新高考一輪復習導學案第10講 函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性（原卷版）

第10講函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性1、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱2、周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．常用結(jié)論1．奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．3．函數(shù)對稱性常用結(jié)論(1)f(a－x)＝f(a＋x)?f(－x)＝f(2a＋x)?f(x)＝f(2a－x)?f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(2)f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．f(a＋x)＝－f(b－x)?f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱．1、已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7．若y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，g(2)=4，則k=122A．?21 B．?22 C．?23 D．?242、已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1，則k=122A．?3 B．?2 C．0 D．13、設SKIPIF1<0是定義域為R的奇函數(shù)，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、設函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為R，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05、設函數(shù)SKIPIF1<0，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06、已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07、設函數(shù)SKIPIF1<0，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減8、設函數(shù)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0（

）A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減9、若定義在SKIPIF1<0的奇函數(shù)f(x)在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足SKIPIF1<0的x的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<01、下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為ABSKIPIF1<0CD2、已知是奇函數(shù)，且當時，．若，則__________．3、已知函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)，則SKIPIF1<0的值為___________.4、已知函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，則SKIPIF1<0______.考向一奇偶性的定義與判斷例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(2)f(x)＝eq\r(3－2x)＋eq\r(2x－3)；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；(5)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x>0，,x2－x，x<0.))變式1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝xlg(x＋eq\r(x2＋1))；(2)f(x)＝(1－x)eq\r(\f(1＋x,1－x))；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x＞0，,x2＋2x－1，x＜0；))(4)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).方法總結(jié)：1.判斷函數(shù)的奇偶性，首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱．若函數(shù)定義域關于原點不對稱，則此函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；若定義域關于原點對稱，再化簡解析式，根據(jù)f(－x)與f(x)的關系結(jié)合定義作出判斷．2.在函數(shù)的定義域關于原點對稱的條件下，要說明一個函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，必須證明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))對定義域中的任意x都成立；而要說明一個函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，則只須舉出一個反例就可以了．3.分段函數(shù)指在定義域的不同子集有不同對應關系的函數(shù)，分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x＞0或x＜0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性．考向二函數(shù)的周期性及應用例2、已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0圖像關于SKIPIF1<0對稱，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0________.變式1、函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的值為．變式2、已知函數(shù)f(x)的定義域為R．當x<0時，；當時，；當時，，則f(6)=A．?2 B．?1 C．0 D．2變式3、若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,fx－1－fx－2，x>0，))則f(2023)＝________.方法總結(jié)：(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期為T．(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(3)在解決具體問題時，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應用．

(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隱含周期的條件：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等考向三函數(shù)奇偶性與單調(diào)性、周期性的應用例3、（1）設是定義域為R的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）（2）已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，有下列四個命題：甲：f(x)是奇函數(shù)；乙：f(x)的圖象關于直線x＝1對稱；丙：f(x)在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減；?。汉瘮?shù)f(x)的周期為2．如果只有一個假命題，則該命題是A．甲B．乙C．丙D．丁變式1、函數(shù)f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(3)當x>0時，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．變式2、已知SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，下列命題正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．函數(shù)SKIPIF1<0在定義域上是周期為SKIPIF1<0的函數(shù)C．直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有SKIPIF1<0個交點 D．函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0方法總結(jié)：1.已知函數(shù)的奇偶性，反求參數(shù)的取值，有兩種思路：一種思路是根據(jù)定義，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)對定義域內(nèi)的任意x恒成立，建立起關于參數(shù)的方程，解方程求出參數(shù)之值；另一種思路就是從特殊入手，得出參數(shù)所滿足條件，再驗證其充分性得出結(jié)果．2.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性之間有著緊密的聯(lián)系，奇函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，掌握這一關系，對于求解有關奇偶性與單調(diào)性的綜合問題，有著極大的幫助，要予以足夠的重視．1、已知函數(shù)SKIPIF1<0是R上的奇函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是自然對數(shù)的底數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02、設偶函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03、已知SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象如圖所示，則不等式SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是奇函數(shù)，SKIPIF1