新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單+鞏固練習(xí)專題12 數(shù)列通項(xiàng)及數(shù)列前n項(xiàng)和求法（解析版）

專題12數(shù)列通項(xiàng)及數(shù)列前n項(xiàng)和求法一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的遞推公式1、遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)n的值，直接代入求出an都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過(guò)一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an，也可通過(guò)變形轉(zhuǎn)化，直接求出an知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1、觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．2、公式法（1）使用范圍：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與SKIPIF1<0的關(guān)系，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0可用公式SKIPIF1<0構(gòu)造兩式作差求解．（2）用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合為一個(gè)表達(dá)，（要先分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．3、累加法：適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、構(gòu)造法：對(duì)于不滿足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的遞推關(guān)系，常采用構(gòu)造法要點(diǎn)：對(duì)所給的遞推公式進(jìn)行變形構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求解類(lèi)型一：形如SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均為常數(shù)且SKIPIF1<0）型的遞推式：（1）若SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列{SKIPIF1<0}為等差數(shù)列；（2）若SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列{SKIPIF1<0}為等比數(shù)列；（3）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列{SKIPIF1<0}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：法一：設(shè)SKIPIF1<0，展開(kāi)移項(xiàng)整理得SKIPIF1<0，與題設(shè)SKIPIF1<0比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)整理可得SKIPIF1<0法二：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0兩式相減并整理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出SKIPIF1<0類(lèi)型二：形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的遞推式：（1）當(dāng)SKIPIF1<0為一次函數(shù)類(lèi)型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)SKIPIF1<0，通過(guò)待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)整理可得SKIPIF1<0法二：當(dāng)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0時(shí)，由遞推式得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠求出SKIPIF1<0，再用累加法便可求出SKIPIF1<0（2）當(dāng)SKIPIF1<0為指數(shù)函數(shù)類(lèi)型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)SKIPIF1<0，通過(guò)待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)整理可得SKIPIF1<0法二：當(dāng)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0時(shí)，由遞推式得：SKIPIF1<0—①，SKIPIF1<0，兩邊同時(shí)乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0—②，由①②兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，構(gòu)造等比數(shù)列。法三：遞推公式為SKIPIF1<0（其中p，q均為常數(shù)）或SKIPIF1<0（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，引入輔助數(shù)列SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），得：SKIPIF1<0，再結(jié)合第一種類(lèi)型。6、取倒數(shù)法：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))，可變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要點(diǎn)：①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項(xiàng)；②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解7、三項(xiàng)遞推構(gòu)造：適用于形如SKIPIF1<0型的遞推式用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列SKIPIF1<0的形式求解．方法為：設(shè)SKIPIF1<0，比較系數(shù)得SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，這樣就化歸為SKIPIF1<0型．8、不動(dòng)點(diǎn)法（1）定義：方程SKIPIF1<0的根稱為函數(shù)SKIPIF1<0的不動(dòng)點(diǎn)．利用函數(shù)SKIPIF1<0的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系SKIPIF1<0所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法．（2）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0已知，且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數(shù)），=1\*GB3①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；=2\*GB3②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0為常數(shù)數(shù)列；=3\*GB3③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；=4\*GB3④當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，稱SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的一階特征方程，其根SKIPIF1<0叫做特征方程的特征根，這時(shí)數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0；（3）形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)SKIPIF1<0，其特征方程為SKIPIF1<0（*）．（1）若方程（*）有二異根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常數(shù)）；（2）若方程（*）有二重根SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常數(shù)）．(其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求得)知識(shí)點(diǎn)3幾種數(shù)列求和的常用方法1、公式法（1）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；=4\*GB3④SKIPIF1<02、分組轉(zhuǎn)化法求和（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．（2）常見(jiàn)類(lèi)型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.3、并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，SKIPIF1<0．4、倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．5、裂項(xiàng)相消法求和：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過(guò)累加將一些正、負(fù)項(xiàng)相互抵消，只剩下有限的幾項(xiàng)，從而求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和．6、錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來(lái)求.一、已知Sn求an的三個(gè)步驟（1）利用a1＝S1求出a1.（2）當(dāng)n≥2時(shí)，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達(dá)式．（3）看a1是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；否則應(yīng)寫(xiě)成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【典例1】（2023·山東煙臺(tái)·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．20B．19C．18D．17【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0②，①-②得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差數(shù)列，公差SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023·廣東廣州·高三?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，因?yàn)镾KIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)SKIPIF1<0也成立，所以SKIPIF1<0，對(duì)于B：SKIPIF1<0，所以B正確.對(duì)于D：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以D錯(cuò)誤.故選：B二、累加法求通項(xiàng)公式形如SKIPIF1<0型的遞推數(shù)列（其中SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)）可構(gòu)造：SKIPIF1<0【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【答案】SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，原等式兩邊同除以SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），各式相加得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的極值點(diǎn)，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0三、累乘法求通項(xiàng)公式形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的遞推數(shù)列（其中SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)）可構(gòu)造：SKIPIF1<0【典例1】（2023秋·江西宜春·高三校考開(kāi)學(xué)考試）若SKIPIF1<0，則通項(xiàng)公式SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0.四、形如SKIPIF1<0的構(gòu)造法形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的遞推式，可構(gòu)造SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類(lèi)比式SKIPIF1<0作差，由SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項(xiàng)．【典例1】（2023春·四川瀘州·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以3為公比的等比數(shù)列，其中首項(xiàng)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0），則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由所以SKIPIF1<0，于是數(shù)列SKIPIF1<0是以首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,此式滿足SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為.【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0，等式兩側(cè)同除SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.五、形如SKIPIF1<0的構(gòu)造法形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的遞推式，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩邊同除以SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的等差數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩邊人可以同除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0．【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】解法一：因?yàn)镾KIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；解法二：因?yàn)镾KIPIF1<0，兩邊同時(shí)除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【答案】SKIPIF1<0．【解析】∵SKIPIF1<0，兩邊同時(shí)除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．兩邊同時(shí)加上SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．∴數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，六、形如SKIPIF1<0的構(gòu)造法通過(guò)配湊轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，通過(guò)待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)整理可得SKIPIF1<0【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以3為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【典例2】（2022秋·河北保定·高三?？计谥校┤鬝KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是一個(gè)以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)后得SKIPIF1<0，與原遞推式比較，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0七、取倒數(shù)法求通項(xiàng)對(duì)于SKIPIF1<0，取倒數(shù)得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可用待定系數(shù)法求解．【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，兩邊取倒數(shù)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.八、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．【注意】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)．2、裂項(xiàng)相消法中常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【典例1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D.【典例2】（2023秋·寧夏石嘴山·高三校考階段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．97B．98C．99D．100【答案】C【解析】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C【典例3】（2023·四川綿陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0．（2）若數(shù)列SKIPIF1<0的前m項(xiàng)和SKIPIF1<0，求m的值，【答案】（1）證明見(jiàn)解析，SKIPIF1<0；（2）7【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前m項(xiàng)和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故m的值為7．九、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令SKIPIF1<0，可以用錯(cuò)位相減法．SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．整理得：SKIPIF1<0．【典例1】（2023秋·福建三明·高三三明一中校考階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列.（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0的公比為q，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·河南鄭州·高三?？茧A段練習(xí)）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；經(jīng)檢驗(yàn)：SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0.（1）證明數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由題意：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩邊同乘SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.易錯(cuò)點(diǎn)1由SKIPIF1<0求SKIPIF1<0時(shí)忽略對(duì)“SKIPIF1<0”檢驗(yàn)點(diǎn)撥：在數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列的通項(xiàng)SKIPIF1<0與其前n項(xiàng)和SKIPIF1<0之間關(guān)系如下SKIPIF1<0，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列｛SKIPIF1<0｝的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)系時(shí)，先令SKIPIF1<0求出首項(xiàng)SKIPIF1<0，然后令SKIPIF1<0求出通項(xiàng)SKIPIF1<0，最后代入驗(yàn)證。解答此類(lèi)題常見(jiàn)錯(cuò)誤為直接令SKIPIF1<0求出通項(xiàng)SKIPIF1<0，也不對(duì)SKIPIF1<0進(jìn)行檢驗(yàn)?！镜淅?】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，由①-②可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：C【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不滿足上式.故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2022秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIP