重慶市云陽縣鳳鳴中學(xué)2024屆高三5月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題試卷

重慶市云陽縣鳳鳴中學(xué)2024屆高三5月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱與底面成角，則正三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知集合，，，則()A． B． C． D．4．已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯誤的是（）A．該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元5．下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域為的是（）A． B． C． D．6．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機取一點，若此點取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定7．已知復(fù)數(shù)z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復(fù)數(shù)是（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i8．已知集合，，則集合的真子集的個數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．39．若集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．10．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知數(shù)列的通項公式是，則（）A．0 B．55 C．66 D．7812．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．14．已知為等比數(shù)列，是它的前項和.若，且與的等差中項為，則__________.15．已知四棱錐，底面四邊形為正方形，，四棱錐的體積為，在該四棱錐內(nèi)放置一球，則球體積的最大值為_________．16．已知集合，.若，則實數(shù)a的值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：（）的焦點到點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，點、分別在第一和第二象限內(nèi)，求的面積.18．（12分）已知函數(shù).（1）當時.①求函數(shù)在處的切線方程；②定義其中，求；（2）當時，設(shè)，(為自然對數(shù)的底數(shù))，若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.19．（12分）如圖，橢圓的長軸長為，點、、為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，過中心，且，．（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個動點（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系，并求證直線的斜率為定值.20．（12分）已知函數(shù)（），且只有一個零點.（1）求實數(shù)a的值；（2）若，且，證明：.21．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）解不等式；（2）若對任意的實數(shù)恒成立，求的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）和曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，已知點是射線與直線的公共點，點是與曲線的公共點，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積．【詳解】如圖，正三棱錐中，是底面的中心，則是正棱錐的高，是側(cè)棱與底面所成的角，即＝60°，由底面邊長為3得，∴．正三棱錐外接球球心必在上，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴．故選：D．【點睛】本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關(guān)系．掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2、D【解析】

由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.3、A【解析】

求得集合中函數(shù)的值域，由此求得，進而求得.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法，考查集合補集、交集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對選項逐一分析，由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項說法正確；月收益最低，B選項說法正確；月總收益萬元，月總收益萬元，所以前個月收益低于后六個月收益，C選項說法正確，后個月收益比前個月收益增長萬元，所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計算方法，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于，圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則在定義域上單調(diào)遞增，且值域為，正確；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)單調(diào)遞增，但值域為，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得．【詳解】根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點取自陰影部分的概率為．又，故．故選B．【點睛】本題考查了幾何概型，定積分的計算以及幾何意義，屬于中檔題．7、D【解析】

兩邊同乘-i，化簡即可得出答案．【詳解】i?z＝2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i，選D.【點睛】的共軛復(fù)數(shù)為8、D【解析】

轉(zhuǎn)化條件得，利用元素個數(shù)為n的集合真子集個數(shù)為個即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個數(shù)為個.故選：D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算，考查了集合真子集個數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進行判定【詳解】當時，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì)，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值，可進一步得到數(shù)列的通項公式，然后代入轉(zhuǎn)化計算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，所以當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，，所以故選：D【點睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.12、C【解析】

化簡復(fù)數(shù)，分子分母同時乘以，進而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得，從而求得，結(jié)合范圍，即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎(chǔ)，只要按照題意運用公式即可求出答案14、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求出和的值，進而可求得和的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，由于與的等差中項為，則，則，，，，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和，解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由題知，該四棱錐為正四棱錐，作出該正四棱錐的高和斜高，連接，則球心O必在的邊上，設(shè)，由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知，設(shè)，用和表示四棱錐的體積，解得和的關(guān)系，進而表示出內(nèi)切球的半徑，并求出半徑的最大值，進而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè)，，由球O內(nèi)切于四棱錐可知，，，則，球O的半徑，，，，當且僅當時，等號成立，此時.故答案為：.【點睛】本題考查了棱錐的體積問題，內(nèi)切球問題，考查空間想象能力，屬于較難的填空壓軸題.16、9【解析】

根據(jù)集合交集的定義即得.【詳解】集合，，，，則a的值是9.故答案為：9【點睛】本題考查集合的交集，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）分別設(shè)、的斜率為和，切點，，可得過點的拋物線的切線方程為：，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得到關(guān)于一元二次方程，根據(jù)，求得，，進而求得切點，坐標，根據(jù)兩點間距離公式求得，根據(jù)點到直線距離公式求得點到切線的距離，進而求得的面積.【詳解】（1），，解得，拋物線的方程為.（2）由題意可知，、的斜率都存在，分別設(shè)為和，切點，，過點的拋物線的切線：，由,消掉,可得，，即，解得，，又由，得，，，同理可得，，，，，切線的方程為，點到切線的距離為，，即的面積為.【點睛】本題主要考查了求拋物線方程和拋物線中三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握拋物線定義和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達定理建立起目標的關(guān)系式18、（1）①；②8079；（2）.【解析】

（1）①時，，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程．②由，得，由此能求出的值．（2）根據(jù)若對任意給定的，，在區(qū)間，上總存在兩個不同的，使得成立，得到函數(shù)在區(qū)間，上不單調(diào)，從而求得的取值范圍．【詳解】（1）①∵，∴∴，∴，∵，所以切線方程為.②，.令，則,.因為①,所以②,由①+②得,所以.所以.（2），當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減∵，，所以，函數(shù)在上的值域為.因為，，故，，①此時，當變化時、的變化情況如下：—0+單調(diào)減最小值單調(diào)增∵，，∴對任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個不同的，使得成立，當且僅當滿足下列條件，即令，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減所以，對任意，有，即②對任意恒成立.由③式解得：④綜合①④可知，當時，對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使成立.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問題，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，會根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件．不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．19、（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）利用題中條件先得出的值，然后利用條件，結(jié)合橢圓的對稱性得到點的坐標，然后將點的坐標代入橢圓方程求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件得到直線與的斜率直線的關(guān)系（互為相反數(shù)），然后設(shè)直線的方程為，將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標，注意到直線與的斜率之間的關(guān)系得到點的坐標，最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.（1），，又是等腰三角形，所以，把點代入橢圓方程，求得，所以橢圓方程為；（2）由題易得直線、斜率均存在，又，所以，設(shè)直線代入橢圓方程，化簡得，其一解為，另一解為，可求，用代入得，，為定值.考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.兩點間連線的斜率20、（1）（2）證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)可得在上,在上,所以函數(shù)在時,取最小值,由函數(shù)只有一個零點,觀察可知則有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)（）,求導(dǎo)借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得，由,可知,因為時,為增函數(shù)，即可得證得結(jié)論.【詳解】（1）（）.因為，所以，令得，，且，，在上；在上；所以函數(shù)在時，取最小值，當最小值為0時，函數(shù)只有一個零點，易得，所以，解得.（2）由（1）得，函數(shù)，設(shè)（），則，設(shè)（），則，，所以為減函數(shù)，所以，即，所以，即，又，所以，又當時，為增函數(shù)，所以，即.【點睛】本題考查借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查學(xué)生分析問題的能力,及邏輯推理能力,難度困難.21、(1)；(2)【解析】試題分析：（1）將絕對