北師大高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【課件】

第二章圓錐曲線2雙曲線自主預(yù)習(xí)互動(dòng)學(xué)習(xí)達(dá)標(biāo)小練

2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)訓(xùn)練自主預(yù)習(xí)距離之差絕對(duì)值常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)焦點(diǎn)焦距F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)a2＋b2F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a2＋b2提示：設(shè)該距離之差的絕對(duì)值為2a，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在；當(dāng)2a＝0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線.故只有當(dāng)?shù)蕉c(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值大于零且小于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡才是雙曲線.提示：若沒有“絕對(duì)值”，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.若設(shè)動(dòng)點(diǎn)為點(diǎn)M，則當(dāng)|MF1|－|MF2|＝2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支；當(dāng)|MF1|－|MF2|＝－2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支.

0，n＞0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)m＜0，n＜0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上.基礎(chǔ)訓(xùn)練互動(dòng)學(xué)習(xí)[解析]

(1)利用橢圓和雙曲線的定義列出關(guān)于|PF1|，|PF2|的方程組，分別求出|PF1|，|PF2|的值，從而得到|PF1|·|PF2|的值.由橢圓和雙曲線的對(duì)稱性可知，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由橢圓和雙曲

∴|PF1|·|PF2|＝m－a，故選A.(2)解：由題意知，a＝3，點(diǎn)P在雙曲線上，由題意可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6.∴|10－|PF2||＝6，解得|PF2|＝4，或|PF2|＝16.由于雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為c－a＝2，所以4，16都滿足.[答案]

(1)AC

到點(diǎn)F2(0，－3)的距離的差為4，且4＜|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，且該雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)a＝2，半焦距c＝3，所

[解]

(1)解法一(待定系數(shù)法)：由題意知雙曲線的兩焦點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0，3).

解法二(定義法)：由題意知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0，3)且A(4，－5)在雙曲線上，

－5＝4.

(2)解法一：若焦點(diǎn)在x軸上，

因?yàn)镸(1，1)，N(－2，5)在雙曲線上，

解法二：設(shè)所求雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0).

A

＞0).由題知c＝2，∴a2＋b2＝4.①

由①②解得a2＝1，b2＝3，

[解]

設(shè)點(diǎn)F(x，y)為軌跡上的任一點(diǎn)，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，所以|FA|＋|CA|＝2a'，|FB|＋|CB|＝2a'(其中a'表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng))，所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，

即|FA|－|FB|＝2.由雙曲線的定義知，點(diǎn)F在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的

1).解：如圖，設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，圓C1與圓C2的半

∵C1(－4，0)，C2(4，0)，

根據(jù)雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C1(－4，0)，C2(4，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

[解]

如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，使A，B兩點(diǎn)在x軸上，并且原點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn).設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|－|PB|＝340×2＝680，即2a＝680，∴a＝340.又|AB|＝2c＝800，∴c＝400.∴b2＝c2－a2＝44

400.

解：能.田地ABCD中的點(diǎn)可分為三類：第一類沿PA送肥近，第二類沿PB送肥較近，第三類沿PA或PB送肥一樣近，由題意知，界線是第三類點(diǎn)的軌跡.設(shè)M是界線上的任一點(diǎn)，則|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)，故所求界線是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線一支.若以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原

即為所求界線的方程.基礎(chǔ)訓(xùn)練達(dá)標(biāo)小練D解析：|F1F2|＝

當(dāng)a＝3時(shí)，|PF1|－|PF2|＝6＜10，∴點(diǎn)P的軌跡為靠近點(diǎn)F2的雙曲線的一支；當(dāng)a＝5時(shí)，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，∴點(diǎn)P的軌跡為以F2為端點(diǎn)，與

B

A

可能在左支，也可能在右支，由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，所以|PF2|＝22或2.所以點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是22或2.故選A.

解析：因?yàn)閨AB|－|AC|＝6＜10，所以點(diǎn)A的軌跡是雙曲線的右支(不含頂點(diǎn))，

由于A，B，C三點(diǎn)不共線，則x＞3，

解：如圖所示，M，N，Q是切點(diǎn)，由已知得a＝4，b＝3，c＝5.根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理及雙曲線定義可得|NF2|＝|MF2|，|PM|＝|PQ|，|QF1|＝|F1N|，∴|NF2|＋|MF2|＝|PF2|＋|F1F2|－|PM|－|F1N|，2|NF2|＝|PF2|－|PF1|＋|F1F2|.

|ON|＝|NF2|－|OF2|＝4.∴切點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－4，0)，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)P在雙曲線右支時(shí)，切點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4，0).即所求切點(diǎn)坐標(biāo)為(－4，0)或(4，0).解：因?yàn)椤鱉PN的周長(zhǎng)為48，

設(shè)|PN|＝3k，|PM|＝4k，則|MN|＝5k.∴3k＋4k＋5k＝48.解方程，得k＝4.∴|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝2