（高二數(shù)學(xué)高分突破）7.4二項(xiàng)式定理（十一大題型）（原卷版）

（高二數(shù)學(xué)高分突破）7.4二項(xiàng)式定理（十一大題型）（原卷版）（高二數(shù)學(xué)高分突破）7.4二項(xiàng)式定理（十一大題型）（原卷版）/（高二數(shù)學(xué)高分突破）7.4二項(xiàng)式定理（十一大題型）（原卷版）7．4二項(xiàng)式定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)能利用多項(xiàng)式運(yùn)算法則,建立二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)與組合數(shù)公式之間的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理,并能用計數(shù)原理進(jìn)行解釋．(2)能通過分析二項(xiàng)展開式的結(jié)構(gòu)特征發(fā)現(xiàn)通項(xiàng)公式,并能用于解決相關(guān)問題．(3)能通過分析二項(xiàng)展開式的結(jié)構(gòu)特征發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),能列出"楊輝三角形”,聯(lián)系函數(shù)知識發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)的一些規(guī)律,并能用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決簡單問題．(1)理解二項(xiàng)式定理的相關(guān)概念.(2)掌握二項(xiàng)式定理的特征及其展開式的通項(xiàng)公式.(3)會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題．知識點(diǎn)01二項(xiàng)式定理1、定義一般地,對于任意正整數(shù),都有：這個公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理,等號右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式．式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用表示,即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：,其中的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)2、二項(xiàng)式的展開式的特點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng),比二項(xiàng)式的次數(shù)大1;(2)二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中;(3)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列,次數(shù)由到0;字母升冪排列,次數(shù)從0到,每一項(xiàng)中,a,b次數(shù)和均為;【即學(xué)即練1】寫出的展開式．知識點(diǎn)02二項(xiàng)展開式的通頂公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：公式特點(diǎn)：(1)它表示二項(xiàng)展開式的第項(xiàng),該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是;(2)字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同;【即學(xué)即練2】(2024·江蘇·高二假期作業(yè))的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.知識點(diǎn)03二頂式系數(shù)及其性質(zhì)1、的展開式中各項(xiàng)的二頂式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：①對稱性：二項(xiàng)展開式中,與首末兩端"等距離"的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,即;②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大,在后半部分逐漸減小,在中間取得最大值．其中,當(dāng)為偶數(shù)時,二項(xiàng)展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;當(dāng)為奇數(shù)時,二項(xiàng)展開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,且最大．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)之和為,即;(4)二項(xiàng)展開式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和,即．知識點(diǎn)詮釋：二項(xiàng)式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)展開式中,第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù),展開式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù),二者不一定相等．2、展開式中的系數(shù)求法的整數(shù)且知識點(diǎn)詮釋：三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開式問題,把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng),利用二項(xiàng)式定理解決．【即學(xué)即練3】(2024·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末)在的展開式中,的系數(shù)是.題型一：二項(xiàng)式定理的正用、逆用【典例1-1】(2024·高二課時練習(xí))(1)求的展開式;(2)化簡．【典例1-2】(2024·高二課時練習(xí))用二項(xiàng)式定理展開下列各式：(1);(2)．【變式1-1】(2024·高二課時練習(xí))求的展開式．【變式1-2】(2024·高二課時練習(xí))求的展開式．【方法技巧與總結(jié)】(1)的二項(xiàng)展開式有項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是：①各項(xiàng)的次數(shù)和等于n;②字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n．(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想．注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開式的形式靠攏．題型二：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)【典例2-1】(2024·江蘇·高二假期作業(yè))在的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為．【典例2-2】(2024·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?展開式中常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)【變式2-1】(2024·全國·高二專題練習(xí))的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.【變式2-2】(2024·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期末)在展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為.【方法技巧與總結(jié)】(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù),它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分"二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)展開式中"項(xiàng)的系數(shù)”這兩個概念．(2)第項(xiàng)的親數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號,而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為．題型三：展開式中的特定項(xiàng)【典例3-1】(2024·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末)式子二項(xiàng)式定理展開中的第6項(xiàng)為．【典例3-2】(2024·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí))已知二項(xiàng)式的展開式中,后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為37,展開式中的第四項(xiàng)為.【變式3-1】(2024·北京石景山·高二統(tǒng)考期末)二項(xiàng)式的展開式中存在常數(shù)項(xiàng),則可以為．(只需寫出一個符合條件的值即可)【變式3-2】(2024·全國·高二開學(xué)考試)寫出展開式中的一個有理項(xiàng)為.【變式3-3】(2024·高二單元測試)展開式中的第7項(xiàng)與倒數(shù)第7項(xiàng)的比是1∶6,則展開式中的第7項(xiàng)為．【方法技巧與總結(jié)】求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法(1)對于常數(shù)項(xiàng),隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))．(2)對于有理項(xiàng),一般是先寫出通項(xiàng)公式,求其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù)集,再根據(jù)數(shù)的整除性來求解．(3)對于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng),其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理項(xiàng)一致．題型四：求兩個多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)【典例4-1】(2024·全國·高二校聯(lián)考開學(xué)考試)在的展開式中,的系數(shù)為(

)A． B．60 C． D．80【典例4-2】(2024·江蘇·高二假期作業(yè))在展開式中的系數(shù)為(

)A． B．0 C．1 D．2【變式4-1】(2024·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)校考期末)展開式中的系數(shù)是(

)A． B． C． D．【變式4-2】(2024·江西吉安·高二江西省峽江中學(xué)?？计谀?已知展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為,則展開式中的系數(shù)為(

)A． B． C． D．【變式4-3】(2024·甘肅白銀·高二校考期末)的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是(

)A． B．5 C．15 D．35【變式4-4】(2024·全國·高二假期作業(yè))的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(

)A．120 B．80 C．60 D．40【方法技巧與總結(jié)】求多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)的方法："雙通法”所謂的"雙通法”是根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則得到的展開式中一般項(xiàng)為：,再依據(jù)題目中對指數(shù)的特殊要求,確定與所滿足的條件,進(jìn)而求出,的取值情況．題型五：系數(shù)的最值問題【典例5-1】(2024·河北張家口·高二統(tǒng)考期末)在的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為(用數(shù)字作答).【典例5-2】(2024·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng).【變式5-1】(2024·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？计谀?的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.【變式5-2】(2024·河南駐馬店·高二確山縣第一高級中學(xué)校考期末)已知的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為46,;展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【變式5-3】(2024·北京·高二?？茧A段練習(xí))已知的展開式中,第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù),則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)為.【變式5-4】(2024·全國·高二專題練習(xí))二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-1,則該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為【方法技巧與總結(jié)】求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的,需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況,一般采用列不等式(組)、解不等式(組)的方法求解．一般地,如果第(k＋1)項(xiàng)的系數(shù)最大,則與之相鄰兩項(xiàng)第k項(xiàng),第(k＋2)項(xiàng)的系數(shù)均不大于第(k＋1)項(xiàng)的系數(shù),由此列不等式組可確定k的范圍,再依據(jù)k∈N來確定k的值,即可求出最大項(xiàng)．題型六：余數(shù)和整除的問題【典例6-1】(2024·河南鄭州·高二校聯(lián)考期末)除以所得的余數(shù)是.【典例6-2】(2024·湖北武漢·高二武漢市東湖中學(xué)?？计谀?已知,且能被17整除,則的取值可以是.(寫出一個滿足題意的即可)【變式6-1】(2024·廣東廣州·高二?？计谀?設(shè),且,若能被13整除,則.【變式6-2】(2024·全國·高二專題練習(xí))若多項(xiàng)式能被整除,則．【變式6-3】(2024·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期末)被除的余數(shù)是.【方法技巧與總結(jié)】利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題,通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式,且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系．題型七：證明不等式或求近似值【典例7-1】(2024·高二課時練習(xí))用二項(xiàng)式定理估算.(精確到0.001)【典例7-2】(2024·高二課時練習(xí))將精確到0.01的近似值是．【變式7-1】(2024·江西九江·高二統(tǒng)考期末)二項(xiàng)式定理,又稱牛頓二項(xiàng)式定理,由艾薩克?牛頓提出.二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪,即廣義二項(xiàng)式定理：對于任意實(shí)數(shù),當(dāng)比較小的時候,取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：,并且的值越小,所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個方法計算的近似值,可以這樣操作：.用這樣的方法,估計的近似值約為.(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù))【變式7-2】(2024·高二課時練習(xí))已知數(shù)列{an}(n為正整數(shù))是首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列．(1)求和：,;(2)由(1)的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個結(jié)論,并加以證明．【變式7-3】(2024·遼寧·高二校聯(lián)考期末)已知.(1)當(dāng),時,求中含項(xiàng)的系數(shù);(2)用、表示,寫出推理過程．【方法技巧與總結(jié)】的近似計算的處理方法當(dāng)a的絕對值與1相比很小且n不大時,常用近似公式,因?yàn)檫@時展開式的后面部分很小,所以可以忽略不計,但是使用這個公式時應(yīng)注意a的條件,以及對精確度的要求．若精確度要求較高,則可使用更精確的近似公式等．題型八：二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題【典例8-1】(多選題)(2024·遼寧本溪·高二?？计谀?若,則(

)A． B．C． D．【典例8-2】(多選題)(2024·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期末)的展開式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則以下判斷正確的是(

)A．第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 B．所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為C． D．【變式8-1】(多選題)(2024·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí))設(shè),則下列說法正確的是(

)A． B．C．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng) D．【變式8-2】(多選題)(2024·河北秦皇島·高二統(tǒng)考期末)已知,則(

)A． B．C． D．【變式8-3】(多選題)(2024·山西運(yùn)城·高二康杰中學(xué)校考階段練習(xí))已知,下列命題中,正確的有(

)A．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為 B．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為C．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為 D．【變式8-4】(2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè).(1)求的值.(2)求.【方法技巧與總結(jié)】二項(xiàng)展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如,的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法,只需令即可,對的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令即可．(2)一般地,若,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為．題型九：二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【典例9-1】(2024·天津西青·高二統(tǒng)考期末)在的展開式中共有7項(xiàng),則下列敘述中正確的結(jié)論個數(shù)為(

)①二項(xiàng)式系數(shù)之和為32;②各項(xiàng)系數(shù)之和為0;③二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第四項(xiàng);④的系數(shù)為15A．4 B．3 C．2 D．1【典例9-2】(2024·福建三明·高二校聯(lián)考期末)在的展開式中,若二項(xiàng)式系數(shù)最大值為n,則(

)A．180 B．165 C．120 D．55【變式9-1】(2024·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)校考期末)的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式的第三項(xiàng)為(

)A．180 B．-180C．180 D．-180【變式9-2】(2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谀?已知二項(xiàng)式的展開式中僅有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則為(

)A． B． C． D．【變式9-3】(2024·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習(xí))若二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)只有第項(xiàng)最大,則展開式的常數(shù)項(xiàng)的值為(

)A． B． C． D．【變式9-4】(2024·山東淄博·高二統(tǒng)考期末)已知的展開式中第三項(xiàng)與第四項(xiàng)的系數(shù)之比為,則其展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為(

)A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)【方法技巧與總結(jié)】(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的求法求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對中的進(jìn)行討論．①當(dāng)為奇數(shù)時,中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;②當(dāng)為偶數(shù)時,中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．(2)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的,需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析．如求的展開式中系數(shù)的最大項(xiàng),一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為,且第項(xiàng)最大,應(yīng)用,解出,即得出系數(shù)的最大項(xiàng)．題型十：三項(xiàng)式及多項(xiàng)式展開問題【典例10-1】(2024·江蘇·高二假期作業(yè))的展開式中的系數(shù)為(

)A．208 B． C．217 D．【典例10-2】(2024·江蘇·高二假期作業(yè))的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為(

)A． B． C．70 D．72【變式10-1】(2024·江西南昌·高二南昌十中校考階段練習(xí))在的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為(

)A．299 B．300C． D．【變式10-2】(2024·高二課時練習(xí))在的展開式中,的系數(shù)是(

)A．24 B．32 C．36 D．40【變式10-3】(2024·高二單元測試)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(

)A．588 B．589 C．798 D．799【方法技巧與總結(jié)】通項(xiàng)法題型十一：楊輝三角問題【典例11-1】(2024·山東德州·高二統(tǒng)考期末)將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成,得到如圖所示的萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì),如從第0行開始每一個數(shù)均等于其"腳下”兩個數(shù)之和,如果(n為正整數(shù)),則下列結(jié)論中正確的是(

)第0行

第1行

第2行

第3行

……

……A．當(dāng)時,中間的兩項(xiàng)相等,且同時取得最大值B．當(dāng)時,中間一項(xiàng)為C．第6行第5個數(shù)是D．【典例11-2】(2024·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀?我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的楊輝三角,這是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就．在楊輝三角中,第行的所有數(shù)字之和為,若去除所有為1的項(xiàng),依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,……．則此數(shù)列的前15項(xiàng)之和為(

)A．114 B．116 C．124 D．126【變式11-1】(2024·江西·高二校聯(lián)考期末)楊輝三角(如下圖所示)是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就,楊輝三角中從第2行到第2023行,每行的第3個數(shù)字之和為(

)A． B． C． D．【變式11-2】(2024·遼寧大連·高二瓦房店市高級中學(xué)?？计谀?"楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一,最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)．如圖所示的楊輝三角中,第8行,第3個數(shù)是(

)第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641A．21 B．28 C．36 D．56【變式11-3】(2024·江蘇·高二假期作業(yè))"楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就,如圖是由"楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣,記為圖中所選數(shù)1,構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng),則的值為(

)

A．252 B．426 C．462 D．924【方法技巧與總結(jié)】解決與楊輝三角有關(guān)問題的一般思路(1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看,多角度觀察．(2)找規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)之間,行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律．(3)將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來,使問題得解．一、單選題1．(2024·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí))的展開式中的系數(shù)為(

)A． B． C． D．2．(2024·陜西·校聯(lián)考一模)的展開式中的系數(shù)為(

)A．30 B．25 C．45 D．153．(2024·浙江·校聯(lián)考一模)展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為(

)A．30 B． C．10 D．4．(2024·河南·高二校聯(lián)考專題練習(xí))的值為(

)A．1016 B．986 C．1326 D．15665．(2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為0,則(

)A．3 B． C．2 D．6．(2024·新疆喀什·高二統(tǒng)考期中)已知的展開式中只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大,則正整數(shù)n的值為(

)A．9 B．10 C．11 D．127．(2024·全國·高三