核心概念統(tǒng)整下的數(shù)與運算一致性教學探索

摘要培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)是新一輪課程改革的重要目標。小學數(shù)學數(shù)與運算主題是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的重要知識載體。小學階段數(shù)與運算一致地表現(xiàn)為計數(shù)單位及個數(shù)多少的表達。以核心概念統(tǒng)領(lǐng)數(shù)與運算的教學，幫助學生建立計數(shù)單位的概念，建立數(shù)與運算的認知結(jié)構(gòu)；緊扣核心概念設計基本問題，實施一致性教學，幫助學生用結(jié)構(gòu)化的知識形成結(jié)構(gòu)化的思維和方法，是數(shù)與運算一致性教學的一般路徑。關(guān)鍵詞核心概念；數(shù)與運算；一致性；計數(shù)單位數(shù)與運算是義務教育小學數(shù)學數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的知識，是小學數(shù)學最基本、最核心的內(nèi)容之一，一直以來備受一線教師關(guān)注?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）確立了核心素養(yǎng)導向的課程目標，強調(diào)通過教學內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合發(fā)展學生核心素養(yǎng)。在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域?qū)⑦@一路徑具體化為“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識”[1]。如何將《課程標準》倡導的教學理念和教學方式落實到數(shù)與運算課堂教學中，是新一輪小學數(shù)學課程改革的重頭戲。教學實踐表明，以核心概念統(tǒng)整達成數(shù)與運算教學的一致性是培養(yǎng)學生的數(shù)感、符號意識、運算能力和推理意識的基本路徑。一、整體認識數(shù)與運算的一致性義務教育小學數(shù)學課程的數(shù)與運算主題內(nèi)容包括整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)及相應的四則運算。開展數(shù)與運算的一致性教學，我們首先要厘清整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)三個數(shù)概念的一致性，整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的四則運算的一致性，以及整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)與運算的一致性。1.數(shù)概念的一致性整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的表現(xiàn)形式各不相同，不同形式背后卻有著相同的本質(zhì)。它們都是人們在生產(chǎn)和生活中用來表示物體個數(shù)的符號。人們最初“一個一個”數(shù)數(shù)，后來按“群”計數(shù)，產(chǎn)生了自然數(shù)的計數(shù)單位“一、十、百、千……”；隨著生產(chǎn)和生活的需要，人們通過單位“1”的等分產(chǎn)生了新的、更小的小數(shù)和分數(shù)的計數(shù)單位：“十分之一、百分之一、二分之一、三分之一……”從這個角度講整數(shù)是計數(shù)單位不斷累加的結(jié)果，是宏觀的計數(shù)；分數(shù)和小數(shù)是計數(shù)單位不斷細分所致，是微觀的計數(shù)。小數(shù)和分數(shù)是數(shù)概念發(fā)展的兩個不同方向，它們以整數(shù)為基礎共同構(gòu)成了完備的小學數(shù)學數(shù)概念知識結(jié)構(gòu)。我們用有限的10個數(shù)字表達無限的“宏觀”或“微觀”的數(shù)，依賴于計數(shù)單位、數(shù)位、位值制、十進制等基本概念的支撐，對數(shù)的多元表征都一致地表達了計數(shù)單位個數(shù)的多少（見表1）。2.四則運算的一致性義務教育小學數(shù)學的四則運算包括整數(shù)四則運算、小數(shù)四則運算和分數(shù)四則運算。不論是四則運算的意義還是算理，整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)都體現(xiàn)出高度的一致性。（1）四則運算意義的一致性。教科書是教學內(nèi)容及其結(jié)構(gòu)的載體，它體現(xiàn)了學科知識的科學性和學科結(jié)構(gòu)的嚴謹性。各個版本的小學數(shù)學教科書對四則運算的編排都一致地表現(xiàn)為先分段學習整數(shù)四則運算及其相互關(guān)系，再推廣到小數(shù)和分數(shù)，因此整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)四則運算的意義是完全一致的（如圖1）。整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的四則運算都是以加法為基礎的計數(shù)單位及其個數(shù)的變化：加法是計數(shù)單位的增加，減法是計數(shù)單位的減少，乘法是計數(shù)單位的倍增，除法是計數(shù)單位的細分。（2）四則運算算理的一致性。整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)四則運算的算法各不相同，不同算法背后卻是相同算理的支撐：整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)加減法中的相同數(shù)位對齊、小數(shù)點對齊、同分母分數(shù)分母不變分子相加減、異分母分數(shù)通分后再加減，其背后的算理都是相同計數(shù)單位個數(shù)的加減。整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)乘除法算理的一致性如圖2。3.數(shù)與運算的一致性通過上面的分析我們可以清楚地知道，數(shù)是對計數(shù)單位及其個數(shù)的表達，四則運算則是計數(shù)單位及其個數(shù)的增減變化，二者的研究對象是一致的。從其內(nèi)部的邏輯聯(lián)系上看，數(shù)是運算的對象和基礎，沒有數(shù)也就不會有相關(guān)的運算，四則運算是數(shù)概念的具體化和發(fā)展。數(shù)的組成是數(shù)與運算的紐帶，如根據(jù)2和5組成7，可以計算2+5=7；同時數(shù)的運算又是對數(shù)概念的鞏固，如45-7，先算15-7=8，再算30+8=38，把45分成了30和15，是對數(shù)結(jié)構(gòu)的再認識。因此，不要孤立地看待數(shù)與運算，應根據(jù)事物普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點，將數(shù)與運算納入同一學習任務的不同側(cè)面，它們是不可分割的有機整體。二、以計數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)數(shù)與運算的教學布魯納指出，要“給予那些和基礎課有關(guān)的普遍的和強有力的觀念和態(tài)度以中心地位”[2]。在數(shù)學教學中“將基本概念、基本規(guī)律和基本原理等核心內(nèi)容置于教學的中心地位”[3]是新一輪課程改革的價值取向和共同追求。數(shù)與運算的核心是計數(shù)單位，因此，要切實樹立起計數(shù)單位的核心地位，引導學生深刻理解并掌握計數(shù)單位的概念，建立起概念間互相融通的復雜認知結(jié)構(gòu)。1.突出計數(shù)單位在數(shù)與運算中的核心地位從數(shù)與運算的一致性可以知道：數(shù)概念是對計數(shù)單位及其個數(shù)的靜態(tài)描述，四則運算是計數(shù)單位及其個數(shù)的動態(tài)表達。計數(shù)單位從不同狀態(tài)反映了數(shù)與運算的共同本質(zhì)，它既是學習數(shù)與運算知識結(jié)構(gòu)的邏輯起點，又是統(tǒng)領(lǐng)該部分知識內(nèi)容的理論支柱。學生能否整體把握數(shù)與運算的知識結(jié)構(gòu)，很大程度上取決于對計數(shù)單位的理解與掌握水平。因此，教師應自始至終把計數(shù)單位置于教學的中心地位，突出它的統(tǒng)帥作用。計數(shù)單位是數(shù)與運算知識結(jié)構(gòu)中的基本概念，具有廣泛的遷移力和普遍的實用性，在它的統(tǒng)領(lǐng)下，其他知識都可以看成是特定情境中的具體化。如數(shù)位是計數(shù)單位所占位置的命名，十進制是計數(shù)單位之間進率的具體化，算式50+8=58、0.53-0.5=0.03等從根本上講是數(shù)的組成的具體應用，而數(shù)的組成本身就是計數(shù)單位個數(shù)的表達。2.幫助學生切實建立起計數(shù)單位的概念核心概念具有的廣泛遷移力是建立在學生深刻理解并掌握的基礎之上的。計數(shù)單位是一個抽象的概念，伴隨著學生數(shù)與運算學習的全過程。小學生從開始數(shù)數(shù)就接觸計數(shù)單位，到人教版數(shù)學教材四年級上冊正式抽象概括出計數(shù)單位的概念，進而將計數(shù)單位擴充到小數(shù)和分數(shù)中，經(jīng)歷了“具體—抽象—具體”的建構(gòu)過程，這是教材對計數(shù)單位知識結(jié)構(gòu)與學生認知結(jié)構(gòu)相結(jié)合的教學法處理。數(shù)與運算的教學中，教師應根據(jù)學生年齡特點和認知水平采取適合的教學方式循序漸進地幫助學生理解并掌握計數(shù)單位這一核心概念。如低年級學生教學中應充分運用操作、觀察等直觀手段，把計數(shù)單位的本質(zhì)屬性以形象的物化過程展現(xiàn)出來，幫助學生在頭腦里建立起清晰且正確的表象，從而更好地感知其深刻含義。如計數(shù)單位“十”，通過把10根小棒合起來，捆成一捆的動作表征，在頭腦里形象地建立1個十的表象，進而半抽象為計數(shù)器十位上的一顆珠子、記作十位上的數(shù)字“1”，經(jīng)過層層抽象，逐步建立“十”的單位概念。隨著學生年齡的增長、認知水平的提高以及數(shù)域的不斷擴充，計數(shù)單位的知識也可以根據(jù)遷移原理類推出來，如根據(jù)10個十是1個百，類推出10個百是1個千等。數(shù)源于數(shù)，數(shù)數(shù)是幫助學生建構(gòu)計數(shù)單位概念的重要數(shù)學活動。數(shù)數(shù)的本質(zhì)就是數(shù)計數(shù)單位的個數(shù)。通過數(shù)數(shù)不僅可以豐富學生對計數(shù)單位的體驗，同時還能加深對滿十進一的理解。不同方式的數(shù)數(shù)，更是能幫助學生溝通不同計數(shù)單位之間的關(guān)系。如數(shù)35，學生可以一個一個地從1數(shù)到35，其中9的下一個數(shù)是10，19的下一個數(shù)是20，29的下一個數(shù)是30。如此，學生對滿十進一就會產(chǎn)生深刻的體會，積累數(shù)數(shù)的經(jīng)驗。同樣是數(shù)35，學生還可以一十一十地數(shù)出3個十，再一個一個地數(shù)出5個一，借此理解35是由3個十和5個一組成。對比溝通兩種數(shù)數(shù)方法，學生還能得出35既可以由35個一組成，也可以由3個十和5個一組成，理解不同表征背后相同的大小關(guān)系。3.以計數(shù)單位為核心建立起數(shù)與運算的認知結(jié)構(gòu)網(wǎng)腦科學研究表明，認知結(jié)構(gòu)的層次越豐富，連結(jié)越多樣，層次之間越融通，就越有利于遷移[4]。計數(shù)單位是數(shù)與運算認知結(jié)構(gòu)中重要的連結(jié)點，通過它可以不斷吸納概念、組織信息，促成數(shù)與運算知識結(jié)構(gòu)間的融會貫通。因此，數(shù)與運算教學應以計數(shù)單位為固著點，將概念、法則、規(guī)律等有效組織起來并建立起相互之間的連結(jié)。數(shù)與運算知識結(jié)構(gòu)中的具體內(nèi)容以計數(shù)單位為三、緊扣核心概念設計基本問題，實施一致性教學問題驅(qū)動的課堂教學是小學數(shù)學教學的一般模式，作為驅(qū)動課堂教學的問題應與核心概念相匹配，具有廣泛的遷移力和普遍的適應性，故稱之為基本問題。數(shù)與運算的教學應以基本問題為驅(qū)動，在深度學習中不斷豐富學生對核心概念的理解，整體建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)。1.把握基本問題的融通性，形成知識結(jié)構(gòu)進階的通道數(shù)與運算的核心概念是計數(shù)單位，與之對應的基本問題是“計數(shù)單位是什么，有多少個？”這一問題不僅揭示了數(shù)與運算的本質(zhì)，還具有開放性，能激發(fā)全體學生對計數(shù)單位這一核心概念的持續(xù)性思考，形成數(shù)與運算知識結(jié)構(gòu)進階的通道?；締栴}貫穿于數(shù)與運算學習的全過程，但計數(shù)單位是一個高度抽象的概念，教學時我們應根據(jù)數(shù)與運算的邏輯，順應學生的年齡特征和思維水平，將基本問題具體化。如低年級學生認識兩位數(shù)時，教師可以將“計數(shù)單位是什么，有多少個？”這一基本問題具體化為：“怎樣用你喜歡的方式表示25？”學生可能回答：用小棒擺出來；用語言讀（數(shù)）出來；用符號寫出來；用算式25=20+5表示等。這個開放的問題留足了學生思考的空間，不同認知水平的學生都能表達自己的理解。通過分享交流，學生之間取長補短，學會用多種方式表示數(shù)，建立起清晰的數(shù)的表象。針對高年級學生“計數(shù)單位是什么，有多少個？”這一基本問題教師可以直接提問，如五年級學習小數(shù)乘法3.5×3，人教版教科書借助“一只風箏3.5元，買3只多少元”的情境引出。結(jié)合具體情境直接拋出基本問題：單位是什么，有多少個？基于對單位的多元理解，學生呈現(xiàn)不同的算法：3.5元=3元+5角，3.5元×3=3元×3+5角×3=9元+15角=10.5元；3.5元=35角，35角×3=105角=10.5元；3.5=35個0.1，3.5×3=35個（0.1）×3=105個（0.1）=10.5等。在溝通多種算法基礎上，幫助學生理解小數(shù)乘法的本質(zhì)及一般計算方法。2.優(yōu)化教學結(jié)構(gòu)，形成一致性學習路徑由數(shù)與運算課程內(nèi)容的一致性決定了課程組織的相似性。教學過程中以真實情境中的真實問題為引領(lǐng)優(yōu)化教學結(jié)構(gòu)，帶領(lǐng)學生充分經(jīng)歷知識的形成過程，形成一致性的學習路徑，從而實現(xiàn)從“學會”到“會學”。教材在數(shù)與運算知識結(jié)構(gòu)的編寫上體現(xiàn)了對學習過程的引導。教師可以遵循教材“準備—建構(gòu)—應用”的編排邏輯，結(jié)合教學內(nèi)容和學生學情帶領(lǐng)學生經(jīng)歷知識的形成過程（如圖４）。學習路徑就是在基本問題引領(lǐng)下的學習過程的結(jié)構(gòu)化。路徑中自主探究、合作學習是學習的主要方式，是圍繞基本問題的個性化學習。分享交流、抽象概括等環(huán)節(jié)是生生之間、師生之間的對話，教師要引導學生通過數(shù)數(shù)、讀數(shù)、寫數(shù)、數(shù)的組成等一系列活動，實際理解數(shù)的大小，建立起數(shù)的表象或者理解多樣算法背后不變的算理，優(yōu)化出具有普適性的一般算法，抽象概括一般算法的法則。結(jié)構(gòu)化的學習路徑強調(diào)學生在學習過程中的體驗與感悟，強調(diào)學生對知識的自主建構(gòu)，有助于學生學習力的提高，普遍適用于其他數(shù)學知識的學習。3.明確思維方式的共通性，形成結(jié)構(gòu)化思維數(shù)與運算的教學不僅是引導學生掌握數(shù)與運算的知識和技能，更重要的是數(shù)學經(jīng)驗的積累與思想方法的獲得，培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力。數(shù)與運算主題結(jié)構(gòu)相似、思想方法相通，因此學習、探究方式也具有共通性。問題引領(lǐng)下共通的學習方式有助于學生思維的結(jié)構(gòu)化。如通過整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)算理共性的研究可以幫助學生形成借助舊經(jīng)驗轉(zhuǎn)化新知識、解決新問題、學習新知識的結(jié)構(gòu)化思維。學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)14×12，我們的基本問題是：計算的方法是什么？為什么可以這樣計算？教學中基本問題轉(zhuǎn)化成具體學習任務：14×12可以怎么計算？哪種方法最好？算一算、畫一畫、比一比、說一說。任務驅(qū)動下，學生首先根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)進行拆分，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，如14×12=14×10+14×2；12=6+6，14×12=14×6+14×6；12=4+8，14×12=14×4+14×8……在此基礎上引導學生用豎式表達拆分過程，比較發(fā)現(xiàn)拆分成整十數(shù)和一位數(shù)，能用豎式簡潔地表達，具有一般性，從而建構(gòu)起具有一般性的兩位數(shù)