2024-2025學年新教材高中數(shù)學第10章概率章末測評含解析新人教A版必修第二冊

PAGE章末綜合測評(五)概率(時間：120分鐘，滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石B[因為樣品中米內(nèi)夾谷的比例為eq\f(28,254)，所以這批米內(nèi)夾谷為1534×eq\f(28,254)≈169(石)．]2．在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事務“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事務是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡A[至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事務，它是“2張全是移動卡”的對立事務，故選A．]3．拋擲一顆質(zhì)地勻稱的骰子，視察擲出的點數(shù)，設事務A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事務B為“出現(xiàn)2點”，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，則“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)D[∵“出現(xiàn)奇數(shù)點”與“出現(xiàn)2點”兩事務互斥，∴P＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).]4．2024年暑假里，甲乙兩人一起去游泰山，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行巡游，每個景點參觀1小時，則最終1小時他們同在一個景點的概率是()A．eq\f(1,36)B．eq\f(1,9)C．eq\f(5,36)D．eq\f(1,6)D[最終一個景點甲有6種選法，乙有6種選法，共有36種，他們選擇相同的景點有6種，所以P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以選D．]5．某箱內(nèi)有十張標有數(shù)字0到9的卡片，從中任取一張，則取到卡片上的數(shù)字不小于6的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,4)C[數(shù)字不小于6有6,7,8,9共4個樣本點，而試驗空間中樣本點的總數(shù)為10，故P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]6．兩名同學分3本不同的書，其中一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,6)B[兩名同學分3本不同的書，試驗的樣本空間為Ω＝{(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a)，(2,1b)，(2,1c)，(3,0)}，共8個樣本點，其中一人沒有分到書，另一人分到3本書的樣本點有2個，∴一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).]7．電子鐘一天顯示的時間是從00：00到23：59，每一時刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為23的概率為()A．eq\f(1,180)B．eq\f(1,288)C．eq\f(1,360)D．eq\f(1,480)C[當“時”的兩位數(shù)字的和小于9時，則“分”的那兩位數(shù)字和要求超過14，這是不行能的．所以只有“時”的和為9(即“09”或“18”)，“分”的和為14(“59”)；或者“時”的和為10(即“19”)，“分”的和為13(“49”或“58”)．共計有4種狀況．因一天24小時共有24×60分鐘，所以概率P＝eq\f(4,24×60)＝eq\f(1,360).故選C．]8．端午節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為eq\f(1,3)，乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少1人回老家過節(jié)的概率為()A．eq\f(59,60)B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,60)B[“甲、乙、丙回老家過節(jié)”分別記為事務A，B，C，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,5)，所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,4)，P(eq\x\to(C))＝eq\f(4,5).由題知A，B，C為相互獨立事務，所以三人都不回老家過節(jié)的概率P(eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－))eq\o(C,\s\up7(－)))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(C))＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)，所以至少有一人回老家過節(jié)的概率P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).]二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．下列各對事務中，M，N是相互獨立事務的有()A．擲1枚質(zhì)地勻稱的骰子一次，事務M＝“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事務N＝“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”B．袋中有5個白球，5個黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩次，事務M＝“第1次摸到白球”，事務N＝“第2次摸到白球”C．分別拋擲2枚相同的硬幣，事務M＝“第1枚為正面”，事務N＝“兩枚結(jié)果相同”D．一枚硬幣擲兩次，事務M＝“第一次為正面”，事務N＝“其次次為反面”CD[在A中，M，N是互斥事務，不相互獨立；在B中，M，N不是相互獨立事務；在C中，P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,2)，P(MN)＝eq\f(1,4)，P(MN)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互獨立事務；在D中，第一次為正面對其次次的結(jié)果不影響，因此M，N是相互獨立事務．故選CD．]10．某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的狀況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××依據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是()A．顧客購買乙商品的概率最大B．顧客同時購買乙和丙的概率約為0.2C．顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率約為0.3D．顧客僅購買1種商品的概率不大于0.3BCD[在A中，由于購買甲商品的顧客有685位，購買乙商品的顧客有515位，A錯誤；在B中，從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2，B正確；在C中，從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品，所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為eq\f(100＋200,1000)＝0.3，C正確；在D中，從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有183位顧客僅購買1種商品，所以顧客僅購買1種商品的概率可以估計為0.183<0.2，D正確．故選BCD．]11．從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是()A．2個球都是紅球的概率為eq\f(1,6)B．2個球不都是紅球的概率為eq\f(1,3)C．至少有1個紅球的概率為eq\f(2,3)D．2個球中恰有1個紅球的概率為eq\f(1,2)ACD[設“從甲袋中摸出一個紅球”為事務A1，“從乙袋中摸出一個紅球”為事務A2，則P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(1,2)，且A1，A2獨立．在A中，2個球都是紅球為A1A2，其概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，A正確；在B中，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事務，其概率為eq\f(5,6)，B錯誤；在C中，2個球中至少有1個紅球的概率為1－P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，C正確；2個球中恰有1個紅球的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，D正確．故選ACD．]12．2024年“國慶節(jié)”期間，高速馬路車輛較多．某調(diào)查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中抽取了40名駕駛員進行詢問調(diào)查，將他們在某段高速馬路的車速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．下列結(jié)論正確的是()A．這40輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計值為77.5B．在該服務區(qū)隨意抽取一輛車，車速超過80km/h的概率為0.35C．若從車速在[60,70)的車輛中隨意抽取2輛，則至少有一輛車的車速在[65,70)的概率為eq\f(14,15)D．若從車速在[60,70)的車輛中隨意抽取2輛，則車速都在[60,65)內(nèi)的概率為eq\f(1,3)ABC[在A中，由題圖可知，眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點對應的值eq\f(75＋80,2)＝77.5，A正確；在B中，車速超過80km/h的頻率為0.05×5＋0.02×5＝0.35，用頻率估計概率知B正確；在C中，由題可知，車速在[60,65)內(nèi)的車輛數(shù)為2，車速在[65,70)內(nèi)的車輛數(shù)為4，運用古典概型求概率得，至少有一輛車的車速在[65,70)的概率為eq\f(14,15)，即車速都在[60,65)內(nèi)的概率為eq\f(1,15)，故C正確，D錯誤．故選ABC．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．(一題兩空)一個袋子中有5個紅球，4個綠球，8個黑球，假如隨機地摸出一個球，記事務A＝{摸出黑球}，事務B＝{摸出綠球}，事務C＝{摸出紅球}，則P(A)＝________；P(B∪C)＝________.(第一空2分，其次空3分)eq\f(8,17)eq\f(9,17)[由古典概型的算法可得P(A)＝eq\f(8,17)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(4,17)＋eq\f(5,17)＝eq\f(9,17).]14．設a是從集合{1,2,3,4}中隨機取出的一個數(shù)，b是從集合{1,2,3}中隨機取出的一個數(shù)，構(gòu)成一個基本領件(a，b)．記“這些基本領件中，滿意logba≥1”為事務E，則Eeq\f(5,12)[試驗發(fā)生包含的事務是分別從兩個集合中取1個數(shù)字，共有4×3＝12種結(jié)果，滿意條件的事務是滿意logba≥1，可以列舉出全部的事務，當b＝2時，a＝2,3,4，當b＝3時，a＝3,4，共有3＋2＝5個，∴依據(jù)古典概型的概率公式得E發(fā)生的概率是eq\f(5,12).]15．加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為________．eq\f(3,70)[依題意得，加工出來的零件的正品率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(67,70)，因此加工出來的零件的次品率是1－eq\f(67,70)＝eq\f(3,70).]16．將號碼分別為1,2，…，9的九個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個球，其號碼為a.放回后，乙從今袋中再摸出一個球，其號碼為b，則使不等式a－2b＋10＞0成立的事務發(fā)生的概率等于________．eq\f(61,81)[甲、乙兩人每人摸出一個小球都有9種不同的結(jié)果，故基本領件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(9,7)，(9,8)，(9,9)，共81個．由不等式a－2b＋10＞0得2b＜a＋10，于是，當b＝1,2,3,4,5時，每種情形a可取1,2，…，9中每個值，使不等式成立，則共有45種；當b＝6時，a可取3,4，…，9中每個值，有7種；當b＝7時，a可取5,6,7,8,9中每個值，有5種；當b＝8時，a可取7,8,9中每個值，有3種；當b＝9時，a只能取9，有1種．于是，所求事務的概率為eq\f(45＋7＋5＋3＋1,81)＝eq\f(61,81).]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)隨機抽取一個年份，對某市該年4月份的天氣狀況進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計該市在該天不下雨的概率；(2)該市某學校擬從4月份的一個晴天起先實行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．[解](1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，該市不下雨的概率為P＝eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對”(如，1日與2日，2日與3日等)，這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8)，以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為eq\f(7,8).18．(本小題滿分12分)某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設元件1,2,3的運用壽命超過1000小時的概率都是eq\f(1,2)，且各個元件能否正常工作相互獨立，求該部件的運用壽命超過1000小時的概率．[解]設元件1,2,3的運用壽命超過1000小時的事務分別記為A，B，C，明顯P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，∴該部件的運用壽命超過1000小時的事務為(Aeq\o(B,\s\up7(－))＋eq\o(A,\s\up7(－))B＋AB)C，∴該部件的運用壽命超過1000小時的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).19．(本小題滿分12分)有7位歌手(1至7號)參與一場歌頌競賽，由500名大眾評委現(xiàn)場投票確定歌手名次，依據(jù)年齡將大眾評委分為五組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050(1)為了調(diào)查大眾評委對7位歌手的支持狀況，現(xiàn)用分層隨機抽樣方法從各組中抽取若干名大眾評委，其中從B組中抽取了6人．請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表．組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(2)在(1)中，若A，B兩組被抽到的大眾評委中各有2人支持1號歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的大眾評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率．[解](1)由題設知，分層隨機抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數(shù)如下表：組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(2)記從A組抽到的3個評委為a1，a2，a3，其中a1，a2支持1號歌手；從B組抽到的6個評委為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1號歌手．從{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的全部結(jié)果為由以上樹狀圖知樣本點共18種，其中2人都支持1號歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4個，故所求概率P＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9).20．(本小題滿分12分)已知某中學高三理科班學生的數(shù)學與物理的水平測試成果抽樣統(tǒng)計如下表：若抽取學生n人，成果分為A(優(yōu)秀)，B(良好)，C(及格)三個等級，設x，y分別表示數(shù)學成果與物理成果，例如：表中物理成果為A等級的共有14＋40＋10＝64人，數(shù)學成果為B等級且物理成果為C等級的共有8人．已知x與y均為A等級的概率是0.07.(1)設在該樣本中，數(shù)學成果的優(yōu)秀率是30%，求a，b的值；(2)已知a≥7，b≥6，求數(shù)學成果為A等級的人數(shù)比C等級的人數(shù)多的概率．[解](1)由題意知eq\f(14,n)＝0.07，解得n＝200，∴eq\f(14＋a＋28,200)×100%＝30%，解得a＝18，易知a＋b＝30，所以b＝12.(2)由14＋a＋28>10＋b＋34得a>b＋2，又a＋b＝30且a≥7，b≥6，試驗的樣本空間為Ω＝{(7,23)，(8,22)，(9,21)，…，(24,6)}，共18個樣本點，而a>b＋2包含的樣本點有(17,13)，(18,12)，…，(24,6)，共8個，則所求概率P＝eq\f(8,18)＝eq\f(4,9).21．(本小題滿分12分)隨著共享單車的勝利運營，更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界，共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮．某景點設有共享電動車租車點，共享電動車的收費標準是每小時2元(不足1小時的部分按1小時計算)．甲、乙兩人各租一輛電動車，若甲、乙不超過一小時還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)；一小時以上且不超過兩小時還車的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)；兩人租車時間都不會超過三小時．(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；(2)求甲、乙兩人所付的租車費用之和大于或等于8的概率．[解](1)甲、乙兩人所付費用相同即同為2,4,6元，都付2元的概率P1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，都付4元的概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，都付6元的概率P3＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，∴所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＝eq\f(5,16).(2)設兩人費用之和為8,10,12的事務分別為A，B，C，P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)，P(B)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4