng)用正弦定理求，利用三角形內(nèi)角性質(zhì)及正弦和角公式求，最后由三角形面積公式求面積.【詳解】（1）法一：由為中點得，則，即，則，故，由余弦定理得，故，易知，所以．法二：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，則，即，故，又，所以，即，由余弦定理得．（2）由且，得，由正弦定理得，故，又，所以的面積為．19．（12分）三棱柱中，別為中點，且.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明詳見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接，由于四邊形是菱形，，所以三角形是等邊三角形，而是的中點，所以，由于，平面，所以平面，由于平面，所以，由于四邊形是菱形，，所以三角形是等邊三角形，所以.由此以為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以，由于平面，所以平面.（2），設(shè)直線與平面所成角為，則.20．（12分）中國新能源汽車企業(yè)在10余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，使我國一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強國.某新能源汽車配件企業(yè)積極加大科研力度，生產(chǎn)效益逐步攀升.該企業(yè)在今年1月份至5月份的生產(chǎn)利潤（單位：億元）關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如下表所示：月份12345生產(chǎn)利潤（億元）268910(1)試求y與x之間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則認(rèn)為兩個變量具有較強的線性相關(guān)性）(2)為擴大生產(chǎn)，該企業(yè)在M大學(xué)啟動了校園招聘，分別招聘A、B兩個工程師崗位，兩個崗位都各設(shè)有3門筆試科目.M大學(xué)的碩士畢業(yè)生張無忌決定參加這次應(yīng)聘，且每門科目考試是否通過相互獨立.若張無忌報考A崗位，每門筆試科目通過的概率依次為，，，其中；若張無忌報考B崗位，每門筆試科目通過的概率均為.且張無忌只能報考A，B兩個崗位中的一個.若以筆試中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，得出張無忌更有希望通過A崗位的筆試，試求的取值范圍.附：參考數(shù)據(jù)：，，.相關(guān)系數(shù).【答案】(1)，y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系(2)【分析】（1）計算相關(guān)系數(shù)r，再進行判斷即可；（2）分別計算通過A，B兩個崗位的科目數(shù)學(xué)期望，再比較大小判斷即可.【詳解】（1）由題意，，故y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系.（2）由題意，因為每門科目考試是否通過相互獨立，故張無忌通過A崗位的3門筆試門數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，通過B崗位的3門筆試門數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，故若張無忌更有希望通過A崗位的筆試，則，又，解得.即的取值范圍21．（1