2018人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)教案

二十一章一元二次方程

第1課時(shí)21.1一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念.

教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程的概念；一般式ax?+bx+c=O(aWO)及其派生

的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目.

1.通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元

二次方程下定義.

2.一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念.

3.解決一些概念性的題目.

4.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的

學(xué)習(xí)熱情.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有

關(guān)概念并用這些概念解決問題.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再

由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：列方程.

問題(1)古算趣題：“執(zhí)竿進(jìn)屋”

笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。

有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對(duì)兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。

借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服。

如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個(gè)門的寬為――尺，長為

_______尺，

根據(jù)題意，得.

整理、化簡，得：.

二、探索新知

學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)口答下面問題.

(1)上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？

(2)按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？

(3)有等號(hào)嗎？還是與多項(xiàng)式一樣只有式子？

老師點(diǎn)評(píng)：(1)都只含一個(gè)未知數(shù)x；(2)它們的最高次數(shù)都是

2次的；(3)都有等號(hào)，是方程.

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一

元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成

如下形式ax2+bx+c=0(aWO).這種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax'+bx+cR(aWO)后，其中ax?

是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)

項(xiàng).

例L將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，

并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(aWO).因此，

方程3x(x-1)=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)

等.

解：略

注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面

的符號(hào).

例2.(學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)二至三位同學(xué)上臺(tái)演練)將方程(x+1)

2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次

項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng).

分析：通過完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)

O

(x+2)=1化成ax+bx+c=O(aWO)的形式.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)1、2

補(bǔ)充練習(xí)：判斷下列方程是否為一元二次方程？

99

(1)3x+2=5y-3(2)x=4(3)3x2-=0(4)x-4=(x+2)

o

2(5)ax+bx+c=O

四、應(yīng)用拓展

oo__

例3.求證：關(guān)于x的方程(m-8m+17)x+2mx+l=0,不論m取何

值，該方程都是一元二次方程.

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證

明而一8m+17W0艮口可.

證明：m-8m+17=(m-4)2+1

(m-4),NO

/.(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1/0

不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

,練習(xí)：1.方程(2a—4)x2-2bx+a=0,在什么條件下此方

程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？

2.當(dāng)m為何值時(shí)，方程(m+1)x/4m/4+27mx+5=0

是關(guān)于的一元二次方程

五、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))

本節(jié)課要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0(aWO)和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)

項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

第2課時(shí)21.1一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程根的概念；

2.根據(jù)題意判定一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根及其利用它們解

決一些具體題目.

教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程根的概念，會(huì)判定一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次

方程的根及利用它們解決一些具體問題.

提出問題，根據(jù)問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，

列式求解；由解給出根的概念；再由根的概念判定一個(gè)數(shù)是否是根.同時(shí)

應(yīng)用以上的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決一些具體問題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根；

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：由實(shí)際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮

這些根是否確定是實(shí)際問題的根.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下列問題.

問題L前面有關(guān)“執(zhí)竿進(jìn)屋”的問題中，我們列得方程X2-8X+20=0

列表:

X1234567891011???

2

x-8x+20???

問題2.前面有關(guān)長方形的面積的問題中，我們列得方程X2+7X-44=0

9

即X+7x=44

X123456???

X2+7X???

列表：

老師點(diǎn)評(píng)（略）

二、探索新知

提問：（1）問題1中一元二次方程的解是多少？問題2中一元二

次方程的解是多少？

（2）如果拋開實(shí)際問題，問題2中還有其它解嗎？

老師點(diǎn)評(píng)：（1）問題1中x=2與x=10是--8*+20=0的

解，問題2中，x=4是x2+7x-44=0的解.（2）如果拋開實(shí)際問

題，問題2中還有x=Tl的解.

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

回過頭來看：x'-8x+20=0有兩個(gè)根，一個(gè)是2,另一個(gè)是10,都

滿足題意；但是，問題2中的x=Tl的根不滿足題意.因此，由實(shí)際問題

列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際問題的根，還要考慮這些根是否確

實(shí)是實(shí)際問題的解.

例1.下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

分析：要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等

式兩邊相等即可.

解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式，所以x=-

O_

2或x=-3是一元二次方程2x+10x+12=0的兩根.

例2.若x=l是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a^O）的一個(gè)根，求

代數(shù)式2007（a+b+c）的值

練習(xí)：關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x"+x+a2-1=0的一個(gè)根為0,則求a

的值

點(diǎn)撥:如果一個(gè)數(shù)是方程的根，那么把該數(shù)代入方程，一定能使左右兩邊

相等,這種解決問題的思維方法經(jīng)常用至U,同學(xué)們要深刻理解.

例3.你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根嗎？

(1)x9-64=0(2)3x9-6=0(3)x9-3x=0

分析：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數(shù)，可用直接觀

察結(jié)合平方根的意義.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材思考題練習(xí)1、2.

四、歸納小結(jié)(學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng))

本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)一元二次方程根的概念；

(2)要會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根；

(3)要會(huì)用一些方法求一元二次方程的根.(“夾逼”方法；平

方根的意義)

六、布置作業(yè)

1.教材復(fù)習(xí)鞏固3、4綜合運(yùn)用5、6、7拓廣探索8、

9.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第3課時(shí)21.2.1配方法

教學(xué)內(nèi)容

運(yùn)用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程

“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程“降次”一一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解

決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=0,根據(jù)平方根的

意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a(ex+f)，+c=0型的一元二次方

程.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程；領(lǐng)會(huì)

降次一一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n,知識(shí)遷移到

根據(jù)平方根的意義解形如(x+m)2=n(n>0)的方程.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題

問題1.填空

9

(1)x2-8x+=(x-)2；(2)9x+12x+=

(3x+)2；(3)x2+px+=(x+)2.

問題1：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)()

2

問題2：目前我們都學(xué)過哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程于

一元一次方程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過哪

些降次的方法？

二、探索新知

上面我們已經(jīng)講了x?=9,根據(jù)平方根的意義，直接開平方得

x=±3,如果x換元為2t+l,即(2t+l)2=9,能否也用直接開平方的方法

求解呢？

(學(xué)生分組討論)

老師點(diǎn)評(píng)：回答是肯定的，把2t+l變?yōu)樯厦娴膞,那么2t+l=±3

即2t+l=3,2t+l=_3

方程的兩根為匕=1,t2=—2

例1：解方程：(1)(2x-l)2=5(2)x2+6x+9=2(3)x

2-2x+4=T

分析：很清楚，x?+4x+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為

(x+2)2=1.

解：(2)由已知,得：(x+3)三2

直接開平方，得：x+3=±

即x+3=,x+3=-

所以，方程的兩根xi=-3+,Xz=-3-

例2.市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的提高到

14.4m,求每年人均住房面積增長率.

分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為X.一年后人均住房面積就應(yīng)

該是10+10x=10(1+x)；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10(1+x)+10

(1+x)x=10(1+x)2

解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x,

則：10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接開平方，得l+x=±1.2

即l+x=l.2,l+x=-l.2

所以，方程的兩根是4=0.2=20%,X2=-2.2

因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此，xr-2.2應(yīng)舍

去.

所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.

(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)

是什么？

共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次

方程.我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”.

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例3.某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31

萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？

分析：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x,那么二月份的

營業(yè)額就應(yīng)該是(1+x),三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長

的，應(yīng)是(1+x)、

解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為X.

那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31

把(1+x)當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得：

(l+x+)2=2.56,即(x+)2=2.56

x+=±1.6,即x+=l.6,x+=T.6

方程的根為x尸根的X2=-3.1

因?yàn)樵鲩L率為正數(shù)，

所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p

(p20),那么x=土轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如(mx+n)2=p

(p20),那么mx+n=土，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的.若p<0則方程無解

六、布置作業(yè)

1.教材復(fù)習(xí)鞏固1、2.

第4課時(shí)22.2.1配方法(1)

教學(xué)內(nèi)容

間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它

解決一些具體問題.

通過復(fù)習(xí)可直接化成x~=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0)的一元

二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：講清“直接降次有困難，如x2+6xT6=0的一元二次方

程的解題步驟.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的

“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們解下列方程

9

(1)3x-1=5(2)4(xT)2-9=0(3)

O9

4x+16x+16=9(4)4x+16x=-7

老師點(diǎn)評(píng)：上面的方程都能化成x之二p或(mx+n)2=p(p20)的形

式，那么可得

x二土或mx+n=土(p20).

OO

如：4x+16x+16=(2x+4)2,你能把4x+16x=-7化成(2x+4)2=9

嗎？

二、探索新知

列出下面問題的方程并回答：

(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不

同呢？

(2)能否直接用上面三個(gè)方程的解法呢？

問題2：要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為16nl2,場

地的長和寬各是多少？

(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處

是：前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后二個(gè)不具有.

(2)不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可

直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化：

OO

x+6x-16=0移項(xiàng)-x+6x=16

OOO

兩邊加(6/2),使左邊配成x+2bx+b的形式fx+6x+32=16+9

左邊寫成平方形式f(x+3)2=25降次fx+3=±5即x+3=5或

x+3=-5

解一次方程一X1=2,X2=-8

可以驗(yàn)證：xi=2,x2=-8都是方程的根，但場地的寬不能使負(fù)值，所以

場地的寬為2m,常為8m.

像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方

法，叫配方法.

可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元

一次方程來解.

例1.用配方法解下列關(guān)于x的方程

(1)x9-8x+l=0(2)x2-2x-=0

分析：(1)顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前

面的方法化為完全平方式；(2)同上.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材P38討論改為課堂練習(xí)，并說明理由.

教材P39練習(xí)12.(1)、(2).

四、應(yīng)用拓展

例3.如圖，在Rt^ACB中，NC=90°,AC=8m,CB=6m,點(diǎn)P、Q同時(shí)

由A,B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是

lm/s,幾秒后4PCQ的面積為RtAACB面積的一半.

分析：設(shè)x秒后4PCQ的面積為Rt^ABC面積的一半，^PCQ也是

直角三角形.根據(jù)已知列出等式.

解：設(shè)X秒后△PCQ的面積為Rt^ACB面積的一半.

根據(jù)題意，得：(8-x)(6-x)=XX8X6

O

整理，得：x-14x+24=o

(x-7)三25即xi=12,X2=2

XI=12,X2=2都是原方程的根，但xi=12不合題意，舍去.

所以2秒后4PCQ的面積為RtAACB面積的一半.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

左邊不含有X的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有X

的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程.

六、布置作業(yè)

1.教材復(fù)習(xí)鞏固2.3(1)(2)

第5課時(shí)21.2.1配方法(2)

教學(xué)內(nèi)容

給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

了解配方法的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟.

通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運(yùn)用配

方法解決一些具體題目.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：講清配方法的解題步驟.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一

次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

教具、學(xué)具準(zhǔn)備

小黑板

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))解下列方程：

9

(1)X-4x+7=o(2)2x2-8x+l=o

老師點(diǎn)評(píng)：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有x的完

全平方形式，不可以直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可

以用上面的方法進(jìn)行解題.

解：略.(2)與(1)有何關(guān)聯(lián)？

二、探索新知

討論：配方法屆一元二次方程的一般步驟：

(1)現(xiàn)將已知方程化為一般形式；(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1；(3)常

數(shù)項(xiàng)移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全

平方式；

(5)變形為(x+p)2=q的形式，如果q>0,方程的根是x~

p±Vq；如果q<0,方程無實(shí)根.

例L解下列方程

99

(l)2x+l=3x(2)3x-6x+4=0(3)(1+x)2+2

(1+x)-4=0

分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用

配方法來完成，即配一個(gè)含有x的完全平方.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材P練習(xí)2.(3)、(4)、(5)、(6).

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.

2.配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二

次方程的解法中，也可通過配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負(fù)性

(如例3)在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用

到。

六、布置作業(yè)

1.教材P45復(fù)習(xí)鞏固3.(3)(4)

補(bǔ)充：(1)已知x2+y2+z"-2x+4y-6z+14=0,則求x+y+z的值

(2)求證：無論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x?+y2-2x-4y+16的值

總是正數(shù)

第6課時(shí)21.2.2公式法

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會(huì)

熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.

復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入

ax2+bx+c=0（aWO）的求根公式的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方

程.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

1.前面我們學(xué)習(xí)過解一元二次方程的“直接開平方法”，比

如，方程

（1）x2=4（2）（x-2）2=7

提問1這種解法的（理論）依據(jù)是什么？

提問2這種解法的局限性是什么？（只對(duì)那種“平方式等于

非負(fù)數(shù)”的特殊二次方程有效，不能實(shí)施于一般形式的二次方

程。）

2.面對(duì)這種局限性，怎么辦？（使用配方法，把一般形式的二

次方程配方成能夠“直接開平方”的形式。）

（學(xué)生活動(dòng)）用配方法解方程2X2+3=7X

（老師點(diǎn)評(píng)）略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）.

（1）現(xiàn)將已知方程化為一般形式；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）常

數(shù)項(xiàng)移到右邊；

（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全

平方式；

（5）變形為（x+p）2=q的形式，如果q20,方程的根是x~

p±Vq；如果qVO,方程無實(shí)根.

二、探索新知

用配方法解方程

(1)ax2—7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

(3)如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax?+bx+c=0(aWO),你能否

用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問

題.

問題：已知ax'+bx+cR(aWO),試推導(dǎo)它的兩個(gè)根xi=,X2=(這

個(gè)方程一定有解嗎？什么情況下有解？)

分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c

也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.

O

解：移項(xiàng)，得：ax+bx=-c

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x?+x=-

配方，得：x2+x+()2=-+()2

即(X+)2=

O

V4a2>0,4a2>0,當(dāng)b-4ac20時(shí)20

(x+)三O'

直接開平方，得：x+=±即*=

??X1=，X2二

由上可知，一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO)的根由方程的系數(shù)

a、b、c而定，因此：

(1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式

o

ax+bx+c=O,當(dāng)b，-4ac20時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的

根.(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過的六中運(yùn)算，力口、減、乘、

除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。)

(2)這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

例1.用公式法解下列方程.

99

(1)2x-x-l=0(2)x+1.5=-3x(3)x2-x+=0(4)

4x2-3x+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然

后代入公式即可.

補(bǔ)：(5)(x-2)(3x-5)=0

三、鞏固練習(xí)

教材P42練習(xí)1.（1）、（3）、（5）或⑵、（4）、（6）

四、應(yīng)用拓展

例2.某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-l=O提

出了下列問題.

（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并

解此方程.

（2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請(qǐng)求出.

你能解決這個(gè)問題嗎？

分析：能.（1）要使它為一元二次方程，必須滿足療+1=2,同時(shí)

還要滿足（m+1）#0.

（2）要使它為一元一次方程，必須滿足：

①或②或③

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

（1）求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；（2）公式法的概

念；

（3）應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟：1）將所給的方程變成一

般形式，注意移項(xiàng)要變號(hào)，盡量讓a〉0.2）找出系數(shù)a,b,c,注意各項(xiàng)的系

數(shù)包括符號(hào)。3）計(jì)算b?-4ac,若結(jié)果為負(fù)數(shù)，方程無解，4）若結(jié)果為非

負(fù)數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果。

（4）初步了解一元二次方程根的情況.

六、布置作業(yè)

教材復(fù)習(xí)鞏固4.

第7課時(shí)21.2.4判別一元二次方程根的情況

教學(xué)內(nèi)容

用b2-4ac大于、等于0、小于0判別ax2+bx+c=0（aWO）的根的

情況及其運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)

掌握bz-4ac〉0,ax"+bx+c=O（aWO）有兩個(gè)不等的實(shí)根，反之也

O__

成立；b2-4ac=0,ax+bx+c=O（aWO）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，反之也成

立；b'-4ac<0,ax2+bx+c=0(aWO)沒實(shí)根，反之也成立；及其它們關(guān)系

的運(yùn)用.

通過復(fù)習(xí)用配方法解一元二次方程的b"-4ac〉0、b2-4ac=0>b"-

4ac〈0各一題，分析它們根的情況，從具體到一般，給出三個(gè)結(jié)論并應(yīng)用

它們解決一些具體題目.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：b'Tac〉。一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；b2-4ac=0

一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；b2-4ac<0一元二次方程沒有實(shí)根.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵

O

從具體題目來推出一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的b~-4ac的

情況與根的情況的關(guān)系.

教具、學(xué)具準(zhǔn)備

小黑板

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))用公式法解下列方程.

(1)2x9-3x=0(2)3x9-2x+l=0(3)4x9+x+l=0

老師點(diǎn)評(píng)，(三位同學(xué)到黑板上作)老師只要點(diǎn)評(píng)(1)b2-4ac=9>0,

有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(2)b2-4ac=12-12=0,有兩個(gè)相等的實(shí)根；(3)

b2-4ac=|-4X4X1|=<0,方程沒有實(shí)根.

二、探索新知

oXI、X2的關(guān)系

方程b-4ac的值bZ-4ac的符號(hào)

(填相等、不等或不存在)

2x2-3x=0

3x2-2x+l=0

4x2+x+l=0

請(qǐng)觀察上表，結(jié)合b?-4ac的符號(hào)，歸納出一元二次方程的根的情況。

證明你的猜想。

從前面的具體問題，我們已經(jīng)知道b'-4ac〉0(<0,=0)與

根的情況，現(xiàn)在我們從求根公式的角度來分析：

求根公式：x=,當(dāng)b2-4ac〉0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，等于一個(gè)具

體數(shù)，所以一元一次方程的XI=WXF,即有兩個(gè)不相等的實(shí)根.當(dāng)b-

4ac=0時(shí)，根據(jù)平方根的意義=0,所以xi=X2=,即有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)

b2-4ac〈0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，負(fù)數(shù)沒有平方根，所以沒有實(shí)數(shù)解.

因此，(結(jié)論)(1)當(dāng)b，-4ac〉0時(shí)，一元二次方程ax'+bx+cuO

(aWO)有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根即xi=,x產(chǎn).

o

(2)當(dāng)b-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax+bx+c=0(aWO)有兩個(gè)相

等實(shí)數(shù)根即X1=x2=.

(3)當(dāng)iTacVO時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)沒有實(shí)

數(shù)根.

例1.不解方程，判定方程根的情況

、2、2

(1)16x+8x=-3(2)9x+6x+l=0

、2、2

(3)2x-9x+8=0(4)x-7xT8=0

分析：不解方程，判定根的情況，只需用b」4ac的值大于0、小

于0、等于0的情況進(jìn)行分析即可.

解：(1)化為16X2+8X+3=0

這里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4X16X3=-128<0

所以，方程沒有實(shí)數(shù)根.

三、鞏固練習(xí)

不解方程判定下列方程根的情況：

(1)x9+10x+23=0(2)x9-x-=0(3)3x9+6x-

5=0(4)4x2-x+=0

9

(5)x-x--0(6)4x2-6x=0(7)x(2x-4)=5-

8x

四、應(yīng)用拓展

例2.若關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x-2ax+a+l=0沒有實(shí)數(shù)

解，求ax+3〉0的解集(用含a的式子表示).

分析：要求ax+3〉0的解集，就是求ax〉-3的解集，那么就轉(zhuǎn)化為

要判定a的值是正、負(fù)或0.因?yàn)橐辉畏匠?a-2)x"-2ax+a+l=0沒

有實(shí)數(shù)根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范圍.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

o______

b-4ac〉0一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）有兩個(gè)不相等的實(shí)

根；b2-4ac=0一元二次方程ax'+bx+cuO（aWO）有兩個(gè)相等的實(shí)根；b2-

4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）沒有實(shí)數(shù)根及其它的運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

教材復(fù)習(xí)鞏固6綜合運(yùn)用9拓廣探索1、2.

第8課時(shí)21.2.3因式分解法

教學(xué)內(nèi)容

用因式分解法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通過復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會(huì)和探尋用更簡

單的方法一一因式分解法解一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具

體問題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：讓學(xué)生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟

用因式分解法使解題簡便.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）解下列方程.

（1）2X2+X=0（用配方法）（2）3X2+6X=0（用公式法）

老師點(diǎn)評(píng)：（1）配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應(yīng)

為，的一半應(yīng)為，因此，應(yīng)加上（）、同時(shí)減去（）、（2）直接用公式

求解.

二、探索新知

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們口答下面各題.

（老師提問）（1）上面兩個(gè)方程中有沒有常數(shù)項(xiàng)？

（2）等式左邊的各項(xiàng)有沒有共同因式？

（學(xué)生先答，老師解答）上面兩個(gè)方程中都沒有常數(shù)項(xiàng)；左邊都

可以因式分解：

因此，上面兩個(gè)方程都可以寫成：

（1）x（2x+l）=0（2）3x（x+2）=0

因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0,至少其中一個(gè)因式要等于0,也就是

(1)x=0或2x+l=0,所以xi=0,X2=-.

(2)3x=0或x+2=0,所以xi=0,X2=-2.(以上解法是如何實(shí)現(xiàn)

降次的？)

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開平方

降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使

這兩個(gè)一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法.

例L解方程

O9

(1)10x-4.9x=0(2)x(x-2)+x-2=0(3)5x~2x-

=x9-2x+

(4)(x-1)2=(3-2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方

程的條件是什么？

解：略(方程一邊為0,另一邊可分

解為兩個(gè)一次因式乘積。)

練習(xí)：1.下面一元二次方程解法中，正確的是().

A.(x-3)(x-5)=10X2,x-3=10,x-5=2,xi=13,

X2=7

B.(2-5x)+(5x-2)2=0,(5x-2)(5x-3)=0,

二?XL,X2二

C.(x+2)2+4x=0,/.xi=2,X2~~2

o

D.x~=x兩邊同除以x,得x=l

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)1、2.

例2.已知94物=0,求代數(shù)式的值.

分析：要求的值，首先要對(duì)它進(jìn)行化簡，然后從已知條件入手，

求出a與b的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計(jì)算量比較大，比較容

易發(fā)生錯(cuò)誤.

解：原式=

92

■9a-4b=0

???(3a+2b)(3a-2b)=0

3a+2b=0或3a-2b=0,

a二一b或a=b

當(dāng)a二-b時(shí)，原式二一二3

當(dāng)a=b時(shí)，原式二-3.

四、應(yīng)用拓展

例3.我們知道x?-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x?-

(a+b)x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為(x-a)(x-b)=0,請(qǐng)你用上面的方法解下列

方程.

99

(1)x2-3x-4=0(2)x-7x+6=0(3)x+4x-5=0

分析：二次三項(xiàng)式x?-(a+b)x+ab的最大特點(diǎn)是一項(xiàng)是由x?x

而成，常數(shù)項(xiàng)ab是由-a?(-b)而成的，而一次項(xiàng)是由-a?x+(-b?x)

交叉相乘而成的.根據(jù)上面的分析，我們可以對(duì)上面的三題分解因式.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二

次方程及其應(yīng)用.

(2)因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另

一邊為0,再分別使各一次因式等于0.

六、布置作業(yè)

教材復(fù)習(xí)鞏固5綜合運(yùn)用8、10拓廣探索11.

第9課時(shí)一元二次方程的解法復(fù)

習(xí)課

教學(xué)內(nèi)容習(xí)題課

教學(xué)目標(biāo)

能掌握解一元二次方程的四種方法以及各種解法的要點(diǎn)。會(huì)根據(jù)不同

的方程特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ墙忸}過程簡單合理，通過揭示各種解法的

本質(zhì)聯(lián)系，滲透降次化歸的思想方法。

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：會(huì)根據(jù)不同的方程特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，是解題過程簡

單合理。

2.難點(diǎn)：通過揭示各種解法的本質(zhì)聯(lián)系，滲透降次化歸的思想。

教學(xué)過程

1.用不同的方法解一元二次方程3x〈5x-2=0(配方法，公式法，因

式分解發(fā))

教師點(diǎn)評(píng)：三種不同的解法體現(xiàn)了同樣的解題思路一一把一元二次方

程“降次”轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。

2把下列方程的最簡潔法選填在括號(hào)內(nèi)。

(A)直接開平方法(B)配方法(C)公式法(D)因式分解

法

(1)7x-3=2x?()(2)4(9x-l)2=25()(3)(x+2)(x-

1)=20()

oo

(4)4x+7x=2()(5)2(0.2t+3)-12.5=0()(6)

o

x+2x-4=0()

說明：一元二次方程解法的選擇順序一般為因式分解法、公式法，若沒

有特殊說明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，適用于解

所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左邊易

因式分解，右邊為0的特點(diǎn)的一元二次方程時(shí)，非常簡便。

3.將下列方程化成一般形式，在選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

O

(l)3x=x+4(2)(2x+l)(4x-2)=(2xT)'+2(3)(x+3)(x-4)=-6(4)

(x+1)J2(x-l)2=6x-5

說明：將一元二次方程化成一般形式不僅是解一元二次方程的基本技

能，而節(jié)能為揭發(fā)的選擇提供基礎(chǔ)。

4.閱讀材料，解答問題：

材料：為解方程(X,-1)-5(x2-1)=4=0,我們可以視(x2-l)為一個(gè)整

體，然后設(shè)x2-l=y,原方程可化為y2-5y+4=0①.解得yi=l,丫2=4。當(dāng)

OO,99

yi=l時(shí)，x-1=1即x=2,x=±.當(dāng)y2=4時(shí)，x-1=4即x=5,

X=±V5o原方程的解為X1=，X2=-,X3=J5,

X4=_V5

解答問題：(1)填空：在由原方程得到①的過程中利用——法，

達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)——的數(shù)學(xué)思想。(2)解方程X，一X?一

6=0.

5.小結(jié)Q)說說你對(duì)解一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程

的認(rèn)識(shí)

(消元、降次、化歸的思想)

(2)三種方法(配方法、公式法、因式分解法)的聯(lián)系與區(qū)別：

聯(lián)系①降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方

程，即降次.

②公式法是由配方法推導(dǎo)而得到.

③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于

某些一元二次方程.

區(qū)別：①配方法要先配方，再開方求根.

②公式法直接利用公式求根.

③因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0,再

分別使各一次因式等于0.

作業(yè)P58復(fù)習(xí)題221.

21.2.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【教學(xué)設(shè)計(jì)總意圖］：本課是一節(jié)公式定理的新知課第一課時(shí)，曾在舊版

的教材中占據(jù)很重要的位置，不但在中考中體現(xiàn)，延伸到高中的數(shù)學(xué)教學(xué)

也有廣泛的應(yīng)用.本冊(cè)教材又將曾一度刪去的內(nèi)容恢復(fù)，可見根系關(guān)系的

重要.它為進(jìn)一步解決一元二次方程、二次函數(shù)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)問題提供

一些新的思路.但本課畢竟是第一課時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)公式基本內(nèi)容，在頭

腦中形成積極印象很關(guān)鍵.所以從絕大多數(shù)同學(xué)掌握的知識(shí)程度出發(fā)，針

對(duì)本班學(xué)生的特點(diǎn)，本課在(aWO,b?-4ac20)的前提條件下設(shè)計(jì)，所

有的一元二次方程均有解.

教學(xué)目標(biāo)：1、理解根系關(guān)系的推導(dǎo)過程；

2、掌握不解方程，應(yīng)用根系關(guān)系解題的方法；

3、體會(huì)從特殊到一般，再有一般到特殊的推導(dǎo)思路

教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用根系關(guān)系解決問題；

教學(xué)難點(diǎn)：根系關(guān)系的推導(dǎo)過程

教學(xué)流程：引入新知，推導(dǎo)新知，鞏固新知，應(yīng)用新知，

教學(xué)過程：

一、前2天悄悄地聽到咱班的鄭帥和董沐青的一段對(duì)話，內(nèi)容如

下：

關(guān)B：我說董沐青，我有一個(gè)秘密，你想聽嗎？

董：什么秘密？

關(guān)B：你知道咱們可愛的張老師年齡到底有多大嗎？

董：哦？

關(guān)B：呵呵，這絕對(duì)是個(gè)秘密，我不能直接告訴你，我這么說吧：

她的年齡啊是方程X?-12x+35=0的兩根的積，回去你把2根

求出來就知道了.

董：咳，你難不住我，我不用求根就已經(jīng)知道答案了，而且我還

告訴你，張老師的年齡啊還是方程x2-35x-200=0的2根的和呢.

關(guān)B：哈哈，你太有才了。對(duì)了，咱們應(yīng)該也讓同學(xué)猜一猜，不解

方程，能不能求出張老師的年齡.

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境：學(xué)生自我娛樂的同時(shí)自我探討數(shù)學(xué)知識(shí)，本

班學(xué)生活躍，他們自己在平時(shí)也會(huì)開一些類似的玩笑.希望這一次能夠激

起班級(jí)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

二、求出下列方程的2根，計(jì)算2根和與2根積的值，并猜想2根

和、2根積與一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

序號(hào)一元二次方程

X1X2X1+X2X1X2

2

(1)x-5x+6=02356

(2)2x9-3x+1=0

1

(3)3x9+x-2=0--

-1

【設(shè)計(jì)意圖】二次項(xiàng)系數(shù)為1有1題；二次項(xiàng)系數(shù)不為1有2題，系數(shù)性

質(zhì)符號(hào)各有不同.讓學(xué)生盡量體會(huì)與猜想2根和、2根積與系數(shù)之間的關(guān)系

三、引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立證明：

_99

xi和X2是一元二次方程ax+bx+c=0(aWO,b~-4ac^0)

Xl+X2=-,X1X2=注意：負(fù)號(hào)不能漏寫

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在已有公式法解一元二次方程的知識(shí)基礎(chǔ)上，可以最快

速度說出XI和X2的值，接下來將字母系數(shù)表示的XI和X2的值代入相應(yīng)的

代數(shù)式X1+X2和X1X2得出根系關(guān)系的結(jié)論，憑借學(xué)生自己的現(xiàn)有能力

可以解決證明過程.還可以讓學(xué)生體會(huì)，數(shù)學(xué)知識(shí)的一些結(jié)論是在計(jì)算的

過程中產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)中那一系列的字母并不是高不可攀.

四、應(yīng)用

第一組習(xí)題：不解方程，求下列方程的2根和與2根積

9

(1)x-3x+1=0

9

(2)3x-2x-2=0

9

(3)2x-3x=0

(4)3x2=1

【設(shè)計(jì)意圖】新知產(chǎn)生后，直接應(yīng)用新知是學(xué)生的模仿階段，也是本課教

學(xué)最基本的知識(shí)目標(biāo)，這時(shí)需要強(qiáng)化記憶，除設(shè)計(jì)第1組習(xí)題外還設(shè)計(jì)板

書例題和第2組習(xí)題.第一組習(xí)題小評(píng)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)應(yīng)用根系關(guān)系

解決2根和與2根積的問題不需求出復(fù)雜的2根，同時(shí)滲透著整體代入的

數(shù)學(xué)方法，為例2鞏固知識(shí)奠定基礎(chǔ).

例2：已知：

XI和X2是一元二次方程x2-4X+1=0的2根，求下列代數(shù)式的值

(1)+

(2)X」+X22

、、2

(3)(xi-X2)

學(xué)生練習(xí)：(1)+

(2)(X1+1)(X2+1)

【設(shè)計(jì)意圖】本例對(duì)絕大多數(shù)同學(xué)來說是可以掌握的內(nèi)容，也是研究根

系關(guān)系應(yīng)掌握的內(nèi)容，還可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)整體代入的數(shù)學(xué)思想方法.

五、本課小結(jié)：

六、課后作業(yè)：

第10課時(shí)21.3實(shí)際問題與一元二次方程(1)

教學(xué)內(nèi)容

由“倍數(shù)關(guān)系”等問題建立數(shù)學(xué)模型，并通過配方法或公式法或

分解因式法解決實(shí)際問題.

教學(xué)目標(biāo)

掌握用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問

題.

通過復(fù)習(xí)二元一次方程組等建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問

題，引入用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）問題