高中數(shù)學(xué)立體幾何多選題知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題附解析

高中數(shù)學(xué)立體幾何多選題知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題附解析一、立體幾何多選題1．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上（不含端點(diǎn)）且，將，分別沿，折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）．A．B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球體積為C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)：證明面，得；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，利用分隔補(bǔ)形法求三棱錐的外接球體積；C選項(xiàng)：利用等體積法求三棱錐的體積；D選項(xiàng)：利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】A選項(xiàng)：正方形由折疊的性質(zhì)可知：又面又面，；故A正確.B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，在中，，則由A選項(xiàng)可知，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，把三棱錐放置在長(zhǎng)方體中，可得長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，三棱錐的外接球半徑為，體積為，故B錯(cuò)誤C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，在中，，則故C正確；D選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則在中，，則即故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積．2．在正三棱柱中，，，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A．B．三棱錐的體積為C．且平面D．內(nèi)到直線AC、的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分【答案】ABD【分析】A．根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算并判斷；B．根據(jù)，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)三棱錐的高和底面積，由此求解出三棱錐的體積；C．先假設(shè)，然后推出矛盾；取中點(diǎn)，根據(jù)四點(diǎn)共面判斷平面是否成立；D．將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“內(nèi)到直線和點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)”的軌跡，然后利用拋物線的定義進(jìn)行判斷.【詳解】A．，故正確；B．，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)且，所以，又因?yàn)槠矫?，所以且，所以平面，又因?yàn)椋?，所以，故正確；C．假設(shè)成立，又因?yàn)槠矫妫郧?，所以平面，所以，顯然與幾何體為正三棱柱矛盾，所以不成立；取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且，所以，所以四點(diǎn)共面，又因?yàn)榕c相交，所以平面顯然不成立，故錯(cuò)誤；D．“內(nèi)到直線AC、的距離相等的點(diǎn)”即為“內(nèi)到直線和點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)”，根據(jù)拋物線的定義可知滿足要求的點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，故正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解空間中三棱錐的體積的常用方法：（1）公式法：直接得到三棱錐的高和底面積，然后用公式進(jìn)行計(jì)算；（2）等體積法：待求三棱錐的高和底面積不易求出，采用替換頂點(diǎn)位置的方法，使其求解高和底面積更容易，由此求解出三棱錐的體積.3．如圖，直三棱柱，為等腰直角三角形，，且，，分別是，的中點(diǎn)，D，M分別是，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A．FM與BD一定是異面直線B．三棱錐的體積為定值C．直線與所成角為D．若D為中點(diǎn)，則四棱錐的外接球體積為【答案】CD【分析】A當(dāng)特殊情況與B重合有FM與BD相交且共面；B根據(jù)線面垂直、面面垂直判定可證面面，可知、D到面的距離，可求；C根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)即可確定與所成角；D由面面垂直、勾股、矩形性質(zhì)等確定外接球半徑，進(jìn)而求體積，即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：當(dāng)與B重合時(shí)，F(xiàn)M與BD相交且共面，錯(cuò)誤；B：由題意知：，且，則面，又面，面面，所以面面，又，D到面的距離為，所以，錯(cuò)誤；C：由，，，所以面，又，即面，而面，則，正確；D：由B中，面面，即面面，則D到面的距離為，又D為中點(diǎn)，若交點(diǎn)為O，為中點(diǎn)，連接，則，故，由矩形的性質(zhì)知：，令四棱錐的外接球半徑為R，則，所以四棱錐的外接球體積為，正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用線面、面面關(guān)系確定幾何體的高，結(jié)合棱錐體積公式求體積，根據(jù)線面垂直、勾股定理及矩形性質(zhì)確定外接球半徑，結(jié)合球體體積公式求體積.4．如圖，已知四棱錐所有棱長(zhǎng)均為4，點(diǎn)M是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），若過(guò)點(diǎn)M且垂直于的截面將該四棱錐分成兩部分，則下列結(jié)論正確的是（）A．截面的形狀可能為三角形、四邊形、五邊形B．截面和底面所成的銳二面角為C．當(dāng)時(shí)，截面的面積為D．當(dāng)時(shí)，記被截面分成的兩個(gè)幾何體的體積分別為，則【答案】BCD【分析】點(diǎn)M是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)其不同位置，對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)中，如圖，連接BD，當(dāng)M是PC中點(diǎn)時(shí)，，由題意知三角形PDC與三角形PBC都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，所以,，又DM，BM在面MBD內(nèi)，且相交，所以平面PBD，三角形MBD即為過(guò)點(diǎn)M且垂直于的截面，此時(shí)是三角形，點(diǎn)M向下移動(dòng)時(shí)，，如圖，仍是三角形；若點(diǎn)M由中點(diǎn)位置向上移動(dòng)，，在平面PDC內(nèi)作，交PD于E，在平面PBC內(nèi)作交PB于F，平面MEF交平面PAD于EG，交PAB于FH，即交平面ABCD于GH，則五邊形MEGHF即為過(guò)點(diǎn)M且垂直于的截面，此時(shí)是五邊形；故截面的形狀可能為三角形、五邊形，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，因?yàn)榻孛婵偱cPC垂直，所以不同位置的截面均平行，截面與平面ABCD所成的銳角為定值，不妨取M是中點(diǎn)，連接AC，BD，MB，MD，設(shè)AC，BD交點(diǎn)是N，連接PN，由題意知，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，，因?yàn)镸B=MD，所以，故是截面與平面ABCD所成的銳角，過(guò)點(diǎn)M作，垂足Q.在三角形PAC中，MN=2，NQ=，故在直角三角形MNQ中，，故，故B正確；C選項(xiàng)中，當(dāng)PM=1時(shí)，M是PC中點(diǎn)，如圖，五邊形MEGHF即為過(guò)點(diǎn)M且垂直于的截面，依題意，直角三角形PME中，，故E為PD的中點(diǎn)，同理，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，則EF是三角形PBD的中位線，，G，H分別在的中點(diǎn)上，證明如下，當(dāng)G，H，也是中點(diǎn)時(shí)，，有，四邊形EFHG是平行四邊形.依題意，三角形PAC中，故，故，易見(jiàn)，正四棱錐中平面PAC，故，，因?yàn)榫谄矫鍱FHG內(nèi)，且相交，所以平面EFHG，故此時(shí)平面EFHG和平面MEF即同一平面.又平面PAC，有面平面PAC，，根據(jù)對(duì)稱性有，四邊形EFHG是矩形.即五邊形MEGHF即為過(guò)點(diǎn)M且垂直于的截面，平面圖如下:依題意，，，三角形高為，面積是，四邊形面積是，故截面面積是.故C正確；D選項(xiàng)中，若PM=2，看B選項(xiàng)中的圖可知，，故剩余部分，所以，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的截面問(wèn)題，考查了二面角、體積等計(jì)算問(wèn)題，屬于難題.5．正方體中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面.以下命題正確的有（）A．側(cè)面上存在點(diǎn)F，使得B．直線與直線所成角可能為C．平面與平面所成銳二面角的正切值為D．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，A的平面截正方體所得的截面面積最大為【答案】AC【分析】取中點(diǎn)M，中點(diǎn)N，連接，易證得平面平面，可得點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段．取的中點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，即有，A正確；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)，直線與直線所成角最大，可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)平面平面，即為平面與平面所成的銳二面角，計(jì)算可知C正確；【詳解】取中點(diǎn)M，中點(diǎn)N，連接，則易證得，，從而平面平面，所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段．取的中點(diǎn)F，因?yàn)槭堑妊切?，所以，又因?yàn)?，所以，故A正確；設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M或點(diǎn)N重合時(shí)，直線與直線所成角最大，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤；平面平面，取F為的中點(diǎn)，則，，∴即為平面與平面所成的銳二面角，，所以C正確；因?yàn)楫?dāng)F為與的交點(diǎn)時(shí)，截面為菱形（為的交點(diǎn)），面積為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面角，二面角，截面面積的求解，空間幾何中的軌跡問(wèn)題，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題．6．在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，滿足且，（），將沿直線折到的位置.在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論不成立的是（）A．在邊上存在點(diǎn)，使得在翻折過(guò)程中，滿足平面B．存在，使得在翻折過(guò)程中的某個(gè)位置，滿足平面平面C．若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，D．在翻折過(guò)程中，四棱錐體積的最大值記為，的最大值為【答案】ABC【分析】對(duì)于A.在邊上點(diǎn)F，在上取一點(diǎn)N，使得，在上取一點(diǎn)H，使得，作交于點(diǎn)G，即可判斷出結(jié)論.對(duì)于B，，在翻折過(guò)程中，點(diǎn)在底面的射影不可能在交線上，即可判斷出結(jié)論.對(duì)于C，，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，取ED的中點(diǎn)M，可得平面.可得，結(jié)合余弦定理即可得出.對(duì)于D.在翻折過(guò)程中，取平面平面，四棱錐體積，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】對(duì)于A.在邊上點(diǎn)F，在上取一點(diǎn)N，使得，在上取一點(diǎn)H，使得，作交于點(diǎn)G，如圖所示，則可得平行且等于，即四邊形為平行四邊形，∴，而始終與平面相交，因此在邊上不存在點(diǎn)F，使得在翻折過(guò)程中，滿足平面，A不正確.對(duì)于B，，在翻折過(guò)程中，點(diǎn)在底面的射影不可能在交線上，因此不滿足平面平面，因此B不正確.對(duì)于C.，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，取的中點(diǎn)M，如圖所示：可得平面，則，因此C不正確；對(duì)于D.在翻折過(guò)程中，取平面AED⊥平面BCDE，四棱錐體積，，，可得時(shí)，函數(shù)取得最大值，因此D正確.綜上所述，不成立的為ABC.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查了利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)理解空間線面面面位置關(guān)系、四棱錐的體積計(jì)算公式、余弦定理、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力空間想象能力與計(jì)算能力，屬于難題.7．在正方體中，如圖，分別是正方形，的中心.則下列結(jié)論正確的是（）A．平面與的交點(diǎn)是的中點(diǎn)B．平面與的交點(diǎn)是的三點(diǎn)分點(diǎn)C．平面與的交點(diǎn)是的三等分點(diǎn)D．平面將正方體分成兩部分的體積比為1∶1【答案】BC【分析】取的中點(diǎn)，延長(zhǎng)，，并交于點(diǎn)，連并延長(zhǎng)分別交于，連并延長(zhǎng)交與，平面四邊形為所求的截面，進(jìn)而求出在各邊的位置，利用割補(bǔ)法求出多面體的體積，即可求出結(jié)論.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，延長(zhǎng)，，并交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，設(shè)，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).連接，，則平面四邊形就是平面與正方體的截面，如圖所示.，為的中位線，為中點(diǎn)，連，，三點(diǎn)共線，取中點(diǎn)，連，則，，為中點(diǎn)，分別是正方形的中心，所以點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).做出線段的另一個(gè)三等分點(diǎn)，做出線段靠近的三等分點(diǎn)，連接，，，，，所以從而平面將正方體分成兩部分體積比為2∶1.故選:BC.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的交點(diǎn)及多面體的體積，確定出平面與正方體的交線是解題的關(guān)鍵，考查直觀想象、邏輯推理能力，屬于較難題.8．如圖，正三棱柱中，、點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為四邊形內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)則以下結(jié)論正確的是（）A．B．若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度等于C．異面直線與，所成角的余弦值為D．若點(diǎn)到平面的距離等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分【答案】BCD【分析】根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算以及通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系求解，逐項(xiàng)判斷，進(jìn)而可得到本題答案.【詳解】解析：對(duì)于選項(xiàng)A，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)棱柱底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，，，所以，．∵，∴，即，解得．因?yàn)槠矫?/p>