2020年高中數(shù)學(xué)必修第一冊：不等式的性質(zhì) 教學(xué)設(shè)計（北師大版）

第一章預(yù)備知識

第三節(jié)不等式

3.1不等式的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計

教材分析

本節(jié)主要學(xué)習(xí)了不等式的五個基本性質(zhì)，重點是不等式的基本性質(zhì)，難點是不等式性質(zhì)的探索及運用，要

將不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)加以對比，弄清它們之間的相同點與不同點，這樣有助于加深理解

不等式的基本性質(zhì)。對于不等式的基本性質(zhì)，采用通過學(xué)生自己動手實踐、觀察、歸納猜想結(jié)論、驗證等

環(huán)節(jié)來突破的。并在理解的基礎(chǔ)上加強練習(xí)，以期達到學(xué)生鞏固所學(xué)知識的目的.

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

--教學(xué)目標(biāo)：

1.探索并掌握不等式的基本性質(zhì)；

2.理解不等式與等式性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別.

二.核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：如何利用不等式表示不等關(guān)系

2.邏輯推理：通過對比不等式的性質(zhì)和等式的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，提高大家的辨別能力.

3.數(shù)學(xué)運算：證明不等式關(guān)系，會比較代數(shù)式的大小關(guān)系

4.直觀想象：利用數(shù)軸的比較任意兩數(shù)的大小關(guān)系，引出實數(shù)的大小關(guān)系，間接引出實數(shù)不等式的5個性

質(zhì)

6.數(shù)學(xué)建模：通過大家對不等式性質(zhì)的探索，培養(yǎng)大家的鉆研精神，學(xué)會利用不等式關(guān)系表示實際問題

教學(xué)重難點

教學(xué)重點：探索不等式的基本性質(zhì)，并能靈活地掌握和應(yīng)用.

教學(xué)難點：能根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進行化簡

課前準(zhǔn)備

PPT

教學(xué)過程

1.知識引入

在初中數(shù)學(xué)中，可以利用數(shù)軸比較任意兩個實數(shù)啊a,b的大小.關(guān)于實數(shù)a,b,大小的比較，有以下基本

事實:如果a-b是正數(shù)，那么如果a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是負數(shù)，那么a<b?反過來也

成立.

*結(jié)論總結(jié)：a>b**a-b>0

a=b>3^=0

a<b^^a-b<0

2.不等式基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果a>b,且b>c,那么a>c.

分析要證a>c,只需證a-c>0.

證明因為a>b,且b>c,

a-b>o,b-c>o

從而a-c=(a-b)+(b-c)>0,即a>c.

性質(zhì)2如果a>b,那么a+c>b+c.

分析要證a+c>b+c,需證(a+c)-(b+c)>0.

證明因為a>b,所以a-b>0,

所以(a+c)-(b+c)=a-b〉0,即a+c>b+c.

性質(zhì)3如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc

分析：要證ac>bc,只需證明ac-bc>o

證明因為a>b,所以a-b>0.

又因為c>o,所以(a-b)c>0即ac-bc>0,ac>bc

請同學(xué)完成c<0的情況證明

例1試比較(X+l)(X+5)與(X+3)2的大小.

解：因為(X+1)(X+5)-(X+3)2=(x-+6x+5)—(X-+6x+9)=—4<0

所以(X+l)(X+5)<(X+3)2

n+Ji7/7

例2試證明:若0<avb,m>0,則----->一

b+mb

,a+mab(a+m)-a(b+/fi)m(h—a)

證明：-------=-----------------=--------

b+mhb(h+m)b{b+m)

m(b-a):0

因為a<b,所以b-a>0.又b>0,m>0,故她+〃力

a+ma

-----〉一

因此：b+mb

性質(zhì)4如果a>瓦c>d,那么a+c>b+d.

證明：因為a>b,所以a+c>b+c.

又因為：c>dfb+c>b+d

由不等式的性質(zhì)1,得a+c>0+d.

’性質(zhì)5如果a>b>0,c>d>0,那么ac>hd.;

如果〃>Z?>0,c<d<0,那么ac<bd.

證明：因為a>b,c>0,所以ac>〃c.

又因：c>d,0>0,所以bc>bd

由不等式的性質(zhì)1,得ac>bd.

請同學(xué)們：完成cvdvO的情況證明

n

特殊情況：當(dāng)a>b>0時，a>b%X^?e/V+,n>2

例3：(1)已知a>b,ab>0,求證—<—

ab

(2)已知a>b,c<d,求證：a-c>b-d

證明：(I)因為ab>0,所以」->0；

ab

因為a>b,所以有不等式的性質(zhì)3,得。士>〃二,即,<,

ababab

(2)因為c<d,所以-c>-d.

又因為a>b,所以有不等式性質(zhì)4,得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d

3題型歸類

1.比較兩數(shù)的大小

(1)比較大?。?X-3)2>(X-2)(X-4).(填寫“〉”或“〈”)

(2).(x+1)(x+5)與(x+3)2的大小關(guān)系為(x+1)(x+5)<(x+3)?.

(3).已知a,b為實數(shù)，則(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).(填域"=")

2.判斷不等關(guān)系是否成立

(1).已知。則下列不等式一定正確的是(C)

A.a(^>bc1B./>戶C.『>匕3D._1.<

ab

(2).對于任意實數(shù)a,b,c,d,下列命題中正確的是(C)

A.若則B.若c>d,貝!J

C.若〃。2>AJ,則〃>6D.若〃>b,則

ab

(3).若a,4c￡R,且〃>〃，則下列不等式一定成立的是(B)

A.a+c>h-cB.(〃-/?)c2>0C.ac>hcD.b+c

aa+c

3.證明不等關(guān)系

(1)

i.已知。>人>0,cvo求證：￡>￡,

ab

2.比較(a+3)(a-5)與(a+2)(4-4)的大小.

9

證明：(1)：a>h>Of

.?.工>工>0,

ba

再由c<o,可得￡■>￡_.

ab

故要證的不等式成立；

解：(2)(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)

—cT-la-15-(a~-2a-8)

=-7<0,

，(a+3)(a-5)<(a+2)Q-4).

(2).己知a,%GR,比較/+/與ab+a+人-i的大小.

解：(?2+/?2)-(ab+a+b-1)

=-1(2a2+2Z>2-lab-2a-2b+2)

2

=—[(J-2ab+b2)+(a2-2a+l)+(b2-2b+l)]

22

=!.[(a-b)+(a-1/+(/>-1)]>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=匕=l時，兩式相等

/.a2+t^^ab+a+b-I

22

(3).設(shè)a>6>0,比較&一人與二曲的大小.

22

a+ba+b

22

【解答】解：：。〉/?〉。，.?.a-b>0,J>。2，J_zk_>o,^lL>0.

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