新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單+鞏固練習(xí)專題20 概率、隨機(jī)變量與分布列（解析版）

專題20概率、隨機(jī)變量與分布列一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1隨機(jī)事件的概率與古典概型1、事件的相關(guān)概念2、頻率與概率的關(guān)系（1）頻率：在SKIPIF1<0次重復(fù)試驗(yàn)中，事件SKIPIF1<0發(fā)生的次數(shù)SKIPIF1<0稱為事件SKIPIF1<0發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)SKIPIF1<0與總次數(shù)SKIPIF1<0的比值SKIPIF1<0，叫做事件SKIPIF1<0發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件SKIPIF1<0發(fā)生的頻率SKIPIF1<0總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件SKIPIF1<0的概率，記作SKIPIF1<0．（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件SKIPIF1<0，由于事件SKIPIF1<0發(fā)生的頻率SKIPIF1<0隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率SKIPIF1<0，因此可以用頻率SKIPIF1<0來估計(jì)概率SKIPIF1<0．3、事件的關(guān)系與運(yùn)算（1）包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0，如果事件SKIPIF1<0發(fā)生，則事件SKIPIF1<0一定發(fā)生，這時(shí)稱事件SKIPIF1<0包含事件SKIPIF1<0（或者稱事件SKIPIF1<0包含于事件SKIPIF1<0），記作SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0．（2）相等關(guān)系：一般地，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，稱事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相等．（3）并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件SKIPIF1<0發(fā)生或事件SKIPIF1<0發(fā)生，則稱此事件為事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0的并事件（或和事件），記作SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．（4）交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件SKIPIF1<0發(fā)生且事件SKIPIF1<0發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．（5）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0不能同時(shí)發(fā)生，即SKIPIF1<0，則稱事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0互斥；如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件SKIPIF1<0，．SKIPIF1<0．，…，SKIPIF1<0彼此互斥．（6）對(duì)立事件：若事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即SKIPIF1<0不發(fā)生，SKIPIF1<0則稱事件SKIPIF1<0和事件SKIPIF1<0互為對(duì)立事件，事件SKIPIF1<0的對(duì)立事件記為SKIPIF1<0．4、概率的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意事件SKIPIF1<0都有：SKIPIF1<0．（2）必然事件的概率為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；不可能事概率為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）概率的加法公式：若事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0互斥，則SKIPIF1<0．推廣：一般地，若事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0彼此互斥，則事件發(fā)生（即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這SKIPIF1<0個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：SKIPIF1<0．（4）對(duì)立事件的概率：若事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0互為對(duì)立事件，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（5）概率的單調(diào)性：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（6）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則SKIPIF1<0．5、古典概型（1）古典概型的定義：一般地，若試驗(yàn)SKIPIF1<0具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．2、古典概型的概率公式：一般地，設(shè)試驗(yàn)SKIPIF1<0是古典概型，樣本空間SKIPIF1<0包含SKIPIF1<0個(gè)樣本點(diǎn)，事件SKIPIF1<0包含其中的SKIPIF1<0個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)2相互獨(dú)立事件與條件概率、全概率1、相互獨(dú)立事件（1）相互獨(dú)立事件的概念對(duì)于兩個(gè)事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，則意味著事件SKIPIF1<0的發(fā)生不影響事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率．設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．由此可得：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個(gè)事件，若SKIPIF1<0，則稱事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式：由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)：如果事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相獨(dú)立，那么SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0也都相互獨(dú)立．（4）兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣：兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到SKIPIF1<0個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0相互獨(dú)立，則這SKIPIF1<0個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率SKIPIF1<0．2、條件概率（1）條件概率的定義：一般地，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個(gè)事件，且SKIPIF1<0，稱SKIPIF1<0為在事件SKIPIF1<0發(fā)生的條件下，事件SKIPIF1<0發(fā)生的條件概率．（2）條件概率的性質(zhì)=1\*GB3①條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在SKIPIF1<0和1之間，即SKIPIF1<0．=2\*GB3②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為SKIPIF1<0．=3\*GB3③如果SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互斥，則SKIPIF1<0．3、全概率公式（1）全概率公式：SKIPIF1<0；（2）若樣本空間SKIPIF1<0中的事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則對(duì)SKIPIF1<0中的任意事件SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．4、貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0（2）定理SKIPIF1<0若樣本空間SKIPIF1<0中的事件SKIPIF1<0滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則對(duì)SKIPIF1<0中的任意概率非零的事件SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)3隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1、隨機(jī)變量的有關(guān)概念（1）隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量．2、離散型隨機(jī)變量分布列（1）離散型隨機(jī)變量分布列的表示：一般地，若離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0可能取的不同值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取每一個(gè)值SKIPIF1<0SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0，以表格的形式表示如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的概率分布列，簡(jiǎn)稱為SKIPIF1<0的分布列．有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見，也用等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的分布列．（2）分布列的性質(zhì)：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．3、離散型隨機(jī)變量的均值與方差：（1）均值：SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．（2）均值的性質(zhì)=1\*GB3①SKIPIF1<0（為常數(shù)）．=2\*GB3②若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數(shù)，則SKIPIF1<0也是隨機(jī)變量，且SKIPIF1<0．=3\*GB3③SKIPIF1<0．=4\*GB3④如果SKIPIF1<0相互獨(dú)立，則SKIPIF1<0．（3）方差：SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱其算術(shù)平方根SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)差．（4）方差的性質(zhì)=1\*GB3①若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數(shù)，則SKIPIF1<0也是隨機(jī)變量，且SKIPIF1<0．=2\*GB3②方差公式的變形：SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)4兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布1、兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X的分布列具有下表的形式，則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率．X01P1－pp2、二項(xiàng)分布（1）SKIPIF1<0次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：一般地，在相同條件下重復(fù)做的SKIPIF1<0次試驗(yàn)稱為SKIPIF1<0次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．【注意】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分布的表示：一般地，在SKIPIF1<0次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0，不發(fā)生的概率SKIPIF1<0，那么事件SKIPIF1<0恰好發(fā)生SKIPIF1<0次的概率是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0），于是得到SKIPIF1<0的分布列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式SKIPIF1<0各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從參數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的二項(xiàng)分布，記作SKIPIF1<0，并稱SKIPIF1<0為成功概率．（3）二項(xiàng)分布的期望、方差：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3、超幾何分布：在含有SKIPIF1<0件次品的SKIPIF1<0件產(chǎn)品中，任取SKIPIF1<0件，其中恰有SKIPIF1<0件次品，則事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，2，…，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．SKIPIF1<001…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<04、正態(tài)曲線與正態(tài)分布（1）正態(tài)曲線：我們把函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是樣本均值，SKIPIF1<0是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．（2）正態(tài)曲線的性質(zhì)=1\*GB3①曲線位于SKIPIF1<0軸上方，與SKIPIF1<0軸不相交；=2\*GB3②曲線是單峰的，它關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱；=3\*GB3③曲線在SKIPIF1<0處達(dá)到峰值（最大值）SKIPIF1<0；=4\*GB3④曲線與SKIPIF1<0軸之間的面積為1；=5\*GB3⑤當(dāng)SKIPIF1<0一定時(shí)，曲線的位置由SKIPIF1<0確定，曲線隨著SKIPIF1<0的變化而沿SKIPIF1<0軸平移；=6\*GB3⑥當(dāng)SKIPIF1<0一定時(shí)，曲線的形狀由SKIPIF1<0確定．SKIPIF1<0越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；SKIPIF1<0越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，（3）正態(tài)分布：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，隨機(jī)變量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0確定，因此正態(tài)分布常記作SKIPIF1<0．如果隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布，則記為SKIPIF1<0．其中，參數(shù)SKIPIF1<0是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；SKIPIF1<0是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．（4）SKIPIF1<0原則若SKIPIF1<0，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0而言，該面積隨著SKIPIF1<0的減小而變大．這說明SKIPIF1<0越小，SKIPIF1<0落在區(qū)間SKIPIF1<0的概率越大，即SKIPIF1<0集中在SKIPIF1<0周圍的概率越大特別地，有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間SKIPIF1<0之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有SKIPIF1<0，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布SKIPIF1<0的隨機(jī)變量SKIPIF1<0只取SKIPIF1<0之間的值，并簡(jiǎn)稱之為SKIPIF1<0原則．一、隨機(jī)事件的頻率與概率1、頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．2、隨機(jī)事件概率的求法：利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）下列說法：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，有51次出現(xiàn)正面.因此出現(xiàn)正面的概率是0.51；③隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，即SKIPIF1<0趨近于0，則A是不可能事件；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是SKIPIF1<0；⑥隨機(jī)事件的頻率就是這個(gè)事件發(fā)生的概率；其中正確的有.【答案】③⑤【解析】概率指的是無窮次試驗(yàn)中，出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個(gè)固定的值的附近波動(dòng)，這個(gè)固定的值就是概率.①通過概率定義可以分析出，出現(xiàn)的事件是在一個(gè)固定值波動(dòng)，并不是一個(gè)確定的值，則本題中從該批產(chǎn)品中任取200件，應(yīng)該是10件次品左右，不一定出現(xiàn)10件次品，錯(cuò)誤；②100次拋硬幣的試驗(yàn)并不是無窮多次試驗(yàn)，出現(xiàn)的頻率也不是概率，事實(shí)上硬幣只有兩個(gè)面，每個(gè)面出現(xiàn)的概率是相等的，所以因此出現(xiàn)正面的概率是0.5，錯(cuò)誤；③隨機(jī)事件的概率是通過多次試驗(yàn)，算出頻率后來估計(jì)它的概率的，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)多了，這個(gè)頻率就越來越接近概率，所以隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，正確；④隨機(jī)事件A的概率趨近于0，說明事件A發(fā)生的可能性很小，但并不表示不會(huì)發(fā)生，錯(cuò)誤；⑤拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果是18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是SKIPIF1<0，正確；⑥根據(jù)概率的定義，隨機(jī)事件的頻率只是這個(gè)事件發(fā)生的概率的近似值，它并不等于概率，錯(cuò)誤；綜上，正確的說法有③⑤.故答案為：③⑤【典例2】（2021上·四川成都·高三石室中學(xué)校考開學(xué)考試）在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）A．0.4，0.4B．0.5，0.5C．0.4，0.5D．0.5，0.4【答案】C【解析】某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，正面朝上出現(xiàn)了40次，所以出現(xiàn)正面朝上的頻率為SKIPIF1<0，因?yàn)槊看螔佊矌艜r(shí)，正面朝上和反面朝上的機(jī)會(huì)相等，都是0.5，所以出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5，故選：C二、判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．（2）集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．【典例1】（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（）A．事件1與事件3互斥B．事件1與事件2互為對(duì)立事件C．事件2與事件3互斥D．事件3與事件4互為對(duì)立事件【答案】B【解析】由題可知，事件1可表示為：SKIPIF1<0,事件2可表示為：SKIPIF1<0,事件3可表示為：SKIPIF1<0,事件4可表示為：SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0，所以事件1與事件3不互斥，A錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0為不可能事件，SKIPIF1<0為必然事件，所以事件1與事件2互為對(duì)立事件，B正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以事件2與事件3不互斥，C錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0為不可能事件，SKIPIF1<0不為必然事件，所以事件3與事件4不互為對(duì)立事件，D錯(cuò)誤；故選：B.【典例2】（2023·湖南·高三校聯(lián)考二模）隨著2022年卡塔爾世界杯的舉辦，中國(guó)足球也需要重視足球教育．某市為提升學(xué)生的足球水平，特地在當(dāng)?shù)剡x拔出幾所學(xué)校作為足球特色學(xué)校，開設(shè)了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四類足球體驗(yàn)課程．甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件SKIPIF1<0“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件SKIPIF1<0“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件SKIPIF1<0“甲乙兩人均未選擇‘5人制’課程”，則（）A．A與SKIPIF1<0為對(duì)立事件B．A與SKIPIF1<0互斥C．A與SKIPIF1<0相互獨(dú)立D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相互獨(dú)立【答案】C【解析】依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形：①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同，故A與SKIPIF1<0互斥不對(duì)立，A錯(cuò)誤；當(dāng)甲乙兩人均未選擇“5人制”課程時(shí)，兩人可能選的課程有一門相同，A與SKIPIF1<0不互斥，B錯(cuò)誤；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即A與SKIPIF1<0相互獨(dú)立，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不相互獨(dú)立，C正確，D錯(cuò)誤，故選：C．三、復(fù)雜事件的概率的兩種求法（1）直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．（2）間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡(jiǎn)便．【典例1】（2023上·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知某音響設(shè)備由五個(gè)部件組成，A電視機(jī)，B影碟機(jī)，C線路，D左聲道和E右聲道，其中每個(gè)部件能否正常工作相互獨(dú)立，各部件正常工作的概率如圖所示.能聽到聲音，當(dāng)且僅當(dāng)A與B至少有一個(gè)正常工作，C正常工作，D與E中至少有一個(gè)正常工作.則聽不到聲音的概率為（）

A．0.19738B．0.00018C．0.01092D．0.09828【答案】A【解析】設(shè)能聽到聲音為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以聽不到聲音的概率SKIPIF1<0.故選：A【典例2】（2023下·四川眉山·高三?？奸_學(xué)考試）一個(gè)盒子內(nèi)裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么從盒中摸出1個(gè)球，摸出黑球或紅球的概率是．【答案】0.75【解析】因?yàn)橐粋€(gè)盒子內(nèi)裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，則從中摸出1個(gè)球，摸出紅球，白球和黑球的事件兩兩互斥，又摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是SKIPIF1<0，所以從盒中摸出1個(gè)球，摸出黑球或紅球的概率是SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）位于數(shù)軸上的粒子A每次向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，若前一次向左移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則后一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度的概率為SKIPIF1<0，若前一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則后一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度的概率為SKIPIF1<0，若粒子A第一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度的概率為SKIPIF1<0，則粒子A第二次向左移動(dòng)的概率為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意知粒子A第一次向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度的概率為SKIPIF1<0，那么粒子A第一次向左移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度的概率為SKIPIF1<0，故粒子A第一次向右移動(dòng)，第二次向左移動(dòng)的概率為SKIPIF1<0；粒子A第一次向左移動(dòng)，第二次向左移動(dòng)的概率為SKIPIF1<0；故所求的概率SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0四、古典概型的概率用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件個(gè)數(shù)除以基本事件空間Ω所含的基本事件個(gè)數(shù)求解事件A發(fā)生的概率P(A)．解題的關(guān)鍵如下：①定型，即根據(jù)古典概型的特點(diǎn)——有限性與等可能性，確定所求概率模型為古典概型．②求量，利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間Ω及事件A所含的基本事件數(shù)．③求值，代入公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))求值．【典例1】（2023上·四川成都·高三校考階段練習(xí)）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如SKIPIF1<0．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】不超過30的素?cái)?shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有SKIPIF1<0種，其中和等于30的有SKIPIF1<0這3種情況，所以在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0能夠構(gòu)成鈍角三角形的概率是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)記為SKIPIF1<0，則a的取值可能為SKIPIF1<0，有6種可能；SKIPIF1<0能夠構(gòu)成三角形時(shí)，需滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0能夠構(gòu)成鈍角三角形，當(dāng)5所對(duì)角為鈍角時(shí)，有SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0；當(dāng)a所對(duì)角為鈍角時(shí)，需滿足SKIPIF1<0，此時(shí)沒有符合該條件的a值，故SKIPIF1<0能夠構(gòu)成鈍角三角形的概率是SKIPIF1<0，故選：D【典例3】（2023上·上?！じ呷亟袑W(xué)校考期中）某工廠生產(chǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩種型號(hào)的不同產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為SKIPIF1<0.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個(gè)樣本容量為SKIPIF1<0的樣本，則其中SKIPIF1<0種型號(hào)的產(chǎn)品有SKIPIF1<0件，現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品，此時(shí)含有SKIPIF1<0型號(hào)產(chǎn)品的概率為.【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意樣本中SKIPIF1<0種型號(hào)的產(chǎn)品有SKIPIF1<0件，現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品共有SKIPIF1<0種取法，其中含有SKIPIF1<0型號(hào)產(chǎn)品的有SKIPIF1<0種取法，所以含有SKIPIF1<0型號(hào)產(chǎn)品的概率SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0五、求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立．(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有：①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．【典例1】（2023上·重慶·高三重慶一中校考開學(xué)考試）某同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)投籃測(cè)試，若該同學(xué)連續(xù)三次投籃成功，則通過測(cè)試；若出現(xiàn)連續(xù)兩次失敗，則不通過測(cè)試.已知該同學(xué)每次投籃的成功率為SKIPIF1<0，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)投籃只成功一次后通過，概率為SKIPIF1<0，那么投籃只失敗過一次后，下一次若投籃失敗，則不通過，故投籃只失敗過一次后通過概率為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故通過的概率為SKIPIF1<0.故選：D【典例2】（2023上·江蘇·高三期中）一個(gè)不透明的盒子中裝有三個(gè)紅球，一個(gè)白球.從盒子中取兩次球，若每次取出1個(gè)或2個(gè)球的概率均為SKIPIF1<0，則最終盒子里只剩下一個(gè)白球的概率為.【答案】SKIPIF1<0【解析】記“最終盒子里只剩下一個(gè)白球”為事件SKIPIF1<0，第一種情況，第一次先拿1個(gè)紅色球，第二次拿2個(gè)紅色球，則概率為：SKIPIF1<0，第一種情況，第一次先拿2個(gè)紅色球，第二次拿1個(gè)紅色球，則概率為：SKIPIF1<0，所以最終盒子里只剩下一個(gè)白球的概率為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.六、求條件概率的兩種方法（1）利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得SKIPIF1<0，這是求條件概率的通法．（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得SKIPIF1<0.【典例1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動(dòng)中，準(zhǔn)備從①②③④⑤5個(gè)項(xiàng)目中分別各自隨機(jī)選擇其中一項(xiàng)，記事件SKIPIF1<0：甲和乙選擇的活動(dòng)各不同，事件SKIPIF1<0：甲和乙恰好一人選擇①，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.【典例2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）第33屆奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行.某田徑運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加100米?200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運(yùn)動(dòng)員100米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為SKIPIF1<0，200米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為SKIPIF1<0，兩項(xiàng)比賽都未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為SKIPIF1<0，若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)，則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率是.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)在200米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)為事件SKIPIF1<0，在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.七、全概率公式與貝葉斯公式的使用1、全概率公式SKIPIF1<0在解題中體現(xiàn)了“化整為零、各個(gè)擊破”的轉(zhuǎn)化思想，可將較為復(fù)雜的概率計(jì)算分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮．2、利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計(jì)算SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；第二步：計(jì)算SKIPIF1<0，可利用SKIPIF1<0求解；第三步：代入SKIPIF1<0求解．3、貝葉斯概率公式反映了條件概率SKIPIF1<0，全概率公式SKIPIF1<0及乘法公式SKIPIF1<0之間的關(guān)系，即SKIPIF1<0．【典例1】（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考二模）根據(jù)某機(jī)構(gòu)對(duì)失蹤飛機(jī)的調(diào)查得知：失蹤的飛機(jī)中有70%的后來被找到，在被找到的飛機(jī)中，有60%安裝有緊急定位傳送器，而未被找到的失蹤飛機(jī)中，有90%未安裝緊急定位傳送器，緊急定位傳送器是在飛機(jī)失事墜毀時(shí)發(fā)送信號(hào)，讓搜救人員可以定位的裝置.現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，則它被找到的概率為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0“失蹤的飛機(jī)后來被找到”，SKIPIF1<0“失蹤的飛機(jī)后來未被找到”，SKIPIF1<0“安裝有緊急定位傳送器”，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，它被找到的概率為SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2023·吉林長(zhǎng)春·高三統(tǒng)考一模）某學(xué)校有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩家餐廳，某同學(xué)第1天等可能地選擇一家餐廳用餐，如果第1天去SKIPIF1<0餐廳，那么第2天去SKIPIF1<0餐廳的概率為0.8，如果第一天去SKIPIF1<0餐廳，那么第2天去SKIPIF1<0餐廳的概率為0.4，則該同學(xué)第2天去SKIPIF1<0餐廳的概率為．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0“第1天去A餐廳用餐”，SKIPIF1<0“第1天去B餐廳用餐”，SKIPIF1<0“第2天去SKIPIF1<0餐廳用餐”，SKIPIF1<0“第2天去SKIPIF1<0餐廳用餐”，根據(jù)題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由全概率公式，得SKIPIF1<0，因此該同學(xué)第SKIPIF1<0天去SKIPIF1<0餐廳用餐的概率為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）居民的某疾病發(fā)病率為SKIPIF1<0，現(xiàn)進(jìn)行普查化驗(yàn)，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有該疾病的人其化驗(yàn)結(jié)果SKIPIF1<0呈陽(yáng)性，而沒有患該疾病的人其化驗(yàn)結(jié)果SKIPIF1<0呈陽(yáng)性．現(xiàn)有某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則他真的患該疾病的概率是（）A．0.99B．0.9C．0.5D．0.1【答案】C【解析】記事件SKIPIF1<0某人患病，事件SKIPIF1<0化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，現(xiàn)在某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則他真的患該疾病的概率是：SKIPIF1<0.故選：C.八、求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟（1）理解X的意義，寫出X可能取的全部值．（2）求X取每個(gè)值時(shí)的概率．（3）寫出X的分布列．（4）由均值的定義求E(X)．（5）由方差的定義求D(X)．【典例1】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）XSKIPIF1<001PaSKIPIF1<0bA．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，且各概率之和為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，則隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列是SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)減小時(shí)，（）A．SKIPIF1<0減小B．SKIPIF1<0增大C．SKIPIF1<0先減小后增大D．SKIPIF1<0先增大后減小【答案】C【解析】根據(jù)題意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0先減小后增大.故選：C.【典例3】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的期望和方差分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0大小不確定【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C．九、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1、定型：“獨(dú)立”“重復(fù)”是二項(xiàng)分布的基本特征，“每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率都相等”是二項(xiàng)分布的本質(zhì)特征．判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看在一次試驗(yàn)中是否只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，且兩種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為某事件在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．2、定參，確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．3、列表，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列．4、求值，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【典例1】（2023·遼寧撫順·高三?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）為備戰(zhàn)2023年我國(guó)杭州舉行的亞運(yùn)會(huì)，某國(guó)乒乓球隊(duì)加緊訓(xùn)練進(jìn)行備戰(zhàn).該國(guó)乒乓球隊(duì)主教練在訓(xùn)練課上，安排甲、乙兩名男單主力隊(duì)員與陪練進(jìn)行對(duì)抗性訓(xùn)練，訓(xùn)練方法如下：甲、乙兩人每輪分別與陪練打兩局，兩人獲勝局?jǐn)?shù)和為3或4時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練合格，若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為SKIPIF1<0，每局之間相互獨(dú)立，且SKIPIF1<0.記甲、乙在SKIPIF1<0輪訓(xùn)練中合格輪數(shù)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)可能為（）A．24B．26C．27D．28【答案】CD【解析】由題意可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0訓(xùn)練過關(guān)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一輪中獲勝3局SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一輪中獲勝4局SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：CD.【典例2】（2023·江蘇連云港·?？寄M預(yù)測(cè)）某活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“敬業(yè)”或“愛國(guó)”圖案，抽獎(jiǎng)規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“愛國(guó)”和“敬業(yè)”卡即可獲獎(jiǎng)；否則，均為不獲獎(jiǎng)．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行．活動(dòng)開始后，一位參加者問：“盒中有幾張“愛國(guó)”卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是“敬業(yè)”卡的概率是SKIPIF1<0.”（1）求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；（2）為了增加抽獎(jiǎng)的趣味性，規(guī)定每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機(jī)抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎(jiǎng)規(guī)則進(jìn)行抽獎(jiǎng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎(jiǎng)，用X表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和均值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）分布列見解析，SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)“敬業(yè)”卡有n張，由已知可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故“愛國(guó)”卡有5張，抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0.（2）若抽出的為“敬業(yè)”卡，則每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0，若抽出的為“愛國(guó)”卡，則每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0，所以，新規(guī)則下，每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，1，2，3），則X的分布列為X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.十、求超幾何分布的分布列的步驟第一步：驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)SKIPIF1<0的值；第二步：根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；第三步：用表格的形式列出分布列?！镜淅?】（2023·陜西漢中·高三校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒有支教經(jīng)驗(yàn)．（1）求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動(dòng)中恰有兩次被抽選到的概率；（2）求第一次抽取到無支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)SKIPIF1<0的分布列；【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）分布列見解析【解析】（1）5名優(yōu)秀教師中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到的概率為SKIPIF1<0，則三次抽取中，“甲”恰有兩次被抽取到的概率為SKIPIF1<0；（2）X表示第一次抽取到的無支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)，X的可能取值有0，1，2．SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．所以分布列為：X012P0.10.60.3【典例2】（2023上·陜西西安·高三西安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)進(jìn)行校慶知識(shí)競(jìng)賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機(jī)抽取4道來回答．競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得SKIPIF1<0分．（1）已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為0.5，且各題回答正確與否之間沒有影響，記甲的總得分為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的期望和方差；（2）已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）答案見解析【解析】（1）設(shè)甲答對(duì)題目的數(shù)目為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）設(shè)乙答對(duì)的題目數(shù)為SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3，4，則SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0102540SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0十一、關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法（1）熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．（2）充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【典例1】（2023上·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0，隨機(jī)變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的大小關(guān)系是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分布曲線關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0越大，正態(tài)分布曲線越扁平，∴SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2023上·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校ǘ噙x）已知SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，ACD對(duì)，B錯(cuò).故選：ACD.【典例3】（2023下·河南開封·高三通許縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若隨機(jī)變量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意知隨機(jī)變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故答案為：SKIPI