2023-2024學(xué)年北京市第一中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年北京市第一中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(1?i)對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,2)，b=(2,t)，若a//b，則A.?4 B.1 C.2 D.43.設(shè)a，b為非零向量，且滿足a?b=a+b，則aA.既不共線也不垂直 B.垂直 C.同向 D.反向4.(2015新課標(biāo)全國Ⅰ文科)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2)，向量AC?=(?4,?3)，則向量A.(?7,?4) B.(7,4) C.(?1,4) D.(1,4)5.?ABC中，AB=3，BC=2，∠B=60°，AB?A.?33 B.?3 C.3 6.已知A,B,C,D是平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)，則“AB//DC”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.等邊?ABC的邊長為2，則AB在BC上的投影向量為(

)A.?12BC B.BC C.28.為了得到函數(shù)y=sin2x+π3的圖象，需要把函數(shù)y=A.向左平移π3個(gè)單位長度 B.向右平移π3個(gè)單位長度

C.向左平移π6個(gè)單位長度 D.9.據(jù)《九章算術(shù)》記載，商高是我國西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家，曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，比畢達(dá)哥拉斯早500年.如圖，現(xiàn)有?ABC滿足“勾3股4弦5”，其中AC=3，BC=4，點(diǎn)D是CB延長線上的一點(diǎn)，則AC?AD=(

)

A.3 B.4 C.9 D.不能確定10.在?ABC中，AB=2，AC=3，且AB?AC=?33，則A.32 B.3 C.3二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知向量a=1,m，b=3,?2，且a+b⊥12.已知復(fù)數(shù)z滿足z=2i1+i，那么z=

，|z|=

13.已知向量a=1，b=2，a與b的夾角為π3，則求a+b14.已知非零平面向量a，b，c，①若a?c=c?b，則a=③若a+b=a?b，則a⊥b；其中正確命題的序號是

．15.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使DE=CD，若點(diǎn)P是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓弧(不超出正方形)上的任一點(diǎn)，設(shè)向量AP=λAB+μAE，則λ+μ的取值范圍是

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.（12分）已知a=2，b=3，a與b的夾角為2π(1)求a?(2)求a+(3)當(dāng)k為何值時(shí)，a+2b17.（12分）在?ABC中，AB=2，BC=3，∠B=60°，且BC=3AD，AC與BD交于點(diǎn)O，設(shè)AB(1)用向量a，b表示OC，OB；(2)求cos∠COD的值．18.（12分）如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為126nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為83n?mile，貨輪由A處向正北航行到D

(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．19.（12分）已知?ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量m=(a,3b)，(1)求角A(2)若a=7，b=2，求?ABC20.（12分）已知函數(shù)fx=sin2xcosφ?cos2xsinφ，其中φ(1)求φ的值；(2)若m>0，函數(shù)fx在區(qū)間0,m上最小值為?12條件①：對任意的x∈R，都有fx條件②：fπ條件③：fπ321.（15分）對于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，表達(dá)式ad?bc稱為二階行列式，記作a&bc&d．(1)求下列行列式的值：①0&1?1&0(2)求證：向量p=(a,b)與向量q=(c,d)共線的充要條件是(3)討論關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c參考答案1.A

2.D

3.D

4.A

5.B

6.B

7.A

8.C

9.C

10.A

11.8

12.1?i

；

；

；

；

；；13.714.②③

15.1,16.(1)a(2)a(3)由a+2b⊥即a+2可得4k+3?6k?2×9=0，解得k=?

17.解：(1)因?yàn)锽C=3AD，AC與BD交于點(diǎn)O，

所以O(shè)C=34AC=34(AB所以O(shè)C?OD=34(a+b)?(?14a+

18.(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得AD=

(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2=A所以A處與D處之間的距離為24nmile，燈塔C與D處之間的距離為8

19.解：(1)因?yàn)閙/?/n，所以asinB?3bcosA=0．

由正弦定理，得sinAsinB?3sinBcosA=0，

因?yàn)閟in?B≠0，所以tanA=3．

又A為△ABC的內(nèi)角，

所以A=π3．20.(1)由fx若選條件①：可知當(dāng)x=π3時(shí)，fπ3=sin2π3?φ=1，因?yàn)棣?lt;π2若選條件②：fπ4=sinπ2?φ=cosφ=?1若選條件③：fπ所以sinπ3+φ=1，因?yàn)棣?lt;π2，可得φ=綜上所述：故可選擇條件①或③，此時(shí)φ=π(2)由(1)知fx=sin2x?π且fx的最小值為?12，所以可得2m?π6所以0<m≤2π所以m的取值范圍為0,2π

21.(1)①由題意可得：0&1?1&0②由題意可得：1&32&6(2)若向量p=a,b與向量當(dāng)q≠0時(shí)，有ad?bc=0，即a&bc&d當(dāng)q=0時(shí)，有c=d=0，即a&bc&d反之，若a&bc&d=0，即當(dāng)c，d不全為0時(shí)，即q≠不妨設(shè)c≠0，則b=adc，可得因?yàn)閝=c