2017-2018學年高一數學上冊課時達標檢測37

課時達標檢測（九）函數的單調性一、選擇題1．若函數f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數，在區(qū)間(b，c)上也是增函數，則函數f(x)在區(qū)間(a，b)∪(b，c)上()A．必是增函數 B．必是減函數C．是增函數或減函數 D．無法確定單調性解析：選D函數在區(qū)間(a，b)∪(b，c)上無法確定單調性．如y＝－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上是增函數，在(－∞，0)上也是增函數，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有單調性．2．設(a，b)，(c，d)都是f(x)的單調增區(qū)間，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，則f(x1)與f(x2)的大小關系為()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能確定解析：選D根據單調函數的定義，所取兩個自變量必須是同一單調區(qū)間內的任意兩個自變量，才能由該區(qū)間上函數的單調性來比較出函數值的大小，而本題中的x1，x2不在同一單調區(qū)間，故f(x1)與f(x2)的大小不能確定，選D.3．設f(x)＝(2a－1)x＋bA．a≥eq\f(1,2) B．a≤eq\f(1,2)C．a>－eq\f(1,2) D．a<eq\f(1,2)解析：選D∵f(x)在R上是減函數，故2a－1<0，即a<eq\f(1,2).4．下列四個函數在(－∞，0)上為增函數的是()①y＝|x|＋1；②y＝eq\f(|x|,x)；③y＝－eq\f(x2,|x|)；④y＝x＋eq\f(x,|x|).A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：選C①y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上為減函數；②y＝eq\f(|x|,x)＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函數，也不是減函數；③y＝－eq\f(x2,|x|)＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函數；④y＝x＋eq\f(x,|x|)＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函數．5．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x＞1))是R上的減函數，則實數a的取值范圍是()A．(0,3) B．(0,3]C．(0,2) D．(0,2]解析：選D依題意得實數a滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3＜0，,2a＞0，,a－3＋5≥2a，))解得0＜a≤2.二、填空題6．函數f(x)＝|x－1|＋2的單調遞增區(qū)間為________．解析：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥1，,3－x，x<1，))顯然函數f(x)在x≥1時單調遞增．答案：[1，＋∞)7．如果二次函數f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是增函數，則實數a的取值范圍為________．解析：∵函數f(x)＝x2－(a－1)x＋5的對稱軸為x＝eq\f(a－1,2)且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是增函數，∴eq\f(a－1,2)≤eq\f(1,2)，即a≤2.答案：(－∞，2]8．函數f(x)是定義域上的單調遞減函數，且過點(－3，2)和(1，－2)，則使|f(x)|<2的自變量x的取值范圍是________．解析：∵f(x)是定義域上的減函數，f(－3)＝2，f(1)＝－2，∴當x>－3時，f(x)<2，當x<1時，f(x)>－2，則當－3<x<1時，|f(x)|<2.答案：(－3,1)三、解答題9．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3－3a，x<0，,－x2＋a，x≥0))滿足對任意的x1，x2∈R，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，求a的取值范圍．解：由對任意的x1，x2∈R，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0知函數f(x)在R上為減函數．當x<0時，函數f(x)＝－x＋3－3a為一次函數，且為減函數，則此時f(x)>f(0)＝3－3a；當x≥0時，函數f(x)＝－x2＋a為二次函數，也為減函數，且有f(x)≤f(0)＝a.要使函數f(x)在R上為減函數，則有a≤3－3a，解得a≤eq\f(3,4).所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4))).10．已知函數f(x)＝eq\f(1,x2－1).(1)設f(x)的定義域為A，求集合A；(2)判斷函數f(x)在(1，＋∞)上的單調性，并用定義加以證明．解：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，所以函數f(x)＝eq\f(1,x2－1)的定義域為A＝{x∈R|x≠±1}．(2)函數f(x)＝eq\f(1,x2－1)在(1，＋∞)上單調遞減．證明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，設x1<x2，則Δx＝x2－x1>0，Δy＝y(tǒng)2－y1＝eq\f(1,x\o\al(2,2)－1)－eq\f(1,x\o\al(2,1)－1)＝eq\f(x1－x2x1＋x2,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)，∵x1>1，x2>1，∴xeq\o\al(2,1)－1>0，xeq\o\al(2,2)－1>0，x1＋x2>0.又x1<x2，所以x1－x2<0，故Δy<0.因此，函數f(x)＝eq\f(1,x2－1)在(1，＋∞)上單調遞減．11．討論函數f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的單調性．解：f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)．∵定義域為{x|x∈R，且x≠0}，∴可分開證明，設x1＞x2＞0，則f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x1x2))).當0＜x2＜x1≤eq\r(a)時，恒有eq\f(a,x1x2)＞1，則f(x1)－f(x2)＜0，故f(x)在(0，eq\r(a)]上是減函數；當x1＞x2＞eq\r(a)時，恒有0＜eq\f(a,x1x2)＜1，則f(x1)－f(x2)＞0，故f(x)在(eq\r(a)，＋∞)上是增函數．同理可證f(x)在(－∞，－eq\r(a))上是增函數，在[－eq\r(a)，0)上是減函數．綜上所述，f(x)在(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)上是增函數，在[－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a)]上是減函數．12．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)內單調遞增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)內單調遞減，求a的取值范圍．解：(1)證明：設x1<x2<－2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1＋2)－eq\f(x2,x2＋2)＝eq\f(2x1－x2,x1＋2x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)內單調遞增．(2)設1<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1－a)－eq\f(x2,x2－a)＝eq\f(ax2－x1,x1－ax2－a).∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.綜