2021-2022學年甘肅省蘭州五十一中高三第三次模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進價元,乙每件進價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件2.定義兩種運算“★”與“◆”,對任意,滿足下列運算性質:①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.3.已知拋物線:,點為上一點,過點作軸于點,又知點,則的最小值為()A. B. C.3 D.54.已知向量,,且,則()A. B. C.1 D.25.已知雙曲線的右焦點為為坐標原點,以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.6.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.7.已知,則下列說法中正確的是()A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題8.已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的焦距為8,一條漸近線方程為,則C為()A. B.C. D.9.某學校組織學生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.6010.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)11.若函數(shù)恰有3個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知函數(shù),,的零點分別為,,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為雙曲線:的左焦點,直線經(jīng)過點,若點,關于直線對稱,則雙曲線的離心率為__________.14.函數(shù)的定義域是.15.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,且,成等差數(shù)列,則___________.16.在直三棱柱內(nèi)有一個與其各面都相切的球O1,同時在三棱柱外有一個外接球.若,,,則球的表面積為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展,很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務產(chǎn)品和活期資金管理服務產(chǎn)品,如螞蟻金服旗下的“余額寶”,騰訊旗下的“財富通”,京東旗下“京東小金庫”.為了調(diào)查廣大市民理財產(chǎn)品的選擇情況,隨機抽取1200名使用理財產(chǎn)品的市民,按照使用理財產(chǎn)品的情況統(tǒng)計得到如下頻數(shù)分布表:分組頻數(shù)(單位:名)使用“余額寶”使用“財富通”使用“京東小金庫”30使用其他理財產(chǎn)品50合計1200已知這1200名市民中,使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.(1)求頻數(shù)分布表中,的值;(2)已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為,“財富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財產(chǎn)品的市民中,從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人,然后從這7人中隨機選取2人,假設這2人中每個人理財?shù)馁Y金有10000元,這2名市民2018年理財?shù)睦⒖偤蜑?,求的分布列及?shù)學期望.注:平均年化收益率,也就是我們所熟知的利息,理財產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息.18.(12分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.(1)寫出的極坐標方程和的直角坐標方程;(2)已知點、的極坐標分別為和,直線與曲線相交于,兩點,射線與曲線相交于點,射線與曲線相交于點,求的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求m的值.20.(12分)已知的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且.(1)求;(2)若的面積為,,求的周長.21.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)寫出曲線的極坐標方程;(2)點是曲線上的一點,試判斷點與曲線的位置關系.22.(10分)已知數(shù)列{an}的各項均為正,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,an2+2an=4Sn+1.(1)求{an}的通項公式;(2)設bn,求數(shù)列{bn}的前n項和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù),數(shù)形結合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當經(jīng)過時,最大.故選:D.【點睛】本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負數(shù),并準確的畫出可行域,本題是一道基礎題.2.B【解析】

根據(jù)新運算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項.【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.【點睛】本題考查定義新運算,關鍵在于理解,運用新定義進行求值,屬于中檔題.3.C【解析】

由,再運用三點共線時和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點睛】本題考查拋物線的定義,合理轉化是本題的關鍵,注意拋物線的性質的靈活運用,屬于中檔題.4.A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程,解方程求得的值.【詳解】由于向量,,且,所以解得.故選:A【點睛】本小題主要考查向量垂直的坐標表示,屬于基礎題.5.C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點代入可得,連接,根據(jù)圓的性質可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質,需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.6.D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號,即可判斷選擇.詳解:令,因為,所以為奇函數(shù),排除選項A,B;因為時,,所以排除選項C,選D.點睛:有關函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復.7.D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假,再由復合命題的真假判斷得答案.【詳解】當時,故命題為假命題;記f(x)=ex﹣x的導數(shù)為f′(x)=ex,易知f(x)=ex﹣x(﹣∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞增,∴f(x)>f(0)=1>0,即,故命題為真命題;∴是假命題故選D【點睛】本題考查復合命題的真假判斷,考查全稱命題與特稱命題的真假,考查指對函數(shù)的圖象與性質,是基礎題.8.A【解析】

由題意求得c與的值,結合隱含條件列式求得a2,b2,則答案可求.【詳解】由題意,2c=8,則c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴雙曲線C的方程為.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質,屬于基礎題.9.D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學生人數(shù))是60(人).故選:D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題,也考查了頻率的應用問題,屬于基礎題10.C【解析】

根據(jù)并集的求法直接求出結果.【詳解】∵,∴,故選C.【點睛】考查并集的求法,屬于基礎題.11.B【解析】

求導函數(shù),求出函數(shù)的極值,利用函數(shù)恰有三個零點,即可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導數(shù)為,令,則或,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以0或是函數(shù)y的極值點,函數(shù)的極值為:,函數(shù)恰有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是:.故選B.【點睛】該題考查的是有關結合函數(shù)零點個數(shù),來確定參數(shù)的取值范圍的問題,在解題的過程中,注意應用導數(shù)研究函數(shù)圖象的走向,利用數(shù)形結合思想,轉化為函數(shù)圖象間交點個數(shù)的問題,難度不大.12.C【解析】

轉化函數(shù),,的零點為與,,的交點,數(shù)形結合,即得解.【詳解】函數(shù),,的零點,即為與,,的交點,作出與,,的圖象,如圖所示,可知故選:C【點睛】本題考查了數(shù)形結合法研究函數(shù)的零點,考查了學生轉化劃歸,數(shù)形結合的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由點,關于直線對稱,得到直線的斜率,再根據(jù)直線過點,可求出直線方程,又,中點在直線上,代入直線的方程,化簡整理,即可求出結果.【詳解】因為為雙曲線:的左焦點,所以,又點,關于直線對稱,,所以可得直線的方程為,又,中點在直線上,所以,整理得,又,所以,故,解得,因為,所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質,先由兩點對稱,求出直線斜率,再由焦點坐標求出直線方程,根據(jù)中點在直線上,即可求出結果,屬于常考題型.14.【解析】解:因為,故定義域為15.【解析】

利用等差中項的性質和等比數(shù)列通項公式得到關于的方程,解方程求出代入等比數(shù)列通項公式即可.【詳解】因為,成等差數(shù)列,所以,由等比數(shù)列通項公式得,,所以,解得或,因為,所以,所以等比數(shù)列的通項公式為.故答案為:【點睛】本題考查等差中項的性質和等比數(shù)列通項公式;考查運算求解能力和知識綜合運用能力;熟練掌握等差中項和等比數(shù)列通項公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.16.【解析】

先求出球O1的半徑,再求出球的半徑,即得球的表面積.【詳解】解:,,,,設球O1的半徑為,由題得,所以棱柱的側棱為.由題得棱柱外接球的直徑為,所以外接球的半徑為,所以球的表面積為.故答案為:【點睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題,考查球的表面積的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)680元.【解析】

(1)根據(jù)題意,列方程,然后求解即可(2)根據(jù)題意,計算出10000元使用“余額寶”的利息為(元)和10000元使用“財富通”的利息為(元),得到所有可能的取值為560(元),700(元),840(元),然后根據(jù)所有可能的取值,計算出相應的概率,并列出的分布列表,然后求解數(shù)學期望即可【詳解】(1)據(jù)題意,得,所以.(2)據(jù),得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人,使用“財富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為(元).10000元使用“財富通”的利息為(元).所有可能的取值為560(元),700(元),840(元).,,.的分布列為560700840所以(元).【點睛】本題考查頻數(shù)分布表以及分布列和數(shù)學期望問題,屬于基礎題18.(1)線的普通方程為,曲線的直角坐標方程為;(2).【解析】試題分析:(1)(1)利用cos2θ+sin2θ=1,即可曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程,進而利用即可化為極坐標方程,同理可得曲線C2的直角坐標方程;

(2)由過的圓心,得得,設,,代入中即可得解.試題解析:(1)曲線的普通方程為,化成極坐標方程為曲線的直角坐標方程為(2)在直角坐標系下,,,恰好過的圓心,

∴由得,是橢圓上的兩點,在極坐標下,設,分別代入中,有和∴,則,即19.(1)見解析(2)【解析】

(1)先求導,再對m分類討論,求出的單調(diào)性;(2)對m分三種情況討論求函數(shù)在區(qū)間上的最小值即得解.【詳解】(1)若,當時,;當時.,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減若.在R上單調(diào)遞增若,當時,;當時.,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)由(1)可知,當時,在上單調(diào)遞增,則.則不合題意當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.則,即又因為單調(diào)遞增,且,故綜上,【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20.(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理將目標式邊化角,結合倍角公式,即可整理化簡求得結果;(2)由面積公式,可以求得,再利用余弦定理,即可求得,結合即可求得周長.【詳解】(1)由題設得.由正弦定理得∵∴,所以或.當,(舍)故,解得.(2),從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長為.【點睛】本題考查由余弦定理解三角形,涉及面積公式,正弦的倍角公式,應用正弦定理將邊化角,屬綜合性基礎題.21.(1)(2)點在曲線外.【解析】

(1)先消參化曲線的參數(shù)方程為普通方程,再化為極坐標方程;(2)由點是曲線上的一點,利用的

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