2024年湖南省中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課件第二十二講矩形菱形正方形

第二十二講矩形、菱形、正方形湖南2024年數(shù)學(xué)中考第一輪復(fù)習(xí)必備知識·夯根基高頻考點(diǎn)·釋疑難湘約中考·檢成效必備知識·夯根基【課標(biāo)要點(diǎn)】1.矩形的性質(zhì)與判定性質(zhì)除具有平行四邊形的性質(zhì)外,還有:(1)矩形的四個(gè)角都是__________.

(2)矩形的對角線__________.

(3)既是__________圖形,又是軸對稱圖形.判定(1)有一個(gè)角是__________的平行四邊形.

(2)對角線__________的平行四邊形.

(3)有三個(gè)角是__________的四邊形.

直角相等中心對稱直角相等直角【對點(diǎn)練習(xí)】1.(1)如圖,AC,BD是矩形ABCD的對角線,∠AOB=40°,則∠ACD的度數(shù)為()

A.50° B.55° C.65° D.70°(2)下列條件能使平行四邊形ABCD是矩形的為__________.

①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.D

②④

【課標(biāo)要點(diǎn)】2.菱形的性質(zhì)與判定性質(zhì)除具有平行四邊形的性質(zhì)外,還有:(1)菱形的四條邊都__________.

(2)菱形的兩條對角線互相__________,并且每一條對角線平分______________.

(3)菱形的面積等于兩條對角線乘積的______.(4)既是______________圖形,又是軸對稱圖形.

判定(1)有一組鄰邊__________的平行四邊形.

(2)對角線互相__________的平行四邊形.

(3)四條邊__________的四邊形.

相等垂直一組對角一半中心對稱相等垂直相等【對點(diǎn)練習(xí)】2.(1)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,下列說法錯(cuò)誤的是()

A.AB∥DC

B.AB=BD C.AC⊥BD D.OA=OC(2)下列條件中,能判定四邊形是菱形的是()A.對角線相等的平行四邊形B.對角線互相垂直且相等的四邊形C.對角線互相平分且垂直的四邊形D.對角線互相垂直的四邊形BC【課標(biāo)要點(diǎn)】3.正方形的性質(zhì)與判定性質(zhì)(1)正方形的四條邊都__________.

(2)正方形的四個(gè)角都是__________.

(3)正方形的兩條對角線__________且互相______________,每一條對角線平分一組對角.

(4)既是______________圖形,又是軸對稱圖形.

判定(1)有一組鄰邊__________并且有一個(gè)角是__________的平行四邊形.

(2)有一組鄰邊__________的矩形.

(3)有一個(gè)角是__________的菱形.

(4)對角線相等且垂直的平行四邊形.相等直角相等垂直平分中心對稱相等直角相等直角【對點(diǎn)練習(xí)】3.(1)如圖,在正方形ABCD中,E為對角線BD上一點(diǎn),連接AE,CE,∠BCE=70°,則∠EAD為()A.10° B.15°C.20° D.30°(2)已知四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一個(gè)條件即可判定該四邊形是正方形,那么這個(gè)條件可以是________________________.

C

AB=AD或AC⊥BD等

高頻考點(diǎn)·釋疑難考點(diǎn)1

矩形的性質(zhì)與判定【例1】(2023·株洲模擬)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,已知BC=4,AB=3,則OB的長為______.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理得出AC,進(jìn)而利用矩形的性質(zhì)解答即可.【方法技巧】應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決矩形問題以矩形為背景的題目,易出現(xiàn)全等三角形、等腰三角形以及直角三角形,要充分應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想,根據(jù)三角形的有關(guān)知識解決問題.提醒:矩形一條對角線分得一對全等的直角三角形,兩條對角線分得兩對全等的等腰三角形.

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考點(diǎn)2

菱形的性質(zhì)與判定【例2】(2023·嘉興、舟山中考)如圖,在菱形ABCD中,AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F,連接EF.(1)求證:AE=AF;(2)若∠B=60°,求∠AEF的度數(shù).

(2)∵四邊形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°,而∠B=60°,∴∠BAD=120°.又∵∠AEB=90°,∴∠BAE=30°,由(1)知△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°,∴∠EAF=120°-30°-30°=60°,∴△AEF是等邊三角形,∴∠AEF=60°.【方法技巧】解決菱形有關(guān)問題的技巧1.根據(jù)菱形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角形:菱形的一條對角線將菱形分為兩個(gè)全等的等腰三角形,兩條對角線將菱形分為四個(gè)全等的直角三角形;2.菱形判定方法的選擇:若易得四邊形為平行四邊形,則再證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直;若相等的邊較多,則可證四條邊相等.提醒:菱形的面積有兩種求法,可以底乘高,也可以對角線相乘再除以2.

B2.(2023·永州零陵二模)如圖,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn),過點(diǎn)O的直線分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,且DE=DF.(1)求證:四邊形DEBF是菱形;(2)求AE的長.【思路點(diǎn)撥】(1)證△DOF≌△BOE(AAS),得出DF=BE,由DF∥BE,得四邊形BEDF是平行四邊形,進(jìn)而得出結(jié)論;(2)設(shè)AE=x,則DE=BE=8-x,在Rt△ADE中,根據(jù)AD2+AE2=DE2,構(gòu)建方程求出x即可.

考點(diǎn)3

正方形的性質(zhì)與判定【例3】(教材原題·湘教版八年級下冊·P73例2)如圖,已知點(diǎn)A',B',C',D'分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn),并且AA'=BB'=CC'=DD'.求證:四邊形A'B'C'D'是正方形.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定SAS判定△AA'D'≌

△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C',從而得出四邊形A'B'C'D'是菱形,利用互余得出一個(gè)角為90°,再根據(jù)有一個(gè)角是90°的菱形是正方形,判定四邊形A'B'C'D'是正方形.【證明】∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA.又∵AA'=BB'=CC'=DD',∴D'A=A'B=B'C=C'D.又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'(SAS).∴A'D'=B'A'=C'B'=D'C',∴四邊形A'B'C'D'是菱形.又∵∠1=∠3,∠1+∠2=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠D'A'B'=90°,∴四邊形A'B'C'D'是正方形.【方法技巧】正方形性質(zhì)及判定的應(yīng)用技巧1.性質(zhì)的兼容并蓄:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,具有它們所有的性質(zhì).2.判定的兩種思路:證明一個(gè)四邊形是正方形,可以先判定為矩形,再證明鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直;或先判定為菱形,再證明一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等.3.易得全等三角形:正方形被兩條對角線分割為四個(gè)全等的等腰直角三角形,在正方形中畫出分割線,很容易得到另外的全等三角形.

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常規(guī)題型組

精練湖南14地市、州必考題1.(2023·湘潭中考)如圖,菱形ABCD中,連接AC,BD,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為()A.20° B.60° C.70° D.80°湘約中考·檢成效C2.如圖,矩形ABCD為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖,杯中水面與CD的交點(diǎn)為E,當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27°時(shí),∠AED的大小為

()

A.27° B.53° C.57° D.63°D3.(2023·株洲中考)如圖所示,在矩形ABCD中,AB>AD,AC與BD相交于點(diǎn)O,下列說法正確的是

()A.點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心B.點(diǎn)O為線段AB的對稱中心C.直線BD為矩形ABCD的對稱軸D.直線AC為線段BD的對稱軸A

D5.(2023·常德中考)如圖,在正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F分別為AO,DO上的一點(diǎn),且EF∥AD,連接AF,DE.若∠FAC=15°,則∠AED的度數(shù)為()A.80° B.90°C.105° D.115°6.(2023·懷化中考)如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線AC上的一點(diǎn),PE⊥AD于點(diǎn)E,PE=3.則點(diǎn)P到直線AB的距離為_______.

C

3

3

9.(2022·張家界中考)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),連接OE,過點(diǎn)C作CF∥BD交OE的延長線于點(diǎn)F,連接DF.(1)求證:△ODE≌△FCE;(2)試判斷四邊形ODFC的形狀,并寫出證明過程.

10.(2022·邵陽中考)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在對角線BD上,且BE=DF,OE=OA.求證:四邊形AECF是正方形.【證明】∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∴四邊形AECF是菱形.∵OE=OA=OF,AC=EF,∴菱形AECF是正方形.

C12.(2023·懷化中考)如圖,矩形ABCD中,過對角線BD的中點(diǎn)O作BD的垂線EF,分別交AD,BC于點(diǎn)E,F.(1)證明:△BOF≌△DOE;(2)連接BE,DF,證明:四邊形EBFD是菱形.【證明】(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO,∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn),∴DO=BO,又∵∠EOD=∠FOB,∴△DOE≌△BOF(ASA);(2)由(1)知△BOF≌△DOE,∴BF=DE,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,即DE∥BF,∴四邊形E