函數(shù)的奇偶性期末復(fù)習(xí)講義高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

3.2.2函數(shù)的奇偶性1、函數(shù)奇偶性的概念：偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，都有，且，那么函?shù)就叫做偶函數(shù)。奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，都有，且，那么函?shù)就叫做奇函數(shù)。非奇非偶函數(shù)：既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)。2、具有奇偶性的函數(shù)特點(diǎn)：①其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：在奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義中，若是函數(shù)定義域中的一個(gè)數(shù)值，則也必然在該定義域中，也就是說(shuō)，一個(gè)函數(shù)不管是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，它的定義域一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，否則這個(gè)函數(shù)不滿足奇函數(shù)或偶函數(shù)的條件，即這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。②存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)：如，因?yàn)樗鼭M足。③若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義：則有（）。④函數(shù)按奇偶性可以分為四類(lèi)：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，即為非奇非偶函數(shù)。3、等價(jià)轉(zhuǎn)化：①；或。②；或。4、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的差異：奇偶性是函數(shù)在定義域上的對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)性是反映函數(shù)在某一區(qū)間上的函數(shù)值的變化趨勢(shì)。奇偶性是相對(duì)于函數(shù)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō)的，這一點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性不同，從這個(gè)意義上講，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)。5、奇、偶函數(shù)的圖像特征（幾何意義）：①奇函數(shù)的圖像特征：若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖像是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖像是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。②偶函數(shù)的圖像特征：若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖像是以軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。③奇、偶函數(shù)的單調(diào)性：奇函數(shù)在關(guān)于端點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。上述結(jié)論可簡(jiǎn)記為“奇同偶異”。偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大（?。┲担∽钪禃r(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù)。6、常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性：①一次函數(shù)：當(dāng)時(shí)是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。②反比例函數(shù)：奇函數(shù)。③二次函數(shù)：當(dāng)時(shí)是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)為非奇非偶函數(shù)。7、奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的奇偶性：設(shè)的定義域分別是，若，則有下列結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)8、圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖像：函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)。函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)。一般結(jié)論：在定義域內(nèi)恒滿足的條件的圖像的對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)9、圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形：函數(shù)的圖像關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)。函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)。在定義域內(nèi)恒滿足的條件的圖像的對(duì)稱(chēng)軸直線直線直線10、函數(shù)的奇偶性的判斷方法：（1）定義法：①求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行下一步；②結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。（2）圖象法：①畫(huà)出函數(shù)的圖象；②判斷函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)或軸是否對(duì)稱(chēng)；③如果圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)；如果圖象關(guān)于原點(diǎn)和軸均對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；如果圖象關(guān)于原點(diǎn)和軸均不對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。（3）性質(zhì)法：①偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍為偶函數(shù)；②奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；③兩個(gè)奇函數(shù)的積、商（分母不為0）為偶函數(shù)；④一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)。11、分段函數(shù)奇偶性的判斷：判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷。分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)。因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后判斷與的關(guān)系。首先要特別注意的是與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較。12、利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式：（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。所以當(dāng)函數(shù)具有奇偶性時(shí)，已知函數(shù)在軸一側(cè)的解析式，就可得到在軸另一側(cè)的解析式，具體做法如下：①“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間求解析式，就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)；②要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入；③利用的奇偶性寫(xiě)出或，從而解出；④若函數(shù)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有。（2）若做選擇題或填空題還可以采用如下辦法：①直接代換法：若圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，只需把原函數(shù)中的和分別換成“”和“”；若圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，只需把原函數(shù)中的變?yōu)椤啊奔纯伞＂谔厥恻c(diǎn)對(duì)稱(chēng)法。13、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用：（1）函數(shù)的奇偶性與其單調(diào)性的關(guān)系：①若函數(shù)是奇函數(shù)，那么在區(qū)間（，）（）和（，）上具有“相同”的單調(diào)性。②若函數(shù)是偶函數(shù)，那么在區(qū)間（，）（）和（，）上具有“相反”的單調(diào)性。（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性我們可以解決以下兩種問(wèn)題：①比較大?。浩婧瘮?shù)、偶函數(shù)單調(diào)性的對(duì)稱(chēng)規(guī)律在不同區(qū)間內(nèi)的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比較大小中作用很大。對(duì)于偶函數(shù)，如果兩個(gè)自變量的取值在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間上，即正負(fù)不統(tǒng)一，應(yīng)利用圖象的對(duì)稱(chēng)性將兩個(gè)值化歸到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后再根據(jù)單調(diào)性判斷。②解抽象不等式：一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成或的形式，再根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，同時(shí)不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響。（3）兩個(gè)重要結(jié)論：①若為奇函數(shù)且在處有定義，則必有。②若為偶函數(shù)，則必有。14、判斷函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)錯(cuò)誤：（1）忽視函數(shù)的定義域致錯(cuò)。（2）沒(méi)有搞清楚分段函數(shù)奇偶性概念致錯(cuò)。（3）忽視對(duì)參數(shù)的討論致錯(cuò)。15、常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型：容奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)。=2\*GB3②函數(shù)。=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)。注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫(xiě)成函數(shù)或函數(shù)。偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)。=2\*GB3②函數(shù)。=3\*GB3③函數(shù)類(lèi)型的一切函數(shù)?！绢}型1】判斷函數(shù)的奇偶性1．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A．y＝x B．y＝2x2﹣3 C．y=x D．y＝x2，x∈2．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A．y＝2x2﹣3 B．y=x C．y＝x，x∈[0，1] D．y＝3．判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：（1）f（x）＝x+x3+x5；（2）f（x）＝x2，x∈（﹣1，3）；（3）f（x）＝﹣x2；（4）f（x）＝5x+2；（5）f（x）＝（x+1）（x﹣1）．4．判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：（1）f（x）=1x；（2）h（x）＝x3+1；（3）f（x）=x（4）f（x）＝x2（x2+2）；（5）g（x）＝x（x+1）；（6）k（x）=3-x5．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=3x2x2+3；（2）f（（3）f（x）＝（x﹣1）1+x1-x；（4）f（x）=6．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=4-x2|x-2|；（2）f（x）（3）f(x)=1-x2|x+2|+|x-3|；（4）f（x7．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x-1x；（2）f(x)=x(2-x)，x＞0-x(2+x)，x＜0；（3）f（8．設(shè)函數(shù)f(x)=xA．f（x+1）+1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x﹣1）﹣1【題型2】奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1．設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是（）A．f（2x）+2|g（x）|是偶函數(shù) B．f（x）﹣|g（x）|是奇函數(shù) C．2|f（x）|+g（2x）是偶函數(shù) D．|f（x）|﹣g（x）是奇函數(shù)2．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）?g（x）是偶函數(shù) B．|f（x）|?g（x）是奇函數(shù) C．f（x）?|g（x）|是奇函數(shù) D．|f（x）?g（x）|是奇函數(shù)3．設(shè)偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，函數(shù)g（x）=xA．|f（x）|g（x）是奇函數(shù) B．f（x）g（x）是偶函數(shù) C．f（x）|g（x）|是奇函數(shù) D．|f（x）g（x）|是奇函數(shù)4．已知函數(shù)y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（）A．y＝f（|x|） B．y＝|f（x）| C．y＝xf（x） D．y＝3f（x）﹣4x5．若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）考察復(fù)合函數(shù)的奇偶性A．y＝f（2x+2﹣x） B．y＝f（2x﹣x） C．y＝f（2x﹣2﹣x） D．y＝f（2x+x）（多選）6．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．y＝f（﹣x） B．y＝f（x）+x3 C．y=f(x)x （多選）7．如果f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為奇函數(shù)的是（）A．y＝x+f（x） B．y＝xf（x） C．y＝x2+f（x） D．y＝x2f（x）【題型3】定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)1．已知f（x）＝ax2+bx是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）A．-13 B．13 C．-2．已知f（x）＝ax2+bx是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，那么f（x）的最大值是（）A．0 B．13 C．4273．已知f（x）＝ax2+bx+1是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，那么y＝f（x）的最大值是（）A．1 B．13 C．43 4．已知f（x）＝（x﹣1）（ax+b）是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇2a﹣3，a]，則a+b＝（）A．2 B．4 C．6 D．85．已知f（x）＝ax3+bx2+cx是定義在[a﹣1，2a]上的奇函數(shù)，則a+b＝（）A．-13 B．13 C．16．若f（x）＝ax3+bx+1﹣b是定義在區(qū)間[﹣6+a，a]的奇函數(shù)，則a+b＝．【題型4】奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性1．函數(shù)f（x）=1A．y軸對(duì)稱(chēng) B．直線y＝x對(duì)稱(chēng) C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．直線y＝﹣x對(duì)稱(chēng)2．函數(shù)f(x)=eA．y軸對(duì)稱(chēng) B．直線y＝﹣x C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．直線y＝x3．函數(shù)f（x）=3-A．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．軸對(duì)稱(chēng) C．y軸對(duì)稱(chēng) D．直線y＝x對(duì)稱(chēng)4．函數(shù)f（x）＝2x+2﹣x（x∈R）的圖象關(guān)于（）A．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．x軸對(duì)稱(chēng) C．y軸對(duì)稱(chēng) D．直線y＝x對(duì)稱(chēng)5．函數(shù)f（x）＝3x與f(x)=(1A．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．x軸對(duì)稱(chēng) C．y軸對(duì)稱(chēng) D．直線y＝x對(duì)稱(chēng)【題型5】已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)1．已知函數(shù)f（x）＝4x（x﹣1）+ax+|x|是偶函數(shù)，則a＝（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知函數(shù)f（x）＝2x2+ax+2，若f（x+1）是偶函數(shù)，則a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．43．已知函數(shù)f(x)=ax-1x2+1是定義在A．1 B．﹣1 C．0 D．24．已知f(x)=exeA．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．已知函數(shù)f（x）＝ax2+|x+a+1|為偶函數(shù)，則不等式f（x）＞0的解集為（）A．? B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．若函數(shù)f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定義域上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．27．若函數(shù)f（x）＝2x+a?2﹣x﹣x為R上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．若f（x）＝（x+a+1）（x2+a﹣1）為奇函數(shù)，則a＝（）A．1或﹣1 B．1 C．0 D．﹣19．已知f（x）＝2﹣x+a?2x為奇函數(shù)，則f（1）的值為（）A．-32 B．1 C．3210．已知函數(shù)f(x)=a+23xA．54 B．1 C．98【題型6】利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值1．設(shè)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則f（﹣1）+f（1）＝（）A．e﹣1 B．﹣2e﹣2 C．2e﹣1 D．2e﹣22．設(shè)f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）＝x﹣1，則使f（x）＞0的x取值范圍是（）A．{x|x＞1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}3．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x3+x+1，則f（1）＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．34．已知函數(shù)y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝2x+3x+a，則f（2）的值為（）A．234 B．274 C．-275．設(shè)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則f（﹣1）+f（0）＝（）A．-1e-1 B．﹣e﹣1 C．-1【題型7】利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式011．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x+2，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（）A．﹣x﹣2 B．﹣x+2 C．x﹣2 D．x+22．函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x-1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（A．-x+1 B．--x-1 C．3．設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2+x，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（）A．x2+x B．﹣x2+x C．x2﹣x D．﹣x2﹣x4．函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝﹣x+1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的表達(dá)式為（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣15．已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x﹣3，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（）A．﹣x2﹣2x+3 B．x2+2x﹣3 C．﹣x2+2x+3 D．x2﹣2x﹣3【題型8】利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式021．已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，滿足2f（x）+g（x）＝3x，求f（x）的解析式．2．已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且滿足f（x）+g（x）＝x2+x+1，求f（x）和g（x）的表達(dá)式．3．已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=2x-2．求f（x）與g（4．已知f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（x）﹣g（x）=1x+1，求f（x）、g（5．已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）＝x2+x﹣2，x∈R．（1）求f（x）和g（x）的表達(dá)式；（2）若對(duì)于任意的x∈[2，3]，不等式f（x）﹣k?g（x）+7≥0恒成立，求k的最大值．【題型9】奇偶性與單調(diào)性的綜合1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．y＝log2x B．y＝|x|+1 C．y＝﹣x2+1 D．y=|2．下列函數(shù)是奇函數(shù)且在[1，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．y=1x B．y＝x2 C．y=x+23．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，則（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）4．若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，且f（2）＝0，則使得f（x）＞0的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）5．若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（﹣∞，0]上是減函數(shù)，且f（2）＝0，則使得f（x﹣1）＜0的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（2，+∞） C．（﹣1，3） D．（﹣2，2）6．已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x+4x-5．則關(guān)于x的不等式fA．（﹣∞，﹣4）?（﹣1，0）?（0，1）?（4，+∞） B．（﹣∞，﹣4）?（﹣1，0）?（1，4） C．（﹣4，﹣1）?（1，4） D．（﹣4，﹣1）?（0，1）?（4，+∞）7．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，且f（3）＝0那么不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3） B．（﹣3，0）∪（3，+∞） C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）8．設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且在（﹣∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，f（﹣2）＝0，則xf（x）＜0的解集為（）A．（﹣1，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）9．定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（2）＝0，則不等式f(x)xA．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）10．已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且滿足f（2）＝0，則不等式f(x)-f(-x)xA．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）【題型10】單調(diào)性和奇偶性綜合求不等式范圍問(wèn)題1．已知函數(shù)f（x）是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，在區(qū)間（﹣1，0]上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f（a﹣1）+f（a）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，12） B．（12，+∞） C．[0，12） 2．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），且為減函數(shù)，又知f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，則a的取值范圍為（）A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（0，1） D．（0，2）3．已知函數(shù)f（x）＝g（x）﹣3x3﹣5x+4，g（x）為定義在R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減．若f（a）+f（a﹣4）＜8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＞24．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意x1，x2∈R，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2，則關(guān)于x的不等式f（x2﹣1）+f（﹣2x﹣2）＜x2﹣2x﹣3的解集為（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）5．已知函數(shù)f（x）＝x3+x，對(duì)任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，則x的取值范圍為（）A．（﹣1，3） B．（﹣2，1） C．(0，23)【題型11】抽象函數(shù)的奇偶性判斷1．已知函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立，（1）求證：函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù)；（2）判斷函數(shù)y＝f（x）是R上的增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．2．定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．（1）若g（x）＝f（x）﹣1，證明：g（x）是奇函數(shù)．（2）若f（1）＝2，解不等式f（m2﹣4m﹣9）＜4．3．（1）已知函數(shù)f（x），x∈R，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2，都有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）＝2f（x1）?f（x2），求證：f（x）為偶函數(shù)；（2）設(shè)函數(shù)f（x）定義在（﹣l，l）上，證明：f（x）+f（﹣x）是偶函數(shù)，f（x）﹣f（﹣x）是奇函數(shù)．4．設(shè)函數(shù)y＝f（x）（x∈R，且x≠0）對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x1，x2，恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）．（1）求f（﹣1）及f（1）的值；（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．5．定義在（﹣1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x，y∈（﹣1，1），都有f（x）+f（y）＝f（x+y1+xy（1）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；（2）若當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，有f（x）＞0，求證：f（x）在（﹣1，1）上是減函數(shù)；（3）f（1﹣a）+f（1﹣3a）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【題型12】奇函數(shù)+常數(shù)模型1．已知函數(shù)f（x）＝ax3+bsinx+2022，若f（m）＝2021，則f（﹣m）＝（）A．﹣2021 B．2022 C．2023 D．﹣20232．已知f(x)=ax3+bsinx+cx+2，且A．m B．﹣m C．4﹣m D．8﹣m3．已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx﹣3，若f（﹣2）＝10，求f（2）4．已知函數(shù)f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）＝10，求f（2）的值．5．已知f（x）＝x2011+ax2013-bx-8，f6．若定義在R上的函數(shù)f（x）、g（x）均為奇函數(shù)，設(shè)F（x）＝af（x）+bg（x）+1．（1）若F（﹣2）＝10，求F（2）的值；（2）若F（x）在（0，+∞）上有最大值4，求F（x）在（﹣∞，0）上的最小值．【題型13】函數(shù)求值1．若函數(shù)f（x）滿足f（x+1）＝f（3﹣x），且f（1）＝3，則f（3）＝（）A．3 B．﹣3 C．13 D．2．若奇函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（3）＝1，f（x+3）＝f（x）+f（3），則f(3A．0 B．1 C．12 D．3．奇函數(shù)y＝f（x）滿足f（3）＝1，且f（x﹣4）＝f（x）﹣f（3），則f（2）等于（）A．0 B．1 C．-12 4．若奇函數(shù)f（x）（x∈R），滿足f（2）＝1，f（x+2）＝f（x）+f（2），則f（1）等于（）A．0 B．1 C．-12 5．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（x），則f（6）的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【題型14】函數(shù)的周期性1．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（x），且f（﹣1）＝2，則f（2017）的值是（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣22．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（x），則，f（2016）的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝﹣f（x），則f（10）+f（12）的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿足f（x+1）＝﹣f（x），則f（2）+f（3）+f（5）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．45．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）+f（3﹣x）＝0，若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．﹣2 B．0 C．2 D．20206．定義在R上的偶函數(shù)f（x），對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（x+4）＝﹣f（x）+2，且f（﹣3）＝3，則f（2015）＝（）A．﹣1 B．3 C．2015 D．﹣40287．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）?f（x+2）＝13，若f（1）＝2，則f（2015）＝（）A．0 B．2 C．132 當(dāng)堂檢測(cè)一．選擇題（共12小題）1．設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝2x（1﹣x），則f(-5A．-12 B．-14 C．2．已知函數(shù)y＝f（x）在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的解析式是（）A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2） C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）3．已知f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）﹣g（x）＝x3+x2+1，則f（1）+g（1）＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+2）為偶函數(shù)，且f（1）＝1，則f（8）+f（9）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣3x，則函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x+3的零點(diǎn)的集合為（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2-7，1，3} D．{﹣2-6．若函數(shù)f（x）（f（x）≠0）為奇函數(shù)，則必有（）A．f（x）?f（﹣x）＞0 B．f（x）?f（﹣x）＜0 C．f（x）＜f（﹣x） D．f（x）＞f（﹣x）7．已知f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣26 B．﹣18 C．﹣10 D．108．設(shè)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝2x+2x+b（b為常數(shù)），則f（﹣1）＝（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．39．設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+110．設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（-13）=13，則A．-53 B．-13 C．11．設(shè)函數(shù)f（x）=1-xA．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+112．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，則f（92A．-94 B．-32 C．二．填空題（共8小題）13．已知函數(shù)f（x）＝ax2+2x是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝．14．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）＝2x3+x2，則f（2）＝．15．y＝f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x（1﹣x），則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝．16．若函數(shù)f（x）=x2+2x(x≥0)g(x)(x＜0)為奇函數(shù)，則f（17．已知函數(shù)f（x）＝ax2+（b﹣3）x+3，x∈[a2﹣2，a]是偶函數(shù)，則a+b＝．18．已知函數(shù)f(x)=1x3+ax3-bx-519．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）為偶函數(shù)，f（x+1）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＝a?2x+b，若f（0）+f（1）＝﹣4，則f(7220．若函數(shù)f（x）是定義R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＝4x，則f（-52）+f（1）＝三．解答題（共8小題）21．已知奇函數(shù)f（x）＝ax2+bx+2x（a，b∈R），且（1）求f（x）的解析式；（2）用單調(diào)性的定義證明：f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減．22．已知函數(shù)f(x)=3（1）證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；（2）解關(guān)于t的不等式：f（3t﹣1）+f（2﹣t）＜0．23．已知y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x2+2x．（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，m﹣1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．24．已知函數(shù)f(x)=mx+n1+x（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且1a+2b=8，若存在a，b25．已知函數(shù)f（x）=2x+m（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；（2）解關(guān)于x的不等式f（2x2﹣6x）+f（3a﹣ax）＜f（0）．26．已知f(x)=mx+nx2+1(m，n∈R)（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（x）g（x）＝1，試用單調(diào)性的定義證明函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．27．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x2+2x．（1）求函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣2ax+1（x∈[1，2]），求函數(shù)g（x）的最小值h（a）．28．已知函數(shù)f(x)=x2+bx+1ax(a＞0)（1）求函數(shù)f（x）的解析式；課后作業(yè)一、單選題1．已知函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且fx=f4?x，當(dāng)?2≤x<0時(shí)，fxA．－2 B．2 C．27 D．－2．已知偶函數(shù)fx在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，則滿足f2x?1<f1A．1,+∞ B．?∞,1 C．?3．設(shè)f(x)=?x3+(a?2)x2+x是定義在A．4 B．5 C．6 D．74．設(shè)fx是周期為3的奇函數(shù)，當(dāng)?1≤x<0時(shí)，fx=2x2A．?12 B．?14 C．5．已知函數(shù)fx是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，且fx+gxA．6x?4xx2?4 B．6x+4xx6．設(shè)函數(shù)f(x)=1?2x1+x，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（A．y=f(x?1)?2 B．y=f(x?1)+2 C．y=f(x+1)?2 D．y=f(x+1)+27．在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A．y=1x B．y=?x+1x C．y=?x8．已知偶函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，fx=A．12,3C．32,+∞9．若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(?∞,0)單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x?1)≥0的x的取值范圍是（

）A．[?1,1]∪[3,+∞) B．[?3,?1]∪[0,1]C．[?1,0]∪[1,+∞) D．[?1,0]∪[1,3]10．函數(shù)y=?4|x|x2A． B．C． D．11．若定義在R上的奇函數(shù)fx在?∞,0單調(diào)遞減，且f3=0，則滿足xfA．0∪4,+∞C．?1,0∪2,5 12．已知f(x+1)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的1≤x1<x2，都有x1?A．(?∞,?1) C．(?1,1) D．(?13．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)fx在?∞,0單調(diào)遞減，且f2=0，則滿足xfA．?∞,?2∪C．?2,0∪0,2 14．設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，已知x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，則x∈?2,0時(shí)，f(x)的解析式為f(x)=（

A．x+4 B．2?xC．3?|x+1| D．2?15．設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+1為奇函數(shù)，fx+2為偶函數(shù)，當(dāng)x∈1,2時(shí)，f(x)=ax2+bA．?94 B．?32 C．16．定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+y=fx+fy，當(dāng)A．fB．fxC．fx在區(qū)間?4,4上有最大值D．f2x+1+f二、多選題17．已知函數(shù)y=fx+1的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，且對(duì)：?x∈R有fx+f?x=2.當(dāng)x∈A．fx=fx+8 C．f2022=1 D．18．已知x∈R，函數(shù)fx=xA．y=fx為奇函數(shù) B．y=fx在C．y=fx的單調(diào)遞減區(qū)間為1，2 D．三、填空題19．若函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，fx+1是奇函數(shù)，f0=1四、解答題20．已知定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f(x+3)=(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)x∈(?2,2)時(shí)，用定義證明函數(shù)fx(3)當(dāng)x∈(?2,2)時(shí)，解不等式fx+221．已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(1)求fx(2)若fm+1<f2m?122．已知函數(shù)fx=x+b（1）確定fx（2）用定義證明：fx在區(qū)間?1,1（3）解不等式ft?123．已知函數(shù)f(x)=?2x(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)fx24．已知函數(shù)fx(1)求b的值；(2)解關(guān)于x的不等式f1+25．定義在?1,1上的函數(shù)fx滿足：對(duì)任意的x，y∈?1,1，都有：(1)求證：函數(shù)fx(2)若當(dāng)x∈?1,0時(shí)，有fx>0，求證：f(3)若f12=?1，fx≤t226．已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，對(duì)任意x，y恒有g(shù)(x?y)=g(x)f(y)?f(x)g(y)，且(1)求f(0)的值；(2)判斷g(x)的奇偶性，并證明．27．已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且fx?(1)求fx(2)已知a≠0，對(duì)任意的x∈R，x+1≤ax2+bx+c≤f28．已知函數(shù)fx=px+qx2+1（(1)求函數(shù)fx(2)判斷fx在?1,1(3)解關(guān)于x的不等式fx?129．已知函數(shù)fx=ax+b1+x(1)求fx(2)判斷函數(shù)fx在?1,1(3)求使f2m+1+fm30．定義在R上的函數(shù)fx滿足對(duì)任意x，y∈R，恒有fx+y=fx+f(1)證明：fx(2)試判斷fx(3)若?t∈R，不等式ft?t231．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2x(1)當(dāng)a=0時(shí)，判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值．32．已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0恒成立.(1)證明函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)；(2)證明函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù)；(3)若f(x2?2)+f(x)<03.2.2函數(shù)的奇偶性1、函數(shù)奇偶性的概念：偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做偶函數(shù)。奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，都有，且，那么函?shù)就叫做奇函數(shù)。非奇非偶函數(shù)：既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)。2、具有奇偶性的函數(shù)特點(diǎn)：①其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：在奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義中，若是函數(shù)定義域中的一個(gè)數(shù)值，則也必然在該定義域中，也就是說(shuō)，一個(gè)函數(shù)不管是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，它的定義域一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，否則這個(gè)函數(shù)不滿足奇函數(shù)或偶函數(shù)的條件，即這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。②存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)：如，因?yàn)樗鼭M足。③若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義：則有（）。④函數(shù)按奇偶性可以分為四類(lèi)：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，即為非奇非偶函數(shù)。3、等價(jià)轉(zhuǎn)化：①；或。②；或。4、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的差異：奇偶性是函數(shù)在定義域上的對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)性是反映函數(shù)在某一區(qū)間上的函數(shù)值的變化趨勢(shì)。奇偶性是相對(duì)于函數(shù)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō)的，這一點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性不同，從這個(gè)意義上講，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)。5、奇、偶函數(shù)的圖像特征（幾何意義）：①奇函數(shù)的圖像特征：若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖像是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖像是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。②偶函數(shù)的圖像特征：若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖像是以軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。③奇、偶函數(shù)的單調(diào)性：奇函數(shù)在關(guān)于端點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。上述結(jié)論可簡(jiǎn)記為“奇同偶異”。偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大（小）值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù)。6、常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性：①一次函數(shù)：當(dāng)時(shí)是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。②反比例函數(shù)：奇函數(shù)。③二次函數(shù)：當(dāng)時(shí)是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)為非奇非偶函數(shù)。7、奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的奇偶性：設(shè)的定義域分別是，若，則有下列結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)8、圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖像：函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)。函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)。一般結(jié)論：在定義域內(nèi)恒滿足的條件的圖像的對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)9、圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形：函數(shù)的圖像關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)。函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)。在定義域內(nèi)恒滿足的條件的圖像的對(duì)稱(chēng)軸直線直線直線10、函數(shù)的奇偶性的判斷方法：（1）定義法：①求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行下一步；②結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。（2）圖象法：①畫(huà)出函數(shù)的圖象；②判斷函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)或軸是否對(duì)稱(chēng)；③如果圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)；如果圖象關(guān)于原點(diǎn)和軸均對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；如果圖象關(guān)于原點(diǎn)和軸均不對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。（3）性質(zhì)法：①偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍為偶函數(shù)；②奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；③兩個(gè)奇函數(shù)的積、商（分母不為0）為偶函數(shù)；④一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)。11、分段函數(shù)奇偶性的判斷：判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷。分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)。因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后判斷與的關(guān)系。首先要特別注意的是與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較。12、利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式：（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。所以當(dāng)函數(shù)具有奇偶性時(shí)，已知函數(shù)在軸一側(cè)的解析式，就可得到在軸另一側(cè)的解析式，具體做法如下：①“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間求解析式，就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)；②要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入；③利用的奇偶性寫(xiě)出或，從而解出；④若函數(shù)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有。（2）若做選擇題或填空題還可以采用如下辦法：①直接代換法：若圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，只需把原函數(shù)中的和分別換成“”和“”；若圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，只需把原函數(shù)中的變?yōu)椤啊奔纯?。②特殊點(diǎn)對(duì)稱(chēng)法。13、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用：（1）函數(shù)的奇偶性與其單調(diào)性的關(guān)系：①若函數(shù)是奇函數(shù)，那么在區(qū)間（，）（）和（，）上具有“相同”的單調(diào)性。②若函數(shù)是偶函數(shù)，那么在區(qū)間（，）（）和（，）上具有“相反”的單調(diào)性。（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性我們可以解決以下兩種問(wèn)題：①比較大?。浩婧瘮?shù)、偶函數(shù)單調(diào)性的對(duì)稱(chēng)規(guī)律在不同區(qū)間內(nèi)的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值比較大小中作用很大。對(duì)于偶函數(shù)，如果兩個(gè)自變量的取值在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間上，即正負(fù)不統(tǒng)一，應(yīng)利用圖象的對(duì)稱(chēng)性將兩個(gè)值化歸到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后再根據(jù)單調(diào)性判斷。②解抽象不等式：一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成或的形式，再根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，同時(shí)不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響。（3）兩個(gè)重要結(jié)論：①若為奇函數(shù)且在處有定義，則必有。②若為偶函數(shù)，則必有。14、判斷函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)錯(cuò)誤：（1）忽視函數(shù)的定義域致錯(cuò)。（2）沒(méi)有搞清楚分段函數(shù)奇偶性概念致錯(cuò)。（3）忽視對(duì)參數(shù)的討論致錯(cuò)。15、常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型：容奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)。=2\*GB3②函數(shù)。=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)。注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫(xiě)成函數(shù)或函數(shù)。偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)。=2\*GB3②函數(shù)。=3\*GB3③函數(shù)類(lèi)型的一切函數(shù)?！绢}型1】判斷函數(shù)的奇偶性1．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A．y＝x B．y＝2x2﹣3 C．y=x D．y＝x2，x∈【解答】解：y＝x為奇函數(shù)，不符合題意；y＝2x2﹣3為偶函數(shù)，符合題意；y=x為非奇非偶函數(shù)；y＝x2故選：B．2．下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A．y＝2x2﹣3 B．y=x C．y＝x，x∈[0，1] D．y＝【解答】解：A中函數(shù)為偶函數(shù)；B，C中函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，都為非奇非偶函數(shù)．故選：D．3．判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：（1）f（x）＝x+x3+x5；（2）f（x）＝x2，x∈（﹣1，3）；（3）f（x）＝﹣x2；（4）f（x）＝5x+2；（5）f（x）＝（x+1）（x﹣1）．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，故函數(shù)為奇函數(shù)；（2）f（x）＝x2，x∈（﹣1，3）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（3）f（x）＝﹣x2的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f（﹣x）＝f（x）恒成立，故函數(shù)為偶函數(shù)；（4）f（x）＝5x+2的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但f（﹣x）＝f（x）與f（﹣x）＝﹣f（x）均不恒成立，故函數(shù)f（x）＝5x+2為非奇非偶函數(shù)；（5）f（x）＝x2﹣1的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f（﹣x）＝f（x）恒成立，故函數(shù)為偶函數(shù)．4．判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：（1）f（x）=1x；（2）h（x）＝x3+1；（3）f（x）=x（4）f（x）＝x2（x2+2）；（5）g（x）＝x（x+1）；（6）k（x）=3-x【解答】解：（1）因?yàn)閒(x)=1x，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f（﹣x）=-1x=-f（x（2）則h（﹣1）≠﹣h（1）且h（﹣1）≠h（1），即函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．（3）因?yàn)槎x域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（1，+∞），定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以f（x）為非奇非偶函數(shù)，（4）因?yàn)槎x域?yàn)镽，f（﹣x）＝（﹣x）2[（﹣x）2+2）]＝x2（x2+2）＝f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，（5）g（1）＝2，g（﹣1）＝0；則g（﹣1）≠﹣g（1）且g（﹣1）≠g（1），即函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．（6）k（x）=3-x2x，可得3﹣x2≥0且x≠0，解得-3又k（﹣x）=3-x2-x=-k（x5．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=3x2x2+3；（2）f（（3）f（x）＝（x﹣1）1+x1-x；（4）f（x）=【解答】解：（1）f（x）的定義域?yàn)镽，且f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函數(shù)；（2）3-x2≥0x2-3≥0，∴x2＝3，x＝±3，∴f（（3）解1+x1-x≥0得，﹣1≤x＜1，∴f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴f（（4）解1﹣x2≥0得，﹣1≤x≤1，∴f(x)=1-x2x，∴f（﹣x）＝﹣f（x），6．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=4-x2|x-2|；（2）f（x）（3）f(x)=1-x2|x+2|+|x-3|；（4）f（x【解答】解：（1）根據(jù)題意，f（x）=4-x2|x-2|，則有則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇﹣2，2）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)．（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧﹣1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f（x）＝0，又∵f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）＝f（x），∴f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（3）由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋憨?≤x≤1∴f（x）=1-x2x+2+3-x=1-x25，∵f(-x)=1-(（4）因?yàn)閒（x）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，x＞0時(shí)，f（﹣x）＝﹣x+1＝f（x）；x＜0時(shí)，f（﹣x）＝x+1＝f（x），所以為偶函數(shù)．7．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x-1x；（2）f(x)=x(2-x)，x＞0-x(2+x)，x＜0；（3）f（【解答】解：（1）f（x）＝x-1x，根據(jù)題意，f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R，且有f（﹣x）＝﹣x-1-x=-x+1x=-（x-1x）＝﹣（2）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（?x）＝?（?x）（2?x）＝x（2?x）＝f（x），當(dāng)x＜0時(shí)，f（?x）＝?x（2+x）＝f（x），綜上所述，函數(shù)為偶函數(shù)．（3）f（x）=-x2+x+1，x＞0x2+x-1，x≤0又f（﹣1）＝﹣1，f（1）＝1，則f（﹣1）≠f（1），則f（x）為非奇非偶函數(shù)．8．設(shè)函數(shù)f(x)=xA．f（x+1）+1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x﹣1）﹣1【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，f（x+1）+1=x+1x+2+1，其定義域?yàn)閧x對(duì)于B，f（x﹣1）+1=x-1x+1＝2-1x，不滿足f（﹣x對(duì)于C，f（x+1）﹣1=x+1x+2-1，其定義域?yàn)閧x對(duì)于D，f（x﹣1）﹣1=x-1x-1=-1x，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，滿足f（﹣x故選：D．【題型2】奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1．設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是（）A．f（2x）+2|g（x）|是偶函數(shù) B．f（x）﹣|g（x）|是奇函數(shù) C．2|f（x）|+g（2x）是偶函數(shù) D．|f（x）|﹣g（x）是奇函數(shù)【解答】解：∵函數(shù)f（x）和g（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則|g（x）|也為偶函數(shù)，則f（x）+|2g（x）|是偶函數(shù)，故A滿足條件；f（x）﹣|g（x）|是偶函數(shù)，故B不滿足條件；|f（x）|也為偶函數(shù)，則2|f（x）|+g（2x）與|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能確定故選：A．2．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）?g（x）是偶函數(shù) B．|f（x）|?g（x）是奇函數(shù) C．f（x）?|g（x）|是奇函數(shù) D．|f（x）?g（x）|是奇函數(shù)【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），f（﹣x）?g（﹣x）＝﹣f（x）?g（x），故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，|f（﹣x）|?g（﹣x）＝|f（x）|?g（x）為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，f（﹣x）?|g（﹣x）|＝﹣f（x）?|g（x）|是奇函數(shù)，故C正確．|f（﹣x）?g（﹣x）|＝|f（x）?g（x）|為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：C．3．設(shè)偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，函數(shù)g（x）=xA．|f（x）|g（x）是奇函數(shù) B．f（x）g（x）是偶函數(shù) C．f（x）|g（x）|是奇函數(shù) D．|f（x）g（x）|是奇函數(shù)【解答】解：f（x）是偶函數(shù)f（x），函數(shù)g（x）=x∴|f（x）|為偶函數(shù)，|g（x）|為偶函數(shù)．再根據(jù)兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)、兩個(gè)偶函數(shù)的積還是偶函數(shù)、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)，可得f（x）g（x）為奇函數(shù)，|f（x）|g（x）為奇函數(shù)，故選：A．4．已知函數(shù)y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（）A．y＝f（|x|） B．y＝|f（x）| C．y＝xf（x） D．y＝3f（x）﹣4x【解答】解：f（|﹣x|）＝f（|x|），偶函數(shù)；|f（﹣x）|＝|﹣f（x）|＝|f（x）|，偶函數(shù)；（﹣x）f（﹣x）＝xf（x），偶函數(shù)；3f（﹣x）﹣4（﹣x）＝﹣3f（x）+4x＝﹣（3f（x）﹣4x），奇函數(shù)；故選：D．5．若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）考察復(fù)合函數(shù)的奇偶性A．y＝f（2x+2﹣x） B．y＝f（2x﹣x） C．y＝f（2x﹣2﹣x） D．y＝f（2x+x）【解答】解：依題意，f（﹣x）＝﹣f（x），A選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)y＝f（2x+2﹣x），f（2﹣x+2x）＝f（2x+2﹣x），所以函數(shù)y＝f（2x+2﹣x）不是奇函數(shù)．B選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)y＝f（2x﹣x），f（2﹣x+x）≠﹣f（2x﹣x），所以函數(shù)y＝f（2x﹣x）不是奇函數(shù)．C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)y＝f（2x﹣2﹣x），f（2﹣x﹣2x）＝﹣f（2x﹣2﹣x），所以函數(shù)y＝f（2x﹣2﹣x）是奇函數(shù)．D選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)y＝f（2x+x），f（2﹣x﹣x）≠﹣f（2x+x），所以函數(shù)y＝f（2x+x）不是奇函數(shù)．故選：C．（多選）6．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．y＝f（﹣x） B．y＝f（x）+x3 C．y=f(x)x 【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，設(shè)F（x）＝f（﹣x），其定義域?yàn)镽，則有F（﹣x）＝f[﹣（﹣x）]＝f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣F（﹣x），函數(shù)y＝f（﹣x）為奇函數(shù)，對(duì)于B，設(shè)F（x）＝f（x）+x3，其定義域?yàn)镽，則有F（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）3＝﹣[f（x）+x3]＝﹣F（x），函數(shù)y＝f（x）+x3為奇函數(shù)，對(duì)于C，設(shè)F（x）=f(x)x，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，則有F（﹣x）=f(-x)-x對(duì)于D，y=x3f（故選：AB．（多選）7．如果f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為奇函數(shù)的是（）A．y＝x+f（x） B．y＝xf（x） C．y＝x2+f（x） D．y＝x2f（x）【解答】解：根據(jù)題意，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），對(duì)于A，y＝x+f（x），設(shè)g（x）＝x+f（x），有g(shù)（﹣x）＝（﹣x）+f（﹣x）＝﹣[x+f（x）]＝﹣g（x），函數(shù)y＝x+f（x）為奇函數(shù)，對(duì)于B，y＝xf（x），設(shè)g（x）＝xf（x），有g(shù)（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝（﹣x）[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），函數(shù)y＝xf（x）為偶函數(shù)，對(duì)于C，y＝x2﹣f（x），設(shè)g（x）＝x2﹣f（x），有g(shù)（﹣x）＝（﹣x）2﹣f（﹣x）＝x2+f（x），函數(shù)y＝x2﹣f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，對(duì)于D，y＝x2f（x），設(shè)g（x）＝x2f（x），有g(shù)（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x）＝﹣g（x），函數(shù)y＝x2f（x）為奇函數(shù)，故選：AD．【題型3】定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)1．已知f（x）＝ax2+bx是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）A．-13 B．13 C．-【解答】解：對(duì)于函數(shù)知f（x）＝ax2+bx，依題意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0．又a﹣1＝﹣2a，∴a=13，∴a+b故選：B．2．已知f（x）＝ax2+bx是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，那么f（x）的最大值是（）A．0 B．13 C．427【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝ax2+bx是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，則有a﹣1+2a＝0，解可得a=1同時(shí)其對(duì)稱(chēng)軸x=-b2a=則f（x）=x又由x∈[-23，則f（x）的最大值是f（23）＝f（-23故選：C．3．已知f（x）＝ax2+bx+1是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，那么y＝f（x）的最大值是（）A．1 B．13 C．43 【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[a﹣1，2a]為的偶函數(shù)，所以a﹣1+2a＝0且b＝0，解得a=13，所以f（x）=13x所以當(dāng)x=-23或x=23時(shí)，函數(shù)f（故選：D．4．已知f（x）＝（x﹣1）（ax+b）是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇2a﹣3，a]，則a+b＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則2a﹣3+a＝0，得a＝1，則f（x）＝（x﹣1）（x+b），則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)1，﹣b關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則﹣b＝﹣1，得b＝1，則a+b＝1+1＝2，故選：A．5．已知f（x）＝ax3+bx2+cx是定義在[a﹣1，2a]上的奇函數(shù)，則a+b＝（）A．-13 B．13 C．1【解答】解：∵奇函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx的定義域[a﹣1，2a]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故a﹣1+2a＝0，解得：a=13，又∵奇函數(shù)滿足f（﹣x）＝﹣f（即﹣ax3+bx2﹣cx＝﹣（ax3+bx2+cx）＝﹣ax3﹣bx2﹣cx，∴b＝0，∴a+b=1故選：B．6．若f（x）＝ax3+bx+1﹣b是定義在區(qū)間[﹣6+a，a]的奇函數(shù)，則a+b＝4．【解答】解：f（x）＝ax3+bx+1﹣b是定義在區(qū)間[﹣6+a，a]的奇函數(shù)，所以﹣6+a＝﹣a，解得a＝3，又0∈[﹣3，3]，∴f（0）＝0，則1﹣b＝0，解得b＝1，則a+b＝4．【題型4】奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性1．函數(shù)f（x）=1A．y軸對(duì)稱(chēng) B．直線y＝x對(duì)稱(chēng) C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．直線y＝﹣x對(duì)稱(chēng)【解答】解：f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}；f(-x)=-1∴該函數(shù)為奇函數(shù)；∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．故選：C．2．函數(shù)f(x)=eA．y軸對(duì)稱(chēng) B．直線y＝﹣x C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．直線y＝x【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域是實(shí)數(shù)集合，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f（﹣x）=e-2x-1e∴函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故選：C．3．函數(shù)f（x）=3-A．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．軸對(duì)稱(chēng) C．y軸對(duì)稱(chēng) D．直線y＝x對(duì)稱(chēng)【解答】解：根據(jù)題意，f（x）=3-x2x，有f（﹣則有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故選：A．4．函數(shù)f（x）＝2x+2﹣x（x∈R）的圖象關(guān)于（）A．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．x軸對(duì)稱(chēng) C．y軸對(duì)稱(chēng) D．直線y＝x對(duì)稱(chēng)【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝2x+2﹣x，其定義域?yàn)镽，則f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故選：C．5．函數(shù)f（x）＝3x與f(x)=(1A．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．x軸對(duì)稱(chēng) C．y軸對(duì)稱(chēng) D．直線y＝x對(duì)稱(chēng)【解答】解：∵3與13互為倒數(shù)，∴f（x）＝3x與f(x)=(13故選：C．【題型5】已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)1．已知函數(shù)f（x）＝4x（x﹣1）+ax+|x|是偶函數(shù)，則a＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由函數(shù)f（x）＝4x（x﹣1）+ax+|x|＝4x2+（a﹣4）x+|x|，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為偶函數(shù)，可得f（﹣x）＝f（x），即4（﹣x）2+（a﹣4）（﹣x）+|﹣x|＝4x2+（a﹣4）x+|x|，所以a﹣4＝0，解得a＝4．故選：D．2．已知函數(shù)f（x）＝2x2+ax+2，若f（x+1）是偶函數(shù)，則a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：函數(shù)f（x）＝2x2+ax+2，則有f（x+1）＝2（x+1）2+a（x+1）+2＝2x2+（a+4）x+a+4．因?yàn)閒（x+1）是偶函數(shù)，所以a+4＝0，解得a＝﹣4．故選：A．3．已知函數(shù)f(x)=ax-1x2+1是定義在A．1 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=ax-1x2+1是定義在R上的偶函數(shù)，則f（x）＝即ax-1x2+1=-ax-1故選：C．4．已知f(x)=exeA．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：f（x）是偶函數(shù)，則有f（﹣1）＝f（1），即eea+1=e-1e-a+1，∴e又a＝2時(shí)，滿足f（﹣x）＝f（x）恒成立，則a＝2．故選：A．5．已知函數(shù)f（x）＝ax2+|x+a+1|為偶函數(shù)，則不等式f（x）＞0的解集為（）A．? B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：函數(shù)f（x）＝ax2+|x+a+1|為偶函數(shù)，可得f（﹣x）＝f（x），即ax2+|﹣x+a+1|＝ax2+|x+a+1|，則a+1＝0，即a＝﹣1，f（x）＝﹣x2+|x|，f（x）＞0，即﹣x2+|x|＞0，可得|x|2﹣|x|＜0，即|x|（|x|﹣1）＜0，即0＜|x|＜1，解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故選：B．6．若函數(shù)f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定義域上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：若函數(shù)f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定義域上的奇函數(shù)，則f（0）＝2a＝0，即a＝0，此時(shí)f（x）＝x（2x+2﹣x）為奇函數(shù)，符合題意．故選：A．7．若函數(shù)f（x）＝2x+a?2﹣x﹣x為R上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）＝2x+a?2﹣x﹣x為R上的奇函數(shù)，則f（x）+f（﹣x）＝0恒成立，即（2x+a?2﹣x﹣x）+（2﹣x+a?2x+x）＝（a+1）（2x+2﹣x）＝0恒成立，必有a+1＝0，即a＝﹣1，故選：A．8．若f（x）＝（x+a+1）（x2+a﹣1）為奇函數(shù)，則a＝（）A．1或﹣1 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：根據(jù)題意，而f（x）＝x3+（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1），則f（﹣x）＝﹣x3﹣（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1），則f（﹣x）＝﹣f（x），即x3+（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1）＝﹣x3+（a﹣1）x+（a+1）x2+（a2﹣1），則有a+1=0a2-1=0，分析可得a9．已知f（x）＝2﹣x+a?2x為奇函數(shù)，則f（1）的值為（）A．-32 B．1 C．32【解答】解：f（x）＝2﹣x+a?2x為奇函數(shù)，則f（0）＝1+a＝0，則a＝﹣1，則f（1）=12-故選：A．10．已知函數(shù)f(x)=a+23xA．54 B．1 C．98【解答】解：∵f(x)=a+2∴f（1）+f（﹣1）＝a+1+a+213∴a＝1，∴f（x）=3∴f（2）=10故選：A．【題型6】利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值1．設(shè)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則f（﹣1）+f（1）＝（）A．e﹣1 B．﹣2e﹣2 C．2e﹣1 D．2e﹣2【解答】解：因?yàn)閒（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則f（﹣1）+f（1）＝2f（1）＝2（e﹣1）．故選：D．2．設(shè)f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）＝x﹣1，則使f（x）＞0的x取值范圍是（）A．{x|x＞1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）＝x﹣1，則f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)且f（1）＝1﹣1＝0，又由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）＞0即f（x）＞f（1），則有|x|＞1，解可得：x＞1或x＜﹣1，即x取值范圍是{x|x＜﹣1或x＞1}；故選：C．3．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x3+x+1，則f（1）＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3【解答】解：因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x3+x+1，所以f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣[（﹣1）3+（﹣1）+1]＝1．故選：A．4．已知函數(shù)y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝2x+3x+a，則f（2）的值為（）A．234 B．274 C．-27【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，即20+3×0+a＝0，解得a＝﹣1，所以當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝2x+3x﹣1，所以f（﹣2）＝2﹣2+3×（﹣2）﹣1=1又f（x）為奇函數(shù)，所以f(2)=-f(-2)=27故選：B．5．設(shè)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣1，則f（﹣1）+f（0）＝（）A．-1e-1 B．﹣e﹣1 C．-1【解答】解：因?yàn)閒（x）為定義在R上的奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x），令x＝0，可得f（0）＝﹣f（0），即f（0）＝0，又當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex﹣1，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（e﹣1）＝﹣e+1，所以f（﹣1）+f（0）＝﹣e+1．故選：D．【題型7】利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式011．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x+2，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（）A．﹣x﹣2 B．﹣x+2 C．x﹣2 D．x+2【解答】解：f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（﹣x）＝﹣f（x），設(shè)x＜0時(shí)，﹣x＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x+2，可得f（﹣x）＝﹣x+2，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝x﹣2．故選：C．2．函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x-1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（A．-x+1 B．--x-1 C．【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，則有f（﹣x）=-x又由f（x）為R上的奇函數(shù)，則有f（x）＝﹣f（﹣x）=--x故選：D．3．設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2+x，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（）A．x2+x B．﹣x2+x C．x2﹣x D．﹣x2﹣x【解答】解：當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，則f（﹣x）＝x2﹣x，又f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），則有f（x）＝﹣x2+x，（x＜0）．故選：B．4．函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝﹣x+1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的表達(dá)式為（）A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣1【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)；∴設(shè)x＜0，則﹣x＞0；∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+1＝f（x）；∴f（x）＝x+1．故選：C．5．已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x﹣3，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝（）A．﹣x2﹣2x+3 B．x2+2x﹣3 C．﹣x2+2x+3 D．x2﹣2x﹣3【解答】解：當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，則f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣3＝x2+2x﹣3，又因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x﹣3．故選：B．【題型8】利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式021．已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，滿足2f（x）+g（x）＝3x，求f（x）的解析式．【解答】解：根據(jù)題意，2f（x）+g（x）＝3x，①又由f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，則2f（﹣x）+g（﹣x）＝g（x）﹣2f（x）＝﹣3x，②，①﹣②可得：4f（x）＝6x，變形可得f（x）=3x故f（x）=3x2．已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且滿足f（x）+g（x）＝x2+x+1，求f（x）和g（x）的表達(dá)式．【解答】解：根據(jù)題意，∵f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），且f（x）+g（x）＝x2+x+1①，∴f（﹣x）+g（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）+1，即﹣f（x）+g（x）＝x2﹣x+1②；由①、②解得f（x）＝x，g（x）＝x2+1．3．已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=2x-2．求f（x）與g（【解答】解：∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，∴g（﹣x）＝﹣g（x），f（﹣x）＝f（x），令x取﹣x，代入f（x）+g（x）=2x-2可得f（﹣x）+g（﹣x）=-2即f（x）﹣g（x）＝f（﹣x）+g（﹣x）=-22+x由①②解得，f（x）=4x2-4，g（4．已知f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（x）﹣g（x）=1x+1，求f（x）、g（【解答】解：根據(jù)題意，f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）．則f(x)-g(x)=1x+1，f(-x)-g(-x)=1-x+1，即f(x)-g(x)=兩式相加，得g（x）=1故f（x）=xx2-1，g（5．已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）＝x2+x﹣2，x∈R．（1）求f（x）和g（x）的表達(dá)式；（2）若對(duì)于任意的x∈[2，3]，不等式f（x）﹣k?g（x）+7≥0恒成立，求k的最大值．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，f（x）+g（x）＝x2+x﹣2①，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）﹣2，即f（x）﹣g（x）＝x2﹣x﹣2②，聯(lián)立①②，解得：f（x）＝x2﹣2，g（x）＝x，（2）因?yàn)閒（x）＝x2﹣2，g（x）＝x，由f（x）﹣k?g（x）+7≥0對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，可得x2﹣2﹣kx+7≥0對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，即x2﹣kx+5≥0對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，所以k≤x+5x對(duì)于任意的x∈[2，3]恒成立，所以k≤(x+5x因?yàn)閤+5x≥2x?5x=2所以k的最大值為25【題型9】奇偶性與單調(diào)性的綜合1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．y＝log2x B．y＝|x|+1 C．y＝﹣x2+1 D．y=|【解答】解：y＝log2x的定義域是（0，+∞），是非奇非偶函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；y＝|x|+1是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)正確；y＝﹣x2+1是偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；y=|1x|故選：B．2．下列函數(shù)是奇函數(shù)且在[1，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．y=1x B．y＝x2 C．y=x+2【解答】解：A：y=1B：y＝x2為偶函數(shù)，不符合題意；C：y=x+2D：y＝x-1故選：D．3．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，則（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【解答】解：∵x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，∴函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∵﹣2＜1＜3，∴f（﹣2）＜f（1）＜f（3）．故選：C．4．若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，且f（2）＝0，則使得f（x）＞0的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（﹣∞，0）上