學(xué)習(xí)園地?cái)?shù)學(xué)

函數(shù)值域求法十一種

1.直接觀察法

對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到。

例1.求函數(shù)的值域。

解：∵∴

顯然函數(shù)的值域是：

例2.求函數(shù)的值域。

解：∵

故函數(shù)的值域是：

2.配方法:配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。

例3.求函數(shù)的值域。

解：將函數(shù)配方得：

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是：[4，8]

3.判別式法

例4.求函數(shù)的值域。

解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程

當(dāng)時(shí)，解得：

（2）當(dāng)y=1時(shí)，，而故函數(shù)的值域?yàn)?/p>

例5.求函數(shù)的值域。（亦可用求導(dǎo)）

解：兩邊平方整理得：

（1）∵∴解得：

但此時(shí)的函數(shù)的定義域由，得

由，僅保證關(guān)于x的方程：在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間[0，2]上，即不能確保方程（1）有實(shí)根，由求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。∵

代入方程（1）

解得：即當(dāng)時(shí)，原

8.數(shù)形結(jié)合法

其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。

例14.求函數(shù)的值域。

解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：

上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），間的距離之和。

由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，

故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

例15.求函數(shù)

的值域。

解：原函數(shù)可變形為：

上式可看成x軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，

由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，，

故所求函數(shù)的值域?yàn)?/p>

例17.求函數(shù)

的值域。

解：將函數(shù)變形為：

上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差。

即：

由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有

即：

（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有

綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

9.不等式法

利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。

10.一一映射法

原理：因?yàn)樵诙x域上x(chóng)與y是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。

例21.求函數(shù)的值域。

解：∵定義域?yàn)橛傻?/p>

故或解得

故函數(shù)的值域?yàn)?/p>

11.多種方法綜合運(yùn)用

例22.求函數(shù)的值域。

解：令，則

（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時(shí)取等號(hào)，所以

（2）當(dāng)t=0時(shí)，y=0。

綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

注：先換元，后用不等式法

例23.求函數(shù)的值域。（求導(dǎo)法比較煩）

解：

令，則

∴當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)都存在，故函數(shù)的值域?yàn)?/p>

注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運(yùn)用的有界性。

總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先