2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)五十九10.9.2圓錐曲線中的探究性問題文含解析北師大版_第1頁
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PAGE1-核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)五十九圓錐曲線中的探究性問題1.(2024·德州模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為12,P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)直線PF2斜率為k(k≠0),且PF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,是否存在點(diǎn)T(0,t),使得|TP|=|TQ|.若存在,求t的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)當(dāng)P為C的短軸頂點(diǎn)時(shí),△PF1F2的面積有最大值3所以ca=12a2故橢圓C的方程為:x24+(2)設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-1),將y=k(x-1)代入x24+得3+4k2x2-8k2x+4k設(shè)Px1,y1,Qx2,yx0=x1+x22==kx0-1即N4k因?yàn)閨TP=TQ|,所以直線TN為線段PQ的垂直平分線,所以TN⊥PQ,則kTN·kPQ=-1,即-3k4k2+3-t當(dāng)k>0時(shí),因?yàn)?k+3k≥43(當(dāng)且僅當(dāng)k=32時(shí)取等號(hào)),所以t∈0,312,當(dāng)k<0時(shí),因?yàn)?k+3k≤-43(當(dāng)且僅當(dāng)k=-32時(shí)取等號(hào)),所以t∈-312,0.綜上,存在點(diǎn)T,2.已知離心率為12的橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)與拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F重合(1)求橢圓C的方程.(2)若直線l與C交于M,N兩點(diǎn),與E交于A,B兩點(diǎn),且OA·OB=-4(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求△MNF面積的最大值.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)F到E的準(zhǔn)線的距離為2,所以p=2,F(1,0),由c=1,c所以橢圓C的方程為x24+(2)由(1)知拋物線E的方程為y2=4x.要使直線l與拋物線E交于兩點(diǎn),則直線l的斜率不為0,可設(shè)l的方程為x=my+n,由x=my+n,y所以Δ=(-4m)2+16n>0,得m2+n>0.設(shè)Ax1,y1,Bx所以x1x2=y124·y224=因?yàn)镺A·OB=-4,所以x1x2+y1y2=-4,所以n2-4n=-4,所以n=2,所以直線l的方程為x=my+2,所以直線l過橢圓C的右頂點(diǎn)(2,0),不妨設(shè)M(2,0),N(x3,y3),-3≤y3≤3,且y3≠

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