人教高中物理同步講義練習(xí)必修二7.6 雙星、三星問(wèn)題 （解析版）

7.6雙星、三星學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)認(rèn)識(shí)萬(wàn)有引力定律的重要意義。1、繼續(xù)熟悉萬(wàn)有引力定律。2、知道雙星的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)、受力特點(diǎn)。3、知道三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)、受力特點(diǎn)。002預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)課前研讀課本，梳理基礎(chǔ)知識(shí)：一、雙星模型分析情景導(dǎo)圖運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向、周期、角速度相同，運(yùn)動(dòng)半徑一般不等受力特點(diǎn)兩星間的萬(wàn)有引力提供兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力解題規(guī)律eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2解題關(guān)鍵m1r1＝m2r2，r1＋r2＝L二、三星模型分析情景導(dǎo)圖運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向、周期、角速度、線速度大小均相同，圓周運(yùn)動(dòng)半徑相等受力特點(diǎn)各星所受萬(wàn)有引力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力解題規(guī)律eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,2r2)＝ma向eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝ma向解題關(guān)鍵兩邊星體繞中間星體做半徑相同的圓周運(yùn)動(dòng)r＝eq\f(L,2cos30°)（二）即時(shí)練習(xí)：【小試牛刀1】米歇爾·麥耶和迪迪?！た迤澮?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了第一顆太陽(yáng)系外行星—飛馬座51b而獲得2019年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。飛馬座51b與恒星相距為L(zhǎng)，構(gòu)成雙星系統(tǒng)(如圖所示)，它們繞共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)它們的質(zhì)量分別為m1、m2且(m1＜m2)，已知萬(wàn)有引力常量為G。則下列說(shuō)法正確的是()A.飛馬座51b與恒星運(yùn)動(dòng)具有相同的線速度B.飛馬座51b與恒星運(yùn)動(dòng)所受到的向心力之比為m1∶m2C.飛馬座51b與恒星運(yùn)動(dòng)軌道的半徑之比為m2∶m1D.飛馬座51b與恒星運(yùn)動(dòng)的周期之比為m1∶m2答案C解析雙星系統(tǒng)屬于同軸轉(zhuǎn)動(dòng)的模型，具有相同的角速度和周期，兩者之間的萬(wàn)有引力提供向心力，故兩者向心力相同，故B、D錯(cuò)誤；根據(jù)m1ω2r1＝m2ω2r2，則半徑與質(zhì)量成反比，即r1∶r2＝m2∶m1，故C正確；由v＝ωr知線速度之比等于半徑之比，即v1∶v2＝m2∶m1，故A錯(cuò)誤?！拘≡嚺５?】(多選)如圖所示，質(zhì)量相等的三顆星體組成三星系統(tǒng)，其他星體對(duì)它們的引力作用可忽略．設(shè)每顆星體的質(zhì)量均為m，三顆星體分別位于邊長(zhǎng)為r的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，它們繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)以相同的角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是()A．每顆星體所需向心力大小為2Geq\f(m2,r2)B．每顆星體運(yùn)行的周期均為2πeq\r(\f(r3,3Gm))C．若r不變，星體質(zhì)量均變?yōu)?m，則星體的角速度變?yōu)樵瓉?lái)的eq\r(2)倍D．若m不變，星體間的距離變?yōu)?r，則星體的線速度變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,4)答案BC解析任意兩顆星體間的萬(wàn)有引力大小F0＝Geq\f(m2,r2)，每顆星體受到其他兩個(gè)星體的引力的合力為F＝2F0cos30°＝eq\r(3)Geq\f(m2,r2)，A錯(cuò)誤；由牛頓第二定律可得F＝m(eq\f(2π,T))2r′，其中r′＝eq\f(\f(r,2),cos30°)＝eq\f(\r(3)r,3)，解得每顆星體運(yùn)行的周期均為T(mén)＝2πeq\r(\f(r3,3Gm))，B正確；星體原來(lái)的角速度ω＝eq\f(2π,T)＝eq\r(\f(3Gm,r3))，若r不變，星體質(zhì)量均變?yōu)?m，則星體的角速度ω′＝eq\f(2π,T′)＝eq\r(\f(6Gm,r3))，則星體的角速度變?yōu)樵瓉?lái)的eq\r(2)倍，C正確；星體原來(lái)的線速度大小v＝eq\f(2πr′,T)，若m不變，星體間的距離變?yōu)?r，則星體的周期T′＝2πeq\r(\f(4r3,3Gm))＝16πeq\r(\f(r3,3Gm))＝8T，星體的線速度大小v′＝eq\f(2π,T′)×4r′＝eq\f(πr′,T)，則星體的線速度變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,2)，D錯(cuò)誤．【小試牛刀3】宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上。已知引力常量為G。關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．四顆星圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))[解析]四星系統(tǒng)中任一顆星體均在其他三顆星體的萬(wàn)有引力作用下，合力方向指向?qū)蔷€的交點(diǎn)，圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)可得軌道半徑均為eq\f(\r(2),2)a，故A正確，B錯(cuò)誤；在星體表面，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正確；由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,\r(2)a2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)eq\f(\r(2)a,2)，解得T＝2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正確。[答案]B003題型精講【題型一】雙星問(wèn)題【典型例題1】(多選)天文學(xué)家通過(guò)觀測(cè)兩個(gè)黑洞并合的事件，間接驗(yàn)證了引力波的存在。該事件中甲、乙兩個(gè)黑洞的質(zhì)量分別為太陽(yáng)質(zhì)量的36倍和29倍，假設(shè)這兩個(gè)黑洞繞它們連線上的某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，且兩個(gè)黑洞的間距緩慢減小。若該雙星系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各自質(zhì)量不變且不受其他星系的影響，則關(guān)于這兩個(gè)黑洞的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是()A．甲、乙兩個(gè)黑洞運(yùn)行的線速度大小之比為36∶29B．甲、乙兩個(gè)黑洞運(yùn)行的角速度大小始終相等C．隨著甲、乙兩個(gè)黑洞的間距緩慢減小，它們運(yùn)行的周期也在減小D．甲、乙兩個(gè)黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小始終相等[解析]由牛頓第三定律知，兩個(gè)黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，它們的角速度ω相等，由Fn＝mω2r可知，甲、乙兩個(gè)黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與質(zhì)量成反比，由v＝ωr知，線速度之比為29∶36，A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)甲、乙兩個(gè)黑洞質(zhì)量分別為m1和m2，軌道半徑分別為r1和r2，有eq\f(Gm1m2,r1＋r22)＝m1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r1，eq\f(Gm1m2,r1＋r22)＝m2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r2，聯(lián)立可得eq\f(T2,4π2)＝eq\f(r1＋r23,Gm1＋m2)，C正確；甲、乙兩個(gè)黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，由牛頓第二定律a＝eq\f(F,m)可知，甲、乙兩個(gè)黑洞的向心加速度大小a1∶a2＝29∶36，D錯(cuò)誤。[答案]BC【典型例題2】(多選)根據(jù)科學(xué)家們的推測(cè)，雙星的運(yùn)動(dòng)是產(chǎn)生引力波的來(lái)源之一。假設(shè)宇宙中有一由a、b兩顆星組成的雙星系統(tǒng)，這兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬(wàn)有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得a星的周期為T(mén)，a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則()A．b星的周期為eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB．b星的線速度大小為eq\f(πl(wèi)－Δr,T)C．a(chǎn)、b兩星的軌道半徑之比為eq\f(l,l－Δr)D．a(chǎn)、b兩星的質(zhì)量之比為eq\f(l－Δr,l＋Δr)解析：選BD兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬(wàn)有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以兩顆星的周期相等，則Tb＝Ta＝T，A錯(cuò)誤。a、b兩星間的距離為l，軌道半徑之差為Δr，已知a星的軌道半徑大于b星的軌道半徑，則ra＋rb＝l、ra－rb＝Δr，所以ra＝eq\f(l＋Δr,2)、rb＝eq\f(l－Δr,2)。a、b兩星的軌道半徑之比eq\f(ra,rb)＝eq\f(l＋Δr,l－Δr)，b星的線速度大小vb＝eq\f(2πrb,T)＝eq\f(πl(wèi)－Δr,T)，B正確，C錯(cuò)誤。兩顆星繞它們連線上的某一點(diǎn)在萬(wàn)有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則Geq\f(mamb,l2)＝maraeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2＝mbrbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，所以a、b兩星的質(zhì)量之比eq\f(ma,mb)＝eq\f(rb,ra)＝eq\f(l－Δr,l＋Δr)，D正確?！緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(多選)如圖所示，雙星系統(tǒng)由質(zhì)量不相等的兩顆恒星P、Q組成，P、Q質(zhì)量分別為M、m(M>m)，它們圍繞共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。從地球上A點(diǎn)看過(guò)去，雙星運(yùn)動(dòng)的平面與AO垂直，AO距離恒為L(zhǎng)。觀測(cè)發(fā)現(xiàn)質(zhì)量較大的恒星P做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，運(yùn)動(dòng)范圍的最大張角為Δθ(單位是弧度)。已知引力常量為G，Δθ很小，可認(rèn)為sinΔθ＝tanΔθ＝Δθ，忽略其他星體對(duì)雙星系統(tǒng)的作用力。則()A．恒星Q的角速度為eq\f(2π,T)eq\r(\f(M,m))B．恒星Q的軌道半徑為eq\f(ML·Δθ,2m)C．恒星Q的線速度為eq\f(πML·Δθ,mT)D．兩顆恒星的質(zhì)量m和M滿足的關(guān)系式為eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)解析：選BCD恒星P與Q具有相同的角速度，則角速度ω＝eq\f(2π,T)，A錯(cuò)誤；恒星P的軌道半徑R＝Ltaneq\f(Δθ,2)＝eq\f(1,2)L·Δθ，對(duì)雙星系統(tǒng)，有mω2r＝Mω2R，解得恒星Q的軌道半徑為r＝eq\f(ML·Δθ,2m)，B正確；恒星Q的線速度大小v1＝ωr＝eq\f(2π,T)·eq\f(ML·Δθ,2m)＝eq\f(πML·Δθ,mT)，C正確；對(duì)雙星系統(tǒng)，由萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R＋r2)＝mω2r＝Mω2R，解得GM＝ω2r(r＋R)2，Gm＝ω2R(r＋R)2，相加得G(M＋m)＝ω2(R＋r)3，又由mω2r＝Mω2R，聯(lián)立可得eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)，D正確?！緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(多選)如圖所示,2020年11月8日,天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇異雙星系統(tǒng),并將其命名為ZTFJ1530+5027,這個(gè)雙星系統(tǒng)的環(huán)繞速度極快,它們大約每6.91min就會(huì)彼此環(huán)繞一周,體積較小的主星1要比地球大一點(diǎn),其質(zhì)量是太陽(yáng)的60%;體積較大的伴星2質(zhì)量更小,只有太陽(yáng)質(zhì)量的25%,它們一直在以每天26cm的速度彼此靠近。假設(shè)兩星均繞其連線上的某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由于它們間的距離L在逐漸減小,因此兩星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r、線速度大小v、角速度ω、向心加速度大小a與運(yùn)動(dòng)周期T均將發(fā)生變化。不考慮其他星系的影響,下列圖像中的曲線均為反比例曲線。則可能正確的圖像是()。A BC D答案BD解析設(shè)兩星的質(zhì)量分別為m1、m2(m1>m2),做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2,它們間的萬(wàn)有引力提供向心力,有Gm1m2L2=m12πT2r1,Gm1m2L2=m2(2πT)2r2,可得T2=4π2L3G(m1+m2),A項(xiàng)錯(cuò)誤。對(duì)星1有Gm1m2L2=m1v12r1,即v12=Gm2r1L2;同理,對(duì)星2有v22=Gm1r2L2,由于m1>m2,B項(xiàng)正確。對(duì)星1有Gm【題型二】三星問(wèn)題【典型例題3】宇宙空間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)。忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G。下列說(shuō)法正確的是()A．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為eq\r(\f(3Gm,L3))B．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無(wú)關(guān)C．若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則周期變?yōu)樵瓉?lái)的2倍D．若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則線速度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍[解析]任意兩顆星之間的萬(wàn)有引力F＝Geq\f(m2,L2)，每一顆星受到的合力為F1＝eq\r(3)F，由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑為r＝eq\f(\r(3),3)L，合力提供它們的向心力eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝meq\f(v2,r)，聯(lián)立解得v＝eq\r(\f(Gm,L))，故A錯(cuò)誤；根據(jù)eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝ma，得a＝eq\f(\r(3)Gm,L2)，故加速度與它們的質(zhì)量有關(guān)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)eq\f(\r(3)Gm2,L2)＝meq\f(4π2r,T2)，解得T＝eq\f(2,3)πeq\r(\f(3L3,Gm))，若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則周期變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，故C正確；根據(jù)v＝eq\r(\f(Gm,L))，可知，若距離L和每顆星的質(zhì)量m都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則線速度不變，故D錯(cuò)誤。[答案]C【典型例題4】由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對(duì)它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式，三顆星體在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)(下圖為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況)．若A星體質(zhì)量為2m、B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長(zhǎng)為a，求：(1)A星體所受合力大小FA；(2)B星體所受合力大小FB；(3)C星體的軌道半徑RC；(4)三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T.答案(1)2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)eq\f(\r(7),4)a(4)πeq\r(\f(a3,Gm))解析(1)由萬(wàn)有引力定律，A星體所受B、C星體引力大小為FBA＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)＝FCA方向如圖所示則合力大小為FA＝FBA·cos30°＋FCA·cos30°＝2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)同上，B星體所受A、C星體引力大小分別為FAB＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)FCB＝Geq\f(mCmB,r2)＝Geq\f(m2,a2)方向如圖由余弦定理得合力FB＝eq\r(F\o\al(2,AB)＋F\o\al(2,CB)－2FAB·FCB·cos120°)＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m通過(guò)分析可知，圓心O在BC的中垂線AD的中點(diǎn)則RC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(\r(7),4)a(4)三星體運(yùn)動(dòng)周期相同，對(duì)C星體，由FC＝FB＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)＝m(eq\f(2π,T))2RC，可得T＝πeq\r(\f(a3,Gm))【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)。其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為M的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，任意兩顆星的距離均為R，并繞其中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如果忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，引力常數(shù)為G。以下對(duì)該三星系統(tǒng)的說(shuō)法中正確的是()A.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為3eq\r(\f(GM,R3))B.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與三星的質(zhì)量無(wú)關(guān)C.若距離R和每顆星的質(zhì)量M都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則角速度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍D.若距離R和每顆星的質(zhì)量M都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則線速度大小不變答案D解析任意兩顆星之間的萬(wàn)有引力為F0＝Geq\f(MM,R2)則任意一顆星所受合力為F＝2F0cos30°＝2×Geq\f(MM,R2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)Geq\f(MM,R2)每顆星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r＝eq\f(2,3)Rcos30°＝eq\f(2,3)×R×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)R萬(wàn)有引力提供向心力F＝eq\r(3)Geq\f(MM,R2)＝Mω2r解得ω＝eq\r(\f(\r(3)GM,R2·\f(\r(3),3)R))＝eq\r(\f(3GM,R3))，A錯(cuò)誤；萬(wàn)有引力提供向心力F＝eq\r(3)Geq\f(MM,R2)＝Ma解得a＝eq\f(\r(3)GM,R2)，則每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度與三星的質(zhì)量有關(guān)，B錯(cuò)誤；根據(jù)題意可知ω′＝eq\r(\f(3G·2M,（2R）3))＝eq\f(1,2)eq\r(\f(3GM,R3))＝eq\f(1,2)ω，C錯(cuò)誤；根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系可知變化前線速度為v＝ωr，變化后為v′＝ω′·eq\f(2\r(3),3)R＝eq\f(1,2)ω·2r＝ωr＝v，D正確?！緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(多選)如圖所示，A、B、C三顆行星組成一個(gè)獨(dú)立的三星系統(tǒng)，在相互的萬(wàn)有引力作用下，繞一個(gè)共同的圓心O做角速度相等的圓周運(yùn)動(dòng)，已知A、B兩星的質(zhì)量均為m，C星的質(zhì)量為2m，等邊三角形的每邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，則()A.C星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小為eq\r(3)Geq\f(m2,L2)B.A星所受的合力大小為eq\r(7)Geq\f(m2,L2)C.B星的軌道半徑為eq\f(\r(7),4)LD.三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2πeq\r(\f(L3,Gm))答案BC解析C星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小為FC＝2FACcos30°＝eq\r(3)Geq\f(m·2m,L2)＝2eq\r(3)Geq\f(m2,L2)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；A星所受的合力大小為FA＝eq\r(Feq\o\al(2,BA)＋Feq\o\al(2,CA)＋2FBAFCAcos60°)，其中FBA＝eq\f(Gm2,L2)，F(xiàn)CA＝eq\f(2Gm2,L2)，解得FA＝eq\r(7)Geq\f(m2,L2)，選項(xiàng)B正確；因A、B所受的合力相等，均為FA＝FB＝eq\r(7)Geq\f(m2,L2)，由幾何關(guān)系可知eq\f(\f(1,2)L,RB)＝eq\f(\f(2Gm2,L2)cos60°＋\f(Gm2,L2),\r(7)\f(Gm2,L2))，解得RB＝eq\f(\r(7),4)L，選項(xiàng)C正確；對(duì)星球B：eq\r(7)Geq\f(m2,L2)＝meq\f(4π2,T2)RB，解得T＝πeq\r(\f(L3,Gm))，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。【題型三】聯(lián)系實(shí)際、四星問(wèn)題【典型例題5】科學(xué)家麥耶(M.Mayor)和奎洛茲(D.Queloz)對(duì)系外行星的研究而獲得2019年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。他們發(fā)現(xiàn)恒星“飛馬座51”附近存在一較大的行星，兩星在相互引力的作用下，圍繞兩者連線上的某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知恒星與行星之間的距離為L(zhǎng)，恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R、周期為T(mén)，引力常量為G。據(jù)此可得，行星的質(zhì)量為()A.eq\f(4π2,GT2)R2L B.eq\f(4π2,GT2)RL2C.eq\f(4π2,GT2)L2(L－R) D.eq\f(4π2,GT2)R2(L－R)答案B解析由題意可知，恒星與行星的周期、角速度相同，對(duì)恒星有Geq\f(Mm,L2)＝Meq\f(4π2,T2)R，解得行星的質(zhì)量m＝eq\f(4π2RL2,GT2)，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。【典型例題6】(多選)宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用．設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上．已知引力常量為G.關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說(shuō)法正確的是()A．四顆星圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．四顆星的軌道半徑均為eq\f(a,2)C．四顆星表面的重力加速度均為eq\f(Gm,R2)D．四顆星的周期均為2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))答案ACD解析其中一顆星體在其他三顆星體的萬(wàn)有引力作用下，合力方向指向?qū)蔷€的交點(diǎn)，圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)可得軌道半徑均為eq\f(\r(2),2)a，故A正確，B錯(cuò)誤；在星體表面，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，可得Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故C正確；由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得eq\f(Gm2,\r(2)a2)＋eq\f(\r(2)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)·eq\f(\r(2)a,2)，T＝2πaeq\r(\f(2a,4＋\r(2)Gm))，故D正確．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】麥克·梅耶和迪迪埃·奎洛茲因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了第一顆類太陽(yáng)系系外行星——飛馬座51b而獲得2019年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。飛馬座51b與恒星相距為L(zhǎng),構(gòu)成雙星系統(tǒng)(如圖所示),它們繞共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)它們的質(zhì)量分別為m1、m2且(m1<m2),已知引力常量為G。則下列說(shuō)法正確的是()。A.飛馬座51b與恒星運(yùn)動(dòng)具有相同的線速度B.飛馬座51b與恒星運(yùn)動(dòng)所受到的向心力之比為m1∶m2C.飛馬座51b與恒星運(yùn)動(dòng)軌道的半徑之比為m2∶m1D.飛馬座51b與恒星運(yùn)動(dòng)周期之比為m1∶m2答案C解析雙星系統(tǒng)屬于同軸轉(zhuǎn)動(dòng)的模型,具有相同的角速度和周期,兩者之間的萬(wàn)有引力提供向心力,故兩者向心力相同,B、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤;根據(jù)m1ω2r1=m2ω2r2,則半徑之比等于質(zhì)量反比,飛馬座51b與恒星運(yùn)動(dòng)軌道的半徑之比r1∶r2=m2∶m1,C項(xiàng)正確;線速度之比等于半徑之比,即v1∶v2=m2∶m1,A項(xiàng)錯(cuò)誤?！緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】(多選)如圖為一種四顆星體組成的穩(wěn)定系統(tǒng)，四顆質(zhì)量均為m的星體位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形四個(gè)頂點(diǎn)，四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，忽略其他星體對(duì)它們的作用，引力常量為G.下列說(shuō)法中正確的是()A．星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心不一定是正方形的中心B．每顆星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度均為eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))C．若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均是原來(lái)的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小是原來(lái)的兩倍D．若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均是原來(lái)的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變答案BD解析四顆星體在同一平面內(nèi)圍繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心一定是正方形的中心，故A錯(cuò)誤；由eq\r(2)Geq\f(m2,L2)＋Geq\f(m2,\r(2)L2)＝(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝mω2·eq\f(\r(2),2)L，可知ω＝eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正確；由(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝ma可知，若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均為原來(lái)的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小是原來(lái)的eq\f(1,2)，故C錯(cuò)誤；由(eq\f(1,2)＋eq\r(2))Geq\f(m2,L2)＝meq\f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v＝eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若邊長(zhǎng)L和星體質(zhì)量m均是原來(lái)的兩倍，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變，故D正確．004體系構(gòu)建1.雙星模型(1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示。(2)特點(diǎn)①各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為r1＋r2＝L。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2πeq\r(\f(L3,G（m1＋m2）))。⑥雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。2.多星模型(1)定義：所研究星體的萬(wàn)有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。(2)三星模型①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖甲所示)。②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)。(3)四星模型①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丙所示)。②另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丁所示)。005記憶清單1．雙星模型(1)兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力是由它們之間的萬(wàn)有引力提供的．(2)它們的運(yùn)行周期和角速度是相等的．(3)兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r1和r2與兩行星間距L的大小關(guān)系：r1＋r2＝L.2．多星模型(1)每顆行星運(yùn)行所需向心力都由其余行星對(duì)其萬(wàn)有引力的合力來(lái)提供．(2)行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等．(3)注意利用幾何知識(shí)求半徑．00601強(qiáng)化訓(xùn)練1．(多選)(2018·全國(guó)卷Ⅰ，20)2017年，人類第一次直接探測(cè)到來(lái)自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過(guò)程，在兩顆中子星合并前約100s時(shí)，它們相距約400km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬(wàn)有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星()A.質(zhì)量之積 B.質(zhì)量之和C.速率之和 D.各自的自轉(zhuǎn)角速度答案BC解析由題意可知，合并前兩中子星繞連線上某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈，則兩中子星的周期相等，且均為T(mén)＝eq\f(1,12)s，兩中子星的角速度均為ω＝eq\f(2π,T)，兩中子星構(gòu)成了雙星模型，假設(shè)兩中子星的質(zhì)量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2，速率分別為v1、v2，則有Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1、Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400km，解得m1＋m2＝eq\f(ω2L3,G)，A錯(cuò)誤，B正確；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，則v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正確；由題中的條件不能求解兩中子星自轉(zhuǎn)的角速度，D錯(cuò)誤。2.如圖，“食雙星”是指在相互引力作用下繞連線上O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，彼此掩食(像月亮擋住太陽(yáng))而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。在地球上通過(guò)望遠(yuǎn)鏡觀察這種雙星，視線與雙星軌道共面。觀測(cè)發(fā)現(xiàn)每隔時(shí)間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，已知兩顆恒星A、B間距為d，萬(wàn)有引力常量為G，則可推算出雙星的總質(zhì)量為()A.eq\f(π2d2,GT2) B.eq\f(π2d3,GT2)C.eq\f(2π2d2,GT2) D.eq\f(4π2d3,GT2)答案B解析設(shè)A、B兩天體的軌道半徑分別為r1、r2，兩者做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，設(shè)為T(mén)′，由于經(jīng)過(guò)時(shí)間T兩者在此連成一條直線，故T′＝2T對(duì)兩天體，由萬(wàn)有引力提供向心力可得Geq\f(mAmB,d2)＝mAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T′)))2r1，Geq\f(mAmB,d2)＝mBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T′)))2r2其中d＝r1＋r2，聯(lián)立解得mA＋mB＝eq\f(π2d3,GT2)，故B正確。3.如圖所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用下繞連線上O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，彼此掩食(像月亮擋住太陽(yáng))而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星．觀察者在地球上通過(guò)望遠(yuǎn)鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面．觀測(cè)發(fā)現(xiàn)每隔時(shí)間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，已知引力常量為G，地球距A、B很遠(yuǎn)，可認(rèn)為地球保持靜止，則()A．恒星A、B運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)B．恒星A的質(zhì)量小于B的質(zhì)量C．恒星A、B的總質(zhì)量為eq\f(π2d3,GT2)D．恒星A的線速度大于B的線速度答案C解析每隔時(shí)間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，則兩恒星的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)′＝2T，故A錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f(mAmB,d2)＝mAeq\f(4π2,2T2)rA＝mBeq\f(4π2,2T2)rB，由題圖知rA<rB，則mA>mB，故B錯(cuò)誤；由B選項(xiàng)得，兩恒星總質(zhì)量為M＝mA＋mB＝eq\f(π2d3,GT2)，故C正確；根據(jù)v＝ωr，兩恒星角速度相等，則vA<vB，故D錯(cuò)誤．4.(多選)2019年人類天文史上首張黑洞圖片正式公布．在宇宙中當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時(shí)，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)．在相互繞行的過(guò)程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會(huì)逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過(guò)程也被稱為“潮汐瓦解事件”．天鵝座X－1就是一個(gè)由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．在剛開(kāi)始吞噬的較短時(shí)間內(nèi)，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時(shí)間內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是()A．兩者之間的萬(wàn)有引力變大B．黑洞的角速度變大C．恒星的線速度變大D．黑洞的線速度變大答案AC解析假設(shè)恒星和黑洞的質(zhì)量分別為M、m，環(huán)繞半徑分別為R、r，且m<M，兩者之間的距離為L(zhǎng)，則根據(jù)萬(wàn)有引力定律有Geq\f(Mm,L2)＝F向，恒星和黑洞的距離不變，隨著黑洞吞噬恒星，在剛開(kāi)始吞噬的較短時(shí)間內(nèi)，M與m的乘積變大，它們間的萬(wàn)有引力變大，故A正確；雙星系統(tǒng)屬于同軸轉(zhuǎn)動(dòng)的模型，角速度相等，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有Geq\f(Mm,L2)＝mω2r＝Mω2R，其中R＋r＝L，解得恒星的角速度ω＝eq\r(\f(GM＋m,L3))，雙星的質(zhì)量之和不變，則角速度不變，故B錯(cuò)誤；根據(jù)mω2r＝Mω2R，得eq\f(M,m)＝eq\f(r,R)，因?yàn)镸減小，m增大，所以R增大，r減小，由v恒＝ωR，v黑＝ωr，可得v恒變大，v黑變小，故C正確，D錯(cuò)誤．5．(多選)宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬(wàn)有引力作用互相繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng)．設(shè)某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的某固定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．若A、B兩星球到O點(diǎn)的距離之比為3∶1，則()A．星球A與星球B所受引力大小之比為1∶1B．星球A與星球B的線速度大小之比為1∶3C．星球A與星球B的質(zhì)量之比為3∶1D．星球A與星球B的動(dòng)能之比為3∶1答案AD解析星球A所受的引力與星球B所受的引力均為二者之間的萬(wàn)有引力，大小是相等的，故A正確；雙星系統(tǒng)中，星球A與星球B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，根據(jù)v＝ωr可知，線速度大小之比為3∶1，故B錯(cuò)誤；A、B兩星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由二者之間的萬(wàn)有引力提供，可得Geq\f(mAmB,L2)＝mAω2rA＝mBω2rB，則星球A與星球B的質(zhì)量之比為mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C錯(cuò)誤；星球A與星球B的動(dòng)能之比為eq\f(EkA,EkB)＝eq\f(\f(1,2)mAvA2,\f(1,2)mBvB2)＝eq\f(mAωrA2,mBωrB2)＝eq\f(3,1)，故D正確．6．(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用,三星質(zhì)量也相同?，F(xiàn)已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星做勻速圓周運(yùn)動(dòng),如圖1所示;另一種是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行,如圖2所示。設(shè)兩種系統(tǒng)中三個(gè)星體的質(zhì)量均為m,且兩種系統(tǒng)中各星間的距離已在圖中標(biāo)出,引力常量為G,則下列說(shuō)法中正確的是()。A.直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為GmLB.直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為4πLC.三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為2LD.三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小為3答案BD解析在直線三星系統(tǒng)中,星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由其他兩星對(duì)它的萬(wàn)有引力的合力提供,根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式有Gm2L2+Gm2(2L)2=mv2L,解得v=125GmL,A項(xiàng)錯(cuò)誤;由周期T=2πrv知,直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=4πL35Gm,B項(xiàng)正確;對(duì)三角形三星系統(tǒng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的星體,有2Gm2L2cos30°=mω2·7.宇宙中有很多恒星組成的雙星運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，兩顆恒星僅在彼此的萬(wàn)有引力作用下繞共同點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．假設(shè)該雙星1、2的質(zhì)量分別為m1、m2，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2，且r1小于r2，共同圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，引力常量為G.則下列說(shuō)法正確的是()A．恒星1做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心加速度大小為Geq\f(m2,r12)B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度C．恒星1的動(dòng)量一定大于恒星2的動(dòng)量D．某些雙星運(yùn)動(dòng)晚期，兩者間距逐漸減小，一者不斷吸食另一者的物質(zhì)，則它們?cè)谖春喜⑶?，共同圓周運(yùn)動(dòng)的周期不斷減小答案D解析對(duì)于恒星1，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有eq\f(Gm1m2,r1＋r22)＝m1an1，則恒星1的向心加速度大小an1＝eq\f(Gm2,r1＋r22)，故A錯(cuò)誤；由mg＝eq\f(GMm,R2)，解得g＝eq\f(GM,R2)，由于不能確定兩恒星半徑R的大小，故不能確定表面重力加速度的大小，故B錯(cuò)誤；對(duì)于雙星運(yùn)動(dòng)有m1r1＝m2r2，又因?yàn)榻撬俣认嗤?，根?jù)角速度與線速度關(guān)系有m1ωr1＝m2ωr2，即m1v1＝m2v2，則動(dòng)量大小相等，故C錯(cuò)誤；設(shè)兩恒星之間距離為L(zhǎng)，對(duì)恒星1，有eq\f(Gm1m2,L2)＝m1(eq\f(2π,T))2r1，對(duì)恒星2，有eq\f(Gm1m2,L2)＝m2(eq\f(2π,T))2r2，上述兩式相加得eq\f(Gm2,L2)＋eq\f(Gm1,L2)＝(eq\f(2π,T))2r1＋(eq\f(2π,T))2r2，解得T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))，可以看到當(dāng)兩者間距逐漸減小，總質(zhì)量不變時(shí)，雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的共同周期逐漸減小，故D正確．8．質(zhì)量均為m的兩個(gè)星球A和B，相距為L(zhǎng)，它們圍繞著連線中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．觀測(cè)到兩星球的運(yùn)行周期T小于按照雙星模型計(jì)算出的周期T0，且eq\f(T,T0)＝k.于是有人猜想在A、B連線的中點(diǎn)有一未知天體C，假如猜想正確，則C的質(zhì)量為()A.eq\f(1－k2,4k2)m B.eq\f(1＋k2,4k2)mC.eq\f(1－k2,k2)m D.eq\f(1＋k2,k2)m答案A解析兩星球繞連線的中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則有Geq\f(m2,L2)＝m·eq\f(4π2,T02)·eq\f(L,2)，所以T0＝2πeq\r(\f(L3,2Gm))，由于C的存在，星球所需的向心力由兩個(gè)力的合力提供，則Geq\f(m2,L2)＋Geq\f(Mm,\f(L,2)2)＝m·eq\f(4π2,T2)·eq\f(L,2)，又eq\f(T,T0)＝k，聯(lián)立解得M＝eq\f(1－k2,4k2)m，可知A正確，B、C、D錯(cuò)誤．9．雙星系統(tǒng)中兩個(gè)星球A、B的質(zhì)量都是m，相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。實(shí)際觀測(cè)該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計(jì)算出的周期理論值T0，且eq\f(T,T0)＝k(k＜1)，于是有人猜測(cè)這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認(rèn)為C位于A、B的連線正中間，相對(duì)A、B靜止，則A、B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值T0及C的質(zhì)量分別為()A．2πeq\r(\f(L2,2Gm))，eq\f(1＋k2,4k)m B．2πeq\r(\f(L3,2Gm))，eq\f(1－k2,4k)mC．2πeq\r(\f(2Gm,L3))，eq\f(1＋k2,4k)m D．2πeq\r(\f(L3,2Gm))，eq\f(1－k2,4k2)m解析：選D由題意知，A、B的運(yùn)動(dòng)周期相同，設(shè)軌道半徑分別為r1、r2，對(duì)A有，eq\f(Gm2,L2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))2r1，對(duì)B有，eq\f(Gm2,L2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))2r2，且r1＋r2＝L，解得T0＝2πeq\r(\f(L3,2Gm))；有C存在時(shí)，設(shè)C的質(zhì)量為M，A、B與C之間的距離r1′＝r2′＝eq\f(L,2)，則eq\f(Gm2,L2)＋eq\f