高中數(shù)學：高三數(shù)學三求數(shù)列通項公式

高三數(shù)學專題三求數(shù)列通項公式

未命名

一、單選題

1.設等差數(shù)列｛%｝,也｝的前”項和分別是S“，，若率=￡三，則/=()

311

A.1B.—C.—D.2

414

2.已知S〃是數(shù)列｛利｝的前〃項和，若。/=1,an+i=3Sn,則02022=()

A.4239B.42020C.3x4239D.3x42020

3.數(shù)列｛〃〃｝滿足。〃+2=2?！?|-。〃，且。2014，〃2016是函數(shù)/(x)=gd-4/+6X-1的極

值點，則log?(。2000+^2012+。2018%)30)的值是()

A.2B.3C.4D.5

4.已知各項均為正數(shù)且單調遞減的等比數(shù)列｛a,,｝滿足如、2%成等差數(shù)列.其前

〃項和為s〃，且§5=31,則()

A.a,,=(￡f4B.a“=2"-3c.s“=32-，D.5?=2--4-16

5,已知數(shù)列｛%卜滿足4=2,??+1=|寸當/為偶數(shù)眈則％=()

麗,+1,當巴為奇數(shù)時，

A.—B.1C.2D.4

64

6.數(shù)列｛4｝的前“項和為S”，且q+34+…+3"%=〃-3",若對任意〃eN”，

S,,2(-1)",4恒成立，則實數(shù)4的取值范圍為()

A.[-3,4]B.

C.[-5,5]D.[-272-2,272+2]

11114n4、

7.若數(shù)列｛《,｝滿足一+二+『+???+—=-~若一”2恒成立，則義的最大值

q2生3%2〃+1an

()

A.-B.gC.-D.3

482

8.已知數(shù)列｛為｝滿足4=1，。向=2a“+2〃，且數(shù)列｛《,｝的前〃項和S〃.若S“N4,則

實數(shù)4的取值范圍為()

A.co,0]B.C.(—00,2]D.—1]

二、填空題

9.分形兒何學又被稱為“大自然的幾何學”，是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾

何學.一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反

饋系統(tǒng)，簡單的說，分形就是研究無限復雜具備自相似結構的幾何學.下面我們用分形

的方法來得到一系列圖形，如圖1,正三角形的邊長為1,在各邊取兩個三等分點，往

外再作一個正三角形，得到圖2中的圖形；對圖2中的各邊作相同的操作，得到圖3

中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形，記第〃個圖形(圖1為第一個

圖形)中的所有外圍線段長的和為%,則滿足G+S+C3+…+%>81的最小正整數(shù)〃

的值為.(參考數(shù)據：炫2。0.3010,lg320.4771)

▲**奉

圖1圖2圖3圖4

10.數(shù)列｛““｝的前"項和為5,,若4=1,??+l=3S?,?eN\則｛4｝的通項公式為

II.在數(shù)列｛4｝中，4=2,且％=1",〃eN’,則^.

12.設等差數(shù)列但〃｝的前〃項和為S",且52。2。>0,S2021<0,則當〃=

時，S”最大.

13.已知數(shù)列｛”“｝滿足4=1,^i=^T7(neN，)-數(shù)列出｝是單調遞增數(shù)列，且

bt=-A,%=yD(〃cN*),則實數(shù)2的取值范圍為.

%

三、解答題

14.已知數(shù)列｛4｝滿足%=[,??+i=7^77.

O+I

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若d=求數(shù)列｛7｝的前〃項和卻

15.設數(shù)列｛%｝的前〃項和為%且滿足M,=3+25,(〃wN*).

(1)證明：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；

⑵令3=喝"[*'(〃eN"),求數(shù)列匕｝的前n項和T?.

16.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，且S5=25,%+05+60=31.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式以及前n項和S,；

2。”,〃為奇數(shù)

(2)若"=["為偶數(shù)’求數(shù)列他，｝的前2〃一1項和.

.44+2,

17.已知公差不為零的等差數(shù)列｛%｝中，4=1,且％,4,4成等比數(shù)列，

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵數(shù)列色｝滿足"=()'%,數(shù)列他,｝的前〃項和為,若不等式＜T"+￡對一

切〃eN*恒成立，求2的取值范圍.

參考答案:

1.c

【解析】

【分析】

結合等差數(shù)列前"項和公式求得正確答案.

【詳解】

依題意等差數(shù)列｛4｝,｛2｝的前"項和分別是s“z，

,SIn

由于hn=1二，

T?3〃+7

故可設=儲2〃2,7；=2.（3〃2+7〃），幾工0,

當2時，q=S“-S,i"Z"一彳.2（1）2=（4〃-2",

2=，（3〃2+7”）-九［3（〃-1）2+7（〃-1）］=（6〃+4”,

所以。6=22%也=284,

22之11

以所以—4=-2-8-4=—14,

故選：C

2.D

【解析】

【分析】

根據數(shù)列通項與前n項和的關系可化簡得-%=3%（〃22且〃eN*）,即可寫出數(shù)列通項

公式求解沏小

【詳解】

由%=3s“可得q=3s-（〃22且〃eN*），

兩式相減得為+「q=3%（〃Z2且〃eN*）,

a4a

即,,+i=n（〃22且〃wN*）,而。2=3sI=3%=3W4q,

所以數(shù)列他“｝從第二項開始是一個以4為公比的等比數(shù)列，

.-.a?=3x4"-2（n>2）,

答案第1頁，共12頁

故選：D

【解析】

【分析】

利用導數(shù)即可求出函數(shù)的極值點，再利用等差數(shù)列的性質及其對數(shù)的運算性質求解即可

【詳解】

由/=—4x2+6x—1,得j，(x)=x~—8x+6,

因為4°M，的36是函數(shù)/（力=:/一4一+6尤一1的極值點,

所以?2014，?2016是方程X?-8x+6=0兩個實根，

所以“2014+“2016=8,

因為數(shù)列｛aj滿足4+2=2。田-4，

所以4+4+2=24”,

所以數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

4

所以kg(生期+。刈2+。如8+出網)=l°g216=log22=4,

故選：c

【解析】

【分析】

3

先根據%,5%，2%成等差數(shù)列以及明單調遞減，求出公比再由$5=31即可求出

再根據等比數(shù)列通項公式以及前〃項和公式即可求出.

【詳解】

3

解：由%,；包，2a$成等差數(shù)列，

答案第2頁，共12頁

得：3%=%+2%,

設｛q｝的公比為/貝lj2g2-3q+l=0,

解得：4或4=1,

又Q為單調遞減，

解得:4=16,

，數(shù)列｛q｝的通項公式為：a?=16-r=?

2

故選：C.

5.B

【解析】

【分析】

根據遞推式以及q=2迭代即可.

【詳解】

由4=2,得外=m=1,%=3%+1=4,a4=^-=2,a5=^-=l,

ab=3%+1=4,a7=^-=2,&=.=1.

故選：B

6.A

【解析】

【分析】

根據q+34+…+3"T%=".3",利用數(shù)列通項與前〃項和的關系，求得,再根據對

答案第3頁，共12頁

任意〃eN*,S“>(-l)nnA.恒成立求解.

【詳解】

解：當“22時，3"-4=止3"—(〃—1)3"T=(2〃+1)3”T,

an=2n+l,當"=1時，4=3符合上式,

:.an=2n+l,

〃(3+2〃+1)=“2+2〃

“2

q

當〃為奇數(shù)時,4N-=-(〃+2),

n

令8(〃)=一(〃+2)知，當〃=1時，8(〃)而=一3,

/.2>-3,

當〃為偶數(shù)時，幾41=〃+2,

n

令/?(〃)=”+2,

A2</z(2)=4,

???-34244.

故選：A.

7.C

【解析】

【分析】

由已知數(shù)列的遞推式，可得4,將“換為兩式相減求得乙,再由數(shù)列的單調性和不

等式恒成立思想，可得所求最大值.

【詳解】

,11I14〃

用十?田」42%3%nan2〃+1

143

當”=1時，一=~,即4=:，

434

114〃一4

當”..2時,----1--------1-...+

q2九一1

11114〃

又一+——+——+…+——=

q2%3%叫2拉+1

答案第4頁，共12頁

14〃4〃一441

以上兩式相減可得一=-~---~-=7^—,得/=”-7，上式對〃=1也成立，

nan2/1+12〃-14n-14n

所以4”2恒成立即為42（〃-」）恒成立，

a.4n

由卜為遞增數(shù)列，得2（〃-：）的最小值為2x（1二）=。，

14〃J4〃42

33

所以4,即4的最大值為六

故選：C.

8.B

【解析】

【分析】

根據遞推關系得到數(shù)列是等差數(shù)列，得到數(shù)列｛%｝的通項公式，然后利用錯位相減

法得到工，從而求解實數(shù)2的取值范圍.

【詳解】

解：由4=1,1=26+2",得翳吟+g,即翁母=；,

所以［黑］是等差數(shù)列，公差為首項為所以*=；+（〃T）x；=；〃，則

數(shù)列｛q｝的前"項和為：

5=-xlx2+-x2x22+...+-n?",①

"222

25?=-xlx22+-x2x23+...+-??,,+|,②

"222

由①-②可得

-S=2+-x22+-x23+...+-X2"--n?,,+|,

“2222

=l+-（22+23+...+2n）--n-2"+l

22

J4（5）1

—XH—x-----------n：，

21-22

即S〃二2〃（〃-1）+1,

由54..得4，（S〃）min，

答案第5頁，共12頁

因為2"（〃-1）單調遞增，.??當〃=1時，5”的值最小.即

所以4,1,

所以實數(shù)義的取值范圍為（—』.

故選：B.

9.9

【解析】

【分析】

先求出第"個圖形中線段的長度句,第〃個圖形中線段的條數(shù)4，得到

%=〃也=3x（力”，根據等比數(shù)列求和公式求和后列出不等式求解即可得到答案.

【詳解】

由題易知每個圖形中線段的長度相等.設第"個圖形中線段的長度為％,則=（￡|

設第〃個圖形中線段的條數(shù)為方“，則或=3x4-1,

/.XM-I3x1—（大）「n-

???%=。也=3乂4，則O+C2+C3+…+c〃=—L―--=9x（g）一]，

人c（4丫/日（4丫八n>—=---------?8.006

令9、5一>8O1、得（？）>I0,則nillo-21g2—lg3，

即滿足不等式的最小正整數(shù)"的值為9.

故答案為：9

，八0-]〃=1

【解析】

【分析】

由數(shù)列通項。，與前”項和S?的相互關系解之即可.

【詳解】

由J=3sli,得an+2=3s用，兩式相減得a?+2=4an+I

答案第6頁，共12頁

又由4=1,an+l=3S?,可得/=-=3E=3《=3,即4=3q

故數(shù)列｛《,｝從第二項起為公比為4的等比數(shù)列,

,\[1,/?=1

則｛%｝的通項公式為4,=*X4，F(xiàn)“N2

l,n=1

故答案為：4—

3x4/,-2,n>2

11.g##0.5

【解析】

【分析】

根據數(shù)列的遞推公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即數(shù)列｛6,｝為周期數(shù)列，然后求出的。22即可

【詳解】

上」，“1=2

根據題意可得：q=2,=-1

1-q1—21一華

故數(shù)列｛4｝為周期數(shù)列

可得：42022=4x674=43=]

故答案為：y

12.1010

【解析】

【分析】

先由S2020>0,S2⑼<0,判斷出%>0,?ion<O,即可得到答案.

【詳解】

等差數(shù)列｛m｝的前〃項和為S“=心詈），所以邑。2。=也將還0,因為

1+2020=1010+1011,所以4+/020=%）10+qou，所以

_2020（q+。202。）_2020（ago+qoij

$2020=2=2>0*

_2021（〃]+。202]）_2021

d2021=2一_2~<U，

所以％010>°，。011<°

答案第7頁，共12頁

所以當"=1010時，S”最大.

故答案為：1010.

3卜若）

【解析】

【分析】

首先利用遞推關系式求出數(shù)列｛%｝和他｝的通項公式，再利用數(shù)列的單調性建立不等關系

b?+t>b?,進一步求出參數(shù)的范圍.

【詳解】

因為4

%+2''

1a,,,,,21(1

所以一=—=1+—,所以——+1=2—+1

aa

nn4田1為

是首項為Ll=2,

所以數(shù)列公比為2的等比數(shù)列,

an4

所以’+1=221=2",

又%J心）（-）

所以2M=(〃—2/1>2",(〃GN*),

所以包=(〃—1—2⑷

又也｝是單調遞增數(shù)列,

所以當〃22,〃eN*時，〃用_々=（"_2乃?2"_（〃_]_24>2"T=（〃+]_2；l）-2"T>0恒成立,

77+1

所以當"Z2,〃eN*時，〃+1—24>0恒成立，即當"22,〃eN”時，m>2恒成立，

所以力得3;

2

又久>仇，B[J2（l-2/l）>-/l,所以

2

綜上，>1<-.

故答案為：

答案第8頁，共12頁

14.⑴證明見解析，an=±

⑵Tf

【解析】

【分析】

(1)已知式兩邊取倒數(shù)后根據等差數(shù)列的定義證明，由等差數(shù)列通項公式可得

(2)用裂項相消法法求和.

⑴

證明：顯然4尸0,

a12a+11.

將“用=廣n匕兩邊同時取倒數(shù)得一=-n^=一+2,

2乙+1an+lanan

即一L-'=2,所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列,

所以L=1-+("-3)X2=2",所以q=」_.

a?%2〃

(2)

_,1111

由已知得小江.訴r環(huán)旬1__L

nn+i

那么數(shù)列也｝的前〃項和(=；1一；+；_；+…+：n

4〃+4

15.(1)證明見解析

⑵7H2n+5

4x3"

【解析】

【分析】

(1)由3%=3+25“，得到3%M=3+2S.”，兩式相減得到-=3q,,即可求解；

(2)由(1)可得4=3",得到%=歲，結合乘公比錯位相減法求和，即可求解.

(1)

證明：當n=1時，3q=3+2g=3+2q,解得q=3,

由3an=3+2S?,可得3an+l=3+2S?+I,

答案第9頁，共12頁

兩式相減得四向-如=（3+2S,+J-（3+2S“）=2（S“+「S,）=2%,

即%“=3q,所以數(shù)列｛4｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列.

（2）

解：由（1）可得q=3"，所以c,,=q」，

則（工不+4+…+廠三+系+…+丁，

]_

兩式相減可得■!4=,+:+…+:一苗'=：+9

1--

3

21F1(1丫一1〃+1_51(1YM〃+152/1+5

36|_UJJ3M+I663"62x3"”

52/7+5

所以Z,

44x3"

16.⑴5“=心

【解析】

【分析】

（1）利用等差數(shù)列的性質及基本量運算即得;

（2）利用分組求和法及裂項相消法即得.

（1）

依題意，Ss=5%=25,則4=5,

故〃2+6+4。=%-d+%+2d+%+71=31,

解得d=2,

??〃］二。鼻—2d=1,

故％=2〃-1,

S”=—--

⑵

答案第10頁，共12頁

1

依題意，得

(2〃-1)(2〃+3)4(2〃-12〃+3

22"，〃為奇數(shù)

故"

，〃為偶數(shù)'

412〃-12〃+3

11111

故43+」+25+-+??/

413741711414〃-54/2-1

111111

=2'+25+...+2-41

41377114〃一54n-l

2(l-24n)i

1-2n-\

----1---------

1-164134/7-11553(4n-1)

17.⑴％=〃

⑵彳€,仁)

【解析】

【分析】

(1)根據等差數(shù)列的通項公式和等比