江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)試卷（副卷）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題提升題知識(shí)點(diǎn)分類

第1頁（共1頁）江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)試卷（副卷）2020-2022三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題提升題知識(shí)點(diǎn)分類一．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）1．（2020?無錫）小王畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，開店加工出售某食品．現(xiàn)小店每天的固定成本（房租、水電費(fèi)等）為200元，該食品的加工成本為每斤5元．若每天加工的原材料超過100斤，則每天需增加人工成本300元，該食品市場售價(jià)為每斤35元．若每天購買原材料不超過100斤，則進(jìn)貨價(jià)為每斤20元；若每天購買原材料超過100斤，則進(jìn)貨價(jià)為每斤15元．為加強(qiáng)小店的促銷力度，小王制定了如下促銷方案：當(dāng)某天購買原材料不超過100斤時(shí)，對超過60斤的部分實(shí)行八折優(yōu)惠銷售；當(dāng)某天購買原材料超過100斤時(shí)，對全部食品實(shí)行八折優(yōu)惠銷售．若加工過程中無損耗，且每天購買原材料加工的食品，當(dāng)天可以全部售完．設(shè)小店每天購買原材料x斤（60≤x≤180），每天的純利潤為W元．（純利潤＝銷售收入﹣成本）（1）寫出每天純利潤W與每天購買原材料x的函數(shù)表達(dá)式；（2）每天購買的原材料x在什么范圍內(nèi)，當(dāng)天的純利潤可以不低于460元？二．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）2．（2022?無錫）某水果店出售一種水果，每箱定價(jià)58元時(shí)，每周可賣出300箱．試銷發(fā)現(xiàn)：每箱水果每降價(jià)1元，每周可多賣出25箱；每漲價(jià)1元，每周將少賣出10箱．已知每箱水果的進(jìn)價(jià)為35元，每周每箱水果的平均損耗費(fèi)為3元．（1）若不進(jìn)行價(jià)格調(diào)整，這種水果的每周銷售利潤為多少元？（2）根據(jù)以上信息，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)如何定價(jià)才能使這種水果的每周銷售利潤最多？三．二次函數(shù)綜合題（共3小題）3．（2021?無錫）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)C（0，m）的直線與二次函數(shù)y＝x2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且BC＝2AC．（1）若A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，①求m的值；②點(diǎn)P在直線AB下方的二次函數(shù)圖象上，求△PAB面積的最大值；（2）當(dāng)m＝6時(shí)，直線AB與x軸交于點(diǎn)D，E為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E垂直于CD的直線交y軸于點(diǎn)F，將△COD在直線EF上方的部分沿EF向下折疊．設(shè)CE＝t，折疊后與△COD重疊部分的面積記為S，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式．4．（2020?無錫）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+1的圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A．（1）求a的值；（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C為直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△ABC面積最大？請求出此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）過點(diǎn)（0，﹣1）作直線l平行于x軸，在拋物線上任取一點(diǎn)D（A點(diǎn)除外），過點(diǎn)D向直線l作垂線，垂足為E點(diǎn)，若在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PDE始終為等腰三角形．請你猜測點(diǎn)P的坐標(biāo)，并給出證明過程．猜測：點(diǎn)P的坐標(biāo)為．證明：5．（2022?無錫）如圖，二次函數(shù)y＝的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B左側(cè)），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)E在對稱軸上．（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線AC與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D坐標(biāo)；（3）設(shè)E關(guān)于直線BD、CD的對稱點(diǎn)分別為F、G，求以GF為直徑的圓面積的最小值．四．四邊形綜合題（共2小題）6．（2021?無錫）如圖，矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，G在AD上，AG＝2cm，點(diǎn)P從點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s的速度沿GD運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以相同速度沿BC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)為E，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）①求tan∠EAD的值；②點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑長是．（請直接寫出答案）（2）t為何值時(shí)，△PDE為直角三角形？7．（2020?無錫）已知菱形ABCD中，BD＝cm，tan∠ADB＝，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s的速度沿A→B→C→D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）求菱形的周長；（2）當(dāng)t＝1時(shí)，求PQ的長；（3）若△APQ的面積為S，寫出S（cm2）與t（s）的函數(shù)表達(dá)式．五．切線的性質(zhì)（共1小題）8．（2020?無錫）如圖，PC是⊙O的切線，點(diǎn)C為切點(diǎn)．點(diǎn)A為⊙O上一點(diǎn)，AC＝OA＝2，∠APC＝60°．（1）求陰影部分的面積；（2）連接OP，求sin∠OPA的值．六．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共1小題）9．（2022?無錫）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖1，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱線段AC被點(diǎn)B黃金分割，點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)．AB與AC的比稱為黃金比，它們的比值為．請?jiān)趫D2中完成相應(yīng)的問題：已知，∠MON＝60°，點(diǎn)A在OM邊上，OA＝4．（1）請?jiān)贠N邊上用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)B，使得OB與OA的比為黃金比；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）△AOB的面積＝．七．作圖-軸對稱變換（共2小題）10．（2021?無錫）（1）如圖甲，6×6的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，AD是△ABC的高，E是AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成以下畫圖，畫圖過程用虛線表示：①畫出點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F；②在AB上畫點(diǎn)G，使DG＝DB．（2）如圖乙，已知直線l和直線l外一點(diǎn)P，請你用無刻度的直尺和圓規(guī)在直線l上找一點(diǎn)A，使PA所在直線與直線l的夾角為60°．（不寫作法，保留作圖痕跡）11．（2020?無錫）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，作△ABC的外接圓，通過測量，計(jì)算得到外接圓的周長約為（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）在圖2中，作出△ADE關(guān)于直線DE對稱的△FDE；（3）在（2）的條件下，若AD＝2BD＝4，EC＝2AE，∠A＝30°，則AF的長為（如需畫草圖，請使用圖3）．八．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共1小題）12．（2022?無錫）如圖1，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB'C'位置，設(shè)AC'交直線CD于點(diǎn)M．（1）當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在DC邊上時(shí)，求△AB'C'與矩形ABCD重疊部分的面積；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C、B'、C'恰好在一直線上時(shí)，求DM的長度．九．頻數(shù)（率）分布直方圖（共2小題）13．（2021?無錫）某校為了了解初三學(xué)生對安全知識(shí)的掌握情況，加強(qiáng)學(xué)生的安全防范和自我保護(hù)意識(shí)，對該校1000名初三學(xué)生開展安全知識(shí)競賽活動(dòng)．用簡單隨機(jī)抽樣的方法，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生統(tǒng)計(jì)答題成績，分別制成如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖：初三學(xué)生安全知識(shí)競賽成績頻數(shù)分布表成績（分）頻數(shù)頻率50≤x＜6030.0260≤x＜7012a70≤x＜80450.380≤x＜90b0.490≤x＜10030d（1）表格中，a＝，b＝；（2）請把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；（畫圖后標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）（3）規(guī)定成績80分以上（含80分）的同學(xué)成為“安全明星”，則該校初三學(xué)生成為“安全明星”的共有多少人？14．（2020?無錫）為了調(diào)查某市噪音污染情況，該市環(huán)保局抽樣調(diào)查了若干個(gè)噪聲測量點(diǎn)的噪聲聲級(jí)，并根據(jù)A、B、C、D、E、F六個(gè)級(jí)別，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）此次抽樣共調(diào)查了個(gè)噪音測量點(diǎn)；（2）請把這幅頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；（畫圖后請標(biāo)注相應(yīng)數(shù)據(jù)）（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，噪聲聲級(jí)C所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為°．一十．列表法與樹狀圖法（共1小題）15．（2021?無錫）學(xué)校開展學(xué)生會(huì)主席競選活動(dòng)，最后一輪是演講環(huán)節(jié)，抽簽方式如下：每位選手分別從標(biāo)有“A”、“B”內(nèi)容的簽中隨機(jī)抽取一個(gè)，就抽取的內(nèi)容進(jìn)行演講．現(xiàn)有小明、小亮和小麗三名選手，求出下列事件發(fā)生的概率．（請用“畫樹狀圖”或“列舉”等方法寫出分析過程）（1）三個(gè)選手抽中同一演講內(nèi)容；（2）三個(gè)選手有兩人抽中內(nèi)容“A”，一人抽中內(nèi)容“B”．

江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)試卷（副卷）2020-2022三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題提升題知識(shí)點(diǎn)分類參考答案與試題解析一．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）1．（2020?無錫）小王畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，開店加工出售某食品．現(xiàn)小店每天的固定成本（房租、水電費(fèi)等）為200元，該食品的加工成本為每斤5元．若每天加工的原材料超過100斤，則每天需增加人工成本300元，該食品市場售價(jià)為每斤35元．若每天購買原材料不超過100斤，則進(jìn)貨價(jià)為每斤20元；若每天購買原材料超過100斤，則進(jìn)貨價(jià)為每斤15元．為加強(qiáng)小店的促銷力度，小王制定了如下促銷方案：當(dāng)某天購買原材料不超過100斤時(shí)，對超過60斤的部分實(shí)行八折優(yōu)惠銷售；當(dāng)某天購買原材料超過100斤時(shí)，對全部食品實(shí)行八折優(yōu)惠銷售．若加工過程中無損耗，且每天購買原材料加工的食品，當(dāng)天可以全部售完．設(shè)小店每天購買原材料x斤（60≤x≤180），每天的純利潤為W元．（純利潤＝銷售收入﹣成本）（1）寫出每天純利潤W與每天購買原材料x的函數(shù)表達(dá)式；（2）每天購買的原材料x在什么范圍內(nèi)，當(dāng)天的純利潤可以不低于460元？【答案】（1）當(dāng)60≤x≤100時(shí)，W＝3x+220；當(dāng)100＜x≤180時(shí)，W＝8x﹣500；（2）80≤x≤100或120≤x≤180時(shí)，當(dāng)天的純利潤可以不低于460元．【解答】解：（1）當(dāng)60≤x≤100時(shí)，W＝35×0.8（x﹣60）+35×60﹣（20+5）x﹣200＝3x+220；當(dāng)100＜x≤180時(shí)，W＝35×0.8x﹣（15+5）x﹣300﹣200＝8x﹣500；（2）當(dāng)60≤x≤100時(shí)，3x+220≥460，即x≥80，∴80≤x≤100；當(dāng)100≤x≤180時(shí)，8x﹣500≥460，即x≥120，∴80≤x≤100或120≤x≤180時(shí)，當(dāng)天的純利潤可以不低于460元．二．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）2．（2022?無錫）某水果店出售一種水果，每箱定價(jià)58元時(shí)，每周可賣出300箱．試銷發(fā)現(xiàn)：每箱水果每降價(jià)1元，每周可多賣出25箱；每漲價(jià)1元，每周將少賣出10箱．已知每箱水果的進(jìn)價(jià)為35元，每周每箱水果的平均損耗費(fèi)為3元．（1）若不進(jìn)行價(jià)格調(diào)整，這種水果的每周銷售利潤為多少元？（2）根據(jù)以上信息，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)如何定價(jià)才能使這種水果的每周銷售利潤最多？【答案】（1）若不進(jìn)行價(jià)格調(diào)整，這種水果每周銷售利潤為6000元；（2）當(dāng)每箱水果定價(jià)為54元時(shí)，這種水果的每周銷售利潤最大為6400元．【解答】解：（1）∵58﹣35﹣3＝20，20×300＝6000（元），∴若不進(jìn)行價(jià)格調(diào)整，這種水果每周銷售利潤為6000元；（2）若每箱水果降價(jià)x元，這種水果的每周銷售利潤為y元，根據(jù)題意得：y＝（58﹣35﹣3﹣x）（300+25x）＝﹣25（x﹣4）2+6400，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)x＝4時(shí)，y的最大值為6400元；若每箱水果漲價(jià)x'元，這種水果的每周銷售利潤為y'元，根據(jù)題意得：y'＝（58﹣35﹣3+x'）（300﹣10x'）＝﹣10（x'﹣5）2+6250，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)x'＝5時(shí)，y'的最大值為6250元；綜上所述，當(dāng)每箱水果定價(jià)為54元時(shí)，這種水果的每周銷售利潤最大為6400元．三．二次函數(shù)綜合題（共3小題）3．（2021?無錫）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)C（0，m）的直線與二次函數(shù)y＝x2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且BC＝2AC．（1）若A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，①求m的值；②點(diǎn)P在直線AB下方的二次函數(shù)圖象上，求△PAB面積的最大值；（2）當(dāng)m＝6時(shí)，直線AB與x軸交于點(diǎn)D，E為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E垂直于CD的直線交y軸于點(diǎn)F，將△COD在直線EF上方的部分沿EF向下折疊．設(shè)CE＝t，折疊后與△COD重疊部分的面積記為S，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）①m＝2；②S△PAB的最大值為；（2）S＝．【解答】解：（1）①如圖1，過點(diǎn)A作AG⊥y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥y軸于點(diǎn)H，則AG∥BH，∴△ACG∽△BCH，∴＝，∵A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，∴AG＝1，∵BC＝2AC，∴＝，∴BH＝2，∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，∵A、B點(diǎn)均在拋物線y＝x2上，∴A（﹣1，1），B（2，4），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x+2，∵點(diǎn)C（0，m）在直線y＝x+2上，∴m＝2；②如圖2，設(shè)P（n，n2），過點(diǎn)P作PK∥y軸交AB于點(diǎn)K，則K（n，n+2），∴PK＝n+2﹣n2，∴S△PAB＝×（xB﹣xA）×PK＝×3（n+2﹣n2）＝（n﹣）2+，∵＜0，∴當(dāng)n＝時(shí)，S△PAB的最大值為；（2）設(shè)A（﹣a，a2），B（2a，4a2），且a＞0，∵m＝6，∴直線AB過點(diǎn)C（0，6），∴設(shè)直線AB的解析式為y＝k′x+6，則，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x+6，∴D（﹣2，0），在Rt△COD中，CD＝＝＝4，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，△CEF翻折后得到△C′EF，此時(shí)C′落在線段CD上，如圖3，∴折疊后與△COD重疊部分為△C′EF，∵△CEF≌△C′EF，∴S＝S△C′EF＝S△CEF，∵∠OCD＝∠ECF，∠COD＝∠CEF＝90°，∴△COD∽△CEF，∴＝，即＝，∴EF＝t，∴S＝S△CEF＝CE?EF＝t×t＝t2；當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖4，翻折后C′落在線段CD的延長線上，設(shè)C′F與x軸交于點(diǎn)G，則重疊部分為四邊形DEFG，∵tan∠CDO＝＝＝，∴∠CDO＝60°，∴∠DCO＝30°，∵EC＝EC′＝t，∠DGC′＝60°﹣30°＝30°＝∠EC′F，∴C′D＝DG＝2t﹣4，過點(diǎn)C′作C′H⊥x軸于點(diǎn)H，則C′H＝C′D?sin60°＝（2t﹣4）×＝t﹣6，∴S＝S△CEF﹣S△C′DG＝t2﹣×（2t﹣4）×（t﹣6）＝t2+12t﹣12；當(dāng)3＜t時(shí)，如圖5，設(shè)EF與x軸交于點(diǎn)T，則DE＝CD﹣CE＝4﹣t，∴ET＝DE?tan60°＝（4﹣t），∴S＝S△DET＝DE?ET＝×（4﹣t）×（4﹣t）＝t2﹣12t+24；綜上所述，S與t之間的函數(shù)表達(dá)式為S＝．4．（2020?無錫）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+1的圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A．（1）求a的值；（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C為直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△ABC面積最大？請求出此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）過點(diǎn)（0，﹣1）作直線l平行于x軸，在拋物線上任取一點(diǎn)D（A點(diǎn)除外），過點(diǎn)D向直線l作垂線，垂足為E點(diǎn)，若在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PDE始終為等腰三角形．請你猜測點(diǎn)P的坐標(biāo)，并給出證明過程．猜測：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）．證明：【答案】（1）a＝；（2）C（1，）；（3）P（2，1）證明見解析．【解答】解：（1）函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以△＝O，即（﹣4a）2﹣4a＝0，16a2﹣4a＝0，4a（4a﹣1）＝0，∴a1＝0，a2＝，當(dāng)a＝0時(shí)，y＝1不是二次函數(shù)（舍去），當(dāng)a＝時(shí)，y＝x2﹣x+1符合，∴a＝；（2）∵C在拋物線y＝x2﹣x+1上，∴設(shè)C（m，m2﹣m+1）（0＜m＜2），∴S△ABC＝S△AOB﹣S△BOC﹣S△AOC（由圖可知），令y＝0，x2﹣x+1＝0，∴x＝2，∴A（2，0），令x＝0，y＝1，∴B（0，1），∴S△AOB＝2×1×＝1．S△BOC＝1×m×＝m，S△AOC＝2×（m2﹣m+1）×＝m2﹣m+1，∴S△ABC＝S△AOB﹣S△BOC﹣S△AOC＝1﹣m﹣（m2﹣m+1）＝1﹣m﹣m2+m﹣1＝﹣m2+m＝﹣（m2﹣2m）＝﹣（m﹣1）2+∴當(dāng)m＝1時(shí)，S△ABC最大，y＝﹣1+1＝，此時(shí)C坐標(biāo)為（1，）；（3）猜測：點(diǎn)P坐標(biāo)（2，1），﹣＝2，∴拋物線對稱軸為直線x＝2，∴設(shè)點(diǎn)P（2，e），∵點(diǎn)D在拋物線y＝x2﹣x+1上，∴設(shè)D（g，g2﹣g+1）（g≠2），故E（g，﹣1），∴PD＝，DE＝，＝g2﹣g+2，PE＝，∵△PDE為等腰三角形，∴①PD＝DE時(shí)，即＝g2﹣g+2，兩邊平方得（g﹣2）2+（g2﹣g+1﹣e）2＝（g2﹣g+2）2，（g﹣2）2+（g2﹣g+1）2﹣2（g2﹣g+1）e+e2＝（g2﹣g+1）2+1+2（g2﹣g+1）（將g2﹣g+1看成一個(gè)整體），（﹣e）g2+（2e﹣2）g+（e2﹣2e+1）＝0，（﹣e）g2+（2e﹣2）g+（e﹣1）2＝0，當(dāng)e＝1時(shí)，無論g取何值時(shí)，該式均成立，此時(shí)P坐標(biāo)為（2，1），②PD＝PE時(shí)，即＝，兩邊平方得（g﹣2）2+（g2﹣g+1﹣e）2＝（g﹣2）2+（﹣1﹣e）2，∴（g2﹣g+1﹣e）2＝（1+e）2，（﹣1﹣e）2＝（1+e）2，∴（g2﹣g+1﹣e）2﹣（1+e）2＝0，（g2﹣g+1﹣e+1+e）（g2﹣g+1﹣e﹣1﹣e）＝0，∴（g2﹣g+2）（g2﹣g﹣2e）＝0，故無論e取什么值，都不能滿足，無論g取何值時(shí)，該式均成立，故此種情況舍去，③PE＝DE時(shí)，即＝g2﹣g+2，兩邊平方得，（g﹣2）2+（﹣1﹣e）2＝（g2﹣g+2）2，∴（1+e）2＝（g2﹣g+2）2﹣（g﹣2）＝（g2﹣g+2+g﹣2）（g2﹣g+2﹣g+2）＝g2（g2﹣2g+4），∴（1+e）2＝g2（g2﹣2g+4），故無論e取什么值，都不能滿足，無論g取何值時(shí)，該式均成立，故此種情況舍去，綜上所述，當(dāng)PD＝DE時(shí)滿足題意，此時(shí)P坐標(biāo)為（2，1）．5．（2022?無錫）如圖，二次函數(shù)y＝的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B左側(cè)），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)E在對稱軸上．（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線AC與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D坐標(biāo)；（3）設(shè)E關(guān)于直線BD、CD的對稱點(diǎn)分別為F、G，求以GF為直徑的圓面積的最小值．【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）D（5，8）；（3）以GF為直徑的圓面積最小為π．【解答】解：（1）在y＝中，令y＝0得：＝0，解得x＝1或x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（2）設(shè)直線AC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+t，把A（﹣3，0），C（（0，3）代入得：，解得∴直線AC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+3，聯(lián)立，解得或，∴D（5，8）；（3）設(shè)EF交BD于點(diǎn)P，拋物線y＝的對稱軸交x軸于點(diǎn)Q，直線AD交EQ于N，連接NG，EG，過D作DH⊥x軸于H，過F作FM⊥EQ于M，如圖：由y＝得拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，在y＝x+3中，令x＝﹣1得y＝2，∴N（﹣1，2），∵OA＝OC＝3，∴∠CAO＝45°＝∠ANQ＝END，∵E，G關(guān)于AD對稱，∴∠END＝∠GND＝45°，EN＝GN，∴∠ENG＝90°，△ENG是等腰直角三角形，設(shè)EM＝a，EQ＝b，則E（﹣1，b），∴EN＝b﹣2＝EG，∴G（b﹣3，2），∵E，F(xiàn)關(guān)于BD對稱，∴∠KPF＝90°，P為EF的中點(diǎn)，∴∠DBH＝∠PKF＝90°﹣∠PFK＝∠MEF，∵∠DHB＝90°＝∠EMF，∴△DBH∽△FEM，∴＝，∵B（1，0），D（5，8），∴BH＝4，DH＝8，∴＝＝，∴FM＝2EM＝2a，∴F（2a﹣1，b﹣a），∵P為EF的中點(diǎn)，∴P（a﹣1，b﹣），由B（1，0），D（5，8）可得直線BD解析式為y＝2x﹣2，把P（a﹣1，b﹣）代入y＝2x﹣2得：2（a﹣1）﹣2＝b﹣，∴a＝，∴F（，），∴FG2＝（b﹣3﹣）2+（2﹣）2＝b2﹣b+40＝（b﹣8）2+，∵＞0，∴FG2的最小值為，∴以GF為直徑的圓面積最小為π（）2＝FG2＝π，答：以GF為直徑的圓面積最小為π．四．四邊形綜合題（共2小題）6．（2021?無錫）如圖，矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，G在AD上，AG＝2cm，點(diǎn)P從點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s的速度沿GD運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以相同速度沿BC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)為E，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）①求tan∠EAD的值；②點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑長是．（請直接寫出答案）（2）t為何值時(shí)，△PDE為直角三角形？【答案】（1）；（2）；（3）1或3．【解答】解：（1）①∵BG∥PG，AE⊥PQ，∴AE⊥BG，在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°﹣∠BAE＝∠ABG，∴tan∠EAD＝tan∠ABG＝；②∵∠EAD＝∠ABG，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是線段，設(shè)AE與BG交于M，∵BG＝＝2（cm），∴AM＝＝（cm），∵GM∥DM'，∴，∴AM'＝，∴點(diǎn)E的路徑長為2AM'﹣2AM＝＝，故答案為：；（2）若△PDE為直角三角形，有兩種可能：①當(dāng)∠PED＝90°時(shí)，取GH＝BH＝xcm，則AH＝（4﹣x）cm，由勾股定理得，22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，∴cos∠AHG＝，∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠DPE＝∠AHG，∴cos∠DPE＝cos∠AHG，∴，解得t＝1，當(dāng)∠PDE＝90°時(shí)，如圖，同理可得，解得t＝3；∵∠EPD＜90°，綜上，當(dāng)t＝1或3時(shí)，△PDE為直角三角形．7．（2020?無錫）已知菱形ABCD中，BD＝cm，tan∠ADB＝，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s的速度沿A→B→C→D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）求菱形的周長；（2）當(dāng)t＝1時(shí)，求PQ的長；（3）若△APQ的面積為S，寫出S（cm2）與t（s）的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）40；（2）；（3）S＝．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB＝BD＝，AC⊥BD，∵tan∠ADB＝，∴OA＝?OD＝，∴AD＝＝＝10，∴菱形的周長為4AD＝40；（2）當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝1，AQ＝，過點(diǎn)B作BE⊥AD于E，過點(diǎn)Q作QF⊥AD于點(diǎn)F，∵S△ABD＝AD?BE＝BD?OA，∴BE＝＝，∵QF∥BE，∴△AQF∽△ABE，∴，∴，∴QF＝，∴AF＝＝，∴PF＝AF﹣AP＝，∴PQ＝＝＝；（3）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，點(diǎn)Q在AB上，由（2）知，，∴QF＝t，∴S△APQ＝AP?QF＝t＝；②當(dāng)＜t≤時(shí)，點(diǎn)Q在BC上，∵AD∥BC，∴QF＝BE＝，∴S△APQ＝AP?QF＝t?＝t．③當(dāng)＜t≤10，點(diǎn)Q在CD上，過點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QF⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)F，∴QF∥BM，∴∠FDQ＝∠MAB，∴sin∠FDQ＝sin∠MAB，∴，∴，∴QF＝30×﹣t＝10﹣t，∴S△APQ＝AP?QF＝＝﹣+5t．∴S＝．五．切線的性質(zhì)（共1小題）8．（2020?無錫）如圖，PC是⊙O的切線，點(diǎn)C為切點(diǎn)．點(diǎn)A為⊙O上一點(diǎn)，AC＝OA＝2，∠APC＝60°．（1）求陰影部分的面積；（2）連接OP，求sin∠OPA的值．【答案】（1）﹣π；（2）．【解答】解：（1）過O作OM⊥AC于M，∵PC是⊙O的切線，點(diǎn)C為切點(diǎn)，∴∠OCP＝90°，∵AC＝OA＝2，∠APC＝60°，∴△OCA是等邊三角形，∴∠OCA＝∠CAO＝60°，∴∠PCA＝90°﹣60°＝30°，OM＝OC×sin60°＝2×＝，∵∠APC＝60°，∴∠PAC＝180°﹣∠APC﹣∠PCA＝90°，∵AC＝OA＝2，∴PA＝AC×tan30°＝，∴陰影部分的面積S＝S△PAC+S△OAC﹣S扇形AOC＝×2+2×﹣＝﹣π；（2）過O作ON⊥AB于N，∵OC＝OA＝2，∠PAC＝90°，∠CAO＝60°，∴∠OAB＝30°，∴ON＝OA＝1，∴AN＝＝，∴PN＝PA+AN＝+＝，由勾股定理得：OP＝＝＝，∴sin∠OPA＝＝＝．六．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共1小題）9．（2022?無錫）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖1，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱線段AC被點(diǎn)B黃金分割，點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)．AB與AC的比稱為黃金比，它們的比值為．請?jiān)趫D2中完成相應(yīng)的問題：已知，∠MON＝60°，點(diǎn)A在OM邊上，OA＝4．（1）請?jiān)贠N邊上用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)B，使得OB與OA的比為黃金比；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）△AOB的面積＝．【答案】（1）見解答．（2）．【解答】解：（1）由題意得，，可得OB＝，先作線段OA的垂直線平分線，交線段OA于點(diǎn)C，再過點(diǎn)A作OA的垂線AD，以點(diǎn)A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交射線AD于點(diǎn)E，連接OE，可得AE＝2，則OE＝，然后以點(diǎn)E為圓心，AE的長為半徑畫弧，交線段OE于點(diǎn)F，最后以點(diǎn)O為圓心，OF的長為半徑畫弧，交射線ON于點(diǎn)B，此時(shí)OB＝．如圖2，點(diǎn)B即為所求．（2）過點(diǎn)A作AG⊥OB于點(diǎn)G，在Rt△AOG中，AG＝OA?sin60°＝4×＝，∴△AOB的面積為＝＝．故答案為：．七．作圖-軸對稱變換（共2小題）10．（2021?無錫）（1）如圖甲，6×6的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，AD是△ABC的高，E是AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成以下畫圖，畫圖過程用虛線表示：①畫出點(diǎn)E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F；②在AB上畫點(diǎn)G，使DG＝DB．（2）如圖乙，已知直線l和直線l外一點(diǎn)P，請你用無刻度的直尺和圓規(guī)在直線l上找一點(diǎn)A，使PA所在直線與直線l的夾角為60°．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】（1）作圖見解析部分；（2）作圖見解析部分．【解答】解：（1）①如圖甲中，點(diǎn)F即為所求；②如圖甲中，線段DG即為所求．（2）如圖乙中，直線PA即為所求．11．（2020?無錫）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，作△ABC的外接圓，通過測量，計(jì)算得到外接圓的周長約為9.4（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）在圖2中，作出△ADE關(guān)于直線DE對稱的△FDE；（3）在（2）的條件下，若AD＝2BD＝4，EC＝2AE，∠A＝30°，則AF的長為（如需畫草圖，請使用圖3）．【答案】（1）作圖見解析部分，周長約為9.4．（2）作圖見解析部分．（3）．【解答】解：（1）如圖，⊙O即為所求作．測量可知AB＝3，⊙O的周長＝3π≈9.4．故答案為：9.4．（2）如圖，△DEF即為所求作．（3）如圖，設(shè)DE交AF于點(diǎn)J．設(shè)AJ＝x．EJ＝y(tǒng)．過點(diǎn)E作EH⊥AD于H．∵AD＝2BD＝4，∴BD＝2，AB＝6，∵∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴AC＝AB?cos30°＝3，∵EC＝2AE，∴AE＝，∵EH⊥AD，∴EH＝，AH＝EH＝，∴DH＝AD﹣AH＝，∴DE＝＝＝，由勾股定理可得，，解得（不符合題意的已經(jīng)舍棄），∴AF＝2AJ＝．故答案為：．八．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共1小題）12．（2022?無錫）如圖1，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB'C'位置，設(shè)AC'交直線CD于點(diǎn)M．（1）當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在DC邊上時(shí)，求△AB'C'與矩形ABCD重疊部分的面積；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C、B'、C'恰好在一直線上時(shí)，求DM的長度．【答案】（1）△AB'C'與矩形ABCD重疊部分的面積是；（2）DM的長度為．【解答】解：（1）作C′H⊥DC于H，如圖：∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，∴AB'＝AB＝5，B'C'＝BC＝3，∴DB'＝＝＝4，∵∠C'B'H＝90°﹣∠DB'A＝∠DAB'，∠CHB'＝90°＝∠D，∴△C′HB′∽△B′DA，∴＝即＝，∴C'H＝，∴＝＝＝，∵S△AB'C'＝S△B'C'M+S△AB'M＝AB'?B'C'＝，∴S△AB'M＝S△AB'C'＝；∴△AB'C'與矩形ABCD重疊部分的面積是；（2）作CN⊥AC'，如圖：∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，∴AB'＝AB＝5，AC'＝AC＝＝，∠AB'C'＝∠B＝90°＝∠AB'C，B'C'＝BC＝3，∴CC'＝2B'C'＝6，∵2S△ACC'＝CC'?AB'＝AC'?CN，∴CN